面白い数学の問題おしえて～な 43問目

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/20(月) 12:30:34.51

面積1の三角形に、交わりの無い二つの円板を内部に入れたとき、円板二つの面積の最大値を求めよ.

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/23(木) 04:33:53.04

2等辺Δの場合
頂点を　(-a, 0)　(0, 1)　(a, 0)　とする。
　内接円の半径 r = a(√(1+aa)－a),
　内接円の上端　(0, 2r)
これより上が元のΔと相似
　相似比　1－2r = (√(1+aa)－a)^2,
内接円の上に第二円を載せる。（雪だるま形）
　第二円の半径　r' = r(1-2r),
　Δの面積　a,
　面積比 = πrr{1+(1-2r)^2} / a
　　= πa(√(1+aa)－a)^2｛1+(√(1+aa)－a)^4}
　極大値　0.697032848552…
　(a=0.39947714429244　,　28a^6 +16a^4 +3a -1 = 0 の解)

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/23(木) 05:01:13.69

↑
a。= √{[－8 + (1567-168√87)^{1/3} + (1567+168√87)^{1/3}]/42}
　　= 0.39947714429244…

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/26(日) 17:12:18.23

f(f(x))=x^2-x+1のときf(0)を求めよ

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/26(日) 22:08:34.81

【世界一難しい問題】6 ÷ 2（1 + 2）をあなたは解けますか？

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/26(日) 22:12:36.27

不定

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/26(日) 23:12:12.73

>>438
fff(x)=f(x)^2-f(x)+1=f(x^2-x+1)
f(1)^2-f(1)+1=f(1)
(f(1)-1)^2=0
f(1)=1
f(0)^2-f(0)+1=f(1)=1
f(0)=0,1
f(f(0))=1
f(0)≠0
f(0)=1

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/26(日) 23:14:29.01

>>436
> ID:lZUNVZWJ
f(f(x))=x^2-x+1のときf(x)は存在？

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/27(月) 09:48:26.03

する

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/27(月) 15:07:27.33

>>441
証明してよ

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/27(月) 15:09:40.83

定義域は実数全体なの？

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/27(月) 16:19:53.55

f(x)=f(1-x)としてx≧1/2の部分だけ定めれば良い訳だから、
数列 {a_n∈(1/2,1)}_n∈Z s.t. f(f(a_n))=a_(n+1) と
数列 {b_n∈(1,+∞)}_n∈N s.t. f(f(b_n))=b_(n+1) を適当に定めれば
[a_1,a_2), [b_1,b_2) でfの値を適当（適切）に定めて普通に構成できそう

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/27(月) 16:23:40.11

>>444
訂正　数列の部分は
{a_n∈[1/2,1)}_n∈N s.t. a_1=1/2, f(f(a_n))=a_(n+1)
と
{b_n∈(1,+∞)}_n∈Z s.t. f(f(b_n))=b_(n+1)
だった

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/27(月) 17:29:43.13

>>444
＞f(x)=f(1-x)
これなんで？
f(x)^2-f(x)+1=f(x^2-x+1)
f(1-x)^2-f(1-x)+1=f(x^2-x+1)
から
(f(1-x)+f(x)+1)(f(1-x)-f(x))=0
は言えるけどここからどうするの？
f(x^2-x+1) =f(x)^2-f(x)+1>0
だけどt=x^2-x+1≧3/4でしか言えないのでは？

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/27(月) 17:33:54.25

必要性は言えないけど
こうであるように決めて
それが条件を満たすことを言えばいいのか

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/27(月) 17:35:00.73

>>446
それが導けるって話ではなく、fの構成の仕方として先にx≧1/2の範囲で構成すれば
x<1/2の範囲の値はf(x)=f(1-x)と定めれば実数全体に拡張できるってこと

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/27(月) 17:40:43.96

>>445
＞{a_n∈[1/2,1)}_n∈N s.t. a_1=1/2, f(f(a_n))=a_(n+1)
＞と
＞{b_n∈(1,+∞)}_n∈Z s.t. f(f(b_n))=b_(n+1)
＞だった
a2=ff(a1)=(1/2)^2-(1/2)+1=3/4
a3=ff(a2)=(3/4)^2-(3/4)+1=13/16
？
いまいち目的が見えない

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/27(月) 17:45:37.52

>>448
そこは了解できました

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/27(月) 17:48:44.54

x≧1/2で単調増加なものを定めるだいうことか
x=1が不動点だからそこで分けてってこと？

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/28(火) 02:23:03.79

φ:A→A が単射のとき

fx) = y ⇒ x ≡ y

を満たす最小の同値類をとる
このとき≡の同値類Cは

I型) ♯C = 1
II型) f(C) ≠ C
III型) #C = ♾,f(C) = C

のいずれか

∃g f = gg ⇔ II型、III型の類の個数がいずれも偶数か無限個

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/28(火) 10:34:06.82

>>451
そうそう
例えば区間 [a_1,a_2) = [1/2,3/4) 上でfの値を
f(x)=x+1/8 (1/2≦x<5/8)
f(x)=f(f(x-1/8)) (5/8≦x<3/4)
とか定めてあげると区間 [1/2,5/8) では f は条件を満たしてくれるし、あとは順次
f(x)=f(f(y)) (3/4≦x<49/64, ただしy∈[5/8,3/4)はこの区間でf(y)=xを満たす唯一の実数)
f(x)=f(f(y)) (49/64≦x<13/16, ただしy∈[3/4,49/64)はこの区間でf(y)=xを満たす唯一の実数)
…と定めていけば良い

ただしa_nはn→∞で1に収束しちゃうからそれとは別の系列b_nを用意する必要がある、ということ

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/28(火) 12:01:28.52

そのやりかたで
単調なg(x)が与えられた時g=fffになるfとかg=fff…fとn
個合成になるfも得られそうね
fに微分可能とか解析的とか条件付けたら
継ぎ目の処理が面倒くさそう
元の問題ff(x)=x^2-x+1の場合解析解はあるのかしら
f(x)=Σanx^nとして
ff(x)=Σanf(x)^nを展開して比較して得られるかな
定数項がf(a0)
1次の係数がa1f'(a0)
2次の係数がもう面倒くさすぎだけど
存在だけは何とかなりそうな気もする

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/28(火) 12:11:11.45

XのKonoってやっぱりおかしい奴だったな
書いていることが異常すぎる

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 07:43:42.93

>>452
つまり
I型のときはg(x)=x
II型III型の時はそのような同値類を二つずつペアにして
g(C1)=C2, g(C2)=f(C1)になるようにすればいいてことね
f=gggとかggg…gとかでも同じようにできるね
でも
連続性はこれだけでは成立させれないから
連続にしたいなら
同値類の並び？をもう少し考察すればいいか

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/30(木) 12:03:32.57

g：C → C
g(z) = 1 + (z-1)/i　　　　(z∈R)
　　= －zz + (2+i)z － i　　(z∉R)

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/31(金) 04:39:39.24

>>443
定義域は実数全体だろうねぇ。
複素数まで広げちゃダメかなぁ

**１３２人目の素数さん** · 2024/05/31(金) 18:05:11.56

複素数まで広げたら無理だね
x=±i とすると f(f(x))≠x …(A) と f(f(f(f(x))))=x …(B) が成り立つけど、
逆にこれらを満たすものは ±i しかないことが方程式(B)を解くことでわかる
しかし x=f(i) も(A)(B)両方満たすことが導けてしまうから
f(i)=±i のどちらかでなければならず、どちらにしても矛盾が生じる

**１３２人目の素数さん** · 2024/06/07(金) 13:11:28.70

arctan(a)+arctan(b)+arctan(c)=π
を満たす整数a,b,cの組は有限個であることを示せ

arctan(a)+arctan(b)+arctan(c/d)=π
を満たす整数a,b,c,dの組は無限に存在することを示せ

**１３２人目の素数さん** · 2024/06/07(金) 21:45:50.75

上は
abc=a+b+cの整数解が
1,2,3か-n,0,nに限られることによる

下は
c=a+b,d=ab-1とすれば良い

**１３２人目の素数さん** · 2024/06/08(土) 19:22:11.78

問題(類題などはあると思われますが)
2^rの桁の中で、0が最も多く連続するときの0の個数を、f(r)とします。rは自然数全体を動く時、f(r)の最大値は何になるか
です。(問題文自体が間違ってたらすみません)
例えば、f(1)やf(3)などはゼロですし、f(10),f(11)などは、1024,2048なのでどちらも1です。
たとえば400581000194...となるようなものがあった場合、0が三つ続いてるのが最大数なので、
その時のfは3です。

**１３２人目の素数さん** · 2024/06/08(土) 21:11:53.49

もっと条件を厳しくして
2^r=(1の直後に0がk個続く数)
あるいは 10^N<2^r<(1+10^(-k))(10^N)
としても
kをいくらでも大きくとることができます

証明は、log[10]2 が無理数であることから
log[10](2^r) の小数部分が 0<x<1 の任意の
区間の値をとりうることを示します

具体的な方法は、
2^n で先頭が2より小さいもの：16
16^n で先頭が16より小さいもの：1048576
...
のように、指数部分を大きくしながら
先頭がより小さいものを探すことで
求められます

**１３２人目の素数さん** · 2024/06/11(火) 13:49:11.87

〔問題828〕
a,b,c は実数の定数とする。
　f(x) = |axx+bx+c|
　g(x) = |cxx+bx+a|
とおく。
-1≦x≦1 において f(x)≦1 を満たしているとき、
-1≦x≦1 において g(x)≦2 となることを示せ。

高校数学の質問スレ_Part435 - 828, 848, 857
京都大の問題らしい。(大数の評価 D)

**１３２人目の素数さん** · 2024/06/12(水) 21:56:53.59

↑
条件は
　|a-b+c| = f(-1) ≦ 1,
　|c| = f(0) ≦ 1,
　|a+b+c| = f(1) ≦ 1,
でも十分らしい。

**１３２人目の素数さん** · 2024/06/14(金) 14:00:03.22

M=max_{-1<=x<=1}(|ax^3+bx^2+cx+d|).

1<|x|.
|ax^3+bx^2+cx+d|<=M|4x^3-3x|.

0<|x|<1
|dx^3+cx^2+bx+a|=|(a(1/x)^3+b(1/x)^2+c(1/x)+d)x^3|<=M|(4(1/x)^3-3(1/x))x^3|=M|4-3x^2|<=4M.

**１３２人目の素数さん** · 2024/06/15(土) 15:00:00.64

M<m.
(ax^3+bx^2+cx+d)+-m(4x^3-3x)=p(x-q)(x-r)(x-s).
-1<q<-1/2<r<1/2<s<1.

1<=|x|.
(ax^3+bx^2+cx+d)+-m(4x^3-3x)<>0.

x=-1,1.
-m|4x^3-3x|<ax^3+bx^2+cx+d<m|4x^3-3x|.

1<=|x|.
-m|4x^3-3x|<ax^3+bx^2+cx+d<m|4x^3-3x|.
|ax^3+bx^2+cx+d|<m|4x^3-3x|.
m->M.
|ax^3+bx^2+cx+d|<=M|4x^3-3x|.

**１３２人目の素数さん** · 2024/06/15(土) 21:03:23.66

>>465
　Max{ |a-b+c|, |a+b+c| } = |a+c| + |b|,
を使うらしい…
　(1995年度京都大後期)

**１３２人目の素数さん** · 2024/06/16(日) 23:01:23.35

(続き)
　g(x) = |cxx+bx+a|
　　= | c(xx-1) + bx + (a+c)|
　　≦ |c|(1-xx) + |b||x| + |a+c|　　(← 三角不等式)
　　≦ |c| + (|b| + |a+c|)
　　≦ 1 + 1
　　= 2,

　(1-xx)/2 + |x| = １－(1/2)(1-|x|)^2 ≦ 1,

∴　|c| ≦ |b|/2 のときは
　g(x) ≦ |b|{(1-xx)/2 + |x|} + |a+c|
　　≦ |b| + |a+c|
　　≦ 1,

**１３２人目の素数さん** · 2024/06/18(火) 14:18:21.84

arctan(a) + arctan(b) + arctan(c)
　= arctan((a+b+c-abc)/(1-ab-bc-ca)),