楕円関数ってよく聞くけど面白いの？

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/26(月) 08:35:07.51

？

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/26(月) 09:06:46.88

？？？

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/26(月) 09:07:03.20

？？？？？

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/26(月) 10:00:28.71

美味しいよ

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/26(月) 17:59:39.22

代数幾何のおまけ

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/26(月) 18:57:07.21

というか、これを理解するために生まれたのが代数幾何

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/26(月) 19:18:06.92

アーベル多様体

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/26(月) 20:35:06.75

ヤコビの逆問題

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/26(月) 21:07:22.12

楕円関数y^2=x^3-2は、
初等関数に書き換えられる

[証明]
k,l,m,n,xは自然数，klmnx≠0とする

x^3-(x+k)^2=2…‥①
x^3-x^2-k^2-2kx=2
x^3-x^2-k^2=2kx+2
x^2(x-1)-k^2=2(kx+1)…‥②
x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③

②より、kは偶数，kx+1は奇数

③より、
x^2(x-1)/2は奇数
x^2は奇数，(x-1)/2も奇数
したがって,(x-1)は奇数の二倍
つまり、xは4の倍数-1

x=4n-1，k=2mとおく
x^3-(x+k)^2=2…‥① に代入

(4n-1)^3-(4n-1+2m)^2=2 から、
m^2+m(4n-1)-16n^3+16n^2-5n=-1
m^2+m(4n-1)=16n^2(n-1)+5n-1
m(m+4n-1)=16n^2(n-1)+5n-1…‥④

④より、
右辺はnが偶数のとき奇数
左辺は常に偶数
したがってnは奇数
つまり、xは8の倍数-5 となる

x=8l-5，k=2mとおく
x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③ に代入

(8l-5)^2(4l-3)-2m^2=2m(8l-5)+1
(8l-5)^2(4l-3)=2m^2+2m(8l-5)+1
(8l-5)^2(4l-3)=2m(m+8l-5)+1
(8l-5)^2={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
64l^2-80l+25={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
16l(4l-5)+25={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
{2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)-16l(4l-5)=25…‥⑤

⑤は、l=m=1のとき、
原始ピタゴラス数の等式
3^2+4^2=5^2を満たす

つまり⑤は、
l=1，m=1しか解が存在しない
l=m=1を、x=8l-5，k=2mに代入

∴整数解は、k=2,x=3

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/26(月) 22:40:59.08

>>楕円関数y^2=x^3-2は、
>>初等関数に書き換えられる

楕円関数というならせめて

(y')^2=y^3-2

でなければ

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/26(月) 23:08:14.20

面白いか面白くないかで答えると、面白い

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/27(火) 06:41:18.93

面白く感じれるためには
もう少しドタバタ感がなければいけない

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/27(火) 18:38:11.67

MumfordのTata Lectures on Thetaをよみましょう
これが難しいなら、梅村浩の楕円関数論

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/27(火) 19:05:09.32

楕円関数ってあまり聞かないけどな
モジュラー形式の歴史で名前を見る程度

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/27(火) 19:13:27.32

楕円曲線ならよく見る

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/27(火) 23:46:34.40

>>9
間違った証明をあちこちに貼るなよ

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/28(水) 13:51:39.70

因子からの群構造が自然に入るの、楕円曲線だけだから？

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/29(木) 01:26:07.34

種数1だから
Picard多様体とJacobi多様体が同型だから

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/29(木) 06:22:35.79

虚数乗法論

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/29(木) 09:50:38.98

PicardとAlbaneseは互いに双対

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/15(土) 14:05:07.69

フェルマの定理の証明にも楕円関数の理論が使われた。

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/21(金) 10:52:42.29

楕円関数論の基礎には
複素幾何の基本事項が満載

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/23(日) 20:45:39.08

武部本が詳しい

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/24(月) 07:02:07.28

特に算術幾何平均

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/31(月) 06:04:40.55

ポンスレの閉形定理を
楕円関数を使ってやり始めると
二回や三回の授業ではすまない

**１３２人目の素数さん** · 2023/08/09(水) 06:56:43.24

楕円関数とはどんなものかを中学生向けに説明するには
三角関数を円関数に読み替えるところから始めなければ

**１３２人目の素数さん** · 2023/10/13(金) 08:35:13.47

円の弧長が分かれば楕円の弧長として
逆関数が説明できる

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/07(火) 09:01:53.23

石黒信由

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/07(火) 14:29:52.43

アーベル関数

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/27(月) 22:49:14.39

K3モジュラー函数がトレンディーらしい

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/28(火) 06:48:19.59

知らん

**１３２人目の素数さん** · 2023/11/28(火) 09:09:26.23

近刊の「数学」の論説

**１３２人目の素数さん** · 2023/12/02(土) 21:50:43.78

三角関数の加法定理に相当するものがあるところが
面白い

**１３２人目の素数さん** · 2023/12/04(月) 00:30:15.41

三角関数とガンマ関数の次くらい

**１３２人目の素数さん** · 2023/12/04(月) 11:10:58.88

ご苦労様です

https://takebetakashi.seesaa.net/article/484868742.html
武部のブログ
モスクワ→北京在住数学者のブログ
2021年12月19日
楕円≠楕円曲線≠楕円関数

お陰様で拙著「楕円積分と楕円関数」はボチボチ売れ続けているようで、お買い上げ頂いた皆様にはお礼申し上げます。ネットの通販サイトを見ていて、残部が少くなっていたり、逆にいきなり大きく増えている（おそらく版元から新たに仕入れた）事があると嬉しいです。

『おとぎの国の歩き方』とあるから簡単かと思ったら難しかった」という方が何人かおられました。数学セミナーでの連載を始める時に「楕円積分と楕円関数」というだけではあっさりし過ぎているかな、と思い、Bellman の「楕円関数の理論は数学者のおとぎの国」というセリフからこんな副題をひねり出しましたが、この副題で調子に乗って「お話」に流れたと思われるのは本意ではないので、連載中には例えば「妖精」を登場させたり擬人化したりする事は断固として避け、数学の議論に集中しました。でも、「数学の読み物」を探している方には余計な期待を持たせるものであったことは否めないので、そこは申し訳ありません。

ここでの最大の誤解は「楕円曲線＝楕円」という所。楕円曲線は３次式や４次式で表され、楕円は２次式、という所から始まって「楕円曲線」と「楕円」では話のレベルが格段に違います

そもそも「楕円の弧長を表す積分」→「楕円積分」→「その逆関数を楕円関数と呼ぼう」→「楕円関数が乗っている図形を楕円曲線と呼ぼう」という名前の付け方の連鎖が安直過ぎます。「楕円曲線」っていう紛らわしい名前、一体誰が付けたんでしょう？いや、その前の段階の「楕円関数」という名前に既に無理がありますね。でもこれらの名前は完全に定着していますから今更変えようがないです。困ったなぁ。

偉い先生には、新しい概念を導入される時の命名には十分注意して頂きたいものです。

**１３２人目の素数さん** · 2023/12/04(月) 13:34:34.19

>>35
elliptic
の意味自体が
3　〈文章などが〉極端に語句を省いた;〈意味が〉（言葉が省略されていて）わかりにくい.

Progressive English-Japanese Dictionary, Third edition ｩ Shogakukan 1980,1987,1998/プログレッシブ英和中辞典第3版ｩ小学館 1980,1987,1998

**１３２人目の素数さん** · 2023/12/04(月) 16:09:35.06

話が逸れるかもしれないが、アポロニウスの円錐曲線論で、elliptic, parabolic, hyperbolicと名付けられたのは
ギリシア語でellipsis（不足する）・parabole（一致する）・hyperbole（超越する）という意味からきていて
これは何か（離心率？）が、足りない、ぴったり、超えている、ということである、
と習った覚えがある。
ちょっと今正確な文献が思い出せないが

**１３２人目の素数さん** · 2023/12/04(月) 16:21:16.91

>>37
ポストモダン思想家が使うファッショナブルナンセンスな言葉遊びも
修辞学の用語がトリビアルじゃない自由教養四科目の数理系専門語と被ってるのを本来的には使ってたし。

**ぼぼ・ぶらじる** · 2023/12/09(土) 00:12:23.17

楕円関数論って名前はカッコいいけど、工学的な応用に何か役に立つことあるの？

**１３２人目の素数さん** · 2023/12/09(土) 06:34:36.50

工学では周期関数は不可欠であり
三角関数だけでは足りない

**１３２人目の素数さん** · 2023/12/09(土) 18:34:24.78

ペー

**１３２人目の素数さん** · 2023/12/10(日) 00:52:11.99

>>37
エネルギーじゃねーの？
それぞれ負,0,正に対応してるけど

**１３２人目の素数さん** · 2023/12/10(日) 18:45:06.32

円錐曲線のエネルギーとは
はて？