https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1699841221/427
>U(1) はこれだけ
>U(1) は 1 次元のユニタリ行列の群だ.
>ユニタリ行列とは言っても 1 次元なのだから
>成分は一つしかなくて,行列というほどのものではない.
>ユニタリ行列はUU^{†}=1という条件を満たすわけだが,
>成分が 1 つなのだから転置しても何も変わらなくて,
>xx^{*}=1を満たす複素数であればいい.
>つまり,xは絶対値 1 の複素数.
>よって U(1) というのはθを実数パラメータとした,
>数式 e^iθ という形のものを集めたものである.
>なるほど確かに,掛け合わせても絶対値は 1 のままである.
>これは複素平面上の半径 1 の円の上に乗るので,
>2 次元回転群 SO(2) と全く同じ構造の群であることが
>直観的にも分かるだろう.

大阪の同業者は、やっと自分にふさわしいレベルの話題を選んだね

「U(1) というのはθを実数パラメータとした,数式 e^iθ という形のものを集めたもの」
というのはその通りだが、それだけでは
「じゃRじゃねぇの？」
と突っ込まれても反論のしようがない

肝心なのは
「e^iθ＝1となるような θ>0 が存在する」
ということ　それゆえRではなくて円S^1だと言える

ちなみに上記のθを2πと名付ける
本当はこれをπとするべきだったが
歴史的に致し方ない