小中高で習う面積（体積）って何なの？

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/25(月) 14:21:22.37

大学でルベーグ測度やルベーグ積分を学ぶわけだが、それまで扱った面積や体積は、測度論的には何に対応してるの？

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/25(月) 16:09:32.37

ジョルダン測度

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/25(月) 18:44:07.08

Jordan測度。
内測度と外測度が一致する集合が"Jordan可測"。その値が長さ/面積/体積。

ただし、Jordan測度は有限加法的だが可算加法的ではない。
例として、X=[0, 1]∩Qは外測度が1だが内側度が0なので"Jordan可測"ではない。一方Xの各点xに対して{x}は測度0の"Jordan可測"集合。

これを可算加法族に拡張したものがLebesgue測度。
拡張には、Carathéodoryの定理を使う。