コラッツ予想がとけたらいいな その4
>>270 巨大または巨長な分割数求める方法って結局手動っすかね? それともなんか判別式modx使ってる? 判別式があるならパリティ?または独自? >>271 回答になってるか分かりませんが...... > 巨大または巨長な分割数求める方法って結局手動っすかね? 手動ですねえ...しかし証明ではそんなに具体的な割数列は使っていません。 私の証明としては、 全ての完全割数列を mod っぽく 14パターン に分けて、 その 14パターン がある変換を使って『コラッツ値が小さくなる』 ことをもって、帰納法を完成させています。 >>272 なるほどありがとうございます スター変換の見たらなぜか懐かしみを感じました(ロト7スレやってたからかも) この拡張スター変換は共役の変換ってことなのかな… 余談で書いてた普通の証明でも出来るかもって言うのは集合論とかその辺の類いの可能性を指していますか? >>274 あー余談のあたりは迷走していた頃なんで、見なかった事にしてくださいw 拡張スター変換が共役かどうかは、すみません、ちょっとわからないです。 コラッツ操作が2^0と3^0が合わさる1を起点として構成されてるからどの証明の構成でも成り立ってしまうのではと考えてしまう ループ構成を考えると、 16→8→4→2→1→4の4が終着点だから2^2の終着点を構成する分割数列ならどうなるかやってみようかな… スター変換は使わないが 拡張スター変換は直接的なコラッツ逆操作になるのかなと、だから共役関係あるのはループ内だけかと… 和算的推論 コラッツ予想・ゴールドバッハ予想の証明 多賀谷梧朗 (著) 出版社 : 東京図書出版 (2023/6/15) 単行本 : 96ページ これはどうかな? >>278 何でこれ第二章でコラッツ証明されちゃってるの?だれかレビュー無いのかな? 商品説明 数学の論理思考は記号や数式でなければ思考できない、という枠を作って物事を推論すると、その枠から抜け出せない。和算的推論で、コラッツ予想とゴールドバッハ予想を証明する。【「TRC MARC」の商品解説】 数学の論理思考は記号や数式でなければ思考できない、という枠を作って物事を推論すると、その枠から抜け出せない。人間の論理推論は自由でなければならない。これが和算的思考だ。【商品解説】 なんかうんこの臭いがプンプンする >>263 なぜこれが証明になっているのか分からん。 割数列を定義して、割数列から別の割数列へのスター変換を定義して、最終的には 「割数列どうしの議論によってコラッツ予想を証明している」 という構図になっているはずなのに、実際には 「初期値 x を取るごとに、x をいじって別の値に変換することでコラッツ予想を証明している」 ようにしか見えない。だったら、割数列を定義した意味が無いような・・・ 東京図書出版って高校などの教科書を刷るような堅い出版社で、怪しくないんだがなぁ。 たとえば、スター変換は「割数列から別の割数列を出力している」ように見せかけて、 実際には「初期値 x から別の整数 y を出力しているだけ」になっている。 たとえば、x≡3 (mod 9) (かつ x が奇数) のときは、 y=(4x/3)−7 とか y=(x/6)−(1/2) という変換によって、別の整数 y を出力しているだけ。 整数が得られるごとに一意的な割数列が定義できるのだから、 x からも y からも割数列が得られるわけだが、 それって「x」「y」がありさえすれば十分であって、割数列の役割が見当たらない。 特に問題となるのは、帰納法を使ったコラッツ予想の証明の部分で、 初期値 n に関する帰納法になっているように見える。それも、 「初期値 n から出発してスター変換を繰り返すと、n より小さい値が出てくる 」 という証明になっているように見える。 この場合、帰納法の中で本質的に行われていることは、次のようなことにすぎない。 「初期値 x から出発して、y=(4x/3)−7 とか y=(x/6)−(1/2) などの変換を うまく繰り返すことで、x より小さい値が出てくる」 ・・・これって要するに、 「初期値 x に逆コラッツ変換をうまく繰り返すことで、x より小さい値にできる 」 ということにすぎない。割数列の出番が無いように見える。 あと、1つ質問したい。x が奇数かつ x≡0 (mod 9) のとき、 E[2,−4] y=x/12−3/4 という記述があるのだが、この y は必ずしも整数にならないんだけど、それで大丈夫? >>284 (拡張)star変換の性質の一つに、「割数列の有限性(>>270 )を継承する」というものがあります。 これは、star変換が割数列の先頭だけを変化させているので、ほぼ自明です。 拡張star変換は、「コラッツ値を小さくする」だけでなく、「割数列の有限性を継承」します。 元の割数列が有限長ならば、変換後の割数列も有限長であることを保証します。 これにより、『コラッツ値を小さくし』かつ『有限長の割数列を得る』ことができます。 (ただコラッツ値を小さくしても、それが無限長の割数列だったら意味がない) このような意味が割数列にはあります。 >>286 初期値 x に逆コラッツ変換を施しているのとは意味が違うみたいだな。 >>287 y が整数にならないような x は、証明の中では使われないからセーフということか。 >>263 の論文内で書かれていることを、割数列を用いずに記述してみる。 定義1:xを正の奇数かつ3の倍数とするとき、 A(x), B(x), C(x), D(x), E(x), F(x), G(x) を以下のように定義する。 x≡3 (mod 9) のとき:A(x)=(4x/3)−7, B(x)=(x/6)−(1/2). x≡6 (mod 9) のとき:C(x)=(x/3)−2, D(x)=(2x/3)−1. x≡0 (mod 9) のとき:E(x)=(x/12)−(3/4), F(x)=(8x/3)−3. x≡0,3,6 (mod 9)のとき:G(x)=64x+21. このとき、以下の定理A,B,C,D,E,F,Gが成り立つ。 定理A:xは正の奇数かつ3の倍数かつ x≡3 (mod 9)とする。もし 「A(x)が正整数」かつ「A(x)を初期値としてコラッツ操作を繰り返すと 1 に到達できる」 ならば、x を初期値としてコラッツ操作を繰り返しても 1 に到達できる。 定理B:xは正の奇数かつ3の倍数かつ x≡3 (mod 9)とする。もし 「B(x)が正整数」かつ「B(x)を初期値としてコラッツ操作を繰り返すと 1 に到達できる」 ならば、x を初期値としてコラッツ操作を繰り返しても 1 に到達できる。 : : 定理G:xは正の奇数かつ3の倍数かつ x≡0,3,6 (mod 9)とする。もし 「G(x)が正整数」かつ「G(x)を初期値としてコラッツ操作を繰り返すと 1 に到達できる」 ならば、x を初期値としてコラッツ操作を繰り返しても 1 に到達できる。 補足:xを正の奇数かつ3の倍数とするとき、命題 P_A(x),…,P_G(x) を以下のように定義する。 P_A(x):x≡3 (mod 9), P_B(x):x≡3 (mod 9), P_C(x):x≡6 (mod 9), P_D(x):x≡6 (mod 9), P_E(x):x≡0 (mod 9), P_F(x):x≡0 (mod 9), P_G(x):x≡0,3,6 (mod 9). このとき、上記の定理A〜G は、統一的に次のように表記できる。 定理U:xは正の奇数かつ3の倍数かつ P_U(x) が真とする。もし 「U(x)が正整数」かつ「U(x)を初期値としてコラッツ操作を繰り返すと 1 に到達できる」 ならば、x を初期値としてコラッツ操作を繰り返しても 1 に到達できる。 従って、あとは次の命題が示せればコラッツ予想が証明できたことになる。 命題:x≧9を正の奇数かつ3の倍数とする。このとき、 ある1個以上の有限個の記号 U_1,…,U_k∈{A,B,C,D,E,F,G} と 正整数 x_0, x_1,…,x_k が存在して、次が成り立つ。 ・ x_0=x. ・ P_{U_i}(x_{i−1}) は真であり、U_i(x_{i−1})は正整数である (1≦i≦k). ・ x_i は、U_i(x_{i−1}) にコラッツ変換と逆コラッツ変換を 適切に何度か施すことで得られる、奇数かつ3の倍数となる数である(1≦i≦k). ・ x_0 > x_k である。 ・・・ということを>>263 の論文では本質的にやっている、ということでいい? >>293 本質の本質ではそうなのかもしれませんが、 見た目では全く違う証明方法になっていると思います。 >>294 いや、そこは本質的に同じなのか違うのか君自身で見極めてよ。君は >全ての完全割数列を mod っぽく 14パターン に分けて、 >その 14パターン がある変換を使って『コラッツ値が小さくなる』 >ことをもって、帰納法を完成させています。 と発言しているわけだが、そこでの「コラッツ値が小さくなる」とは、 要するに>>292 のことを言ってるんじゃないの?違うの? 今これ質問する雰囲気じゃないかもですけど 整数9の系統の中に 853 852 832 768 って見えてきたんですけど 14パターンの割数列で同じ系に属してますか? https://i.imgur.com/McqM85v.jpg あと、拡張スター変換って、「スター変換を複数回繰り返す」と 書いてあるんだけど、たとえば AE[6, −2, −4] の場合、 ・ 初期値 x に対して A[6, −4] を実行して y=4x/3 − 7 を得たあと、 この y に対して E[2,−4] を実行して z=y/12 − 3/4=(4x/3 − 7)/12 - 3/4 を得る という意味でいいの?「スター変換を複数回繰り返す」を額面どおりに 受け取ると、こういうことになるんだけど、それでいいの? >>295 https://github.com/righ1113/collatzProof_DivSeq/wiki/img/collatz230820.JPG 後出しですみませんが、私の証明はもうひとひねりしています。 ・FirstLimited x は コラッツ値x の完全割数列が有限長であるという述語です。 ・AllLimited x は x の完全割数列に加えて拡張完全割数列全ても有限長であるという述語です。 FirstLimited x を証明したいとします。 帰納法の仮定より、x>q である FirstLimited q は言えます。 次に関数 firstToAll を使って FirstLimited q を AllLimited q に変えます。 AllLimited q の中に、FirstLimited x は含まれるので(そうなるように AllLimited q を作ってあります)、 それを取り出して証明完了です。 なので私の証明と >>292 とは違うと思います。 >>273 の chapter04~06 が参考になると思います。 >>297 順番前後してすみません。 AE[6, -2, -4] の場合、 ・ 初期値 x に対して E[2,-4] を実行して y=x/12 - 3/4 を得たあと、 この y に対して A[6, -4] を実行して z=4y/3 - 7 = 4(x/12 - 3/4)/3 -7 = x/9 - 8 を得る です。 >>296 割数列と分割数のつながりが分からないので、何とも言えません。すみません。 >>300 私の証明では 3の倍数の奇数 のみ扱っているので、 提示された4つの数は、どれも該当しません。 >>298 質問の仕方を変えます。 初期値 x から決まる割数列のことを、ここでは DivList(x) と書くことにする。たとえば DivList(9) = [2, 1, 1, 2, 3, 4] DivList(7) = [1, 1, 2, 3, 4] など。そして、論文の中では、任意の完全割数列が有限長であることを、 数学的帰納法で証明したことになっている。 そこで、3つ質問したい。 ・ 帰納法の中で一番最初に「有限長である」と証明される DivList(x) は何か? 普通に DivList(3) が一番最初でいいのか? ・ 帰納法の中で二番目に「有限長である」と証明される DivList(x) は何か? 普通に DivList(9) が二番目でいいのか? ・ DivList(27) が有限長であることの証明を、 論文内の手法で実際に書き下してみてください。 >>303 > > ・ 帰納法の中で一番最初に「有限長である」と証明される DivList(x) は何か? > 普通に DivList(3) が一番最初でいいのか? Yes です。 > ・ 帰納法の中で二番目に「有限長である」と証明される DivList(x) は何か? > 普通に DivList(9) が二番目でいいのか? Yes です。 > ・ DivList(27) が有限長であることの証明を、 > 論文内の手法で実際に書き下してみてください。 しばしお待ちください。 >>304 > ・ DivList(27) が有限長であることの証明を、 > 論文内の手法で実際に書き下してみてください。 27 は 14パターンのうちの No.6 です。 ・DivList(27)が有限長であること FirstLimited 27 を証明したいとします。 帰納法の仮定より、27 > 21 である FirstLimited 21 は言えます。 次に関数 firstToAll を使って FirstLimited 21 を AllLimited 21 に変えます。 AllLimited 21 の中に、FirstLimited 27 は含まれるので(そうなるように AllLimited 21 を作ってあります)、 それを取り出して証明完了です。 >>305 > AllLimited 21 の中に、FirstLimited 27 は含まれるので ここが分からない。AllLimited 21 の中で具体的に何をしているのか? DivList(21) に拡張スター変換を行うと DivList(27) が出てくるということ? No6 の > 108t+27 CF[4,1,-2] y=8x/9-3 96t+21 を使って、DivList(21) から DivList(27) を出力しているということ? >>306 意味分からなくても良いので見てください。プログラムの一部抜粋です。 ----- (S (S ((u + u) + (u + u)))) | Even | Even = let x = (S (S ((u + u) + (u + u)))) in [[2, -4] `dsp` divSeq (12*x+7), [4, -4] `dsp` divSeq (3*x+2), [1, -2] `dsp` divSeq (6*x+3), [3, 0, -4] `dsp` divSeq (18*x+13), [3, -1, -2] `dsp` divSeq (9*x+6)] ----- AllLimited は、上の数が欲しい FirstLimited を全て内蔵しています。 > AllLimited 21 の中に、FirstLimited 27 は含まれるので AllLimited 21 が内蔵しているもののうち、FirstLimited 27 を取り出せる、ということです。 >>307 基本的なことなんだけど、質問したい。 一般に、DivList(x) の長さを|DivList(x)|で表記することにする。 たとえば、DivList(7) = [1, 1, 2, 3, 4] は長さ5なので |DivList(7)|=5 ということになる。さて、DivList(x) に1回のスター変換を施したものを DivList(y) とする。このとき、論文内で言及されているように、 |DivList(y)|=|DivList(x)|+λ (ただしλ= 0 or 1 ) が成り立つ。 すると、DivList(27) に拡張スター変換 > 108t+27 CF[4,1,-2] y=8x/9-3 96t+21 を使って DivList(21) を出力した場合だと、C,Fの2回しか変換してないので、 |DivList(21)|=|DivList(27)|+λ (ただしλ= 0 or 1 or 2 ) …(*) が成り立つはず。しかし、DivList(21) = [6] なので |DivList(21)|=1 であり、 一方で DivList(27) は長大な列なので|DivList(27)|はデカイ値であり、 (*)が成り立たない。 どういうこと? >>309 このときの DivList(21) は、DivList(27) に CF[4,1,-2] を施して、 DivList(21) = [4, 1, -2長いの......](これも割数列です) となり、 |DivList(21)|=|DivList(27)|+λ (ただしλ= 0 or 1 or 2 ) …(*) は成り立たちます。 拡張star変換を導入した時点で、コラッツ値に対する割数列の一意性は崩れます。 >>310 > DivList(21) = [4, 1, -2長いの......](これも割数列です) DivList(x)=[a_1,a_2,…] の各 a_i は「2でa_i回割り算する」という 意味だったはず。すると、 DivList(21) = [4, 1, -2長いの......] の場合、-2 が出てきた時点で「4を掛け算する」という意味になってしまう。 そういう解釈でいいってこと? >>312 じゃあ、 DivList(21) = [4, 1, -2長いの......] を実際に展開してみると、 21 → (21 * 3+1) / 4 = 16 → 8 → 32 → (…) → 27 になるってこと?21から出発してるのに、27 に化けるってこと? いや、こうか。 21 → (21 * 3+1) / 4 = 16 → (16 * 3+1) / 2 = 49/2 → (3 * (49/2)+1) * 4 = 298 → (…) → 27 もはや途中で分数が出現してるんだけど、それでいいの? >>314 こうなります。 27[1,2,1,1,1,1,2,...] CF[4,1,-2] 21[4,1,-1,2,1,1,1,1,2,...] 27 を一回コラッツ計算した値は 41。 21 を一回コラッツ計算した値は 4。 21 を二回コラッツ計算した値は 13/2。 21 を三回コラッツ計算した値は 41。一致する。 >>315 つまり、 27 → … → 41 21 → … → 41 となって、同じ41に合流するわけか。 となれば、 ・ x から始まるコラッツ変換だと 1 に到達する。 ・ y から始まるコラッツ変換は、途中で z を経由し、しかも最終的には別のループに到達する。 ・ x から出発して分数を経由しながら>>315 の要領で変換して z にできる。 もしこのような x, y, z が存在するなら、x からも y からも z に合流し、 そして z の先には 1 以外の別のループがあることになる。つまり、 ・ もともとの DivList(x) は有限長だが、DivList(y) から 拡張スター変換を行って DivList(x) にした場合は、 その DivList(x) は無限長である という状況になる。割数列の一意性は既に崩れているのだから、 このような状況になっても、おかしいところはない。 あなたのロジックは破綻しているのでは? そもそもこんなスレに居るやつが証明できるのか?というメタな話 >>317 コラッツが成り立っていない世界の記述ですよね。 コラッツが成り立っていない世界については、そういう事も起こると思います。 特段、自身の証明に打撃は無いと思います。 >>318 いや、論文として通ってるんだよ。 ttps://www.scirp.org/journal/paperinformation.aspx?paperid=115471 ちなみに、「リーマン予想を証明した」と 主張しているように見える論文が過去に何度も通ってたりする。 ttps://www.scirp.org/journal/articles.aspx?searchcode=proof+of+riemann&searchfield=All&page=1&skid=0 >>319 >コラッツが成り立っていない世界については、そういう事も起こると思います。 つまり、こういうことね? ・ コラッツ予想が成り立ってる世界では、あなたのロジックは破綻しない。 ・ コラッツ予想が成り立ってない世界では、あなたのロジックは破綻する。 だったら、あなたのロジックが破綻してないことを示すには、まず最初に 「この世界はコラッツ予想が成り立っている世界である」 ことを先回りして証明しておかなければならない。 で、その証明はどこにあるの? >>322 破綻するとまでは言っていません。 >>317 を要約すると 「コラッツ予想が偽であれば、割数列の片方が有限長で、もう一方が無限長であるようなコラッツ値が存在する」 であって、この命題が自身の証明に影響を与えるとは思えません。 >>323 あなたのロジックのどこが破綻しているのかを、具体的に指摘してみる。 まず、割数列の一意性は既に崩れているので、DivList(x) は、 一般的には複数の表現を持ち得る。その具体例は DivList(21) = [6], [4,1,-1,2,1,1,1,1,2,...] というもの。 つまり、DivList(21) を表現する列は [6] だけではなく、 [4,1,-1,2,1,1,1,1,2,...] という列もまた、 DivList(21) を表現する列になっている。 実際には、もっとたくさんの表現を持つだろう。 無限通りの表現を持つ可能性だってある。 そして、割数列の表現が一意的でない以上、 「 DlivList(x) は有限長である 」 という文章は、 「 DivList(x) を表現する "任意の列" が有限長である 」 という意味になる。しかし、あなたが定義した AllLimited x では、 そのような任意の列が有限長であることを証明しているようには見えない。 たまたま出くわした一部の表現が有限長であることを 確認しているだけではないのか? たとえば DivList(9) の場合だと、帰納法の初期の段階では、 DivList(9) を表現する列はせいぜい2〜3種類が限度だろうから、 その時点での AllLimited 9 は、それら2〜3種類の表現に対して 「有限長である」を確認すれば終わってしまうことになる。 しかし、帰納法が進めば進むほど、拡張スター変換によって DivList(9) に 到達しやすくなるので、DivList(9) を表現する列のレパートリーが増えていく。 そのような無数の列が全て有限長であることを、 本来なら帰納法の初期の段階で AllLimited 9 によって 先回りして完全に証明してなければならないのだが、 そんな証明が成されているようには見えない。 結局、この論文の中で実際に証明されていることは、 「 DivList(x) を表現する複数の列のうち、少なくとも1つの列は有限長である」 ということにすぎないのでは?これなら、証明が通ってもおかしくない。 しかし、それが証明できたところで、コラッツ予想が証明できたことには なってない。 >>327 https://github.com/righ1113/collatzProof_DivSeq/wiki/img/collatz230820.JPG >>298 も見てほしいのですが、 AllLimited x の先頭要素(first)には、拡張star変換を使っていない一番単純な「完全割数列」というものを配置しています。 この「完全割数列」が有限長であることを FirstLimited x で表現します。 FirstLimited x が真であることは、純粋な「完全割数列」が有限長であることを示すので、コラッツ予想も真になります。 >>328 その>>298 によれば、 > AllLimited x は x の完全割数列に加えて拡張完全割数列全ても有限長であるという述語です。 と書かれているが、一方であなたは > AllLimited は、上の数が欲しい FirstLimited を全て内蔵しています。 とも主張していた。結局、AllLimited には何が内蔵されているのか? ここでは AllLimited 3 について質問したい。 この中に内蔵されている FirstLimited x 及び拡張完全割数列を、 全て列挙してみてください。 追記。 x=27 にスター変換Fを適用してみる。この x は 9 の倍数かつ奇数だから、 x に Fを適用することは可能である。変換後は y=8x/3−3=69 になる。 そして、両者の純粋な DivList は次のようになる。 DivList(x) = [1,2,1,1,1,1,2,2,…] DivList(y) = [4,3,4] 一方で、変換Fにより [a_1, a_2, a_3...] → [5, a_1 - 2, a_2, a_3...] となるらしいので、この場合の DivList(y) は DivList(y) = [5,-1,2,1,1,1,1,2,2,…] になる。つまり、スター変換を1回しか使ってないのに、この時点で既に DivList(y) = [4,3,4], [5,-1,2,1,1,1,1,2,2,…] という2種類の表現が得られてしまう。意味が分からない。 ・ 変換Fは、x を y=8x/3−3 に変換するだけであり、 x,y それぞれに対する割数列は、常に純粋な割数列が使われる という立場なのであれば、そもそも [a_1, a_2, a_3...] → [5, a_1 - 2, a_2, a_3...] という変換は成り立たない。逆に、 ・ 変換Fは、純粋な DivList(x) を [a_1, a_2, a_3...] と表すときに、 [5, a_1 - 2, a_2, a_3...] という別の数列を割り当てる変換である という立場なのであれば、変換後の [5, a_1 - 2, a_2, a_3...] が、 どんな初期値 z に対する純粋な割数列であるのか不明になる。 論文の中では y=8x/3−3 と置いていて、あたかも この y に対する 純粋な割数列が [5, a_1 - 2, a_2, a_3...] であるかのように 書かれているが、>>332 に書いたように、そんなことは成り立たない。 つまり、x から y=8x/3−3 への変換と、 [a_1,a_2,a_3,…] から [5, a_1 - 2, a_2, a_3...] への変換は、 x,yに対する「純粋な割数列」の観点からは全く整合性がないので、 両者を並列して表記しても、何の意味があるのか分からない。 >>331 AllLimited 3 です。 AllLimited 3 = [ [1, 4], コラッツ値3と完全割数列 [2, -4] `dsp` [3,2,3,4], コラッツ値45 [3, 0, -4] `dsp` [2,3,1,1,5,4], コラッツ値81 [4, -4] `dsp` [1,1,1,5,4], コラッツ値15 [1, -2] `dsp` [6], コラッツ値21 [3, -1, -2] `dsp` [1,1,2,1,4,1,3,1,2,3,4] ] コラッツ値39 からお呼ばれする `dsp` は拡張star変換を接続する関数です。 >>332-334 star変換の時点では、割数列の要素が 0 や負になるものは禁止です。 27[1,2,1,1,1,1,2,2,…] に、F[5,-2] で変換することは禁止です。 この場合 27 を y=8x/3-3 で 69 に変えられますが、これに意味はありません。 >>336 意味が分からない。変換Fが適用できる x の条件は ・ x は3の倍数かつ奇数かつ x≡0 (mod 9) だったはず。論文の中にはそのように明記されている。 x=27 はこの条件を満たすのだから、27 に対して Fを適用することは可能のはず。 しかも、「27 は 14パターンのうちの No.6 です」と あなたは発言している。具体的には > 108t+27 CF[4,1,-2] y=8x/9-3 96t+21 これである。t=0 とすれば x=27 の場合に相当し、 ・ 27 に変換 F を適用したあと変換 C を適用すると 21 になる という意味になる。実際、27にF,Cの順番で適用すれば、確かに21になる。 しかし、あなたによれば、27 に F を適用するのは禁止だと言う。 だったら、27 にCFを適用することもできない。 なんたって、まず 27 に F を適用できないのだから。 どういうこと? ちょっと話が前後するが、変換Fの謎が解けた。 定義:x は整数で、[a_1,a_2,a_3,…] は整数の有限列または無限列とする。もし ・ x_0=x, x_{i+1}=(3x_i+1)/2^{a_i} で定義される x_i について、 ある n≧1 に対して x_n=1 が成り立つ(途中の x_i が分数になっていても構わない) が成り立つならば、ペア(x, [a_1,a_2,a_3,…])は 整合的であると呼ぶことにする。 具体例:x から決まる純粋な割数列 DivList(x) が有限長のとき、 ペア (x, DivList(x)) は自明に整合的である。 定理:xは奇数かつ3の倍数かつ x≡0 (mod 9) とする。 さらに、(x, [a_1,a_2,a_3,…]) は整合的とする。 このとき、(8x/3−3, [5, a_1 - 2, a_2,…]) は整合的である。 ↑この定理が成り立つからこそ、変換Fでは 8x/3−3 と [5, a_1 - 2, a_2,…,a_n] を 並列して書いてたんだな。他の変換でも同じ定理が成り立つんだろう。 そうなると、やっぱり問題となるのはコレだな。 ・ (x,[a_1,a_2,…])が整合的のとき、F変換後の (8x/3−3, [5, a_1 - 2, a_2,…]) もまた整合的になるのは それでいいとして、だからと言って、8x/3−3 からコラッツ変換を 繰り返していくと 1 に到達すると言えるのか? つまり、純粋な割数列 DivList(8x/3−3) は有限長だと言えるのかってこと。 [5, a_1 - 2, a_2,…] と純粋な DivList(8x/3−3) は無関係なので、 (8x/3−3, [5, a_1 - 2, a_2,…]) が整合的であっても、 純粋な DivList(8x/3−3) が有限長かどうかは何も分からないはず。 >>337-338 論文には「If the original first term is negative, G[+6] is performed in advance.」 と書いてはいますが、明記はしてなかったです。すみません。 拡張star変換の時は、割数列の要素が 0 や負になるものを許可します。 で、話を戻す。 >>335 dsp の意味が不明瞭。たとえば、 > [2,-4] dsp [3,2,3,4], コラッツ値45 は ・ 純粋な割数列 DivList(45)=[3,2,3,4] に E[2,-4] を適用した後の 値 y と数列 [b_1,b_2,…] については、有限長の列になっている という意味でいいのか?この場合、>>335 には全部で5個の 拡張割数列しか書かれていない。なぜ? AllLimited x は、 「 x に対して拡張スター変換を行ったときの全ての拡張完全割数列も有限長」 という意味を内包していたはず。 なぜ AllLimited 3 には5個しか書かれてないのか? 拡張スター変換はA,B,C,D,E,F,Gを何度も適用できる(特にGは無制限)のだから、 x から出発して無限通りの拡張スター変換を試すことで、 奇数かつ3の倍数になる y をいくらでも生成できるはず。 すると、対応する拡張完全割数列も無限に出てくるはず。 なぜ AllLimited 3 では5個しか書かれてないのか? あと、AllLimited x には > AllLimited は、上の数が欲しい FirstLimited を全て内蔵しています。 という意味も含まれているとあなたは発言している。 しかし、AllLimited 3 には、FirstLimited については ・ FirstLimited 3 しか内蔵されてないように見える。これはどういうこと? ・AllLimited 3 に内蔵される FirstLimited は、FirstLimited 3 のみである という認識で合ってる? >>344 [2, -4] `dsp` [3,2,3,4] は [2,-1,2,3,4] という拡張完全割数列になるという意味です。 >>345 証明では一回の拡張star変換を使うだけで、すべての 3の倍数の奇数 をまかなえます。(>>273 の chapter06 の表参照)なので AllLimited 3 は、 FirstLimited 45 FirstLimited 81 FirstLimited 15 FirstLimited 21 FirstLimited 39 を証明する時しか使わないので、AllLimited 3 では 5個 内蔵しています。 >>346 まず「FirstLimited 3」は内蔵しています。 そして、「FirstLimited」という形ではないですけど、AllLimited 3 では 5個 内蔵しています。 「[2, -4] `dsp` [3,2,3,4]」が有限長と分かっているから、「FirstLimited 45」も成り立つ、としています。 >>347 >「[2, -4] `dsp` [3,2,3,4]」が有限長と分かっているから、 >「FirstLimited 45」も成り立つ、としています。 意味が分からない。45 に対する純粋な割数列がそもそも [3,2,3,4] であり、 この時点で既に有限長であるから、[2,-4]とのdspを考えるまでもなく、 FirstLimited 45 が導出できている。つまり、 ・ [3,2,3,4], コラッツ値45 と書いた時点で既に FirstLimited 45 が導出できているのであって、 [2, -4]とのdspは FirstLimited 45 を導出するのに何の役にも立ってない。 別の言い方をすると、AllLimited 3 の中で一体どうやって [3,2,3,4] という数列を算出したのかということ。 まさか、初期値 45 から出発してコラッツ操作を直接計算することで [3,2,3,4] を出力したのか?もしそうなら、 「45からコラッツ操作で1に到達できることを先に確認して、 そのあとで [2,-4] との dsp を考えている(当然ながら、その結果は有限長)」 という順番になるので、推論の向きが逆。つまり、あなたは 「dspを施した後の列が有限長だから、45 の純粋な割数列も有限長」 を示したのでなくて、 「そもそも45の純粋な割数列が有限長だから、dspを施した後も有限長」 としか言ってないことになる。 なので、俺からの質問としては、次のようになる。 ・ コラッツ値45に対して出力されている [3,2,3,4] は、 AllLimited 3 の中で一体どのようなアルゴリズムによって 出力されているのか?まさか、コラッツ操作を直接計算してるわけじゃないよね? 私がディオファントス的立場から考えるに x.y.z.4の4が出てる時点で手動でしかないと思う 自己共役から洗い出すと最後が4になるのが奇数であることを示していて、あとは素数判別式で無理やり示すことは可能かと考えられるが、14パターンの変換式では直観的に網羅されてないはず(グラフ理論の観点から) ちなみにグラフ理論では4パターン 整数→素因数分解にて半手動でair値取得 >>351 ・べた書き AllLimited 3 は、分かりやすさのため、[3,2,3,4]等ソースコードにべた書きしています。 ・一般はこうやってます 一般化されたコードである >>307 を見ると、([2, -4] `dsp` divSeq (12*x+7),)等書いているのですが、 「divSeq (12*x+7)」が有限長かは分からないので、以下の方法を使っています。 (divseq は完全割数列を出力する関数ですが、定理証明においてこれが実際に動いている訳ではないです。) ・firstToAll 証明方針を再掲します。 > FirstLimited x を証明したいとします。 > 帰納法の仮定より、x>q である FirstLimited q は言えます。 > 次に<関数 firstToAll> を使って FirstLimited q を AllLimited q に変えます。 > AllLimited q の中に、FirstLimited x(の素) は含まれるので(そうなるように AllLimited q を作ってあります)、 > それを取り出して証明完了です。 <関数 firstToAll>がここでのポイントです。 有限長であるFirstLimited q を入力とし、firstToAll をくぐり抜けて得られた AllLimited q は、 中身の全ての割数列の有限性を保証されています。(そういう firstToAll の作用です) 「dspを施した後の列が(firstToAllの作用により)有限長だから、45 の純粋な割数列も有限長」となっています。 このような計算方法になっています。 尚、firstToAll の存在は自明ではないので、firstToAll の正当性を定理証明したのが、>>263 の ”divseq2” となっております。 すいません、再投稿します。 話題がプログラムの中身に移ってきたので、こちらのソースコードもご参照ください。 ・旧版 Idris(firstToAllに不備があります) https://github.com/righ1113/collatzProof_DivSeq/tree/master/program3 ・新版 Lean 4(スレの説明と一部関数名が変わっております) https://github.com/righ1113/divseq2 >>354 いま問題にしているのは、 ・ いかにして FirstLimited 45 が証明されていのか? ということ。あなたは今回、 ・ FirstLimited 3 から firstToAll を適用したタイミングで FirstLimited 45 が証明されている としか答えていない。firstToAll の中で具体的に何を行うことで FirstLimited 45 に到達しているのか、その部分だけを抽出して、 紙の上で手書きで再現する形で提示してください。 プログラム丸投げじゃなくてね。 BaseCase である FirstLimited 3 については、 直接計算によって有限性が証明できる。 実際、3 に対する純粋な割数列は DivList(3)=[1,4] と直接計算できて、これは有限長である。これに対して firstToAll を適用すると、あなたの主張によれば ・ FirstLimited 45,81,15,21,39 が導出される ということになる。 では、firstToAll の中で、具体的には何をしているのか? せっかく拡張スター変換を導入したのだから、 例えば「39」の場合だと、「3」が「39」に変換されるような 拡張スター変換を使っているのではないか?つまり、 DivList(3)=[1,4] に対して拡張スター変換を適用して、 DivList(39)=[b_1,b_2,…,b_k] (何らかの有限長の割数列) という割数列に変換するのではないか? そして、これが有限長であることを理由に、 ・ 純粋な DivList(39) もまた有限長である と推論しているのではないか? もしそうなら、この推論が正しいとは思えない。 なぜなら、拡張スター変換後の ・ DivList(39)=[b_1,b_2,…,b_k] (何らかの有限長の割数列) は割数列の一意性が崩れているので、ここでの [b_1,b_2,…,b_k] は、 39 に対する純粋な割数列とは全くの別物だからだ。 これが有限長だからと言って、39 に対する純粋な割数列までもが 有限長であるとは推論できないはず。 上記の [b_1,b_2,…,b_k] が、39 の純粋な割数列と 「無関係」であることは、次のような事実からも容易に推察できる。 まず、39 の純粋な割数列は DivList(39)=[1,1,2,1,4,1,3,1,2,3,4] (長さ11) である。長さが11もあるのだ。 一方で、BaseCase である DivList(3)=[4,1] は、長さが2しかない。 これに拡張スター変換を1,2回適用したくらいでは、 長さがせいぜい+4程度にしかならない。つまり、拡張スター変換後の ・ DivList(39)=[b_1,b_2,…,b_k] は、長さがせいぜい6程度にしかならない。 長さが11の本物の割数列とは全くの別者である。 両者の間に関係があるとは思えない。 >>357 FirstLimited と AllLimited の定義(Lean 4 版)を一部示します。 inductive AllLimited : Nat → Prop where | is : (l : Nat) → (AllLimited l) → (AllLimited succ (succ (succ (succ ((succ (l * 2 * 2)) * 3))))) -- 02★2 → (AllLimited succ (succ (l*3))) -- 09 → (AllLimited succ (succ (succ (l * 2 * 3)))) -- 11 → (AllLimited 18*l+13) -- 03'★4 → (AllLimited 9*l+6) -- 12' ...... inductive FirstLimited : Nat → Prop where | is02 : (l : Nat) → (AllLimited l)★1 → (FirstLimited succ (succ (succ (succ ((succ (l * 2 * 2)) * 3))))) | is03 : (m : Nat) → (AllLimited 2*m)★3 → (FirstLimited (m * 36 + 13)) ...... >>363 ・おわび (AllLimited z) というだけで、内蔵する割数列の有限性は保証されます。 なので、firstToAll が (AllLimited z)型を返すというだけで、内蔵する割数列の有限性は保証されます。 ・firstToAll:前文 firstToAll の型(説明のようなもの)は以下のようになっています。 firstToAll : (z : Nat) -> FirstLimited z -> AllLimited z これは、「全ての z に対して、FirstLimited z なら、AllLimited z である」ということを表す関数です。 「z と FirstLimited z を引数に取って、AllLimited z を返す関数」とも言えます。 ・「02」の場合 p=(FirstLimited z) として、場合分けをおこないます。 match p with | FirstLimited.is02 _ p2 => match p2 with | AllLimited.is _ _ p3 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ => p3 「02」というのが例の 14パターン の場合分けです。 02 の場合分けに入った時点で、求める答えは、(AllLimited z) ではなく (AllLimited succ (succ (succ (succ ((succ (l * 2 * 2)) * 3))))) に変化します。 「p2」には★1が入ります。その p2 でさらに場合分けをおこないます。 「p3」には★2が来て、計算をおこなうのですが、★1の「l」が★2の「l」に代入されて、そのまま (AllLimited succ (succ (succ (succ ((succ (l * 2 * 2)) * 3))))) が出力されます。これが求めている答えになります。 >>364 ・「03」の場合 match p with | FirstLimited.is03 m p2 => match p2 with | AllLimited.is _ _ _ _ _ p3 _ _ _ _ _ _ _ _ => have p4 := Eq.subst (h₀₃ m) p3; p4 03 の場合分けに入った時点で、求める答えは、(AllLimited z) ではなく (AllLimited (m * 36 + 13)) に変化します。 「p2」には★3が入ります。その p2 でさらに場合分けをおこないます。 「p3」には★4が来て、計算をおこなうのですが、★3の「2*m」が★4の「l」に代入されて (AllLimited (m * 36 + 13)) が出力されます。これが求めている答えになります。have 以降は気にしないでください。 残りのパターンも同様におこないます。あくまで例の 14パターン が主軸です。 これが定理証明における firstToAll の説明です。 これで作られた firstToAll に (FirstLimited 3) を渡すと、(AllLimited 3) が返ってきます。 > AllLimited 3 = [ > [1, 4], コラッツ値3と完全割数列 > [2, -4] `dsp` [3,2,3,4], コラッツ値45 > .....] の中身が有限長だと分かったので、コラッツ値45 も有限長、FirstLimited 45 が得られます。 >>364 >(AllLimited z) というだけで、内蔵する割数列の有限性は保証されます。 意味が分からない。額面通り 「 AllLimited z と書くだけで内蔵されている割数列の有限性が保証される」 のであれば、何の推論も適用せず、いきなり AllLimited 3 とか AllLimited 9 とかを書くだけで終わってしまう。 極端なことを言えば、何の工夫もせずに AllLimited 3, AllLimited 9, AllLimited 15, AllLimited 21, AllLimited 27, … と順番に書いていくだけでいい。 この方針のもとでは、 ∀n∈N s.t. AllLimited 3(2n+1) という命題を簡単に証明できる。実際、命題 P(n) を P(n): AllLimited 3(2n+1) と書いた上で、 ・ BaseCase の P(1)では、何も考えずに いきなり AllLimited 3 を書けばいい ・ P(n) が真という仮定のもとでは、何も考えずに いきなり AllLimited 3(2(n+1)+1) を書けばいい という論証を行えば、それだけで ∀n∈N s.t. AllLimited 3(2n+1) という命題が証明できてしまう。 そのような行為をせずに、FirstLimited 3 から出発して 場合分けだの何だの推論を繰り返しているということは、 無条件で AllLimited z と書いただけでは 有限性が保証されないということだろう? つまり、AllLimited z を呼び出すには、 その前にクリアしなければならない 何らかの「前提X」があるんだろう? 今回の目標は AllLimited 3 を呼び出すことなのだから、 これを呼び出すための前提Xを、先にクリアしておかなければ ならないんだろう? そのXとは具体的には何? >「02」というのが例の 14パターン の場合分けです。 >02 の場合分けに入った時点で、求める答えは、(AllLimited z) ではなく >(AllLimited succ (succ (succ (succ ((succ (l * 2 * 2)) * 3))))) に変化します。 >「p2」には★1が入ります。その p2 でさらに場合分けをおこないます。 これも意味不明。例の14パターンの場合分けとは、 DivList(x) = (何らかの有限長の割数列) という表現に対して何らかの拡張スター変換を施して DivList(y) = (別の有限長の割数列) を導出する操作のことを指している。14パターンのうち どの操作が適用できるかは、x の値に応じて異なる。 今回の場合は BaseCase についての話であり、明示的に得られている 「 DivList(x) = (何らかの有限長の割数列) 」は DivList(3)=[1,4] のみである。従って、14パターンのうち、せいぜい2〜3通りの パターンしか該当するパターンは存在しないはずである。 そのような2〜3通りのパターンに対して変換を施して DivList(y) = (別の有限長の割数列) を導出できたとして、あなたはこれが有限長であることを根拠にして、 AllLimited y や FirstLimited y が真になることが理論的に 保証されると勘違いしているように見受けられる。 もしそうなら、それは間違っている。実際、拡張スター変換を 施した時点で割数列の一意性が崩れているので、 DivList(y) = (別の有限長の割数列) という表現が有限長であったとしても、y に対する 純粋な割数列までもが有限長であるとは言えないからだ。 >03 の場合分けに入った時点で、求める答えは、(AllLimited z) ではなく (AllLimited (m * 36 + 13)) に変化します。 >「p2」には★3が入ります。その p2 でさらに場合分けをおこないます。 >「p3」には★4が来て、計算をおこなうのですが、★3の「2*m」が★4の「l」に代入されて > (AllLimited (m * 36 + 13)) >が出力されます。これが求めている答えになります。have 以降は気にしないでください。 これもまた意味不明。あなたの説明を額面通りに受け取ると、 ・ AllLimited 3 を呼び出すのが目標なのだが、場合分けをしてみると、 実際には AllLimited (別の値) を呼び出すことに帰着される ということになる。つまり、問題を先送りというか、 別の AllLimited z に責任転嫁しているだけである。 それならそれで別に構わないのだが、だったら結局のところ、 責任転嫁した先にある AllLimited (別の値) を「呼び出していい」 という根拠は一体どこにあるの?どうも君は、 「有限長の割数列に対して拡張スター変換を施したら、 その先にある割数列は全て有限長。ゆえに、AllLimited (別の値) は この時点で既に呼び出していい」 と勘違いしているように見えるのだが。 何度も言うが、今は BaseCase から出発しているのである。 純粋な割数列が有限長だと判明しているのは x=3 だけであり、 DivList(3)=[1,4] という表現のみが得られている。ここから出発して、 例の14パターンの場合分けを通過しても、 DivList(y) = (別の有限長の割数列) という表現がいくつか得られるだけである。 これらの表現は確かに有限長である。しかし、割数列の一意性が崩れている。 従って、y に対する純粋な割数列までもが有限長であるとは結論できない。 つまり、DivList(3)=[1,4] から出発して例の14パターンを通過しても、 FirstLimited 45 とか FirstLimited 39 とかは原理的に証明できっこない。 やはり、あなたのロジックは破綻しているのでは? >>368 特に前提X はありませんが、(AllLimited 3)等と直接書くことはできないです。プログラムの制約で。 その上で、証明手順といえば以前に書いたものと変わらず ----- > 6t+3 を 14パターン に分けます。 > FirstLimited (パターンx) を証明したいとします。 > 帰納法の仮定より、x>q である FirstLimited q は言えます。 > 次に<関数 firstToAll> を使って FirstLimited q を AllLimited q に変えます。 > AllLimited q の中に、FirstLimited x(の素) は含まれるので(そうなるように AllLimited q を作ってあります)、 > それを取り出して証明完了です。 ----- としか言えないです。ちなみに、定理証明プログラムのチェックはパスしています。 >>369-372 すみません、<関数 firstToAll>の中身については、噛み合ってなくて議論ができないです。 自分にプログラムを説明する能力がなくてすみません。 >>374 質問の仕方を変えます。いま目標にしているのは、 ・ FirstLimited 3 から出発して AllLimited 3 に到達すること である。そして、あなたの解説によれば、 ・ AllLimited 3 のかわりに、別の AllLimited z に到達することに帰着される ということになる。では、具体的にどのような AllLimited z に帰着されるのか、 そのような z を全て列挙して下さい。 ちなみに、>>356 のソースコードを見ても firstToAll という関数名が見当たらないんだが、どこにあります? >>376 divseq2 のコードでは、Main.lean の 「singleToExts」という名前になっています。 一応、これにも返答しておく。 >>373 >ちなみに、定理証明プログラムのチェックはパスしています。 拡張スター変換に対する理論的な性質を前提とした上での話でしょ? つまり、一番肝心なところはプログラム内でも「公理」としてスルーしてるんでしょ? そこの理論が間違ってたら、プログラムのチェックが通ってても意味がない。 本当に定理証明プログラムを名乗るなら、 コラッツ予想そのものを意味するプログラムを 厳密に書かなければ意味がない。 >>375 > ・ AllLimited 3 のかわりに、別の AllLimited z に到達することに帰着される その解釈がもう噛み合ってないのですみません。 力不足で申し訳ありません。 >>379 解釈が合ってないも何も、あなた自身が >02 の場合分けに入った時点で、求める答えは、(AllLimited z) ではなく >(AllLimited succ (succ (succ (succ ((succ (l * 2 * 2)) * 3))))) に変化します。 と説明したのだが? >>381 ごもっともですって・・・なんだそりゃ。 なぜコラッツ予想そのものを意味するプログラムを厳密に書かないんだ? >>382 自分は割数列を使ったコラッツ予想の証明しか思いつかないからです。 >>383 だから、そこまで含めて全ての言明をプログラムで書かない理由は? 「どうやってプログラムに翻訳したらいいか分からない箇所があるので、 そこは公理にしてお茶を濁している」ということ? >>384 いや、95%は定理証明に成功していて、残りは公理としています。 >>385 答えになってないですね。 残り 5% の公理も、人間が見ればほぼ自明と分かるようなものです。 >>386 人間が見て自明と分かるから、 「わざわざプログラムに翻訳せずに、言わば "手抜き" をして公理で済ませている」 ということ?やろうと思えば、その部分もプログラムに翻訳できるってこと? >>387 いや、技術的な理由で、絶対に定理証明できない部分です。 >>388 具体的にどのような公理を設定しているのか、ここに書けますか? >>389 ・旧型のほうは、公理はありません。しかし証明の一部を devseq2 に依存しています。 ・devseq2 Divseq2.lean FirstLimited 3, 9(これを公理にしないといけない技術的理由がある) Main.lean axiom h₀₅ (m : Nat) : (9 * (8 * m + 7) + 11) / 2 = succ (succ (succ (succ ((succ ((succ ((succ (succ (m * 3))) * 2)) * 2)) * 3)))) axiom h₀₆ (l : Nat) : (16 * l + 3) + (16 * l + 3 - 3) / 8 + 1 = succ (succ (succ (succ (l * 3 * 2 * 3)))) axiom h₀₇ (l : Nat) : 8 * l + 4 + (8 * l + 4 - 4) / 4 * 5 + 6 = succ (succ (succ (succ (((succ (l * 3)) * 2) * 3)))) axiom h₀₈ (l : Nat) : 4 * (4 * l + 3) + (4 * l + 3 - 3) / 2 + 4 = succ (succ (succ (succ (((succ (succ (l * 3))) * 2) * 3)))) axiom h₁₃ (l : Nat) : (9 * (4 * l + 1) + 15) / 2 = succ (succ (succ ((succ ((succ (l * 3)) * 2)) * 3))) axiom h₁₄ (l : Nat) : (9 * (8 * l + 7) + 9) / 4 = succ (succ (succ ((succ ((succ (succ (l * 3))) * 2)) * 3))) どれも簡単な計算で、真と分かる。succ は +1 する関数 >>390 左辺の四則演算を suc と * の組み合わせで言い換えただけだよね。 で、技術的な理由により、その言い換えは「公理」として設定しなければならないと。 だったら、その公理のもとで、 コラッツ予想そのものをプログラムで翻訳することは可能なのでは?つまり、 「任意の正整数nに対して、nに有限回のコラッツ操作を施すと1になる」 を直接的に意味するようなプログラムを書くことは普通に可能なのでは? >>391 いや〜難しいですねー 残りの定理証明の部分もどっぷり割数列につかっていますし。 >>392 「やろうと思えば原理的にはできる」なのか、 それとも「原理的に不可能」なのか、どっちですか? >>393 原理的に不可能だと思います。 やるなら一からコラッツ予想そのものを定理証明したほうが良いです。 >>394 原理的に不可能なら、余計に説得力がないことになっちゃうが。 せっかく定理証明支援系使ってるのに、 肝心なところは翻訳不可能って、なんだそりゃ。 とりあえず、divseq2 の singleToExts (つまりfirstToAll)について質問したい。 ・ まずは singleToExts 3 を実行する。 ・ すると、内部で p = SingleLimited 3 と置かれて、 p に対するパターンマッチングが順次行われる。 ・ マッチング先として用意されているパターンは SingleLimited.is02 〜 SingleLimited.is14 の13通りである (それぞれの内部でさらに小さな場合分けは存在するが)。 そこで質問。p = SingleLimited 3 とのマッチングに成功する ・ SingleLimited.is** は、is02〜is14 のうちどれですか? よく見たら、まず SingleLimited の時点で 定義がゴリゴリしてるな。SingleLimited の定義は inductive SingleLimited : Nat → Prop where | is02 : (l : Nat) → (ExtsLimited <| l) → (SingleLimited <| succ (succ (succ (succ ((succ (l * 2 * 2)) * 3))))) と続いていきますが、このように定義された SingleLimited について、 ・ SingleLimited 3 と書いたとき、これは内部的には何を表現しているのですか? Nat → Prop と書いてあるので、「SingleLimited 3」それ自体は 何らかの Prop を表現しているのですか? だとすると、それは具体的にはどのような Prop ですか? >>396 ・プログラムのコラッツ値は 6t+3 の t を渡す仕様になっています。 3 のときは 0 を渡すことになります。 divseq2 の Divseq2.lean です。SingleLimited→FirstLimited、ExtsLimited→AllLimited です。 ----- inductive SingleLimited : Nat → Prop where | is02 : (l : Nat) → (ExtsLimited <| l) → (SingleLimited <| succ (succ (succ (succ ((succ (l * 2 * 2)) * 3))))) | is03 : (m : Nat) → (ExtsLimited <| 2*m) → (SingleLimited <| succ (succ (succ (succ ((succ ((succ (m * 3 * 2)) * 2)) * 3))))) | is04 : (m : Nat) → (ExtsLimited <| 4*m+1) → (SingleLimited <| succ (succ (succ (succ (succ (succ (succ (m * 3) * 2) * 2) * 3))))) | is05 : (m : Nat) → (ExtsLimited <| 8*m+7) → (SingleLimited <| succ (succ (succ (succ (succ (succ (succ (succ (m * 3)) * 2) * 2) * 3))))) | is06 : (l : Nat) → (ExtsLimited <| 16*l+3) → (SingleLimited <| succ (succ (succ (succ (l * 3 * 2 * 3))))) | is07 : (l : Nat) → (ExtsLimited <| 8*l+4) → (SingleLimited <| succ (succ (succ (succ (((succ (l * 3)) * 2) * 3))))) | is08 : (l : Nat) → (ExtsLimited <| 4*l+3) → (SingleLimited <| succ (succ (succ (succ (((succ (succ (l * 3))) * 2) * 3))))) | is09 : (j : Nat) → (ExtsLimited <| j) → (SingleLimited <| succ (succ (j*3))) | is11 : (k : Nat) → (ExtsLimited <| k) → (SingleLimited <| succ (succ (succ (k * 2 * 3)))) | is12 : (l : Nat) → (ExtsLimited <| 2*l) → (SingleLimited <| succ (succ (succ ((succ (l * 3 * 2)) * 3)))) ...... ----- SingleLimited の定義のこの中に SingleLimited 3(0) は無いので、 is02~is14 どれにもマッチしません。 しかし singleToExts に SingleLimited 3(0) を渡したら ExtsLimited 3(0) が返ります(プログラムで確認済) >>397 「3グループの先頭要素の割数列が有限長」という意味ですが、これ自体はコード化していません。 >>398 >・プログラムのコラッツ値は 6t+3 の t を渡す仕様になっています。 > 3 のときは 0 を渡すことになります。 つまり、FirstLimited 3 に対応する プログラム内の記述は SingleLimited 0 ということですか? また、「 FirstLimited 3 に firstToAll を適用する」ことは ・ singleToExts 0 を実行する ことと同じですか? >>400 はい、そうです。 ・ singleToExts 0 (SingleLimited 0) を実行する です。 ちょっと違いました。 ・singleToExts (zero) is10 を実行する でした。is10 は定義されています。 >>401 ちょっと話が横道に逸れるけど、質問したい。 > singleToExts 0 (SingleLimited 0) を実行する singleToExts は2変数関数ということですか? 今回の場合だと、「0」「SingleLimited 0」という 2つの値を渡して実行するということですか? singleToExts の目的を考えると、そこに渡す変数は常に 「 x 」「 SingleLimited x 」 でしかないように見えるので、第一変数 x を指定した時点で、 第二変数は必要なくて、singleToExts の内部で 勝手に SingleLimited x を1つ生成すれば、 singleToExts それ自体は1変数関数で済むのでは? そういう実装は不可能だった? >>402 > singleToExts (zero) is10 を実行する この書き方はどういう意味ですか?「zero」「is10」の2変数ですか? それとも「(zero)is10」という塊が1つの変数ですか? >>405 ソースを読んできました。is10 は公理であって、その意味するところは SingleLimited 0 であると。そして、SingleLimited 0 それ自体は 無条件で真であることにしていると。了解です。 >>403 SingleLimited x を単独で生成するのは不可能なので、それはできないです。 では、改めて質問したい。 ・ まずは singleToExts 0 is10 を実行する。 ・ すると、内部で p = is10 と置かれて、 p に対するパターンマッチングが順次行われる。 ・ マッチング先として用意されているパターンは SingleLimited.is02 〜 SingleLimited.is14 の13通りである (それぞれの内部でさらに小さな場合分けは存在するが)。 そこで質問。p = SingleLimited 0 とのマッチングに成功する ・ SingleLimited.is** は、is02〜is14 のうちどれですか? 一応補足しておくと、>>398 によれば、p = is10 は is02〜is14 のいずれともマッチングしないという。 それでも、実際に singleToExts 0 is10 を実行してみると、 なぜか ExtsLimited 0 が出力されることが確認できるという。 もしそれが本当なら、おかしくないか? singleToExts のソースコードには、 「is02〜is14のいずれともマッチングしない場合」において ExtsLimited 0 が返ってくるように読める箇所が存在しない。 つまり、ソースコードには書かれてない動作が 勝手に実行されていることになる。それっておかしくないか? >>409 「確認できた」というのは、型だけの実行確認でした。すみません。 それで色々やってみたのですが、「普通の実行」がどうしてもできません。。。 >>410 >それで色々やってみたのですが、「普通の実行」がどうしてもできません。。。 つまり、あなたのプログラムには不備があるということか? >>411 いえ、Lean 4 の制約かもしれません。 数をパターンマッチしているのではなく、SingleLimited でマッチをかけているので、 「型」の上では正常動作するけど、実行はできないのかもしれません。 >>412 「型の上では正常動作する」という状況が既によく分からない。 ソースコードを読む限りでは、p = is10 は is02〜is14 のいずれとも マッチしないのだから、それでは ExtsLimited 0 が出力されるわけがない。 あるいは、「いずれともマッチしないことが ExtsLimited 0 の証明である」 とでも言いたいのか? つまり、君は次のように主張しているのか? SingleLimited 0 は真とする。 このとき、ExtsLimited 0 も真であることを証明する。 まず、SingleLimited 0 は、例の14パターンのうち 02〜14のケースに該当しない。 ゆえに、ExtsLimited 0 は真である。 「いずれともマッチしないことが ExtsLimited 0 の証明である」 なんて、君としてはそれでいいの? こちらとしては、それでは ExtsLimited 0 が 証明できてるようには見えないんだけど。 >>415 私は関数 singleToExts の定理証明の実装を書き上げました。これに問題はありません。 この時点で、 singleToExts (n : Nat) (p : SingleLimited n) : ExtsLimited n (*) という型が確定します。 それで、 #check singleToExts 0 is10 というのが型をチェックするコマンドなのですが、これをおこなうと singleToExts の型(*)にしたがって ExtsLimited 0 を出力します。こういう流れです。 >>415 話が噛み合ってない。 singleToExts は「theorem」として定義されているので、 singleToExts の中身には、その証明が書かれてなければならない。つまり、 ・ singleToExts 0 is10 の中身は ExtsLimited 0 の証明でなければならない ということ。そして、ソースコードを読む限りでは、 p=is10 は is02〜is14 のいずれともマッチせず、 それ以上のことは singleToExts の中には書かれていない。 従って、singleToExts のソースコードは、 ・ p=is10 がis02〜is14のいずれとも マッチしないことが ExtsLimited 0 の証明である と主張していることになる。君としてはそれでいいの? これのどこが ExtsLimited 0 の証明なの? >>417 はアンカ間違えてるので一応。 × >>415 〇 >>416 >>417 確かにソースコードの中身も見ると、不思議な挙動に写りますが、 型を作ってそれを連鎖させていくのが Lean 4 の定理証明なので、としか言えないです。 singleToExts (n : Nat) (p : SingleLimited n) : ExtsLimited n (*) という型が確定したということは、singleToExts に SingleLimited 0 を渡したら ExtsLimited 0 が返るよと Lean 4 が認めているので。 lemma test : ExtsLimited 0 := singleToExts 0 is10 という補題もちゃんと通ります。 >>419 質問の仕方を変えます。 大前提として、こちらが何を望んでいるのかというと、 「自然言語による通常の証明が欲しい」 のである。君はプログラムばかり提示してくるが、 こちらは自然言語による証明が欲しいのである。 ところで、既にプログラムは提示されているのだから、 そこに書かれているソースコードを自然言語での証明に翻訳し直せば、 それで自然言語での証明が手に入ることになる。 だからこそ、いま我々はソースコードの「意味」を 自然言語で説明しなおす作業をしているのである。 さて、 ・ FirstLimited 3 が真であることを認めた上で、 これに firstToAll を適用すると、AllLimited 3 が導出される というのが君の主張だった。つまり、 ・ firstToAll のソースコードには、FirstLimited 3 から AllLimited 3 に到達するまでの証明が書かれている ということ。今回の場合は singleToExts 0 is10 が 該当するソースになるので、結局のところ、 ・ singleToExts 0 is10 のソースには、FirstLimited 3 から AllLimited 3 に到達するまでの証明が書かれている ということになる。 そして、 ・ p=is10 は is02〜is14 のいずれともマッチしない … (*) というのが singleToExts 0 is10 の中身である。 ゆえに、上記の(*)が、FirstLimited 3 から AllLimited 3 に到達するまでの証明だということになる。 これを自然言語での証明に翻訳すれば、君が実際に主張している 「自然言語での証明」は次のようなものだと確定する。 証明:FistLimited 3 は真とする。 これは、例の14パターンのうち02〜14には該当しない。 ゆえに、AllLimited 3 は真である。(特に、 FirstLimited 45,81,15,21,39 は真である。) これこそが、FistLimited 3 から AllLimited 3 に到達する 「自然言語での証明」ということになる。 だが、これの一体どこが AllLimited 3 の証明なの? FistLimited 3 が 02〜14 に該当しないからといって、 なぜそれだけで FirstLimited 45,81,15,21,39 が真だと言えるの? もはやプログラムは関係ないからね。 自然言語による合理的な説明はできる? >>425 できません。 firstToAll が使えないと何も言えません。 >>426 質問の仕方を変えます。 証明:FistLimited 3 は真とする。 これは、例の14パターンのうち02〜14には該当しない。 ゆえに、AllLimited 3 は真である。(特に、 FirstLimited 45,81,15,21,39 は真である。) あなたから見て、この証明は正しい証明だと感じますか? それとも、証明として支離滅裂だと感じますか? ちなみに、俺は支離滅裂だと感じます。あなたはどう感じますか? >>428 ですよね。 でも、その証明は firstToAll が出力した証明ですよ。 それでもプログラム上は問題ないらしいので、 だったら、考えられる要員はただ1つ。 ・ firstToAll は、我々が意図した命題とは別の命題を 証明していて、もはやコラッツ予想とは何の関係もない ということ。 たぶん、 ・ ExtsLimited の定義が本来の AllLimited の意図を反映してない とかじゃないですかね。あるいは SingleLimited の定義が おかしいのかもしれないし。 それでも Lean 4 で定理証明チェックが出来てる点については どうお考えですか? >>431 その点については>>429 で書いたとおりですよ。 ・ firstToAll は、我々が意図した命題とは別の命題を 証明していて、もはやコラッツ予想とは何の関係もない ということ。 つまり、何らかの命題Xが存在していて、 ・ firstToAll はその命題Xについては実際に証明できている ということ。だから、「命題X」に関しては実際に正しいのでしょう。 ただし、その命題Xはコラッツ予想とは何の関係もないってこと。 なるほど。まだ納得はできないですが、あなたの考えは分かりました。 >>433 あなたは定理証明支援系を使って コラッツ予想を証明したと主張していますが、 その証明は、BaseCase である x=3 の時点で、 >>427 のような支離滅裂な証明になっているわけです。 BaseCase ですらこの有様なのだから、 帰納法が進めばもっと支離滅裂でしょう。 常識的に考えてください。そんな証明、誰が信じますか? 説得力がないことは、あなたも分かってますよね? なんたって、あなた自身、>>427 を「支離滅裂だ」と感じているわけだから。 >>435 プログラムを書くのもいいんだけど、まず最初に、 「自然言語による完全な数学的帰納法」 を手書きで書いてみたらどうですか? 手書きなら、>>427 のような支離滅裂な証明は 原理的に出てこないわけです。手始めに、 ・ BaseCase である x=3 から AllLimited 3 を導出する過程 を手書きで書いてみたらいいと思います。 場合分けが大量に生じて地獄なのかもしれないけど、 所詮は有限通りの場合分けで終わるのでしょう? しかも BaseCase だし。 定理証明システムが通ってコラッツ予想を証明できたと思っていたら コラッツ予想とは無関係な無意味なことで定理証明システムが通っていただけだったでござる いまnが10の**乗までは証明できました、とかいわれても証明にはならない。 コラッツ予想の証明は絶対にひらめき系 それも鳩の巣原理並に「そりゃそうだわ」となるようなシンプルなもの 素人だけどZFCの公理系の中では証明できない可能性はありますか? >>441 最終的に何で解かれるかわかってないから色々な考え方あるよね 四則演算だけでは証明できない証明が必要と思いますが、もうあるのでしょうか バリバリにコラッツ予想研究してる論文とか読んで見ればわかると思うけど,ここでやってるような算数の延長みたいなアプローチのやつなんてないよ 予想の真偽とか難しいこと考えずに頭を空にしてコラッツ操作してる時が1番楽しい それなら何で近似証明しかしないのかな? その他考えるならヒルベルトの零点とかである自己共役アのフィンスキーム考えるか組むしかないのかな? コラッツ予想の逆の操作をして数を大きくしていったらループする数字って存在するか? >>448 算数アプローチが無駄だから近似証明してるわけでしょ コラッツ予想が決定不能命題である可能性はあるだろうか? この問題は2022/03/10の私が書いた論文で完全に解決している。 以下の内容を証明した。論文は書いたが、隠蔽されている。 ループは1→4→2→1しか存在しない nをn≧2の整数としたときに、コラッツの操作を繰り返すと必ずnより小さい値になる 上記の命題のうち2番目の命題を証明した場合に、Collatz予想を証明したことになるか とAIに聞いたら、それだけでは証明したことにならないと虚偽の答えが出力された。 欧米の数学者のような反応だと思いましたw 2番目の命題だけだと「コラッツ操作で数値が上昇と下降を繰り返すが、1にならない」という可能性について説明できないです https://i.imgur.com/IXTZZcI.png >>453 そもそもAIに聞くのが意味不明 AIに聞いて何かしらの答えが得られたとして,それが証明の真偽を決定づけることはないってわからないのかな? まぁ証明自体は間違ってるんだろうけど >>455 AIみたいな頓珍漢なレスだな。AIに聞いたのはAIを試験しただけだ。 まず、二つの命題は完全に証明した。二番目の命題が真であれば、Collatz予想が 正しいということぐらい誰でも分かる内容ではないのでしょうか? >>454 いやnが必ず小さくなるならその小さい数を新たなnにして1まで続くだろ >>445 「人の行く裏に道あり花の山」 かもしれませんし、ちがうのかもしれません。 が、わかっていてここにきにゅうしたということは、なにかのきたいのあらわれということになるかとおもわれます。 なにをきたいしているのですか?。 かんじのべんきょうのまえに、かんじんなことをきにゅうしなければならなくなったかんじ?。 「ループの原因の一つがわかった」と思っていたのですが、そのまま解決につながっているような感じ?どうなのだろう。 (すべての数が「1」につながっている) = (ループは一つ) の、説明に適した「初期値」を使った、整数の算出方法はどれか?。 などと思ってみたり。 (2N, 2N+1) 整数の作成、初期値「0」、途中で算出される「0」は取り除く。 0 (0,1) ここの「0」は取り除く (2, 3) (4,5),(6,7) (8,9),(10,11),(12,13),(14,15) (16,17),(18,19),(20,21),(22,23),(24,25),(26,27),(28,29),(30,31) (32,33),... (2N, 2N+1) 整数の作成、初期値「1」。 1 (2,3) (4,5),(6,7) (8,9),(10,11),(12,13),(14,15) (16,17),(18,19),(20,21),(22,23),(24,25),(26,27),(28,29),(30,31) (32,33),... (2N, 2N-1) 整数の作成、初期値「1」、途中で算出される「1」は取り除く。 1 (2,1) ここの「1」は取り除く (4,3) (8,7),(6,5) (16,15),(14,13),(12,11),(10,9) (32,31),(30,29),(28,27),(26,25),(24,23),(22,21),(20,19),(18,17) (64,63),... (2N, 2N-1) 整数の作成、初期値「1」。 1 (2,1) (4,3),(2,1) (8,7),(6,5),(4,3),(2,1) (16,15),(14,13),(12,11),(10,9),(8,7),(6,5),(4,3),(2,1) (32,31),... >>462 これも追加。 (2N, 2N+1) 整数の作成、初期値「0」。 0 (0,1) (0,1),(2,3) (0,1),(2,3),(4,5),(6,7) (0,1),(2,3),(4,5),(6,7),(8,9),(10,11),(12,13),(14,15) (0,1),(2,3),(4,5),(6,7),(8,9),(10,11),(12,13),(14,15),(16,17),... NHKの笑わない数学(笑うだっけ)で、コラッツ予想を取り上げるそうだ まだ日時不明 偶数だったら2で割るが、 奇数だったらm倍してkを足す。 mが2でkが1の場合というのがコラッツの問題。 5倍して1を足すとか7倍して3を足すとかではどうなるのだろうね。 笑わない数学 第2シリーズ コラッツ予想 10/14 (土) 21:30 〜 22:00 NHKEテレ1 https://i.imgur.com/rVNLLj6.jpg 友人等など紹介してプラス\4000をゲットできます tk..tk [あぼーん用] https://i.imgur.com/2l9pXKc.jpg 更に家族等などに教えて、プラス\4000をゲット tk..tk [あぼーん用] 最初がkとする。 ステップ1 k÷2、3k+1 ステップ1でループするものを見つけるには、 k=3k+1 として、 k=−1÷2 これに3かけて1を足すと−1÷2であり、確かに1ステップでループしてる。 ステップ2 k÷4,(3÷2)k + 1、(3÷2)k +(1÷2) 同じく2ステップでループするものは、 以下略。 ステップ3で5項。 ステップ4で8項。 ステップ5で13項。 ステップ6で21項になったぜ。 ステップ3で1,2,4という解が出てくるが、ステップ6でも1,2,4が解として 出てくるぜ。kから始めるこの式たちは、分数とか重複を認識してないぜ。 一般項は求められるのかい?それらをk=として、自然数解が得られれば、 新たなループ数列だぜ。kの係数が3のベキ÷2のベキであること、定数が1ステップで 1しか増えないことが気になるが、うんと大きいステップなら、うんと大きい自然数解は 得られそうかい?頭のいい人頼む、、、ぐふっ、、、。 3×奇数+1=2の倍数 3の倍数になる奇数があるならそれがループする数字になると予想 >>452 >nをn≧2の整数としたときに、コラッツの操作を繰り返すと必ずnより小さい値になる それの証明が出来ないんじゃね 下の証明になっちゃってると予想する 【任意のnに対しmが存在し、nでコラッツ操作を繰り返すと「コラッツ操作を繰り返すとmより小さい値に必ず到達するm」に必ず到達する】 3n+1問題って n=すべての正の整数だけど すべての偶数は2で割れるから nにはすべての奇数の中から任意で選ぶ そうすれば3×奇数+1で偶数になる コラッツ操作中の数字に3の倍数がないからいずれ1になるで合っているかな? >>476 それだと3n-1もいずれ1になる説明だね >>477 3n±1で違う結果になりますね ではコラッツ操作で途中に出てくる数字に3の倍数がないのはなぜですか? >>478 コラッツ逆操作は、(x*2^p - 1)/3 となる。 もし x が 3の倍数 だと、2^p を掛けて 1 引いた数が 3の倍数 にならない。 >>478 奇数操作の3n+1をして、3の倍数にすることができないから。 YouTubeにいって、「コラッツ予想」で検索してみると、無闇に沢山動画が出てくるな。 みんな欲に釣られてホイホイだな。 負の整数をコラッツ操作すれば、以下の3ループが出現する。(偶数は省略) -1→-1 -5→-7→-5 -17→-25→-37→-55→-41→-61→-91→-17 負の奇数をマイナス方向に数えていけば、全てが凡そ1/3ずつ出現する。 ±でどうして結果が異なるのかを解明しないと、コラッツ予想の証明には辿り着けないと思う。 それ正の整数を3n-1ルールでやってるのと変わらん >>486 そうですね ±の違いとして考えたときに思ったんだけど 1→2→4→…と逆操作をしていく場合、初めての奇数逆操作の際(2^n-1)/3とするのだが、 これって、メルセンヌ数を3で割るって事だよね? メルセンヌ数では、(2^an)-1の素因数に(2^n)-1の素因数をすべて含む事が知られているし、 逆に、2^n+1の素因数にはメルセンヌ数は絶対に現れない。 これが、±で結果が異なることの一因にはなってないだろうか? 失礼。 メルセンヌ数の1と3だけは2^n+1でも出てきます。 メルセンヌ数すら知らなかったのでぐぐったら 新メルセンヌ予想からワグスタッフ素数なるものがすぐ出てきたが これ直観的に確実に関係あるだろ(2^q+1)/3の形をした素数p >>489 自分もワグスタッフ素数というものを初めて知りましたが、 式から察するに3n-1の方、つまりは負の数のコラッツ操作に関係するかと。 その証拠に、-1からのコラッツ逆操作の分岐は、 -1 → -2 → -8 → -32 → -128 →… -1ループ -3 -11 -43 となり、ワグスタッフ素数が現れます。 バカでアホでマヌケで天邪鬼な「妄想こじつけ男の口から出まかせ」という?を言う?一般大衆の者です。 ループの原因の一部がわかったという件に関してですが、いつも通りの「妄想こじつけ男の口から出まかせ」になっているかもしれません。 長文失礼します。 ----- >>462 「ループの原因の一つがわかった」というのは、 コラッツ予想(3N+1, N/2)問題の、 ショートカット形式((3N+1)/2, N/2)の、 逆演算の式(2N, (2N-1)/3)でループが発生しているが、式の中から「/3」を取り除いた式(2N, (2N-1))でもループが発生していたという件のこと。 コラッツ予想の逆演算の前のステップで既にループが発生していたということだ。 と、言いたかったのだ。 が、よくよく考えてみると、「/3」の代わりに「/1」になっただけで、拡張問題のa=3が、a=1になっただけだったようだ。 と?考えるべきなのだろうか?どうなのだろう。 (2N, (2N-1)/3)を分解すると?。 (2N) : 整数Nを二倍して、Nの値を増加させ、偶数にしている。 (2N-1) : 整数Nを二倍して、Nの値を増加させ偶数にしてから、一を引いて、一だけ減少させて奇数にしている。 (2N-1)/3 : 整数Nを二倍して算出された偶数の値から、一を引き算出された奇数の値が、三で割りきれて三分の一に減少できるかを確認している?試している?。 一つ目の段階で偶数を作り、二つ目の段階で奇数を作っている。これらの段階では、整数の作成の段階といえるかもしれない。 三つ目の段階で奇数が三で割りきれるのかを試している?。 ----- ----- コラッツ予想(3N+1, N/2)問題の、 ショートカット形式((3N+1)/2, N/2)の、 逆演算の式(2N, (2N-1)/3)から、 「/3」を取り除いた式(2N, 2N-1)。 (2N, 2N-1)、整数の作成、初期値「1」 1 (2,1) ここで出力された初期値と同じ値の「1」の取扱いはどうすべきなのか?。 (4,3),() 計算で出力された初期値と同じ値の「1」を使用しない場合。 (2N, 2N-1)、整数の作成、初期値「1」 出力された初期値と同じ値の「1」を使用しない場合。 1 (2,1) ここで出力された「1」は、取り除き、計算はしない。 (4,3) (8,7),(6,5) (16,15),(14,13),(12,11),(10,9) (32,31),... こちらの計算法方では、未来の分だけが表示される?。 「べき数が増えたことによる新たな値」のみが表示される?。 計算で出力された初期値と同じ値の「1」を使用する場合。 (2N, 2N-1)、 整数の作成、初期値「1」 出力された初期値と同じ値の「1」を使用する場合。 1 (2,1) (4,3),(2,1) (8,7),(6,5),(4,3),(2,1) (16,15),(14,13),(12,11),(10,9),(8,7),(6,5),(4,3),(2,1) (32,31),... こちらの計算方法は、過去の実績を引き継いでいる。 二のべき乗ごとに、毎回、「二のべき乗から一までのすべての値」が表示される。 ----- ----- アルゴリズムとデータ構造とデータの選択による違い。 過去の踏襲?と未来志向?の違い?。 未来志向?は、データ構造全体と、二のべき乗ごとに区切られた、それぞれのデータの値によって成り立っている?。 未来志向?は、二のべき乗ごとに区切られた、それぞれのデータの値を繋ぎ合わせることによって成り立っている?。 過去の踏襲?は、二のべき乗ごとに、二のべき乗から一までのすべての値を表示している。 一つの集合に一つのループが存在し、そのループによって集合が作られている?。 すべての正の整数を含んでいるのかどうかは、未来志向型では分かりにくい。 ある値まで調べても、その値に一を足した値が成立するかどうかはわからないという論理が成立する?。 二のべき乗ごとに区切られている値たちを繋ぎ合わせているために、データ構造全体を使ってすべての値を表現しようとしていることになり、データ構造の中の値として算出されていない値については未知の値ということになる?。 カオス?概念? しかし、過去の踏襲型では、二のべき乗から一までの値が一つの集合になっていることが一目瞭然になっている?。 つまり?初期値「1」が算出された事によって過去が引き継がれる構造になっている。 なぜ初期値である「1」が算出されたのか?。それはアルゴリズムによるものである。 (2N, 2N-1)という式の組み合わせの場合、(2N)の式によって値が増加する未来志向にありながら、(2N-1)という式の「-1」によって値が減少して過去に戻ってしまったということになる。 正の整数を考えた場合「1」が最小の値になり、減算によって、その最小の「1」の値だけ戻ると、過去に使用した同じ値にたどり着く状況?構造?になっていると言えるのだろう。 と、いつもの妄想こじつけ男の口から出まかせ。 ----- ----- 計算で出力された初期値と同じ値の「1」を使用しない場合。 (2N, 2N-1)、初期値「1」 出力された初期値と同じ値の「1」を使用しない場合。 1 (2,1) ここで出力された「1」は、取り除き、計算はしない。 (4,3) (8,7),(6,5) (16,15),(14,13),(12,11),(10,9) (32,31),... こちらの計算法方では、未来の分だけが表示される?。 「べき数が増えたことによる新たな値」のみが表示される?。 (2N, 2N-1)、初期値「1」 出力された初期値と同じ値の「1」を使用する場合。 1 (2,1) (4,3),(2,1) (8,7),(6,5),(4,3),(2,1) (16,15),(14,13),(12,11),(10,9),(8,7),(6,5),(4,3),(2,1) (32,31),... 前回投稿した時にどの様に感じていたのかを記入してみると、 ループによって「1」が出力され、それ以降、二のべき乗の値から一までが表示されている。 つまり、二のべき乗から一までが一つの集合になって、毎回、二のべき乗の乗数が増えるごとに二のべき乗から一までの値が表示されている。 これによって、二のべき乗よりも一だけ大きな値は成立するかどうかはわからないという論理に対して、反論として、二のべき数を一だけ大きくすれば解決することを伝え、そのやりとりが永遠と続いたとしても、二のべき数を一だけ大きくすれば解決することになる?、と思うのだがどうなのだろうか?。 無限の一歩手前の整数を二のべき乗の値として、(無限-1)としたばあい、 ( 2^j ) = (無限-1) ( 2^j ) + 1 = (無限) ( 2^(j+1) ) = (無限-1) ( 2^(j+1) ) + 1 = (無限) (( 2^j ) + 1 = (無限)) < ( 2^(j+1) ) + 1 = (無限)) ??? (( 2^j ) = (無限-1)) < ( 2^(j+1) ) = (無限-1)) ??? (( 2^j ) + 1) < ( 2^(j+1) ) ----- ----- コラッツ予想(3N+1, N/2)問題で証明すべき事?。 発散するのか?、収束するのか?、また、循環するのは一つのパターンだけなのか?。 すべての正の整数について同じことが言えるのか?。 発散するのか、収束するのかは、復偶数の分散化傾向と、復偶数の二のべき乗の乗数の深さ?深度しだいか?。 確率を示せばよいのか?。 べき乗ごとに区切って、「奇数 対 単偶数と復偶数の深度」による増減する確率を求めればよいのか?。 循環?ループ?するのは、一つの集合に対して必ず一つのループしか、存在していない?存在できない?ことを示せばよいのか?。 すべての整数が一つの循環にたどり着くことを示せばよいのか?。 逆に、一つの循環がすべての整数にたどり着くことを示せばよいのか?。 奇数、単偶数、奇数、復偶数、奇数、単偶数、奇数、復偶数、奇数、単偶数、奇数、復偶数、... 単偶数(奇数*2)、 単偶数(奇数*(2^1)) 復偶数(奇数*(2^J)、Jは整数の乗数、J >= 2) 奇数、単偶数(奇数*2)、奇数、復偶数(奇数*(2^J)、Jは乗数、J >= 2)、 循環?ループ?するのは、一つの集合に対して一つのループが存在する、一つのループしか存在できない。 一つのループによって集合がつくられている為。 この証明が必要か。 ----- ----- 集合とループ 一つの集合には、一つのループが存在する。のか?。 一つの集合には、必ず一つのループが存在する。のか?。 一つの集合には、一つのループしか存在しない。のか?。 一つの集合には、一つのループしか存在できない。のか?。 一つの集合には、二つ以上のループは存在しない。のか?。 一つの集合には、二つ以上のループは存在できない。のか?。 なぜならば?、一度ループに入るとループから抜け出せなくなり、二つのループ間を行ったり来たりできなくなるから?。 つまり?、循環?ループ?によって、集合付けられていることを示せばよいのか?。 そして、コラッツ予想(3N+1, N/2)問題では、一つの循環?一つのループ?によって、すべての正の整数が一つの集合になっている証拠を見せればよいのか?。 ----- ----- コラッツ予想(3N+1, N/2)問題の、 ショートカット形式((3N+1)/2, N/2)の、 逆演算の式(2N, (2N-1)/3)から、 「/3」を取り除いた式(2N, 2N-1)。 (2N, 2N-1), 初期値「1」 1 (2,1) ここで出力された初期値と同じ値の「1」の取扱いはどうすべきなのか?。 (4,3),() 計算で出力された初期値と同じ値の「1」を使用しない場合。 (2N, 2N-1), 初期値「1」 出力された初期値と同じ値の「1」を使用しない場合。 1 (2,1) ここで出力された「1」は、取り除き、計算はしない。 (4,3) (8,7),(6,5) (16,15),(14,13),(12,11),(10,9) (32,31),... こちらの計算法方では、未来の分だけが表示される?。 「べき数が増えたことによる新たな値」のみが表示される?。 計算で出力された初期値と同じ値の「1」を使用する場合。 (2N, 2N-1), 初期値「1」 出力された初期値と同じ値の「1」を使用する場合。 1 (2,1) (4,3),(2,1) (8,7),(6,5),(4,3),(2,1) (16,15),(14,13),(12,11),(10,9),(8,7),(6,5),(4,3),(2,1) (32,31),... こちらの計算方法は、過去の実績を引き継いでいる。 二のべき乗ごとに、毎回、「二のべき乗から一までのすべての値」が表示される。 コラッツ予想(3N+1, N/2)問題の逆数列を作成する前段階の整数の作成ではこのようなことが言えたのですが、実際の逆数列の作成で応用ができるのか?どうなのでしょう。 長文失礼しました。 -------------------- 妄想こじつけおじさん、 結局通常のコラッツシーケンスでの数列では初期値1とするならループしかないとなるので逆数列を取るしか方法はなさそうだが、 逆数列の場合1を数列の終点と考えて数列を成すことはコラッツ問題とは異なってしまうという点がある それにループだけなら2^nだけで考える事が出来て合流の起点についても16→8→4だから2^nだけで考える事が出来てしまうから2^n +1を何かと比べてコラッツ問題を考える事がナンセンスということになる 3n+1検索ページを使って気になった事なんだけど 最初に入力した数字が最大値になる時のパターンはあるのかな? 1000とか2000は入力した数字が最大値だった ペアノの公理は、suc, suc+1 の二つの要素で比較している。この二つの関係に等号や不等号をつけるとどうなるのか?。 suc < suc+1 仮に(suc)の値が一だけ増えて(suc+1)の値になって、その値を新たな(suc)にした場合、新たな(suc+1)が出てくることになり、それが永遠と続くので無限まで続くと考えたのか?。 だとすると、(suc < suc+1)の(suc)は、(suc)より大きなすべての値よりも小さいということで、一対多となると考えることもできる?。 sucの値が大きくなる時には都合がいいが、値が小さくなる時には不都合になる?めんどくさくなる?と勝手にこじつけて、でまかせを言ってみた。 suc < suc+1 では、(suc-1 < suc < suc+1)では、どのようなことが言えるのか?。 (suc)が、(suc)より一だけ大きな値と、(suc)より一だけ小さな値に挟まれている。 (suc-1 < suc < suc+1)の(suc)は、(suc)より大きな全ての値よりも小さく、(suc)より小さな全ての値よりも大きい。 多対一対多?。 整数の問題で、(2 * 7)(二掛ける七)は、14である。その14の隣りにある整数の値はいくつになるのか?。 という質問に対して、どのように答えるのか?。 ペアノの公理風に考えると15になるのかな?。しかし実際には、13と15になる。 つまり、自然な流れとして整数を考えた場合、ある値を堺に、小さな値と大きな値があるということになる。 その境目の事を考えると、(suc < suc+1)の二つの要素数よりは、(suc-1 < suc < suc+1)の三つの要素数を考えるのが適切である?。 その自然な流れ?を、増加する方向だけに的を絞ったのがペアノの公理なのか?どうなのだろう。 と、妄想こじつけ男の口からでまかせ。 何が言いたいのかというと、数列を考えた場合、要素数が二つでは足りなくて、要素数は三つ以上必要になるということ。 そして要素数が三つあるから、二倍、三倍までは、値の重複に関わらず全ての整数が現れる、全ての整数にたどり着くことができる、と言えるのかもしれない。 一つの整数?自然数?の値は、両隣の値を含めて、三つの要素数で構成されている。という考え方が必要?重要?なのか?。 これにより、一倍?(説明として一倍は適切ではないかもしれない)、二倍、三倍は全ての整数を含むことが可能になるが、四倍以上では、値が抜け落ちるために一部の整数には、たどり着けなくなる。 また、足す一、足す二、足す三も全ての整数を含むことが可能になるが、足す四以上では値が抜け落ちるために一部の整数にたどり着けなくなる。 やっとここまで先人たちに追いついたと考えるべきなのか、それとも、いつもの妄想こじつけ男の口からでまかせとすべきなのか?...。 で、疑問が一つ、二進数、三進数では当たり前だったことが四進数以上でも当たり前になるのかどうか?。 三倍や、足す三までは全ての整数にたどり着けるように、二進数や三進数までは全ての整数にたどり着ける可能性があるが、足す四や四倍では値が抜け落ちたように、四進数以上でも、値が抜け落ちたりしないのだろうか?どうなのだろう。 二進数で取り組んでいる場合、四進数でも同じことが言えるのかどうか?。 どうなのだろう。 こいつペアノの公理の後続関数の単射性を理解してないのかな 「ペアノの公理の後続関数の単射性」? バカでアホでマヌケで天の邪鬼な「妄想こじつけ男の口からでまかせ」を言う一般大衆の者ですので「ペアノの公理の後続関数の単射性」というのは知りません。 整数N:_0,_1,_2,_3,_4,_5,_6,_7,_8,_9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,... --------------------------------------------------------------------------------------- 3N+0_:_0,_3,_6,_9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48,51,54,57,60,63,66,69,72,75,... 3N+1_:_1,_4,_7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,40,43,46,49,52,55,58,61,64,67,70,73,76,... 3N+2_:_2,_5,_8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,38,41,44,47,50,53,56,59,62,65,68,71,74,77,... 3N+1と3N+2の値(1,2,4,5,7,8,10,11,...)の、小さい方から二倍した値(2,4,8,10,14,16,20,22,...)を、3N+1や3N+2の中から値を探し出し、その値に対応する整数N(0,1,2,3,4,5,6,7,...)を調べた時に、 3N+1の「1」を二倍したときの3N+2にある「2」に対応している整数Nの値「0」と、 3N+2の「2」を二倍したときの3N+1にある「4」に対応している整数Nの値「0」が一致している場合を除き、 3N+1や3N+2の値を二倍したときの値に対する整数Nが重複しないということは知っています。 >>504 訂正です。 「 3N+1の「1」を二倍したときの3N+2にある「2」に対応している整数Nの値「0」と、 3N+2の「2」を二倍したときの3N+1にある「4」に対応している整数Nの値「0」が一致している場合を除き、 」 を、 「 3N+1の「1」に対応している整数Nの値「0」と、 3N+1の「1」を二倍したときの3N+2にある「2」に対応している整数Nの値「0」が一致している場合を除き、 」 に、訂正。 コラッツ要素言いたいこと なぜ、要素数が二つしかないのに三倍しても全ての整数に繋がるのか? 要素数が二つしかないのに、三倍しても全ての整数に繋がるのはなぜなのか?。 要素数が二つしかないのに三倍していくと、抜け落ちる値が出てくる。 その抜け落ちる値を三の倍数になるようにしたのがコラッツ予想(3N+1, N/2)問題で扱われている式(3N+1)だというところまでわかったところ?。この考え方が正しいのかどうかはわからないが...。 整数N; (1N)、一倍で、連続した値の要素数が一。 N=__0; ( 0) N=__1; ( 1) N=__2; ( 2) N=__3; ( 3) N=__4; ( 4) N=__5; ( 5) N=__6; ( 6) N=__7; ( 7) N=__8; ( 8) N=__9; ( 9) N=_10; (10) 整数N; (1N, 1N+1)、一倍で、連続した値の要素数が二。 N=__0; ( 0, 1) N=__1; ( 1, 2) N=__2; ( 2, 3) N=__3; ( 3, 4) N=__4; ( 4, 5) N=__5; ( 5, 6) N=__6; ( 6, 7) N=__7; ( 7, 8) N=__8; ( 8, 9) N=__9; ( 9,10) N=_10; (10,11) 整数N; (1N, 1N+1, 1N+2)、一倍で、連続した値の要素数が三。 N=__0; ( 0, 1, 2) N=__1; ( 1, 2, 3) N=__2; ( 2, 3, 4) N=__3; ( 3, 4, 5) N=__4; ( 4, 5, 6) N=__5; ( 5, 6, 7) N=__6; ( 6, 7, 8) N=__7; ( 7, 8, 9) N=__8; ( 8, 9,10) N=__9; ( 9,10,11) N=_10; (10,11,12) 整数N; (1N, 1N+1, 1N+2, 1N+3)、一倍で、連続した値の要素数が四。 N=__0; ( 0, 1, 2, 3) N=__1; ( 1, 2, 3, 4) N=__2; ( 2, 3, 4, 5) N=__3; ( 3, 4, 5, 6) N=__4; ( 4, 5, 6, 7) N=__5; ( 5, 6, 7, 8) N=__6; ( 6, 7, 8, 9) N=__7; ( 7, 8, 9,10) N=__8; ( 8, 9,10,11) N=__9; ( 9,10,11,12) N=_10; (10,11,12,13) ---------- 整数N; (2N)、二倍で、連続した値の要素数が一。 N=__0; ( 0) N=__1; ( 2) N=__2; ( 4) N=__3; ( 6) N=__4; ( 8) N=__5; (10) N=__6; (12) N=__7; (14) N=__8; (16) N=__9; (18) N=_10; (20) 整数N; (2N, 2N+1)、二倍で、連続した値の要素数が二。 N=__0; ( 0, 1) N=__1; ( 2, 3) N=__2; ( 4, 5) N=__3; ( 6, 7) N=__4; ( 8, 9) N=__5; (10,11) N=__6; (12,13) N=__7; (14,15) N=__8; (16,17) N=__9; (18,19) N=_10; (20,21) 整数N; (2N, 2N+1, 2N+2)、二倍で、連続した値の要素数が三。 N=__0; ( 0, 1, 2) N=__1; ( 2, 3, 4) N=__2; ( 4, 5, 6) N=__3; ( 6, 7, 8) N=__4; ( 8, 9,10) N=__5; (10,11,12) N=__6; (12,13,14) N=__7; (14,15,16) N=__8; (16,17,18) N=__9; (18,19,20) N=_10; (20,21,22) 整数N; (2N, 2N+1, 2N+2, 2N+3)、二倍で、連続した値の要素数が四。 N=__0; ( 0, 1, 2, 3) N=__1; ( 1, 2, 3, 4) N=__2; ( 2, 3, 4, 5) N=__3; ( 3, 4, 6, 6) N=__4; ( 4, 5, 6, 7) N=__5; ( 5, 6, 7, 8) N=__6; ( 6, 7, 8, 9) N=__7; ( 7, 8, 9,10) N=__8; ( 8, 9,10,11) N=__9; ( 9,10,11,12) N=_10; (10,11,12,13) ---------- 整数N; (3N)、三倍で、連続した値の要素数が一。 N=__0; ( 0) N=__1; ( 3) N=__2; ( 6) N=__3; ( 9) N=__4; (12) N=__5; (15) N=__6; (18) N=__7; (21) N=__8; (24) N=__9; (27) N=_10; (30) 整数N; (3N, 3N+1)、三倍で、連続した値の要素数が二。 N=__0; ( 0, 1) N=__1; ( 3, 4) N=__2; ( 6, 7) N=__3; ( 9,10) N=__4; (12,13) N=__5; (15,16) N=__6; (18,19) N=__7; (21,22) N=__8; (24,25) N=__9; (27,28) N=_10; (30,31) 3Nを消して、3N+2を追加 整数N; (3N+1, 3N+2)、三倍で、連続した値の要素数が二。 N=__0; ( 1, 2) N=__1; ( 4, 5) N=__2; ( 7, 8) N=__3; (10,11) N=__4; (13,14) N=__5; (16,17) N=__6; (19,20) N=__7; (22,23) N=__8; (25,26) N=__9; (28,29) N=_10; (31,32) 整数N; (3N, 3N+1, 3N+2)、三倍で、連続した値の要素数が三。 N=__0; ( 0, 1, 2) N=__1; ( 3, 4, 5) N=__2; ( 6, 7, 8) N=__3; ( 9,10,11) N=__4; (12,13,14) N=__5; (15,16,17) N=__6; (18,19,20) N=__7; (21,22,23) N=__8; (24,25,26) N=__9; (27,28,29) N=_10; (30,31,32) 整数N; (3N, 3N+1, 3N+2, 3N+3)、三倍で、連続した値の要素数が四。 N=__0; ( 0, 1, 2, 3) N=__1; ( 3, 4, 5, 6) N=__2; ( 6, 7, 8, 9) N=__3; ( 9,10,11,12) N=__4; (12,13,14,15) N=__5; (15,16,17,18) N=__6; (18,19,20,21) N=__7; (21,22,23,24) N=__8; (24,25,26,27) N=__9; (27,28,29,30) N=_10; (30,31,32,33) 整数N; (3N, 3N+1, 3N+2, 3N+3, 3N+4)、三倍で、連続した値の要素数が五。 N=__0; ( 0, 1, 2, 3, 4) N=__1; ( 3, 4, 5, 6, 7) N=__2; ( 6, 7, 8, 9,10) N=__3; ( 9,10,11,12,13) N=__4; (12,13,14,15,16) N=__5; (15,16,17,18,19) N=__6; (18,19,20,21,22) N=__7; (21,22,23,24,25) N=__8; (24,25,26,27,28) N=__9; (27,28,29,30,31) N=_10; (30,31,32,33,34) ---------- ---------- コラッツ予想(3N+1, N/2)問題をわかりやすく端的に言い表すには、どのように言えばよいのか?どのように言えるのか?。 コラッツ予想(3N+1, N/2)問題の拡張問題(aN+b, N/2)をわかりやすく端的に言い表すには、どのように言えばよいのか?どのように言えるのか?。 倍率(倍率の値は正の整数)と連続した要素の個数の問題?。 増加する値と連続した要素の個数の問題?。 乗算や加算と連続した要素の個数の問題?。 ってことを考えていくと、まだ減算と除算については調べていないが、加減乗除と連続した要素の個数の問題?。 結局は、連続した要素の個数の問題?。 全ての整数にたどり着ける倍率と連続した要素の個数の組み合わせは、どのような組み合わせになるのか?。 全ての整数にたどり着ける倍率の値と、連続した要素?連続した値?の個数?要素数?の組み合わせは?。 全ての整数にたどり着くには、どのような倍率と、どのような要素?どのような連続した要素?が必要なのか?。 全ての整数にたどり着くには、いくつの倍率と、いくつの連続した要素が必要なのか?。 倍率の値と要素数の値が、同じ値になった時、一致した時に、重複なく全ての値に通じる。 倍率の値が大きくて、要素の数が小さいときは、値に抜けが生じて、全ての値に通じるとは言えなくなる。 倍率の値が小さくて、要素の数が大きいときは、全ての値に通じることにはなるが、一部の値が重複する。 コラッツ予想(3N+1, N/2)問題での要素は何?、何が要素になっているのか?。 コラッツ予想(3N+1, N/2)問題での倍率の値と要素数は?。 倍率は三倍で、要素は偶数と奇数なので要素数は二。 その状況において、なぜ重複なく全ての値に通じると言えるのか?。 ---------- ---------- 一般的に、倍率の値が大きくて、要素の数が小さいときは、値に抜けが生じて、全ての値に通じるとは言えなくなるが、コラッツ予想(3N+1, N/2)問題では、奇数を三倍してできた三の倍数である奇数に、一を足すことによって、3N+1の偶数にして、偶数は奇数になるまで二で割られて、奇数になるまで3N+2と3N+1を行ったり来たりする。 途中の計算では、三の倍数の奇数と偶数を排除している。 つまり、三の倍数(奇数と偶数を含む)という要素を排除したあとにできた奇数と偶数の二つの要素からなる集合に、奇数と偶数を含んだ三の倍数という要素の集合が加わる事によって、全ての値に通じる状態になっている。 と、いつものように、「妄想こじつけ男の口からでまかせ」。 と書くべきなのか?それとも、 やっとここまで先人たちに追いついた?「妄想こじつけ男の口からでまかせ」です?。 とりあえず思っていることを書いた。言葉が足りないところもあるが、この件を知らない人達の参考になるのかどうなのか?。 この考え方は、数学的に正しいのか?受け入れられるのか?どうなのだろう。 所詮「妄想こじつけ男の口からでまかせ」です。 これで、反例があるだろうと考えていた論理?の一角を崩すことがてきただろうか?どうなのだろう。 一角で思い出したが、値の「27」の計算回数が多いのは物理的に27と1が離れているからではないのか?、そして、もしかしたらパターンが27あって、その繰り返しなのではないのだろうか?どうなのだろう。 という根拠は一辺が三の正六面体の「1」の対極?にあるのは「27」。 長文失礼しました。 「妄想こじつけ男の口からでまかせ」という者です。 コラッツ予想(3N+1, N/2)問題に取り組んできて思ったことがあります。 それは、義務教育の算数や数学では「連続した要素への、加算や乗算による連続性」について習ってこなかったのか、習ったとしても重要視されていなかったということなのかもしれません。 「連続した要素への、加算や乗算による連続性」について、体系を作って、教えておく必要があるのかもしれません。 「連続した要素への、加算や乗算による連続性」を知っていればコラッツ予想への取り組み方が変わっていた可能性があります。 また、今はコンピュータの時代であり、パソコンがあると、アルゴリズムとデータ構造で解決しようとする傾向が出てくるかもしれません。しかし、結果だけが出力され、途中経過が見えない場合も出てきます。そういうときに紙とペンを使う必要が出てくるかもしれません。 紙とペンによる筆算の代わりに、キーボードとディスプレイを使った入力算を確立しておく必要があるのかもしれません。 日本語を自由気ままに記入すると重複したり誤字脱字で訳のわからない文になるようですね。 その自由気ままに記入された日本語の文から要点を見いだせるのであれば、日本語に不自由していないとなるのでしょう。要点を見いだせたのであれば、データマイニングとかブレインストーミングとかにつながっていくのかもしれませんね。 何にしてもそうだが、殺してしまっては何も生まない。 とりあえず生かしておけ、それが発展につながる。 かもしれない?違うかもしれないけど...。 迷言集にでも入れておいて...。 ただ単純にn^4分岐なのにn^3の数は物理的にn^4に到達しにくいだけだろおっさん… 本題とは外れるけど、『コラッツ予想が証明されたら〇〇の定理が証明できるor簡単に証明できるようになる』 『コラッツ予想の反例が見つかったら〇〇に応用できる』的なものはありますか? >>516 コラッツ問題そのものの解決ではわからないが、否定的に一部解決だと極限を取らなくても1に収束するかが分かる。 解決までのアプローチによるとは考えられるけど コラッツ操作で3の倍数が出ない 3n+1は3倍にする操作ではなく偶数にする操作だから n/2とn+1の操作と同じと考えれば1に収束する 少し気になった点を… コラッツ逆操作から得られる最初(STEP数最少)の値は、 1→2→4 → 1(元の値からの増減±0) 5→10→ 3 (-2) 7→28→ 9 (+2) 11→22→ 7 (-4) 13→52→ 17 (+4) … ※3の倍数は出来ないので省く 順当に+と-を繰り返し絶対値は増えていく。 ここで、マイナス値を見てみると、 -1→-2→ -1(増減±0) -5→-20→ -7 (-2) -7→-14→ -5 (+2) -11→-44→ -15 (-4) -13→-26→ -9 (+4) … と、逆操作の結果自体は異なるが増減に関しては一致する。 これは、何かコラッツ操作に関わるヒントになり得ないだろうか? あと、もう一つ。 逆操作に関して、 任意の3の倍数でない偶数 a*2^nからの逆操作と、 その4倍の偶数 a*2^(n+2)からの逆操作の値は、 a*2^n → xとおくと、 分岐の数が4倍になる度に4x+1となっていくが、 (例:5→10→40→160→…の場合、3→13(=3*4+1)→53(=13*4+1)→…) ※分岐があるものだけ表示 マイナスを含めた値で考えると、絶対値の小さい順で並べるとそれぞれ-2x-1としてそれぞれ増減する。 5→10→40→160→… 3→13→53→… -5→-20→-80→-320→… -7→-27→--107→… 3→-7(=3*-2-1)→13(=-7*-2-1)→27(=13*-2-1)→… -2(-2x-1)-1 = 4x+1になるので、当然ではあるのだが… こう考えたとき、最少の値3を逆算(+1して-2で割る)をした時どうなるかを計算すると、 (3+1)/-2 = -2となる。 これを他の値でやると、 1と-1 → 0 5と-5 → -2 7と-7 → 2 11と-11 → -4 13と-13 → 4 >>520 の最少STEP値の増減と一致する。 これらは、コラッツ操作と何か関係するものではないだろうか? >>520 > -5→-20→ -7 (-2) > -7→-14→ -5 (+2) が気になりますね。 正の数だと、増減に対して符号が違うからループしないとか...... (つまり、負でループするなら正ではループしない) コラッツ操作のループについて気になったことが… >>521 の1と-1について、逆操作で 1 → 4→16→64→… 1→5→21→… -1→-2→-8→-32→… -1→-3→-11→… 分岐絶対値の小さい順に並べると、 -1→1→-3→5→-11→21→… (>>521 に倣い、各項-2x-1倍ずつ増減する) これに、初項の-1を+1して-2で割ると0なので付け加えると、 0→-1→1→-3→5→-11→21→… ここで、0=2n(※n=0)と置くと、 2n → -4n-1 (=-1) → 8n+1 (=1) →…となる。 この「-4n-1」と「8n+1」でそれぞれ実際にループする順操作を辿ると、 -4n-1 … -1 -12n-2 … 3(-1)+1=-2 -6n-1 … (3(-1)+1)/2=-1 -18n-2 … 省略=-2 -9n-1 … -1 -27n-2 … -2 -13.5n-1 … -1 (以下略だが、同じ式になることは無さそう) 8n+1 … 1 24n+4 … 4 6n+1 … 1 18n+4 … 4 4.5n+1 … 1 13.5n+4 … 4 (こちらも以下略) と、実際は同じ値でループするのだが(n=0のため)、式としては1つとして同じものはないと考えられる。 勿論、整数値としてはそれ以上変化の仕様はないものなのだろうけど、何か考え方のヒントになれば幸いです。 >>520 移行のベクトル値について言えば偶奇分岐のシーケンスなので2次展開してグラフでスキームとして扱うのが分かりやすい 2つの増減の扱いが一緒なのは正シーケンスも逆シーケンスも同じ正シーケンスから見た等比数列でしか扱って無いからだと考えられる それに従うと正シーケンスで2つ、逆シーケンスで2つの境界式を得られて 3n+1に限って言えばループする場合はメビウスの輪のような推移グラフになる 得られる境界の起点の式 793 BLACKX ◆SvoRwjQrNc sage 2019/10/04(金) 23:31:03.67 ID:ZbCHQ69z https://i.imgur.com/MASHMeJ.jpg 座標スキーム (1.4) (2.4) (2.1) (4.1) (4.2) (1.2) (1.4)※ループ 0:コラッツ数 →4214 1:コラッツ2n番目飛ばし→4124 2:逆コラッツ数 →4124 3(=0):逆コラッツ2n番目飛ばし→4214 次元拡張すれば全て相似の関係であり、4関数のみで正逆どちらからでもコラッツ数の事が言えるが、クロスループはループになるのか否か >>526 昔、英語にする前のをそのまま張っただけよすまんな 体裁がどうであれ大したこと書いてないから気にしなくていいよ 整数Nの法の下でのコラッツ問題はどうなるか? 奇数、偶数の定義が問題になりそうだけれども。 Nを偶数の法にすればいいだろう。 たとえばN=10なら 0から始めると0,0で循環 1から始めると1,4、2、1で循環 2から始めると2,1,4,2で循環 3から始めると3,10,5,6,3,で循環 4から始めると4,2,1,4で循環 5から始めると5,6,3,10,5で循環 6から始めると6,3,10,5,6で循環 7から始めると7,2,1,4,2,1で循環 8から始めると8,4,2,1,4,2,1で循環 9から始めると9,8,4,2,1,4,2で循環 もちろん有限な集合上の遷移だから必ず循環に到達することは保証される。 循環しなければ有限な集合ではなくなるから矛盾するので。 2つの偶数N1とN2を法とするコラッツの操作をしたときに、 ある数xがN1を法としてx1, N2を法としてx2とする. そうしてx1から始めてN1を法とするコラッツ列が周期f1を持つとし、 x2から始めてN2を法とするコラッツ列が周期f2を持つとする。 すると、xの自然数の中でのコラッツ列がもしも周期をもつならば、 それはf1の倍数でもありf2の倍数でもあるから、f1とf2の最小公倍数の倍数である。 それは前半はコラッツ問題と変わって無いしじゃあどう周期を整数から定義するんだって話になるし、 周期に関して言えば○✕問題なら答えは✕だと… だって自然数に限りトレスできる周期なんて無いし、 周期関数 f が周期 P を持つならば、 f の定義域の x と整数 n に対して f(x + Pn) = f(x)となるから、マイナスの区域の周期と自然数の周期が矛盾する。かつ、マイナスの周期関数の倍数とも矛盾する。 写像の適用に関する周期と関数の引数に関する周期は違わないか? >>534 うーん 1つのループ内で共役関係なんだから同じだと考えられると思うんだけどなぁ… f1とf2の最小公倍数の倍数がなんの周期定数を持って倍数と言ってんの?これ ♀コラッタが生まれる確率は1/2だ。 その証明を書くには余白が狭すぎる。 バカでアホでマヌケで天の邪鬼な「妄想こじつけ男の口からでまかせ」を言う?という?一般大衆の者?おじさん?おっさん?です。 もしかしたら、1,4,2,1のループで出力されている「2」と「1」は、除数で割った時の、「その除数で取りうる余りである」可能性があるかもしれません。 ただし、余り無しの状態のゼロが使えないために、除数そのものが要素数を補うかたちで、余りとして表示されているもよう。 長文失礼します。 バカな論理、アホな論理、マヌケな論理の前に、(3N+1, N/2)と(3N+3, N/2)の相反する挙動?について。 確立していないので論理というよりは命題か?。 コラッツ予想(3N+1, N/2)問題は、三の倍数の値の集合と、それ以外の値の集合とに分かれているのか?。 整数N:_0,_1,_2,_3,_4,_5,_6,_7,_8,_9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,... -----+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--+--,... _3N+0:_0,_3,_6,_9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48,51,54,57,60,63,66,... _3N+1:_1,_4,_7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,40,43,46,49,52,55,58,61,64,67,... _3N+2:_2,_5,_8,11,14,17,20,23,26,29,32,35,38,41,44,47,50,53,56,59,62,65,68,... _3N+3:_3,_6,_9,12,15,18,21,24,27,30,33,36,39,42,45,48,51,54,57,60,63,66,69,... 三倍してから一を足し、それを二で割るということは、三の倍数の値の集合と、それ以外の値の集合とに分けることになるのか?。 三倍するということが、三つの連続した要素を扱うということになるのか?。 すべての整数に到達するためには、 三倍することによって、連続した三つの要素が必要になる?。 三で割ることによって、連続した三つの要素が必要になる?。 二倍することによって、連続した二つの要素が必要になる?。 二で割ることによって、連続した二つの要素が必要になる?。 三倍して二で割るということは、三倍することによって、連続する三つの要素に分けられ、その三つの要素の中から、二で割られることによって二つの要素が選択されることになるのか?。 (3N+1, N/2)と(3N+3, N/2)の相反する挙動?。 (3N+1, N/2)の挙動?。 奇数のNに三を掛けることによって、結果を奇数の三の倍数にしている。 奇数の三の倍数に一を足し(3N+1)、奇数を偶数にして、なおかつ、三の倍数から抜け出して、三の倍数にならないようにしている。 連続する三つの要素のうち、一つが三の倍数だけの要素になっていて、残り二つが三の倍数を含まない要素(3N+1)、(3N+2)になっている。 奇数の三の倍数に「一」を足すことによって、三の倍数以外の偶数の値(3N+1)になる。 偶数は二で割られることになり、三の倍数に一を足された値(3N+1)を含む、連続した二つの要素(3N+1)と(3N+2)が選択されることになる。 これらの挙動により?、(3N+1)と(3N+2)の値が使われて、最終的に「1」まで到達する。 (3N+3, N/2)の挙動?。 奇数のNに三を掛けることによって、結果を奇数の三の倍数にしている。 奇数の三の倍数に三を足し(3N+3)、奇数を偶数にして、なおかつ、三の倍数のままにしている。 連続する三つの要素のうち、一つが三の倍数だけの要素になっていて、残り二つが三の倍数を含まない要素(3N+1)、(3N+2)になっている。 奇数の三の倍数に「三」を足すことによって、三の倍数の偶数の値(3N+3)になり、そのまま三の倍数となる。 偶数は二で割られることになり、三の倍数に三を足された値(3N+3)である三の倍数の偶数は、二で割られることにより、三の倍数のままとなる。 (3N+3)の(3N)によって、三倍されることで奇数は三の倍数にされ、そこへ三を足すことにより、三の倍数の状態を保持することになる。 (3N+3)の(+3)によって、三の倍数の偶数が作られ、三の倍数の偶数は二で割られ、三の倍数のままとなる。 これらの事から、(3N+1, N/2)は、三の倍数から抜け出させて計算をする構造になっていて、(3N+3, N/2)は、三の倍数の中で計算をさせる構造になっていると言えることになる?。 バカな論理 コラッツ予想(3N+1, N/2)問題が最終的に「一」に成るのは、除数の「二」で割り切れない場合の余りを、被除数に先に足しておいてから除数で割るので、最終的に余りである「一」にたどり着くことになる?。 そんなバカな?。 しかし、除数で割り切れず、余りが出るときに、予め除数で割った時の余りを算出して、その余りを先に被除数に足して算出された値を、除数で割り切れるのは、除数が「二」のときだけである?。 アホな論理 コラッツ予想(3N+1, N/2)問題が、三倍して一を足した値を二分の一にすることによって((3N+1)/2)の状態でありながら値が小さくなっていくのは、「一」を含んだループができることによって相対的な除算が起きているために値が小さくなっていると考えることができる?。 もしかしたら、(3N+1)の計算が行われる毎に?、逆演算でのループによって新たな「1」が作成される毎に?、「1」の位置が無限方向へとずれているのかもしれない?。 そんなアホな?。 マヌケな論理 (3N+1, N/2)の(aN+b, N/2)への拡張に関する、要素数と増加する値の関係についてはすでに投稿済み?。 投稿した内容がマヌケな内容で間違っているのかもしれない。 しかし世の中には、乗数の値を大きくするのに伴い、除数の値も乗数と差が開かないように大きくして考察している人達や、加算値についても定数ではなくプラスアルファとして変動値を使って、被除数が除数で割れるようにしている人達もいるようだということは、知っておくべきだろう。 最初に目にしたときは(3N+1, N/2)とは違うことをおこなっているので読み飛ばしていたかもしれないが、突き詰めると、そこにたどり着き、そして八方塞がりになるのか?。 (3N+1, N/2)から(aN+b, N/2)へと進み、考察を経て、(aN+b, N/c)へと進み、考察を経て、(aN+α, N/c)へと進むことになるのかもしれない。違うのかもしれないけど。 と、とりあえず、先人達にここまで追いついた?「妄想こじつけ男の口からでまかせ」です。 そんな中で気がついたのは、c-mod(N,c)でプラスアルファを作成しているからなのかもしれませんが、1にたどり着いたあと、ループが発生して余りの値すべてを「なめている」感じ。 つまり、余りの値すべてを参照している感じ。これにより、コラッツ予想(3N+1, N/2)の収束する「1」は、除数の「二」で割った時の余りであるという「バカな論理」の裏付けになってしまうのか?と、思ってしまったのですが、実際のところはどうなのでしょうか?。 そして、「バカな論理」によって初期値の「1」が、余りであるということになれば、「アホな論理」での、逆演算で出力した新たな「1」が、計算における「整数N」に対応しているといえることになり?、その「1」が出力されるまでの増加値だけ無限側に近づくことになり、無限から見ると、無限側に近づいた分だけ、早く小さくなると言えるのか?。 逆演算で、「四」の隣に有る「一」、(4,1)を重視するならば四分の一になり、「八」の隣りにある「一」、(8,1)を重視するならば八分の一になることになるのかもしれない?どうなのでしょう。(3N+1)*(1/4)、(3N+1)*(1/8)。 (4,1)の4をもって1となす、(8,1)の8をもって1となすので、四分の一や、八分の一になるということになる?のかもしれない、違うのかもしれないけど。 と、とりあえずここまで先人達に追いついた「妄想こじつけ男のくちからでまかせ」です。 (3N+1)/2、もしくは(3N+1)*(1/2)を根拠にして?、永遠と無限方向へと伸びていくと言われている考え方の数列は、これで、消え去るのだろうか?どうなのだろう。 ---------- =IF(MOD(E18,$O$4)=0,E18/$O$4,$G$4*E18+($O$4-MOD(E18,$O$4))) 除数が2,5,7,8,13,14,18,19,21,22,25,26,28,30,32などの時に1になった。 ---------- 長文失礼しました。 コラッツ数列で3スッテプでループするものがあるということだが、 3ステップでループするということは3nステップでもループしているということだ。 3*10^1000ステップでもループするということなんだが、不思議だね。 3ステップだと(3/4)k + (1/4)=k からk=1と出てくるが、 どれだけ大きいステップ数でも、このようなkの1次式から、k=1,2,4が 出てくるのが不思議だね。 2^2=4 2^1=2 2^0=1 1×1=1 2^0は試行回数0回で1になると言うこと 「二」で割れるように値を変更してから「二」で割るということはどういうことなのか?。 算数や数学では、何かの計算で、そこにないものを借りてきて計算をして、借りてきたものを返却するというような計算をする場合があると思う。 コラッツ予想(3N+1, N/2)問題では、二で割れるようにするために、「一を加算」している?。 ならば、「一を加算」しても割り切れなくなったら、一を返却すべきだろう。 もしくは、加算している「一」と同じ値になったら、「一」を返却すべきだろう。 しかし、実際には「一」を返却していない。 そのため、一に収束していると言えることに成る?。 つまり、一に成るのは、返却すべき値が残っているということに成る?。 返却すべきなのに返却をしないからループに成っている?。 「一に成る」理由の一つと言えるのか?どうなのだろう。 「一」になったら、その「一」を返却すれば良い。 それにより「ゼロ」?「零」?になり、ゼロループになって?零の循環になって?一見落着?一件落着?。 所詮「妄想こじつけ男の口からでまかせ」。 2で割ってるのではなく2^tで割っている tはt>0であり割れる最大の数 3*n+1と n/(2^t)が 必ず交互に来る >>550 この数列の一般項はどんな数式で示せますか? 0 1 5 21 85 341 1365 5461 21845 ... >>551 この2^A+B+C -2^B+Cの部分は定数が決まってるわけじゃないから 証明と関係ないと思うけど不思議だったので報告 ・「2」で割る ・割り切れないとき「3」をかけて「+1する」 のルールだけど「2」を自然数「a」に、「3」を「a+1」に、 「+1する」を「aで割り切れるまで+1する」と置き換えて一般化する それで操作を繰り返して1になりそうなaはあるのか調べた 以下は1になりそう 2,5,7,8,14,18,19,21,26,30,32,33,37 もっと大きい数字は調べてない 悉く規則性が分からなくて流石だなと。 ??? なぜそれを? 類似問題の位数を変えてオーダーして何がしたいのか? >>555 「なぜそれを?」は愚問だと思うが コラッツ予想はなぜ考えられたか? 面白いからじゃないの? 俺は 2,5,7,8,14,18,19,21,26,30,32,33,37 の列は面白いと思うけど >>556 いや… だからどうおもしろくなるのかの部分を聞きたいんだよ >>557 規則が分からない列って面白くない? 証明出来ない予想は面白い? >>558 論点ずらさないでよ その数列を作ることによりどうおもしろくなりますか? 何がわかるようになるはずだとイメージしてその行為をしましたか? >>559 ちなみに>>554 の拡張を自然だと思う? もうそこで話が合わない気がしてきた 俺は自然だと思うけど >>560 どう意味合いを持とうが3n+1の派生問題に落ち着くから普通だとは考えられるけど、派生問題が広いからどこをなんのために切り取りたかったのか知りたい ループしそうになるマイナスの帰り値をなくしたかったのかな?そしたら積分できる的な? >>561 抽象的になっちゃうけどそれで良ければ、 3n+1の3だけをaに置き換えてもどの数字でも多分成り立たなくて ‐① それは1+a+a^2+a^3+...で表せない数字が出てくるから ってのは多分証明できると思った(やってないけど二進数表記して下の方の位に着目すればできそうな感じがある) 二進数表記の下の方の位(※(5n+?)なら1の位と2の位)の不都合を消せば①は成り立つかもと考えて 「5n+1または5n+3、できる数が4の倍数になる方を都度採用。割る数は2」を考えたらループした >>554 を考えたら数字によって結果が変わった が思考の流れ だそうです >>563 不都合を消そうと頑張ったのはわかったけどaで割れるまで+1するって、結局aって元の整数って意味? N->if N mod a = 0 then N div a else ceil(N*(a+1)/a) end_if. >>554 同じ定義だけど拡張は式で書くとこういうことか ・「x≡0 (mod 2)の時」→「x≡0 (mod a)の時」 ・「x→x/2」→「x→x/a」 ・「そうでない時」 ・「x→x✕3」→「x→x✕(a+1)」 ・「x→x+1」→「x→ceil(x/a)*a」 ここでceilは切り上げ つまりaの倍数になるまで+1する 確かに自然な拡張だな なるほど +1の本質は2の倍数にするために切り上げてるわけか つまり一般化はaの倍数にするために切り上げればいいわけだ なるほど 最悪全て1を整数回足せばいいことになるもんな しかし整数からどう求めるかを見たときヒルベルトの第10問が否定的に解決されたことにより阻まれる 回数とピーク値の計算してる人居ないかな? そんでもってピーク値が何番目の集まりとか分かったりする人居ないよね? >>571 いや、やってるから データがほしいではなくて、話を聞きたいだから >>538 のおっさんの書き込みに疑問あったのでデータ組んでディオ式で検証してみた 13のディオ式の2^A+B+Cのパラメータで前項の結果も出せるようにしたところ、4になった 4を何を意味するのかと言うと2^A+B+C…式から 2^A式に飛ぶと言うこと 同じパラメータから下級のパラメータに飛ぶのが0になる時(4^n分岐)だけではなくこのコラッツ数列の他に別の数列が格納されている 4^n分岐とは他で下級に飛ぶのを考えるのは可能なの知らなかったなぁと言うところです… 行列式みたいだなぁ… スクショは自分用なので内容知りたい人至ら言ってくれたら別レスで説明する https://i.imgur.com/n9Tk4YL.jpeg ループする式をいろいろ作ってみて欲しい ループする条件を見つけられたら その条件がコラッツ予想にどれだけ当てはまるか知りたい。 私はループが1→4→2→1しか存在しないことを証明した >>576 どうやった? ループ無し証明が難しくて、上から抑える方の証明の方ができそうな手応え感じてた てか、ループ1個が証明できたらテレンス・リーと合わせて解けない? 素人がお邪魔してすいません。ウィキでコラッツの問題の記事見てふと疑問がわいたもんで。。。 3^x=2^y+1 これを満たす自然数x、yの組み合わせ。 x=1、y=1とx=2、y=3は私でもわかりますが、他にはあるんでしょうか? (もしあったら2進表記100・・・001に3倍+1をx回繰り返して数字の先頭にもとの数字が現れる ・・・かなと思ったけどその前に下の桁に追いつかれますねw) なぜかは断定的なのでわからないけど色々やってたらゴールドバッハが解かれる方が先な気がしてきた 偶数が素数で表せたら他の派生問題を3n+1問題に置き換える事が出きるような奇数の和で表せそう ループする支点の4を取った時に他の区間の2の乗数は0と設定すると5区間目までは0点または整数が取れるのでそこまではAが2を起点とするパラメーターとなる 次にBに4を取った時、他のC以降の乗数は0と設定すると、 7区間目までで整数が取れる これが4^n分岐の原理 とすると4^nにおいて3n+1問題の偶数の操作によって区間が減少変動するため4^(6n+x)の操作が定まれば区間の設定値の和が出せるんじゃないかと言う眠くなる話 https://i.imgur.com/JrynTNB.jpeg そしたらゴールドバッハで6n(1)+0~6n(5)+5の5系列に振り分けて系列の組み合わせの和が変数の和になる考え方をネットで見つけた… いやいや 査読した結果掲載に値しない紙くずだったからリジェクトされたんでしょ 被害妄想やめなよ >>587 被害妄想でも何でもない、完全に数学的に正しい 世界初になるかどうかが問題だ >>589 ずっと保留されているから、私にrejectの知らせが来ていないが 誰が何時査読を行ったのか? スパムだと思われてんじゃねえの いずれにせよ査読通ってないわけだ つまり誰にも認められてないってこと >>591 認められているから、「アーベル賞だ。」(20回以上)、「この世のものとは思えない。」 「perfectだ。」、「本当にendorsementだ。」、「congratulations」と言われている と何度も数学板で書いているが とうしてどこの誰か名前も知らない奴の言うことを信じるんだ? >>594 そこに書いてある証明にはなんのリアクションもついてないね。誰の声かもわからない声ぐらいしか評価してくれないんだね >>595 それは他者が行うことだから、私には関係ない >>592 その評価って誰が言ってるの? まぁ妄想だろうけど >>597 家の中や外から、誰が言っているのかは分からない >>594 の証明を書いた人間がCollatz予想を解決したとしてもおかしくないとは 思わないのか? >>595 >誰の声かもわからない声ぐらいしか これは誤りだ。594の直近の研究でに対しての反応ではない 時期的に双子素数予想やGoldbach予想に対する反応だと考えられる >>578 他は無いね フェルマーの小定理だかオイラーの定理だかで3^xを2^yで割った余りはループする 余りが1になるにはループを一巡しないといけないけど2^yの増え方の方が早いから ◆この数列の一般項 0 1 5 21 85 341 1365 5461 21845 ... a_n=(1/12)(4^n-4) (与えられたすべての項について) 37×3=111 37×6=222 37×9=333 37×12=444 37×15=555 37×18=666 37×21=777 37×24=888 37×27=999 271×41=11111 271×82=22222 271×123=33333 271×164=44444 271×205=55555 271×246=66666 271×287=77777 271×328=88888 271×369=99999 8547×13=111111 8547×26=222222 8547×39=333333 8547×52=444444 8547×65=555555 8547×78=666666 8547×91=777777 8547×104=888888 8547×117=999999 1111111=239×4649 11111111111=21649×513239 すべての整数はコラッツ操作を繰り返すと1になる 負の整数の場合、1とループする整数があるから矛盾する すべての整数はコラッツ操作を繰り返すと1とループする整数に分けられる 負の整数には1とループする整数があるから矛盾しない すべての整数がコラッツ操作で1とループする整数に分けられるなら 正の整数にも1とループする整数が存在する コラッツ予想は間違い >>604 >'負の整数の場合、1とループする整数があるから矛盾する' →反例:1で始まるループは1,4,2,1となる >'すべての整数はコラッツ操作を繰り返すと1とループする整数に分けられる' →この文章はおかしい。何と何に分けたのか? あとは前提に疑問だから総崩れ 1で始まるループは1になる整数とループする整数グループどちらにも属するから反例に 負の整数をコラッツ操作を繰り返すと-1になる整数のグループと-5-7-10の様に-1にならない整数のグループに分けられる 1で始まるループする整数は1になるグループとループするグループどちらにも属するので矛盾してない >>607 1で始まるループは1になるグループとループするグループのどちらにも当てはまるので反例にならない すべての整数はコラッツ操作を繰り返すと1になるグループとループする それをどういう方法で1に属すか属さないかを証明しますか? >>613 これがいつまで経ってもコラッツ問題が解かれない理由です。 人に押し付けず証明の仕方を一緒に考えていきましょう。 出来ればその1から見れる環境にあればその1から見れば数々の考え方が分かると思います。 ちなみに1.4.2.1のループは2^nに属していて 1は何もしなくても2^0=1を理由に1に属しています。 正しい証明はこのループも出てくるね -5→-14→-7→-20→-10→-5 まぁ私も1.4.2.1は不正のループの線で考えていて正の整数に制限しない場合-5のループよりも-1のループが最小ではあります >>614 自分なりに考えると物理学の不確定性原理の式をコラッツ予想に使えないかと思いました。 軽くWikiで調べてると >>619 3n+1のnに入れる整数によって操作回数の変動や操作途中に表れる最大値に素粒子の動きを当てはめたい。 >>620 そんなに難しく言わなくても大丈夫です。 要は、コラッツ問題で言ういわゆるパリティシーケンスを構築できないかと… その整数から何番目のシーケンスかを判断する方法は? やっぱり一般化ってどこまでの条件を付けられるのだろうか ステップ系列f毎にいくつまでと条件付けるのだろうか 条件さえつけば判別式を用意してステップ回数を求められるが、ステップ系列fが現れる毎に4系統の判別式を求めるのだろうか それは果たして一般化なのだろうか >>618 0は原点の自明なループで整数のループとしてカウント出来ないです。 >>623 出来ます 長さ1: 0→(0) 長さ2: -1→-2→(-1) 長さ3: 1→4→2→(1) 長さ5: -5→-14→-7→-20→-10→(-5) 長さ18: -17→-50→-25→-37→(略)→-34→(-17) これら5つのループがあります >>624 それはみんな知ってるでしょ 0^0はいくつですか? lim(n→∞)で2^x/2n=1だから、 lim(n→∞)で3n+1=2^x(xは整数)がどこかで成立すれば・・・で計算してみたけど途中で訳判らんくなったわ。 2n+1=(2^a+2^b+2^c+・・・・・+1)の考え方でいくと、 2n+1 →6n+4 =((2^2) +2)n +(2^2) →(2 +1)n +2 →(1 +1/2)n +1 →((2 ^2) +1/2)n +(2^2) ←(3+3/2)n=(2^2+1/2)n →(2 +1/(2^2))n +2 →(1 +1/(2^3))n +1 →(2 +1 +3/(2^3 ))n +(2^2) →(1 +1/2 +3/(2^4))n +2 →(1/2 +1/(2^2) +3/(2^5))n +1 なんとなーく規則性は見えてるような気がするが・・・。 コラッツ予想を数学でなく実験で確かめる方法はないのだろうか 偶数分子は半分に別れる 奇数分子は3倍になり、もう1分子を獲得する 分子でなく量子的にやれるともっとよい なんで量子や分子の話が出てくるの? 似非科学がやりたいなら他所に行くといいよ 素数と原子核の構造が同じであることがよく知られているように コラッツ列の収束がこの宇宙の何らかの構造に関連してる可能性があっても不思議ではない まず傾聴に値する仮説を提示してくれ 話はそれからだ 簡単な数学的帰納法が使えないようなので、難しいね。 ABC予想の成立を仮定すれば、簡単に証明ができたりするのかな? 前にも書きましたが、それをどういう方法で1に属すか属さないかを証明しますか? それに尽きると思いますが… read.cgi ver 07.5.5 2024/06/08 Walang Kapalit ★ | Donguri System Team 5ちゃんねる