素数と自然数はどちらが先ですか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/04/27(木) 16:28:02.84

とちらが先なのでしょうか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/04/27(木) 17:03:34.47

糞スレ

**１３２人目の素数さん** · 2023/04/27(木) 22:10:22.26

　　　　　　∧＿∧　　　　∧＿∧
　　　　　_（　´∀｀）　　　　（´∀｀　）
　三(⌒), 　　　ノ⊃　　　（　>>1　）　糞スレは・・
　　　￣/　/)　）　　　　　 |　|　　|
　　　 . 〈＿）＼_）　　　　（__（_＿_）

**１３２人目の素数さん** · 2023/04/27(木) 22:11:10.33

　　　　　　　　　∧＿∧　　.∧＿∧
　　　　　　　　（　　´∀）　（´∀｀　）
　　　　　　≡≡三三ニ⌒)　>>1 .）　　立てんなって
　　　　　　　　/　 /)　）￣.|　|　　|
　　　　　　　〈＿_）＿_）　（__（_＿_）

**１３２人目の素数さん** · 2023/04/27(木) 22:11:55.66

　　　　　　　　　 ∧＿∧　 ,__ ∧＿∧
　　　　　　　　　（　　　 ´）ノ　）:;:;)∀｀）
　　　　　　　　　 /　　　￣,ノ''　>>1　　）　　言ったろうが
　　　　　　　　Ｃ　　　/~　/　/ 　 /
　　　　　　　　 / 　 /　〉（__（＿_./
　　　　　　　　＼__）＼）

**１３２人目の素数さん** · 2023/04/27(木) 22:12:19.46

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ヽｌ /／
　　　　　　　　　　　　∧＿∧(⌒) ―― ★ ―――
　　　　　　　　　　　（　　　　） /|ｌ　　／/ | ヽ　　ヴォケがーー！
　　　　　　　　　　　（/　　　ノｌ|ｌｌ／　/　|　ヽ
　　　　　　　　　　　（Ｏ　　ノ彡''　　/　 .|
　　　　　　　　　　　　/　 ./ 〉
　　　　　　　　　　　　＼__）_）

**１３２人目の素数さん** · 2023/04/29(土) 00:57:17.07

自然数と素数はどちらが先ですか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/04/29(土) 17:11:55.77

有理整数環がUFDであることから、1以上の整数と、素数の有限積の間には1対1対応があるが、逆に

± 2^e_1 3^e_2 5^e_3 ...

全体の集合∪{0} を環にする方法は1通りなのか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/04/30(日) 12:00:53.13

奇数が先か偶数が先か最初決めるゲームがあるらしい

**１３２人目の素数さん** · 2023/05/22(月) 02:57:12.30

自然数がないと素数は定義できないだろ？
できる方法があるなら教えてほしい

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/04(日) 13:19:51.62

加算は自然数において自然なものである。しかし乗算はそうではない。

たとえば自然数を表すのに、それと同じ個数のリンゴを使うことを考えよう。
ｍ個のリンゴとｎ個のリンゴを一緒にすれば、ｍ＋ｎ個のリンゴになる。
しかし、リンゴとリンゴを掛け合わせるということにはただちには意味を
付けられないはずである。

加算だけを考えて居ても決して素数という概念には到達できないであろう。

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/04(日) 16:47:50.00

>>10
⊕[n=1,∞]Np_n の元を自然数、p_n (n=1, ..., ∞)を素数と呼ぶことにすれば、素数から自然数が作れるが

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/04(日) 20:37:48.69

S = {p_1, p_2, ... }
T = {Σ n_i p_i | n_i∈N}
Tに、succ: T → Tを、ペアノの公理をみたすように定義したとする。
succから定まる乗法が、Tの加法と一致したとする。
succの公理における最初の元を e = Σ e_i p_i とする。任意の、 n = Σ n_i p_i に対して、

e n = n

なので、

e_i = 0 (∀i)。

つまり、素数が先に与えられたとしても、最初の自然数は素因数が1個もない数（つまり、1）になる。

p_i = succ^(n_i - 1)(e)

とおく。n_iの順に並べ替えて、最初から p_1 < p_2 < ... としていい。
すると、Tの加法とsuccからくる乗法が一致していることから、結局

1) e = 0
2) succ(e) = p_1
3) succ^2(e) = p_2
4) succ^3(e) = 2 p_1
5) succ^4(e) = p_3
6) succ^5(e) = p_1 + p_2
...

となるしかない。
というわけで、素数の集合とそれらの乗法を与えた時に、そこから自然数を作る方法は一通りしかない。

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/04(日) 20:50:48.97

可算無限集合{p1, p2, …}が抽象的にあったとして、これを素数2, 3, …とするような数体系を構成できる？

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/04(日) 22:56:17.60

自然数が存在することを使わないと、現在の数学では無理じゃね

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/04(日) 23:39:17.72

Q1:自然数の上で定義される可換な二項演算で結合律を満たす演算●は加算と乗算に
限るか？

Q2:演算●が加算ではないとき、集合Pであって、任意の自然数mがPの要素の演算●による
有限回の演算の結果として可換性と結合律を満たすことから
　m＝p_1^n_1　●　p_2＾n_2 ● p_3^n_3 ● .... ● p_k^n_k
と一意に書き表せるとすれば、演算●は通常の乗算で、Pは通常の素数の集合に
なるだろうか？　ここで p_1^n_1 は p_1 ● p_1 ● .... ● p_1 、つまり
p_1 をn_1 回演算●でつないだ結果を表すものとする。n_1 は0以上の自然数

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/05(月) 05:31:08.45

自然数は0から始まる。
他方で素数は2から始まる。
どちらが先かと言えば0の方が先だから自然数の勝ちだな。

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/05(月) 08:01:34.97

>>16
> 可換な二項演算子で結合律を満たす演算は加法と乗法に限るか

そんなわけないよね

n●m = 1 (∀n, m)

とすれば、結合律をみたす可換な二項演算だ

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/05(月) 10:26:32.39

>>14-15
前にも同じような話をこの板のどこかでやってて
自然数の乗法モノイドの情報だけでは加法を思い出せないという結論が出てたような
というのも、PIDな数体の整数環でZと同型でないものを使って乗法モノイドは同型だけど加法構造を違うように作れた記憶

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/05(月) 10:55:42.78

あ、いや単純に自然数の場合は最大公約数を使えばいいんだった(過去ログ漁った)

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/05(月) 16:03:19.84

gcd(a, b) = a + bとかくと

(a + b) + c = a + (b + c)
0 + a = a + 0 = a
逆元はない
a + b = b + a

a(b + c) = ab + ac
(a + b)c = ac + bc

なるほどなるほど
自然数の乗法からは加法モノイドの構造は一意に復元できないわけか

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/05(月) 19:55:45.34

そうそう、面白いよね

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/06(火) 23:26:25.99

ｇｃｄはa,bが多項式でも成り立つな。

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/24(土) 03:15:12.41

偶数と奇数はどちらが男でどちらが女と感じるかという質問は数学としては意味が無いが、
人間の共感覚の実験のようなものなのだ。

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/03(月) 09:31:24.74

ホスト機再起動しとるやん

**１３２人目の素数さん** · 2023/12/27(水) 11:20:51.71

「素数の出現法則」、ついに発見される！　
https://prtimes.jp/main/html/rd/p/000000002.000107904.html