自然数をランダムに1つずつ選んで100個目の桁数が前の99個よりも大きい確率は？

**１３２人目の素数さん** · 2023/10/07(土) 18:50:21.53

自然数をランダムに１つずつ選び、その桁数を記録する
さて、100番目に選んだ自然数の桁数がその前の99個の自然数の桁数よりも大きい確率は？

**１３２人目の素数さん** · 2023/10/07(土) 21:09:08.22

100%

**１３２人目の素数さん** · 2023/10/08(日) 03:38:43.33

>>2
それは99番目までの桁数以下になる自然数は有限個だけど
桁数がそれより大きくなる自然数は無限個存在するからですか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/10/08(日) 05:03:41.42

西軍　非正則分布の積分順序のトリックにはまり敗北

**１３２人目の素数さん** · 2023/10/08(日) 08:41:33.58

>>1

某スレのスレ主です
１）”自然数をランダムに”が不成立
　自然数全体を一様分布の拡張と見ると、非正則分布になるから
２）実際、100個選んだ自然数の最大値をdmaxとして、
　100個を含む一様分布 {0,1,2・・,M} M＞dmaxを考える
　この一様分布から100個を選ぶことを繰り返せば
　100個の数たちは、{0,1,2・・,M}中に一様に分散するだろう
３）しかし、自然数全体は可算無限集合なので
　一様分布 {0,1,2・・,M}は、無限集合から見ると無限小部分でしかない
　（M/∞＝0）
４）Mをいくら大きくしてもダメ
　試行を繰り返しても、有限回ではダメ。無限回の繰返しは、数学として扱えない

**１３２人目の素数さん** · 2023/10/08(日) 08:50:07.64

>>5
いらっしゃいませ
本スレのadministratorです

>１）”自然数をランダムに”が不成立

　なるほど、

>２）実際、一様分布 {0,1,2・・,M} から
>　100個を選ぶことを繰り返せば
>　100個の数たちは、{0,1,2・・,M}中に
>　一様に分散するだろう

　そうですね

>しかし、自然数全体は可算無限集合なので
>一様分布 {0,1,2・・,M}は、無限集合から見ると無限小部分でしかない
>（M/∞＝0）
>Mをいくら大きくしてもダメ

　で、いいたいことは
　「問題として不成立である」
　ということですか？

　Yes　or　No　でお答えください

**１３２人目の素数さん** · 2023/10/08(日) 09:20:18.71

{0,…,9}の一様分布の直積として
{0,…,9}^Nの一様分布も実現できる、とする

このとき、{0,…,9}^Nの尻尾同値類の代表が選べるとしたら
{0,…,9}^Nの一様分布を∪(n∈N){0,…,9}^nの一様分布に
置き換えられる

一方、∪(n∈N){0,…,9}^nとNは一対一に対応する
したがって、Nの一様分布が考えられないのに
{0,…,9}^Nの一様分布は考えられるとするのは
チグハグである

この「矛盾」について、某スレのスレ主氏は如何お考えか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/10/09(月) 15:34:08.71

>>7
コメント無いですね

Sergiu HartのGame2のQとか有限小数とかから出題する場合は
そもそもQとか有限小数全体を1とする測度が作れないといって
問題を否定することができるかもしれない

しかし、無限小数全体を1とする測度を認めて
なおかつ選択公理を認めてしまったら
尻尾同値類によって結局有限小数全体を1とする測度に
持ち込まれてしまう

だからこれを防ぐには選択公理を否定するしかないんだけどな
なんで選択公理を否定したがらないんだろう？

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/25(土) 14:05:15.82

平面上にランダムに3点を選んだときに、
その3点を頂点とする三角形が
鋭角三角形である確率はどれだけか。
これも難しい問題だろう。

**prime_132** · 2024/01/31(水) 14:37:26.99

３つの内角 A, B, C を座標とする (A, B, C) 空間で考える。

平面 A+B+C=π 上で、A, B, C >0 の部分は
(π,0,0)　(0,π,0)　(0,0,π)　を頂点とする正△の内部。

また鋭角三角形 (A, B, C < π/2) となるのは、
(0,π/2,π/2)　(π/2,0,π/2)　(π/2,π/2,0)　を頂点とする正△の内部。
これは上記の大△の中点△で、面積はその1/4である。

∴　確率 1/4.

**１３２人目の素数さん** · 2024/02/01(木) 03:27:55.35

一様をどうとらえるかだけど、一番は(R^2)^3のHaar measureだけどコンパクトでないから全測度が有限値にならない。相似、回転、平行移動を作用させてコンパクト化してHaar測度から誘導される測度いれればいける気はするけど、コンパクト部分集合じゃなくてコンパクト商集合でもいけるのかな？

**１３２人目の素数さん** · 2024/03/08(金) 23:19:01.37

>>9
最初から2点が与えられてても同等だから3点目だけ考えれば良い
3点目が鋭角頂点となるのは2点を直径とする円の外のみ
2点が鋭角頂点となるのは3点目が直径両端の垂線内にある場合のみ
それ以外の範囲は鋭角三角形にならないから
鋭角三角形になる領域の比率は0