つづき

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4-manifold
4-manifolds are important in physics because in General Relativity, spacetime is modeled as a pseudo-Riemannian 4-manifold.

Topological 4-manifolds
The homotopy type of a simply connected compact 4-manifold only depends on the intersection form on the middle dimensional homology. A famous theorem of Michael Freedman (1982) implies that the homeomorphism type of the manifold only depends on this intersection form, and on a
Z /2Z invariant called the Kirby–Siebenmann invariant, and moreover that every combination of unimodular form and Kirby–Siebenmann invariant can arise, except that if the form is even, then the Kirby–Siebenmann invariant must be the signature/8 (mod 2).

Freedman's classification can be extended to some cases when the fundamental group is not too complicated; for example, when it is
\mathbb {Z} , there is a classification similar to the one above using Hermitian forms over the group ring of \mathbb {Z} .
If the fundamental group is too large (for example, a free group on 2 generators), then Freedman's techniques seem to fail and very little is known about such manifolds.

For any finitely presented group it is easy to construct a (smooth) compact 4-manifold with it as its fundamental group. As there is no algorithm to tell whether two finitely presented groups are isomorphic (even if one is known to be trivial) there is no algorithm to tell if two 4-manifolds have the same fundamental group. This is one reason why much of the work on 4-manifolds just considers the simply connected case: the general case of many problems is already known to be intractable.
(google訳)
フリードマンの分類は、基本群がそれほど複雑でない場合にいくつかのケースに拡張できます。たとえば、次のようなとき
\mathbb {Z}の群環上でエルミート形式を使用した上記と同様の分類があります \mathbb {Z}。
基本群が大きすぎる場合 (たとえば、2 つの発電機上の自由群)、フリードマンの手法は失敗するように見え、そのような多様体についてはほとんど知られていません。

有限に提示された群については、それを基本群として使用して (滑らかな) コンパクトな 4 多様体を構築するのは簡単です。有限に提示された 2 つの群が同型であるかどうかを判断するアルゴリズムがないため (1 つが自明であることがわかっている場合でも)、2 つの 4 多様体が同じ基本群を持つかどうかを判断するアルゴリズムもありません。これが、4 多様体に関する研究の多くが単純結合の場合のみを考慮する理由の 1 つです。つまり、多くの問題の一般的な場合は、すでに解決困難であることが知られています。
(引用終り)
以上