>>769
>無限次元ヒルベルト空間の代数的次元が非可算なのは、おかしい指摘ではないよ。
>ベールのカテゴリ定理の応用例の1つだ。

スレちなのですが
”ベールのカテゴリ定理の応用例の1つ”が、違う気がする
詳しくないので、調べたことを貼っておきますね

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%BC%E3%83%AB%E3%81%AE%E7%AF%84%E7%96%87%E5%AE%9A%E7%90%86
ベールの範疇定理
ベールの範疇定理（Baire category theorem）、あるいはベールのカテゴリー定理[1]は、位相空間論および関数解析学で重要な道具で、ルネ＝ルイ・ベールが1899年の博士学位論文において証明した。この定理には二つの形があり、何れも位相空間がベール空間であるための十分条件を与えるものになっている

https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~noby/index_j.html
吉田伸生 名古屋大学大学院多元数理科学研究科
https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~noby/pdf/fana/10/fana10_0.pdf
関数解析1 吉田伸生2 1原稿平成23年1月28日. 2京都大学大学院理学研究科
0序基本方針：
•全体として:抽象的な定義や命題が出てくる毎に,それらの意味を,具体例を通じて一歩一歩踏み固めながら進む.
練習問題を通じ,手を動かしながら概念や定理の使い方に慣れ親しめるようにする.
目次
3ヒルベルト空間続論26
3.1直交射影
3.2正規直交系

9ベールのカテゴリー定理とその応用105
9.1ベールのカテゴリー定理
9.2一様有界性原理
9.3開写像定理と閉グラフ定理

https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~noby/pdf/fana/10/fana10_3.pdf
関数解析1 吉田伸生2
3 ヒルベルト空間続論(2011 年1 月26 日更新)
P31
例3.2.2b)に対するフーリエ級数(3.25) は解析学の中で重要な地位を占めてきた．古くはオイラー（1748年），ベルヌーイ(1753年)達が波動方程式の解の表現にこの級数を用い24，オイラーはフーリエ係数の積分表示(3.27)も得ていた（1777年）．フーリエは熱方程式の境界値問題を解く際に，「区分的に滑らかな全ての関数xは三角関数によりフーリエ級数(3.25)に展開できる」と主張した．フーリエの主張は厳密ではなかった
が，その後ディリクレ（1829年）やリーマン（1867年）は，この主張の厳密化に取り組んだ25．そうした研究は「積分」そのものの厳密化，一般化を促し，やがてルベーグ積分誕生の土壌が形成された．フーリエの主張は近代解析学の発展に，ひとつの道標を与えたことになる。
P32
問3.2.5 (⋆) 以下を示せ：i)任意の内積空間に極大正規直交基底が(従ってヒルベルト空間には正規直交基底が)が存在する. ヒント：ツォルンの補題(補題0.3.4)．ii)可算個の元からなる正規直交基底を持つ内積空間は可分．また,ヒルベルト空間なら逆も真．

https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~noby/pdf/fana/10/fana10_9.pdf
関数解析1 吉田伸生2
9 ベールのカテゴリー定理とその応用(2011 年1 月28 日更新)
9.1 ベールのカテゴリー定理
まず抽象的な定義から始める：
定義9.1.1 Xは距離空間, S ⊂Xとする.
略す

問9.3.4 X をヒルベルト空間とする. 自己共役作用素T :X→X でD(T)=X なるものは有界作用素に限ることを示せ.