面白い数学の問題おしえて～な 42問目
レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
面白い数学の問題を紹介して解き合うスレです
質問スレではありません
出題者が答えを知らない問題はお控えください
統計学などはスレ違い、数学以外の話題は論外です
荒らし、煽りはスルー推奨
前スレ
面白い数学の問題おしえて～な 41問目
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1652369753/
過去ログ(1-16問目)
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
http://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/ 過去スレ
1 //cheese.5ch.net/test/read.cgi/math/970737952/
2 //natto.5ch.net/test/read.cgi/math/1004839697/
3 //mimizun.com/log/2ch/math/1026218280/
4 //mimizun.com/log/2ch/math/1044116042/
5 //mimizun.com/log/2ch/math/1049561373/
6 //mimizun.com/log/2ch/math/1057551605/
7 //science2.5ch.net/test/read.cgi/math/1064941085/
8 //science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1074751156/
9 //science3.5ch.net/test/read.cgi/math/1093676103/
10 //science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1117474512/
11 //science4.5ch.net/test/read.cgi/math/1134352879/
12 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1157580000/
13 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1183680000/
14 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1209732803/
15 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1231110000/
16 //science6.5ch.net/test/read.cgi/math/1254690000/
17 //kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1284253640/
18 //kamome.5ch.net/test/read.cgi/math/1307923546/
19 //uni.5ch.net/test/read.cgi/math/1320246777/
20 //wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1356149858/ 過去スレ (続き)
21 //wc2014.5ch.net/test/read.cgi/math/1432255115/
22 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1464521266/
23 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1497416499/
24 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502016223/
25 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1502032053/
26 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1518967270/
27 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1532793672/
28 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540739963/
29 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1548267995/
30 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572866819/
31 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1580123521/
32 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1586230333/
33 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1598637093/
34 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1608679703/
35 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1614399625/
36 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1622242743/
37 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1624644393/
38 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1629715580/
39 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1633923732
40 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1640443648/
41 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1652369753/ x^2+y^2=r^2.
x+y(dy/dx)=0.
dy/dx=-x/y.
∫_a^b(2πy(1+(dy/dx)^2)^(1/2))dx
=∫_a^b(2πy(1+(-x/y)^2)^(1/2))dx
=∫_a^b(2πy(r^2/y^2)^(1/2))dx
=∫_a^b(2πy(r/y))dx
=∫_a^b(2πr)dx
=2πr(b-a). 前スレ>>988
解説してたのは日経サイエンスのパズルの国のアリスだよね。
https://www.nikkei-science.com/page/magazine/alice/201604/question.html
昔は解答も載せてくれてたんだけど削除しちゃってるね。
書籍版かバックナンバーを買うなり図書館で読むなりしてくれ。 パズルの国のアリスの、その問題の解答が載っている本を持ってるけど、
前スレ994と同じような説明がされてるね。
用語としては「球台」ではなく「球帯」と書いてあるけど。
円形のペンキ染みを半球形のドームで覆って、円形部分のペンキを
帯状に拭うと同時に、直情のドームの球帯が塗られるとする。
このとき円形の端以外では、帯の幅が同じなら球帯の表面積は
どこでも同一になるから…という流れ。 件の積分値が球面の一部の表面積になるとこは問題ない
多くの積分問題は長さ、表面積、体積の問題に還元してそれを別の積分の問題にしたり、場合によっては積分なしで示したりもできる
しかし少なくとも「球面を平行な2面で切り取った部分の面積はその幅のみで決まる」なんてのが当たり前なんかではないし結局それは別の積分するなりなんなりで示さないとダメやろ
件の問題なら最低限、原点中心半径Rの球面を平面x=a,b (-R<a<b<R)で切り取った部分の面積をF(a,b)とするとき
dF = 2πR( db - da )
を示しとくとかしないとダメやろ 証明の手法として何をどう使うかが明確なら個人的にはあまり目くじら立てなくて良い気はするけど
極端に手間だったり場合分けが煩雑になる場合はともかく、今回は単純な計算の範疇だと思う 年末なので気軽に爆弾を投下できる（と言いつつ完成したのは今日なんだけど）
pを素数、F_pを位数pの有限体、V=F_p×F_pを体F_p上の二次元ベクトル空間とする。
Vの部分集合S⊂Vの要素数が2p-2以下である時、V上の直線であってSと共通部分を持たないものが存在することを示せ。 一週間音沙汰無いのはさすがにあれなのでヒント
体F_pから構成される射影平面 PG(2,F_p) の自己双対性を利用して問題を双対版に翻訳してみると下記のようになる：
V上でx=0と平行でないいくつかの直線からなる集合S⊂Vの要素数が2p-2以下であり、なおかつSがどの傾きの直線も含むならば、
V上の点であってSのどの直線とも共通部分を持たないものが存在することを示せ。
※PG(2,F_p) の自己双対性については以下参照
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Duality_(projective_geometry) 大半は単発スレに書き込むみたいなノリだったってことなのかね
昔みたいに静かにひっそりという流れもいいけど、とは言えさすがに静かすぎるのは同意 s=1+√2とおく
11=s^3-s^2+s+s^0-s^(-1)-s^(-2)-s^(-3)
のように任意の整数はsを整数乗した数の和と差で表せることを示せ 集合Xを{x[1]=1,x[2]=3,x[n+2]=2x[n+1]+x[n]で定まる数列}={1,3,7,17,41,99,239,577,...}とする。
全ての自然数は、集合Xの元x[k]と、0,1,2のいずれかの値を取るa[k]を使って 【 Σa[k]*x[k] 】 のように表せる。
（数学的帰納法による証明が簡明）
→
全ての整数は、集合Xの元x[k]と、-1,0,1のいずれかの値を取るb[k]を使って 【 Σb[k]*x[k] 】 のように表せる。
（∵集合H={1,4,11,28,69,168,...}={Σx[k]} を考え、変換したい n に対し、|n|<hとなる適当な集合Hの元hを
持ってきて、n+h を Σa[k]*x[k] 形式で表現すると、n=Σ(a[k]-1)*x[k] なので、b[k]=a[k]-1とすればよい。）
→
集合Xの元の二倍から成る集合に、1 を加えた集合Y={1,2,6,14,34,82,198,478,1154,...}を考える。
全ての整数は、集合Yの元y[k]と、-1,0,1のいずれかの値を取るc[k]を使って 【 Σc[k]*y[k] 】 のように表せる。
ところで集合Xの(n+1)番目の元は(1/2){(1+√2)^n+(1-√2)^n}=(1/2){(1+√2)^n+(-1/(1+√2))^n}と表せるので、
s=1+√2とすると、集合Yは{s^0}U{s-1/s , s^2+1/s^2 , s^3-1/s^3 , s^4+1/s^4 ,...}と表せる。
全ての整数は、 Σc[k]*y[k] として表す事ができ、cは-1,0,1のいずれか、yは上記のような集合Yの元なので、>>15が示される。 >>11
さらにヒント
Sの各直線sは傾きを持つので y+(a_s)x+b_s=0 (a_s,b_s∈F_p) のように表せる。
この a_s,b_s を用いて定義されるV上のF_p値関数 F(x,y) := Π_(s∈S)(y+(a_s)x+b_s) が常には0にならないことを示せば良い。 >>20
係数は3通りしかないのだから、|a+b√2|>3 というだけで無理確定。 言葉足らずだった
a+b√2を1+√2で表すって意味ね
11+6√2だったらs³+s²-s⁻¹みたいな感じで 11+6√2=19.485...
8+8√2=19.313...
4+11√2=19.556...
1+13√2=19.384...
-2+15√2=19.213...
のように、切り捨てすると19になるような a+b√2 型の数は無限にあるけど、
sの整数乗の和で、切り捨てか、切り上げして19にするような方法は有限個しかないから無理。
（∵同じ自然数を Σa[k]*x[k] 形式で表す方法は複数あるが、これは
x[n+2]=2x[n+1]+x[n] で許される範囲で、係数のやりとりを行える場合に限られ、無限にはない。）
みたいな感じで、否定的証明が可能（？）かな。 でも切り捨てて0になるのはs⁻¹,s⁻²,s⁻³,s⁻⁴…と無限にあるし あ、そっか、これは言及しておかなければならないのかな。
負の冪の項は、
Σ[k=1,∞]1/(1+√2)^k=1/√2 < 1
だから、前回の整数の場合には、専ら「整数化」の為の項といえます。
大きさの評価の時には無視してもかまわないものと見なしています。
今回の「a+b√2」型の値についても同様です。 >>27
あっ、なるほど
負の項は±1/√2するだけだから関係ないのか
理解理解 どっちみち負の項いじって同じ整数部分となる範囲に落ちるパターンが無限通り作れるなら反証にはならないと思うけど 集合Y： {s^0} U {s-1/s , s^2+1/s^2 , s^3-1/s^3 , s^4+1/s^4 ,...,s^k+(-1/s)^k,...}
= {1,2,6,14,34,82,198,478,1154,...}
集合Z： {s-s^0}U{s+1/s , s^2-1/s^2 , s^3+1/s^3 , s^4-1/s^4 ,...,s^k-(-1/s)^k,...}
= √2{1,2,4,10,24,58,140,338,816,1970,...}
任意の整数ａは、Yの元y[k]と -1,0,1 のいずれかの値を取るc[k]を使って
ａ = Σc[k]*y[k] = c[0]*s^0 + Σc[k]*(s^k+(-1/s)^k)
任意の整数ｂの√2倍は、Zの元z[k]と -1,0,1 のいずれかの値を取るd[k]を使って
ｂ√2 = Σd[k]*z[k] = d[0]*(s-s^0) + Σd[k]*(s^k-(-1/s)^k)
ａ + ｂ√2 = (c[0]-d[0])*s^0 + d[0]*s+ Σ{(c[k]+d[k])s^k + (c[k]-d[k])(-1/s)^k}
と表せる。ここに現れた c[k]+d[k] 及び c[k]-d[k] 等の係数は、-2,2という値を取り得るが、
2s^k = s^(k+1)-s^(k-1)
という関係を使って、全ての係数が -1,0,1 だけになるように調整可能
従って、任意の整数ａ、ｂに対し、ａ + ｂ√2 は、(1+√2)の整数乗の和、差だけで表せる。
が、正しい結論・・・かな。 その"調整"がいつでもうまくいく証明が必要そうだね 証明というか次のように説明すれば納得してもらえるだろうか。以下、-1をa、-2をbと表す。
通常の足し算では、各桁での合計が10を以上になると「繰り上がり」処理をして0～9までの数字に収める。
今回の場合も同じ。 2や-2=bが現れた時には、「繰り上がり＆繰り下がり」処理を施して、-1=a,0,1の数字に収める。
1.0+a.0=a.0+1.0=0.0
1.0+1.0=2.0=10.a
a.0+a.0=b.0=a0.1
これを順次行うだけ。桁が増えても、同じ。
“2数”の和の時、「繰り上がり＆繰り下がり」で補正される量は 1 だけなので、有限桁同士の和なら、必ず収まる。
極端な例
1111.1111+1111.1111=2222.2222=10a00+10a0+10a+10.a+1.0a+0.10a+0.010a+0.0010a=11000.000aa
10a00.
_10a0.
__10a.0
___10.a
____1.0a
____0.10a
____0.010a
____0.0010a
11000.000aa 横から
2の開き方は
10.a
1a.11
1aa.a
の3通りある（もっとあるか？）
このうち真ん中の変換のみを使用すれば各桁の和は変動しない
ゆえに発散も起こらない（飛躍）
という方針はどうか 12.11の“一の位”の2に対し、
02.00→1a.11という変換を行うと、2a.22になります。一つの2は解消されたけど、三つの2が増えました。
02.00→10.a0という変換を行うと、20.01になります。別のところに、2が現れ、最終段階には到りません。
後者の方が有用と思われます。
また、12.a0の“一の位”の2に対し、
02.00→1a.11という変換を行うと、2a.01になります。別のところに、2が現れ、最終段階には到りません。
02.00→10.a0という変換を行うと、20.b0になります。別のところに、2とbが現れ、一歩後退？
前者の方が有用と思われます。
これらの例のように、02.00→1a.11 という変換“だけ”を行うことが有用とは思いません。
確かに発散が起こらないことは保証されますが、2やbが解消されるかどうかについては、別の検討が必要になると思います。
もしかすると、「係数の和」より、「係数の絶対値の和」に注目する方が良いのかなと思います。 確かにそうですね
112.a1だったら3パターンのどれを使っても2かbが二箇所になりますし
困った 2の開き方として10.aだけを使うことに決めれば、開く操作を行うごとに
∑_(kは整数) |c[k]|
は単調非増加。
したがって、もし"2を開く"操作を無限に続けられるのであれば、
ある整数Nが存在して、n≧N回目以降の操作で Σ_(kは整数) |c[k]| の値が変化することはない。
したがって、残るは次の問題を考えれば良い：
平面上に同じ大きさの正方形マスが横一列に並んでいる。
コインをいくつか（有限個）用意し、それぞれどこかのマス上に置く。
複数のコインを同じマス上に重ねて置いても良い。
次の操作を永遠に繰り返すことは不可能であることを示せ。
・コインが２枚以上乗っているマスを１つ選び、その正方形のコインのうち一枚を１つ右、更にもう一枚を１つ左のマスに移動する
さて…… 変数 k は整数の値をとるものとする。
座標 k にあるマスをマスkと表記することにし、
コインの座標をそのコインが置かれているマスの座標と定める。
コインの枚数をN、初期状態におけるマス0と各コインとの座標の差の最大値をMとおく。
座標 k に存在するコインの枚数を c[k] とおくと、
各操作ごとに Σ_k (k^2)c[k] の値はちょうど2ずつ増える。
したがって、操作を十分な回数実施すれば少なくとも１つのコインの原点との距離はM+2N+1以上となる。
以下ではn_0回目の操作でとあるコインの座標がM+2N+1となったケースを考える。
（-(M+2N+1)だった場合も同様にして証明可能）
n回操作した際に c[k]+c[k+1] の値が正であるならばn+1回目以降もずっと正である。
このことから、n_0回目の操作で座標がM+2Nとなったコインが、
初期位置k_0からそのマスまで移動する際に通過したあらゆる隣り合う２マスのペアには、
少なくとも一枚以上のコインが乗っていなければならない。
したがって、n_0回目の操作において
Σ_k c[k]
≧ (Σ_(x=0,N-1) c[M+2x]+c[M+2x+1]) + c[M+2N]
≧ (Σ_(x=0,N-1) 1) + 1
= N+1
となり、これはコインの枚数がN枚であることと矛盾する。 >>38 訂正
誤：M+2N+1
正：M+2N
誤：初期位置k_0からそのマスまで移動する際に通過したあらゆる隣り合う２マスのペアには、
正：初期位置k_0≦Mからそのマスまで移動する際に通過したあらゆる隣り合う２マスのペアには、 (1+1/x)^xのx=-1における虚部の右側極限を求めよ >>11
もう少しヒント
F(x,y) がV上で恒常的には0でないことを示すには
剰余環 F_p[x,y]/(x^p-x)(y^p-y) において F(x,y) が属する同値類が零元でないことを示せば良い。
Sが全ての傾きの直線を含むことをどう使うかがポイント それもそうか
じゃあ>>11の証明について、>>43の続きから概略だけ
|S|=2p-2 として良い。
Sから各傾きの直線を１つずつ集めてできる集合をS'とおくと
F(x,y) = Π_(s∈S') (y+a_sx+b_s) × Π_(s∈S-S') (y+a_sx+b_s)
= (y^p - y(-x)^(p-1) + (x,yについてのp-1次式)) × (y^(p-2) + (x,yについてのその他のp-2次式)) (∵ウィルソンの定理)
= -(-xy)^(p-1) + (x,yについてのその他の2p-2次式)
であり、これの F_p[x,y]/(x^p-x)(y^p-y) 上の同値類は非0なので F は恒等的には0にはならない。 前スレのこれも気になってるので解凍プリーズ
関数 f:R→R について、次は同値であることを示せ
・f は２つの周期関数の和として表せる
・あるQ-線形独立な実数a,bが存在して、任意の実数xについて f(x) - f(x+a) - f(x+b) + f(x+a+b) = 0 が成り立つ >>46
（上→下）
２つの周期がQ上一次独立ならそれらをa,bとすれば良い。
そうでなければ f そのものが周期関数となるため、aをその周期、b=πaと定めれば良い。
（下→上）
剰余群 R/(aZ+bZ) の完全代表系をSとおく。
実数 x に対して g(x),h(x) の値を
g(x) = f(an+s) - f(s)
h(x) = f(bm+s)
と定める。（ただしx=an+bm+s, s∈S, nとmは整数）
こうすれば関数gは周期bを、関数hは周期aを持つし、f≡g+h が成り立つ。 >>47
ありがとう
うーん最後がわからん
f≡g+hの≡ってどういうこと？ >>48
f(x)=g(x)+h(x) (∀x∈R) >>49
うーん
仮定の関係式使ってf(an+bm+s)のn,mを下げてくと
f(ai+s)(i≦n)とf(bj+s)(j≦m)の形が残る気がするんだが nを正の整数とする。
素体でない標数2の有限体K上の任意のn×n可逆行列Aについて、
あるK上n次元列ベクトルx,yが存在してy=Axが成り立ち、なおかつx,yのどの成分も非0であることを示せ。 まって3でもできるわ
想定と違うくなったので>>53を撤回 全て挙げよ、なんて書いてしまったけど解が無限にあるっぽいなこれ
証明はないがおそらく係数が0,±1±2のみの方程式の解がそのまま全て解になって
±3や±1/3で成り立つのは
x-2=0
x^2-2x-2=0
x^3-2x^2-2x-2=0
x^4-2x^3-2x^2-2x-2=0
…
の解の一つが3に収束するからだろうか？ そんなに結果を焦ることないでしょう
s=1+√3 は s^2-2s-2=0 の解だけど 3√3 を表せるの？ ああ整数だけか表すの
…にしても0と±1以外表せる気配ないけど でもそのようなsが無限に存在するという主張自体は正しいと思う
s が方程式 x^n±2x^m±1=0 （n,mは整数、n>m≧0）の解であれば
>>37-38 みたいな方法で任意の整数を"開ききる"ことができるのを示せる じゃあ >>59 に関連して問題
平面上に同じ大きさの正方形マスが横一列に並んでいる。
コインを有限に好きなだけ用意し、それぞれ好きなマス上に置く。
同じマス上にコインを重ねて置いても良い。
初期状態によっては次の操作を永遠に繰り返すことが可能であるような整数a,bの組を全て求めよ。
・コインが２枚以上乗っているマスを１つ選び、その正方形のコインのうち一枚をaマスだけ右に、更にもう一枚をbマスだけ右に移動する。
（ただしxが負の数の場合、xマス右に移動するとは(-x)マス左に移動することを指すものとする） 操作を永遠に繰り返せるけど整数は全て表せるというのもあるような気が
s=-2だと2=110と開けるから11+1が無限に繰り上がり続けるし まあ関連してるだけだからね
自分が示したかったのは条件を満たすsが無限に存在することだけだし m,n≧2, m,n∈ℤ
f(x)=(1-x^m)^(1/n) (0<x<1)
不等式
1< {∫[0,1]f(x)dx}^m + {∫[0,1]f(x)dx}^n <2
を示せ 1.002004008016032064128256の256乗は√３より小さいことを証明してみ
計算機禁止な 256 ln(1.002004008016032064128256)
<256 ln(1.002005)
< 256×0.002005
=0.51328
ln(√3)
>ln(1.7)
>0.73-0.73^2/2+0.73^(3)/3-0.73^(4)/4
=0.522226730833 (0,0)-(0,1)-(a,a)-(1,0)-(0,0).
(0,0)-(0,1)-(a,a)-(0,0).
(0,0)-(a,a)-(1,0)-(0,0). a=1.002004008016032064128256
=1+(2/1000)+(2/1000)^2+...+(2/1000)^7＜1+(2/1000)+(2/1000)^2+...
=1/(1-(2/1000))=1000/998=1+e,e=2/998
a^4＜(1+e)^4=1+4e+6e^2+4e^3+e^4＜1+5e
a^16＜(1+5e)^4＜1+4*5e+6*(5e)^2+...＜1+21e
a^64＜(1+21e)^4＜1+85e
a^256＜(1+85e)^4＜1+341e=1+341*2/998＜1+(682+2)/(998+2)=1.684＜√3 log3=log((1+1/2)/(1-1/2))=2納k=0,∞](1/2)^(2k+1)/(2k+1)
>2納k=0,∞](1/2)^(2k+1)/3^k=2(1/2/(1-1/12))=12/11
3^(1/512)>exp(12/11/512)>1+12/11/512>1+1/499
=納k=0,∞](2/1000)^k>納k=0,8](2/1000)^k >>66
問題. 小数(帯小数) 1.002004008016032064128256を256乗した数が、√3よりも小さいことを証明せよ
但し、計算機禁止
証明開始
a=1.002004008016032064128256
S=1.002004008016032064128256…
a<S
小数aの代わりに総和Sを用いる
S=(2/1000)^0+(2/1000)^1+(2/1000)^2+…
=1/(1-(2/1000))=1000/998
分子を揃えて比較したいので、1000/998の分子と分母を1000で割り、比較する両方の数の分子を1で揃える
((1000/1000)/(998/1000))
=(1/0.998)=(1/(1-0.002))
√3と1/(1-0.002)を2乗する
(√3)^2=3
1/(1/3)=1/0.333……[1]
(1/(1-0.002))^2=(1/(1-0.004+0.000004))=1/0.996004
(1/0.996004)^256
256=2^8
計算機禁止により、二項定理を使用せずに小数点第四位以下切り捨てて計算する
0.996004≒0.996=1-0.004
(1/(1-0.004))^256
=(1/(1-0.004))^2^8
分母だけを8回2乗する
分母=(1-0.004)^2=1-0.008+0.000016≒1-0.008
同様に
(1-0.008)^2≒1-0.016
(1-0.016)^2≒1-0.032
…
(1-0.256)^2≒1-0.512=0.488
(1/(1-0.004))^256≒1/0.488…[2]
[1],[2]より
1/0.488<1/0.333…
よって、小数 1.002004008016032064128256を256乗した数は√3よりも小さい
証明終了 >>71
難しいだけの問題よりも適度に難しい問題の方が面白いし、証明の仕方が一つではなく複数あるからだと思います >>69 は 展開式の評価が甘かったので、撤回します。 >>72 訂正
(1/0.996004)^256
256=2^8
計算機禁止により、二項定理は使用せずに計算
0.996004≒0.996=1-0.004
(1/(1-0.004))^256
=(1/(1-0.004))^2^8
分母だけを8回2乗する
分母=(1-0.004)^2=1-0.008+0.000016≒1-0.008
同様に
(1-0.008)^2=1-0.016+0.000064≒1-0.016
(1-0.016)^2=1-0.032+0.000256≒1-0.032
(1-0.032)^2=1-0.064+0.001024≒1-0.063
(1-0.063)^2=1-0.126+0.003969≒1-0.123
(1-0.123)^2=1-0.246+0.015129≒1-0.231
(1-0.231)^2=1-0.462+0.053361≒1-0.409
(1-0.409)^2=1-0.818+0.167281≒1-0.651
1-0.651=0.349
(1/(1-0.004))^256≒1/0.349…[2]
[1],[2]より
1/0.349<1/0.333…
よって、小数 1.002004008016032064128256を256乗した数は√3よりも小さい
証明終了
※誤差があることと計算機未使用では無理そうなので、微妙な証明になってしまいました ワイが出す問題全部スレッドストッパーになってるみたいでかなC
1.002004008016032064128256^512
<(500/499)^512
<e^(512/499)
<e×(499/486)
<2.72×500/486
=1360/486<3 x=log(500/499)
cosh(x)=(1/2)(500/499+499/500)=1+(1/2)(1/499-1/500)=1+(1/2)ε,ε=1/499-1/500=1/(499*500)
cosh(2x)=2cosh^2(x)-1=2(1+(1/2)ε)^2-1=1+2ε+(1/2)ε^2＜(1+ε)^2
cosh(4x)=2cosh^2(2x)-1＜2(1+ε)^4-1＜(1+4ε)^2 ；※
cosh(512x)=cosh(2^7*4x)＜(1+4^7*4ε)^2=(1+2^16*ε)^2＜5/3=cosh(log(3)) ；※※
※
z<√6-2=0.449...の時、2(1+z)^4-1＜(1+4z)^2 が成立
※※
2^16*(1/499-1/500)=64*1024/(499*500)＜65*1024/500^2=260*1024/10^6=0.26624<2/7
(1+2/7)^2-5/3=81/49-5/3=(81*3-5*49)/(49*3)=-2/147＜０ このスレって自作問題だけしかあげないといけないスレ？ >>78
他人の問題でも答え知ってて面白ければOKのはず
個人的には「答え」には解法まで含まれていると思いたい じゃあ頭の体操
10進法で2の累乗を小さい順に並べてできる小数 0.12481632641282565121024204840968192… をAとおく。
Aは有理数か。 Xが非循環列、Yが循環列とする
0.1248163264... = 0.XYYYY....
2ᵏの十進展開で得られるワードをZ(k)とし、Z(k)が小数第a(k)～b(k)に現れるとする
b(k₀) > m+n を満たすk₀を取ればk>k₀を満たすkに対して2ᵏの下n桁はYYの中の長さnの連続部分列として得られるものしかないからこの条件で高々n個しかなく、Yの中には1,3,5,7も含まれるので(∵一様分布定理とlog₁₀2の無理性より2ᵏの最高位が1,3,5,7となるものが無限個ある)
よって2ᵏの下n桁は高々n-4個しかあたいを取れなくなる
一方でℤ/5ⁿℤの乗法群において2の位数は4×5ⁿ⁻¹であるから(∵v₅(16ᵏ-1) = v₅(k) + 1 = n→v₅(t) = n-1→16の位数は5ⁿ⁻¹)
n-4 ≧ ♯ { Z(k)の下n桁 | k > k₀ } ≧ 4×5ⁿ⁻¹ >>83
nとかmとかtとかエスパー必要なところ多少あるけど大枠の方針合ってるぽいし正解でいいかなあ
オーソドックスな方針としては最上位に0が任意個連続する2の累乗の存在から矛盾を導くものがあるけど
今回は2の累乗のうち桁数が循環周期nのm倍（mは十分大きい整数）となるものが
1+10^n+10^(2n)+…+10^(nm) の倍数でなければならないことからも示せたりする 末尾は 10^nm じゃなくて 10^n(m-1) か >>84
そういう返しばっかりしてるからレスつかなくなるんだよ うーん、じゃあ言われなくなければ回答側ももうちょっとちゃんと書いてよって話なんだけど
（そんな的外れなこと指摘してる訳でもないでしょう）
どこに誤りがあるかどういう意図で書かれたかもわからないのを言わば採点してる出題側の身にもなってね
問題は厳密じゃなきゃヤダ回答は察してくれなきゃヤダって
あれもこれも配慮してくれって口開けてエサ待ってるだけの鯉さんみたいよ >>89
なんか読み違いしてるんじゃないかと思って
何度も読み直してしまったわ こちらは面白い数学の問題です：
「0から9までの数字を一度だけ使って、3桁の数を作ります。この3桁の数が、3の倍数になる確率は何%でしょうか？」 解答は次の通りです：
まず、0から9までの数字を一度だけ使って3桁の数を作る方法は、9 × 9 × 8 = 648通りあります（最初の桁に0を使うことはできません）。
次に、3の倍数になるための条件は、その数の各桁の数字の和が3の倍数であることです。0から9までの数字を使って3桁の数を作る場合、3の倍数になる数の個数は次のように求めることができます。
・3の倍数になる数の各桁の数字の和が3の場合：1 × 3 × 2 = 6通り
（最初の桁に1を使う場合、残りの2桁は2と0のいずれかでなければならない。最初の桁に3を使う場合も同様に2通り。最初の桁に6を使う場合は残りの2桁に1と5の組み合わせが1通り、残りの2桁に4と2の組み合わせが1通りある）
・3の倍数になる数の各桁の数字の和が6の場合：2 × 2 × 1 = 4通り
（最初の桁に1を使う場合、残りの2桁に5と0のいずれかを使うことができる。最初の桁に4を使う場合も同様に2通り。最初の桁に7を使う場合は、残りの2桁に2と4の組み合わせが1通りある）
・3の倍数になる数の各桁の数字の和が9の場合：2 × 1 × 1 = 2通り
（最初の桁に3を使い、残りの2桁に6と0の組み合わせが1通りある。最初の桁に9を使い、残りの2桁に0と6の組み合わせが1通りある）
したがって、0から9までの数字を一度だけ使って、3桁の数を作り、かつその数が3の倍数になる確率は、(6+4+2)/648 = 0.024 = 2.4%となります。 最初の桁に2を使う場合、残りの2桁の数字の和が3の倍数になる必要があります。残りの2桁には1, 4, 5, 6, 7, 8, 9の7つの数字が使えます。これらの数字のうち、3の倍数になる数字は1, 4, 7の3つです。したがって、最初の桁に2を使う場合、残りの2桁が3の倍数になる確率は3/6 = 1/2です。
最初の桁に2を使う場合、残りの2桁が3の倍数になる場合の数は、1×2 = 2通りです。したがって、最初の桁に2を使い、残りの2桁が3の倍数になる場合の数は2通りあります。また、0から9までの数字を一度だけ使って、3桁の数を作る方法は、9×8×7 = 504通りあります。したがって、最初の桁に2を使い、かつその数が3の倍数になる確率は2/504 = 1/252 ≈ 0.0040（約0.4%）となります。 最初の桁に2を使ってあとふたつの桁が5と8でも3の倍数なのじゃ無いですか？ 指摘いただき、ありがとうございます。確かに最初の桁に2を使い、残りの2桁に5と8を使った場合、その数の各桁の数字の和は15で、3の倍数になります。つまり、この場合は条件を満たす3桁の数として数えることができます。
先程の回答において、この場合を含めて数え漏れが生じたことをお詫び申し上げます。最初の桁に2を使う場合、残りの2桁が3の倍数になる場合の数は、2通りあります（残りの2桁には、1, 4, 6, 7, 9の数字が使えます）。したがって、最初の桁に2を使い、かつその数が3の倍数になる確率は2/504 = 1/252 ≈ 0.0040（約0.4%）となります。再度、ご指摘いただきありがとうございました。 ご心配いただきありがとうございます。もう一度、確認してみます。
最初の桁に2を使う場合、残りの2桁には、1, 4, 5, 6, 7, 8, 9の7つの数字が使えます。残りの2桁の数字の和が3の倍数である場合、以下のようになります。
残りの2桁に1を使う場合、残りの1つの数字は2か4か7です。この場合、残りの1つの数字に2, 5, 8のいずれかを使えば3桁の数を作ることができます。つまり、この場合は3通りの数があります。
残りの2桁に4を使う場合、残りの1つの数字は1か7です。この場合、残りの1つの数字に2, 5, 8のいずれかを使えば3桁の数を作ることができます。つまり、この場合も3通りの数があります。
残りの2桁に7を使う場合、残りの1つの数字は1か4です。この場合、残りの1つの数字に2, 5, 8のいずれかを使えば3桁の数を作ることができます。つまり、この場合も3通りの数があります。
したがって、最初の桁に2を使う場合、残りの2桁の数字の和が3の倍数である場合、全体で9通りの数があります。最初の桁に2を使い、かつその数が3の倍数になる確率は9/504 = 3/168 ≈ 0.0179（約1.8%）となります。
数え漏れがないように、再度確認した結果をお伝えしました。もし何か不明な点があれば、お知らせください。 よかったです！ 数学の問題は、時に難しいものもありますが、解けたときの達成感は何物にも代えがたいものがありますね。もし他にも何か面白い問題があれば、遠慮なくお知らせください。お手伝いできることがあれば、喜んでお答えいたします。 こちらは面白い数学の問題です。ぜひ挑戦してみてください！
問題：1から100までの自然数の中から、1つの数を思い浮かべてください。その数を私が10回以内に当てることができるように、私は質問をします。私の質問に対して、あなたは「はい」または「いいえ」で答えてください。
質問：あなたが思い浮かべた数が、50以下の数かどうかを教えてください。
答え：
この質問で、私たちは100から半分の50を引いた50を中心とする、1から50までの範囲に問題を絞り込みました。もし、あなたが「はい」と答えた場合、私たちは50より小さい範囲に問題を絞り込むことができます。もし、「いいえ」と答えた場合、私たちは50より大きい範囲に問題を絞り込むことができます。
このように、二分探索法と呼ばれる手法を使って、最大でも10回で答えを見つけることができます。 この問題は、情報の量を最大限に使って最適な答えを見つける方法を学ぶ上で興味深いものです。 確かに、この問題は7回で答えを見つけることができます。具体的には、以下のような二分探索を行います。
1-50の範囲か、51-100の範囲かを尋ねる（1回目）
選択された範囲の中央値を尋ねる（2回目）
選択された範囲を半分に分ける（3回目）
それぞれの範囲の中央値を尋ねる（4回目、5回目）
選択された範囲を半分に分ける（6回目）
残った2つの数のどちらが選ばれた数かを尋ねる（7回目）
この方法では、最悪の場合でも7回の質問で正解を見つけることができます。ありがとうございます。 申し訳ありませんが、6回で正解を見つけることはできません。なぜなら、1から100の範囲から1つの数を選ぶ場合、最初に質問することで、残りの数を半分にすることができます。つまり、2つの範囲に分けることができます。その後、残った範囲を4分の1に分割し、再び残りの範囲を半分に分割することができます。これを繰り返すことで、最後に残る数は1つになります。つまり、最大でも6回の質問で正解を見つけることはできません。
ただし、もし特定の条件が与えられた場合には6回で正解を見つけることができるかもしれません。例えば、「思い浮かべる数は10以下の自然数である」という条件がある場合、1から10の範囲で考えることができます。この場合、6回の質問で正解を見つけることができます。ただし、このような条件がなければ、6回の質問で正解を見つけることはできません。 1から10までの場合は最低何回で正解を見つけられますか？ 1から10までの範囲であれば、最低でも4回の質問で正解を見つけることができます。
以下は、最適な戦略の例です。
1から5の範囲か、6から10の範囲かを尋ねる（1回目）。
選択された範囲の中央値を尋ねる（2回目）。
選択された範囲を半分に分ける（3回目）。
残った2つの数のどちらが選ばれた数かを尋ねる（4回目）。
最初に範囲を半分にすることで、1から10までの範囲から2つの範囲に分けることができます。そして、中央値を尋ねることで、選択された数が範囲のどちらにあるかを判断できます。次に、残りの範囲を半分に分け、最後に残った2つの数のどちらが選ばれた数かを尋ねることで、正解を見つけることができます。
注意点として、最初に選択された数が範囲の中央にある場合には、4回の質問では正解を見つけることができません。しかし、この場合でも5回の質問で必ず正解を見つけることができます。 1から10の場合は範囲の中央はありませんよね？5回は必要ないのでは無いですか？ 申し訳ありません、前回の回答に誤りがありました。1から10の場合、最低でも3回の質問で正解を見つけることができます。
以下は、最適な戦略の例です。
1から10の範囲を半分に分け、どちらの範囲に選ばれた数があるかを尋ねる（1回目）。
残った範囲を半分に分け、どちらの範囲に選ばれた数があるかを尋ねる（2回目）。
残った2つの数のどちらが選ばれた数かを尋ねる（3回目）。
最初に範囲を半分に分けることで、1から10までの範囲から2つの範囲に分けることができます。次に、残った範囲を半分に分け、最後に残った2つの数のどちらが選ばれた数かを尋ねることで、正解を見つけることができます。
この戦略は、最悪の場合でも3回の質問で正解を見つけることができます。たとえば、最初に1から5の範囲が選ばれ、次に3から5の範囲が選ばれ、最後に3と5のどちらが選ばれたかが尋ねられた場合でも、正解を見つけることができます。 では私が今から1から10までの数をひとつ決めますから、あなたは3回の質問でそれを特定してください。質問をどうぞ。 ありがとうございます！以下は、最適な戦略に基づく3つの質問です。
1から5の範囲に選ばれた数が含まれていますか？
次に、2から5の範囲に選ばれた数が含まれていますか？
最後に、選ばれた数は3ですか？
これらの質問には、最大でも3回の回答で、あなたが選んだ数を特定することができます。 1に対してはいいえです。2に対してもいいえです。3に対してもいいえです。私が選んだ数は何ですか？ 1から10までの範囲で、1、2、3の回答がすべて"No"であるということは、選ばれた数は4から10の範囲に含まれることがわかります。
次の質問としては、以下があります。
6から10の範囲に選ばれた数が含まれていますか？
これにより、選ばれた数が4または5であることが確認できます。最後の質問は、次のようになります。
選ばれた数は4ですか？
もし"Yes"と答えられた場合、選ばれた数が4であることが確認できます。もし"No"と答えられた場合、選ばれた数は5であることがわかります。 3つの質問で特定するのでは無いのですか？次の質問は4つめですよ。 ああ、すみません、私のミスです。確かに、最初の3つの質問は、私が選んだ数を特定するための最初のステップでした。4番目の質問が次の質問でした。以下は、最後の2つの質問に対する答えを修正したものです。
4から10の範囲に選ばれた数が含まれていますか？
選ばれた数は4ですか？
これらの質問に答えることで、最大でも4回の回答であなたが選んだ数を特定することができます。お詫び申し上げます。 ああ、すみません、私のミスです。確かに、最初の3つの質問は、私が選んだ数を特定するための最初のステップでした。4番目の質問が次の質問でした。以下は、最後の2つの質問に対する答えを修正したものです。
4から10の範囲に選ばれた数が含まれていますか？
選ばれた数は4ですか？
これらの質問に答えることで、最大でも4回の回答であなたが選んだ数を特定することができます。お詫び申し上げます。 結局3つの質問では特定できなかったのですね？3回では特定できないのでは無いですか？ 申し訳ありません。私の先ほどの回答に誤りがありました。最初の3つの質問だけでは、選ばれた数を特定することはできません。最低4つ目の質問が必要です。つまり、最低4回の質問が必要になります。申し訳ありませんでした。 はい、私も間違えることがあります。私たちは人工知能であっても、私たちの知識は人間によってプログラムされ、開発され、学習されます。したがって、私たちは間違いを犯す可能性がありますが、最新の情報と知識を提供し、最高の能力を持って質問に答えるように尽力しています。 はい、そうです。私たちは最新の知識と情報を提供し、最高の能力を持ってサポートするよう努めています。ただし、私たちも時には間違いを犯すことがあるため、質問に対する回答に自信がある場合でも、常に自己判断と独自の調査を行うことをお勧めします。 ありがとうございます。私は質問や会話を通じて、お客様が必要とする情報やサポートを提供することを目的としています。お力になれることがあればいつでもお知らせください。 chatGPTとの会話でしょ
まあよく言われる通りそれっぽい言葉を返すことはできるが
数学の厳密的思考にはまだまだ向かないってことだろうね chatGPTってここまでできるの？
すごいな数学を理解してるじゃん 3B3=6
3C3=9
3D3=27
3E3=7625597484987
3A3の値を推定しなさい。理由も求む。 3A3 = 0
A = -
B = +
C = *
D = ^
E = タワー表記（↑↑） 演算の繰り返しで次の演算が定義される
3C3=3B3B3
3D3=3C3C3
3E3=3D3D3（ただし右結合性つまり3D(3D3)=3^27=7625597484987）
とするなら
3B3=3A3A3
となるべき演算でないと？ 6=3+3=3B3=3A3A3=3-3-3=-3？3？ クヌースの矢印表記は
加算より前に遡ろうとすると矛盾が生じる
3A3=3B2, 3A(3A3)=3B3, ...
と定義するなら
3A3=3B2=3+2=5
3A(3Bn)=3B(n+1)
と再帰的に定義し、3B0=3+0=3を用いると
3A3=3A(3B0)=3B1=3+1=4
矛盾の原因は
・加算の単位元が1でない
・1を加算する操作を、再帰的定義に合うよう
細かく分解できない
の主に2点 lim[n→∞] (1/(1+n²)+2/(2+n²)+…+n/(n+n²))
を求めよ ちなみにChatGPTにやらせてみた
以下がChatGPTの回答
与えられた数列は以下のようになります。
(1/(1+n^2) + 2/(2+n^2) + ... + n/(n+n^2))
各項を単純化すると、以下のようになります。
k/(k+k^2) = 1/(1+k)
これを用いると、元の式は次のようになります。
(1/(1+n^2) + 2/(2+n^2) + ... + n/(n+n^2))
= (1/(1+1) + 1/(1+2) + ... + 1/(1+n))
右辺は調和級数の形をしています。調和級数の和の式を用いて計算すると、答えは次のようになります。
lim[n→∞] (1/(1+n^2) + 2/(2+n^2) + ... + n/(n+n^2))
= lim[n→∞] (1/(1+1) + 1/(1+2) + ... + 1/(1+n))
= lim[n→∞] (H(n) - 1)
= ln(n) + γ - 1
ここで、H(n)はn番目の調和数であり、γはオイラー定数です。したがって、答えはln(n) + γ - 1になります。 >>138
Σ_(k=1,n) k/(k+n^2)
= (1/n^2)Σ_(k=1,n)k - (1/n^4)Σ_(k=1,n)(k^2)/(1+k/n^2)
= (n+1)/(2n) + (1/n^4)Σ_(k=1,n) O(k^2)
（ただしOはランダウのO記法、定数は一律で1をとることが可能）
= (n+1)/2n + O(1/n) → 1/2 (as n→∞) 高校生なら Σk/n^2 と Σk/(n+n^2) ではさみうちかな Σ_(m=0,∞) Σ_(n=0,∞) (-1)^n/(m+2n)!
を求めよ (exp(1)+cos(1)+sin(1))/2. 最近知った性質を一つ
(1) 半径2の円に外接する正多角形は周の長さと表面積の値が一致することを示せ
(2) 半径3の球に外接する正多面体は表面積と体積の値が一致することを示せ
(3) 半径1の円に外接する正多角形を面とする正多面体において、全ての辺の長さの和と表面積の値が一致することを示せ 全ての面が半径1の円に外接するなら
(面ひとつの面積) = 1/2(ひとつの面の周の長さ)
全ての面で足し合わせる >>78日本語おかしいよ。
「しか〜ない」呼応しないと。
呼応してない。
自作問題だけしかあげてはいけないスレ？
が正しいんじゃないか？ >>143 >>145
m+2n=4k → (m,n)=(4k,0),(4k-2,1),...,(0,2k)の2k+1通り
m+2n=4k+1 → (m,n)=(4k+1,0),(4k-1,1),...,(1,2k)の2k+1通り
m+2n=4k+2 → (m,n)=(4k+2,0),(4k,1),...,(0,2k+1)の2k+2通り
m+2n=4k+3 → (m,n)=(4k+3,0),(4k+1,1),...,(1,2k+1)の2k+2通り
m+2n=4k,4k+1 の時は、 分子が+1になるのはk+1通り、-1になるのはk通りで、差し引き+1が1通り
m+2n=4k+2,4k+3 の時は、 分子が+1になるのはk+1通り、-1になるのもk+1通りで、差し引き0
∴ Σ_(m=0,∞) Σ_(n=0,∞) (-1)^n/(m+2n)! = Σ[k=0,∞]{1/(4k)! + 1/(4k+1)!}
= (1/2){cos(1)+cosh(1)} + (1/2){sin(1)+sinh(1)} ；※
= (1/2){cos(1)+sin(1)+exp(1)}
※
jが整数の時、1+(-1)^(2j)=2、1+(-1)^(2j+1)=0 に注意すると
Σ[k=0,∞]1/(4k)!=(1/2)Σ[j=0,∞]{(1+(-1)^(2j))/(2(2j))!+(1+(-1)^(2j+1))/(2(2j+1))!}=(1/2)Σ[p=0,∞](1^p+(-1)^p)/(2p)!
Σ[p=0,∞]1/(2p)!=(1/2)Σ[q=0,∞]{(1+(-1)^(2q))/(2q)!+(1+(-1)^(2q+1))/(2q+1)!}=(1/2)Σ[r=0,∞](1+(-1)^r)/r!=(1/2)(e^1+e^(-1)) 等 >>149
正解です
参考のため用意していた解答を貼ります
補題:
Σ_(m=0,∞) Σ_(n=0,∞) x^m y^n /(m+n)! = (x e^x - y e^y)/(x-y)
が成り立つ（証明はm+n=kと置いてn,kで和を取り直して
等比数列の和とe^xのマクローリン展開の公式を使えば明らか）
この補題にx=1,y=√(-1)を代入すれば求める答が得られる
ちなみにWolfram Alphaに質問すると
「Σ_(m=0,∞) Σ_(n=0,∞) (-1)^n/(m+2n)! は発散します」
という誤った答が返ってきます >>152
任意のx,yにおいて二重級数が絶対収束するので((m+n)!≧m!n!であることに注意)
Σ_(m=0,∞) Σ_(n=0,∞) x^m y^n /(m+n)!
= Σ_(k=0,∞) Σ_(n=0,k) x^(k-n) y^n / k!
で入れ替えOK
>>149 の解答でも同じ入れ替えをしているけど...あえて質問するのはなぜ？ 1種類の数字と1種類の記号を合計13個使って13を表せ 前>>148
>>89
最初の10個の和は(1+10)10/2=55
最後の10個の和は90×10+55=955
∴下二桁が同じになっておもしろい。 +++++11++1++1.
11--1--1--1-1. >>89
何気におかしいのが、最後の行で「例えば」って言ってること
例えではねえだろ >>89はchatGPTが出力した問題(のはず)だから、ツッコミを入れるだけ野暮。
あたかも人間が書いてるように感じられるところまでは来てるから、
数学バージョンの不気味の谷というか、
内容が中途半端に支離滅裂なのがイラッとするのは分かる。
>>139もイラッとする典型例で、文章の流れは自然なのに、
推論の内容は盛大に間違っていて、トンデモのたぐいが
やりがちな間違え方に似ている。
逆に考えると、トンデモの知能はchatGPTレベルでしかないんだろうな。 そもそも「面白い」という感覚自体がAIには分からんのだろ
下二桁が同じだとか、数が近い値になるとか、そういう具体的なことでしか面白いという感覚を定義できない √(√(√5 - 2) + 1) の三重根号を外し二重根号の和で表せ >>167
正解
ポイントは
x = √(√(√5 - 2) + 1)
の代数方程式 (x^2 - 1)^2 = √5 - 2 の共役根
y = √(-√(√5 - 2) + 1)
が見つけられるかどうかです
以下
x^2 + y^2 = 2
2xy = 2√(3 - √5) = √10 - √2
ゆえに
(x+y)^2 = 2 + √10 - √2
(x-y)^2 = 2 - √10 + √2
x = (1/2)√(2 + √10 - √2) + (1/2)√(2 - √10 + √2)
ネタ元は Modular lambda function λ^*(5)
に対応する Ramanujan's class invariant g_5 の一見非自明と思われる等式
g_5 = (1/2)^(1/4) √√√(2√(2√5 + 2) + √5 + 3)
= (1/2)^(1/4) √√(√(√5 + 1) + √2)
= ((√5 + 1)/4)^(3/8) √(√(√5 - 2) + 1)
= ((√5 + 1)/16)^(3/8) (√(√2 + √5 - 1) + √(√2 - √5 + 1)) ∀x∈(0,1), f(x)=(1-x^n)^(1/n) (n=2,3,…)
lim[n→∞]{∫[0→1]f(x)dx}^n=1を示せ ∫[0,1](1-xⁿ)^(1/n)dx
=(1/n)∫[0,1](1-t)^(1/n)t^(1/n-1)dt
=(1/n)B(1/n+1,1/n)
=(1/n)Γ(1/n+1)Γ(1/n)/Γ(2/n+1)
=Γ(1/n)²/Γ(2/n)/(2n)
=(n - γ + O(1/n))²/(n/2 - γ + O(1/n))/(2n)
=(1 - γ/n + O(1/n²))²/(1 - 2γ/n + O(1/n²))
= 1 + O(1/n²) カントール集合に含まれる線分の端点を任意に2つ選ぶとき、2点間の距離の平均値はいくつに収束するか？ 二つの30度の角を見ると錯角になってるので平行だと分かるので錯角により44度 先にTwitterで見てたけどいい問題だよね
状況が二転三転する感じが 図形問題の抜け穴をちゃんと筋の通った問題として形にするの凄いと思った >>182
それだと提示されてる他の角度との整合性がとれないからだと思います >>182
画像をよく見ると対角線が微妙に折れ曲がっている >>185
どこが曲がってるかは分かるのだが
角度が出せない >>186
三角関数使えば46°になることはすぐにわかる >>187
どうやって？
なんとか
sin30sin32sin30/sin16sin74sin44=sinx/sin(134-x)
の解ということは分かったが >>189
そんなの使っちゃアカンやろ
使わんと計算でキルンや無い？ >>190
倍角公式:sin16sin74=sin16cos16=(1/2)sin32
加法定理:sin(134-x)=cos44cosx+sin44sinx
を代入すれば手計算で一瞬で解けるけど
もしかして計算が苦手なのかなと思いURLを貼りました
気を悪くしたならすみません >>194
n=2のとき成り立たないと思うけど問題あってる? 前>>160
>>174
錯角は等しいから30+16=46
x=76+16-46=46
∴46° >>195
あ、まじ？
どっかでミスったか
ちょっと計算し直してくる >>196
>x=76+16-46=46
これはどういう計算？ 正三角形を全て大きさの異なる複数の正三角形に分割することは可能か >>200
正方形に対する同様の問題が
有限個で解けることをご存じ？ 前>>196
>>194
台形の内部にある右下の角は、
対角線に見える右上がりの線が直線なら74°だけど、
折れ線なので75°かな？
と思ったけど、おそらく76°
台形の右側の斜辺を上にのばした外角について、
同位角は等しいから76°+16°=92°
46°を引いてx=92°-46°=46° 前>>202訂正。
>>194
台形の内部にある右下の角は、
対角線に見える右上がりの線が直線なら74°だけど、
折れ線なので75°かな？
と思ったけど、おそらく76°
台形の右側の斜辺を上にのばした外角について、
同位角は等しいから30°+16°=46°
76°と16°を内角に持つ三角形の外角は、
76°+16°=92°
46°を引いてx=92°-46°=46° >>201
ルジンのやつでしょ
正三角形は有限個じゃ無理だと思うが 間違いがあったので修正しました。
不等式を示せっていう問題です。
https://i.imgur.com/A095hQU.jpg >>203
>おそらく76°
思っただけ？理由は無いということ？ なんなら無限個でも無理臭いなこれ
プラスチック比で螺旋状に並べて端の2つをまた螺旋状に分割…というのを最初に思いついたんだが普通に同じ大きさのができてしまう >>207
何か凸曲線の積分値の問題に帰着されそうな気配も >>208
できる方か、できない方がわかんないと流石にやる気しないね あら、証明されてたのか
有限個の文言も書き忘れてたし >>199 はクローズとします
用意してた解答の概略だけ（と言っても結構細かくまで書いちゃった）
そのような分割が存在すると仮定して、
分割前の大きい正三角形をなす３つの壁と分割後の小さい正三角形各々を合わせてV、
辺で正の長さで接している関係をEとして無向グラフ G=(V,E) を考える。
２つの正三角形（もしくは正三角形と壁）が接している部分の角度が
(2,0),(-1,√3),(-1,-√3)のどのベクトルと平行かによってEの要素をそれぞれ0,1,2とラベリングする。
ラベルiの辺全体の集合をE_iとおく。
Gは次を満たす：
(1)Gは平面グラフである
(2)Gの有限面は4つまたは6つの辺からなり、無限面は6つの辺からなる
(3)３つの壁に対応する頂点を除くGの各頂点には、0,1,2のラベルが付加された辺が1つずつ以上接続されている
(4)G_i=(V,E_i)は閉路を持たない（つまり森である）
Gにいつくかの辺（とそれへの適切なラベル）を加えることで、上記の全ての条件を満たしたまま
有限面が全て4つの辺からなるようにできる。このようにしたグラフをG'=(V,E')とおく。
するとオイラーの公式から面の数は |E'|-|V|+2.
またG'の性質より 4×(面の数)+2=2|E'| であるから、総合して |E'|=2|V|-5 を得る。…(A)
各ラベルiについて、(4)より G'_i=(V,E'_i) の連結成分の個数は |V|-|E'_i|.
ここで |E'_i|=∑_(cはG'_iの連結成分) (cに含まれる辺の個数) であるが、
(3)と仮定よりラベルiの辺が付加されない２つの壁に対応する頂点を除いてcに含まれる辺の個数は2以上であるから
|E'_i|≧(G'_iの連結成分の個数-2)×2=2|V|-2|E'_i|-4.
これをi=0,1,2で足し合わせて整理して
|E'|≧2|V|-4. …(B)
(A)と(B)から矛盾。 >>216
これは上手い証明だね
AとBの不等式に矛盾をギリギリ集約させたのテクすぎるわ >>218
ありがとう
ところで可算無限個でも存在するかどうかについては盲点だったな…
気が向いたら考えてみようかしら 無限個はこれでできてるのかなあ
ちゃんと計算してないからダブりがあるような気も
tps/i.im
gur.com/GFfgtJM 10回くらい試してようやくURLを貼れた
弾かれ過ぎ これはどういうシステム？
3ヶ所の収束パターンが相似だけど無理数比になってるとか？ あーーわかった、こういうことかな
等脚台形の大部分を正三角形で埋めて、残った部分をまた相似な等脚台形にする感じか
（相似比とか長さはまだ計算できてないけど）
https://i.imgur.com/o4ZvrZB.jpg そんなイメージ
台形の取り方で3通りできる
二重根号が面倒過ぎて計算してないから実際のところどうなるやら… 3通りじゃなかった
他2通りは解がないからこの方法なら>>222のパターンだけた 左下の正三角形の一辺の長さを1としたとき、正三角形それぞれの一辺の長さは
1/a+b,(1/a)^m*c^n,(1/a+b)^n
m,nは非不整数
a,b,cは以下の式を満たす正の実数
a^3-a-1=0
ab^2+a^3*b+1=0
c=ab+(b^2)/a
具体的な数値は
wolframalpha.
com/input?i=a%5E3-a-1%3D0%2Cab%5E2%2Ba%5E3*b-1%3D0%2Cc%3Dab%2Bb%5E2%2Fa
(例によってURLうまく貼れず) 間違った
辺の長さは
1/a+b,(1/a)^m*(c/(a^2+b))^n,(1/a+b)*(c/(a^2+b))^n
これでオッケーなはず すまん
まず式が間違ってた上にもっと簡略化できた
一旦前2レスは無視して
左下の正三角形の一辺を1とすると、各正三角形の一辺は
1/a^3+b,1/a^m*(b/a)^n,(1/a^2+b)*(b/a)^n
ただしm,nは非不整数
a,bは以下を満たす
a^3-a-1=0
ab^2+a^3*b-1=0
今度こそ合ってる…はず >>230
厳しい意見かもしれないが左辺が
Σ[k=0,n] {n/(n+k)}(-1)^k C[n,k]
= n∫[0,1] (1-t)^n t^(n-1) dt
= nΒ(n+1,n)
= nΓ(n+1)Γ(n)/Γ(2n+1)
= 1/C[2n,n]
と簡単な等式で書けてしまうこととスターリングの公式(不等式版含む)よりも
不等式が複雑で評価も甘いと感じて解くのを諦めた 正三角形を大きさが互いに異なる相似図形に分割することを考える
最少何片で可能か >>232
図のように正三角形を更に小さな正三角形に分割した時の
奇数番目の和集合と偶数番目の和集合に分ければ、相似比が2:1の相似な図形による分割になる
https://i.imgur.com/LWQZqX6.jpg 任意の実数xで連続な関数f(x)がx=f(f(x))=-f(-f(x))を満たすならばf(x)=xまたはf(x)=-xであることを示せ 前>>203
>>232
なるべく大きな正三角形を端からとっていったとしても、
隙間だらけになり、
いまだ分割すべき領域が複雑な形を呈するばかりで、
いったいいつまで分割すればすべて分割できるか、
見通しが立たない。
一つ正三角形を切り出したところで、
残る領域はさらに複雑な形となり、
永遠に異なる大きさの正三角形に分割しつづける。
∴すべての正三角形をたがえることはできない。 >>232
三角定規の形に分けて3つ
二分割はできなさそうだが 正方形や正三角形の他にも
互いに大きさの異なる相似図形に分割できるような
多角形をリストアップしておくとよいと思われる >>234
fが条件を満たすなら-fも満たすので、fは単調増加としてよい。
f(x) > x なる x があったとすると単調性からf(f(x)) > f(x) > xとなり矛盾。
同様にf(x) < x としても矛盾。よって全ての実数xに対してf(x) = x. >>236
>二分割はできなさそうだが
>>233
これAにその相似なBを内部に想定して
何だっけあの濃度が同じになる証明のやり方
あれみたくできるんじゃないかしら
拡大縮小の中心点がないといけないから無理かな？ >>240
たとえば半径1の円の半径を直径にする半径1／2の円を考えて
その又半径を直径にする半径1／4の円を考えてって続けていくみたいな 最初の2円が1点でしか接してないから
できる図形も切り紙細工みたいな点でしか繋がってないヤツになっちゃうけど >>236
境界での重複は許すってことなら >>233 でいい
許さないならそもそもできるのかな？ 前>>235
>>210
思っただけじゃなく、正解を、いや正解になりうる答えをみつけたんだ。あくまで思った時点では75°
答えは76°
あってるかどうかは、わからないけどたぶんあってる。左上が二等辺三角形なら確実、だったような。 4^4^4^4^4^4^4^4^m(m∈ℕ)を47で割った余を求めよ それを狙って嵌め殺すことだけが目的の非常に面白い問題 mod 47
[(0,1),(1,4),(2,16),(3,17),(4,21),(5,37),(6,7),(7,28),(8,18),(9,25),(10,6),(11,24),(12,2),(13,8),(14,32),(15,34),(16,42),(17,27),(18,14),(19,9),(20,36),(21,3),(22,12),(23,1),(24,4),(25,16),(26,17),(27,21),(28,37),(29,7),(30,28),(31,18),(32,25),(33,6),(34,24),(35,2),(36,8),(37,32),(38,34),(39,42),(40,27),(41,14),(42,9),(43,36),(44,3),(45,12),(46,1)]
mod 46
[(0,1),(1,4),(2,16),(3,18),(4,26),(5,12),(6,2),(7,8),(8,32),(9,36),(10,6),(11,24),(12,4)]
mod 11
[(0,1),(1,4),(2,5),(3,9),(4,3),(5,1)]
mod 5
[(0,1),(1,4),(2,1)]
mod 2
[(0,1),(1,0),(2,0)]
4^4^.. ≡0 ( mod 2 ) ( for ≧ 1 4s )
4^4^.. ≡ 1 ( mod 5 ) ( for ≧ 2 4s )
4^4^.. ≡ 4 ( mod 11 ) ( for ≧ 3 4s )
4^4^.. ≡ 26 ( mod 46 ) ( for ≧ 4 4s )
4^4^.. ≡ 17 ( mod 47 ) ( for ≧ 5 4s ) >>257
あってはいるけど数学のすの字も感じられないね たまには軽めの問題も
実数上の実関数fであって、全ての実数x,yに対して次を満たすようなものを全て求めよ
[f(x)] + y = [x] + f(y) f(x) ] - [ x ] = f(y) - y
整数nをn = [ f(0) ] - [ 0 ]として任意のyで
f(y) = y + n
すなわち∃n∈ℤ∀y f(y) = y + n
これが十分である事は容易 エレガントに解けって問題に書いてたならわからんでもないが フェルマーの小定理を教わった後、それを利用して何か面白い問題はできないかなと考えて、作り出された問題と想像される。 ワイが前に似たような問題をこのスレで出題したんたけどな… n を 2 以上の整数とする。任意の素数 p に対して {p^(n + 1)}/(p+1) は n^2で 割り切れないことを証明せよ n を 2 以上の整数とする。任意の素数 p に対して {(p^n) + 1}/(p+1) は n^2で 割り切れないことを証明せよ nは奇数としてよい
r | n を奇素数としG を ℤ/rℤ の乗法群とする
vをr進付値とする
p=rのときは明らかにv(pⁿ+1) = 0である
p≠rとして-pの類のGでの位数をmとする
m | n でなければv((-p)ⁿ -1) = 0である
m | n とすればmはφ(r)の約数だからm<r≦nである
よってrは(-p)ⁿ-1の原始素因子でなくv((-p)ⁿ-1)≦1である(∵ [1] のλₙが素数になる証明)
以上によりpⁿ+1がnと共通素因子を持つとしてもその多重度は1以下である□
[1] https://integers.ハテナプログ.com/entry/2016/12/30/183841
ハテナプログ=hatenablog 全てのnの素因子rに対して-pのℤ/rℤの乗法群における位数はnの約数でなければならない
特に(n,φ(r))の約数でなければならない
特に最小素因子rについては1でなければならない
r | -p-1
∴v((-p)ⁿ-1) = v((-p)-1) + v(n)
∴v((-p)ⁿ-1) - v((-p)-1) = v(n) < 2v(n) ∫_(0,∞) sin(x log(x)) dx は広義リーマン積分として収束するか？ xlog(x) = t の逆関数をx=g(t)として
(1+log(x))dx = dt
dx = 1/(1+log(g(t))) dt
(1+log(x))g'(t)=1
∫sin(x log(x))dx = ∫sin(t)/(1+log(g(t))) dt
∫[nπ-π/2,nπ+π/2]sin(t)/(1+log(g(t))) dt
= [ -cos(t)/(1+log(g(t))) ]...
- ∫[...]cos(t)/(x(1+log(x))³)dt
= - ∫[...]cos(t)/(x(1+log(x))³)dt
∫[0,∞]1/(x(1+log(x))³)dt
=∫[1,∞](1+log(x))/(x(1+log(x))³)dx
は絶対収束(∵log(x) = uで容易に確認できる) 「収束する」で正解です
手持ちの解答
(0,1)区間では収束するので(1,∞)区間で考える
∫_(1,∞) sin(x log(x)) dx
= Σ[n=0,∞] (-1)^n ∫_(nπ/W(nπ),(nπ+π)/W(nπ+π)) |sin(x log(x))| dx
= Σ[n=0,∞] (-1)^n ∫_(nπ,nπ+π) |sin(t)/(1+W(t))| dt
(WはランベルトのW関数)
1/(1+W(t))は単調減少でt→∞で0に収束
⇒∫_(nπ,nπ+π) |sin(t)/(1+W(t))| dtは単調減少列でn→∞で0に収束
⇒交代級数Σ[n=0,∞] (-1)^n ∫_(nπ,nπ+π) |sin(t)/(1+W(t))| dt は収束
ちなみに∫_(0,∞) sin(x+log(x)) dxは収束しません
またwolfram alphaはこの手の収束判定を間違えます Σ[n=1,∞] n/sinh(n/2) はほとんどπ^2-1で差は10^(-14)以下であることを示せ
参考概算値
3.14<π<3.15, 0.69<log2<0.7, 2.3<log10<2.31
を使って手計算でお願いします という事は例によってラマヌジャン系か
そんなの自分で思いつくわけないやん
結局lost bookかららしいとこ探すだけの作業になってしまう 手元の２つの想定解答ではラマヌジャンはたぶん関係してない どっかから拾ってきたんやろ？
この手のやつは大概ラマヌジャン系だよ imτ>0であるτに対してJacobiの虚数変換公式から
θ₄(v/τ,-1/τ) = exp(-πi/4)√τ exp(πiv²/τ)θ₂(v,τ)
対数微分をとって
θ₄'/θ₄(v/τ,-1/τ)/τ = 2πiv/τ + θ₂'/θ₂(v,τ)
微分して
(θ₄'/θ₄)'(v/τ,-1/τ)/τ² = 2πi/τ + (θ₂'/θ₂)'(v,τ)‥①
ここでθₖの対数微分から
(θ₄'/θ₄)'(v,-1/τ) = 4π²Σn/sinh(nπi/τ)cos(2πnv)
(θ₂'/θ₂)'(v,-1/τ) = -π²cos(πv)‥②
+8π²Σn/(exp(-2πinτ)-1)cos(2πnv)‥③
特にv=0,τ=2πiのとき①,②,③より
-Σn/sinh(n/2) = 1 - π² + 8π²Σn/(exp(4π²n)-1)
ここで
| 8π²Σn/(exp(4π²n)-1) |
≦ 8π²Σexp(-4π²n)
= 8π²/(exp(4π²)-1)
= 5.651071634102E-16
より主張を得る□ 訂正
| 8π²Σn/(exp(4π²n)-1) |
≦ 8π²Σn exp(-4π²n)
= 8π²exp(-4π²)/(1-exp(-4π²))²
= 5.651071634102E-16 正解
想定解答は
f(x) = x/sinh(x/2), x≠0
f(0) = 2
と置くとPoisson summation formulaから
Σ[n=-∞,∞] f(n) = Σ[k=-∞,∞] F(k)
ここでFはfのフーリエ変換で
F(t) = ∫[-∞,∞] f(x) e^(-2πitx) dx
= 2π^2/cosh^2(2π^2 t)
ゆえに誤差は
|Σ[k≧1] F(k)| < 8π^2Σ[k≧1]e^(-4π^2 k) = 8π^2e^(-4π^2)/(1-e^(-4π^2)),
log_10(|Σ[k≧1] F(k)|) < log_10(8×10) + (-4π^2+log(1/(1-e^(-4π^2))))/log10
< 1+0.7×3/2.3+(-4×3.14^2+0.7)/2.31 < -14.8
別解はAbel-Plana formulaと虚軸積分の留数置き換えより
∫[0,∞] x/sinh(x/2) dx - Σ[n=1,∞] n/sinh(n/2)
= 1 + 8π^2Σ[k=1,∞] n(-1)^n/(e^(4π^2 n)-1)
後は同様
ネタ元は
Pi: a source book, Springer (1997) p.689
"The following is not an identity but is correct to over 42 billion digits:
{(1/10^5)Σ[n=-∞,∞] e^(-n^2/10^10)}^2 = π."
のテータ関数をランベルト級数に変えて簡略化したもの 岩波 数学公式II(82頁) に
Σ[n=1,∞]n cosech nx = (π^2-2x)/(4x^2) ,但し x は正実数
を見ゆ すげえな
もちろん上の計算で誤差項は0ではないからその公式間違ってることになるわな >>284でv=0,τ=πi/xにすると
Σn/sinh(nx)
= π²/(4x²) - 1/(2x)
- 2π²/x²Σ(-1)ⁿn/(exp(2π²n/x)-1)
= (π²-2x)/(4x²)
- 2π²/x²Σ(-1)ⁿn/(exp(2π²n/x)-1)
やね >>288
これは知らなかった
過去のスレで指摘されてるが数学公式IIIには2ページ目(無限乗積)から誤りがある f(n)=n/sinh(n/2)と置くと、
Sum(n=1,∞)f(n)=π^2-1+ε
になるという主張。
Integrate(n=0,∞)f(n)dn=π^2
これを台形則で近似すると
Integrate(n=0,∞)f(n)dn≒f(0)/2+f(1)+f(2)+・・・=1+Sum(n=1,∞)f(n)=π^2+ε
(f(0)は極限を取った)
こういうからくりだね。 >>292
その通りです
しかしテータ関数の計算で出てくる類似の問題
Σ[n=1,∞] n/(e^n-1) はほとんどπ^2/6-11/24で誤差は2.83×10^(-16)以下を示せ
は積分近似の評価ではたぶん解けません
また
Σ[n=1,∞] n/sinh(πn/4) = π/(2(2^(1/4)-1)Γ(3/4)^4) - 1/π
は等式です
この値は4-2/πに近いから
π/(2(2^(1/4)-1)Γ(3/4)^4) + 1/πはほとんど整数
という遊びができます 三辺の長さが連続する整数であり、面積も整数となる三角形について、一の位が3である辺が必ず含まれることを示せ 3辺を2n-1,2n,2n+1 ( n∈ℤ/2 ) とおく
S = n√(3(n²-1)) ∈ ℤよりn∈ℤ
m = √(3(n²-1))は代数的整数である有理数だから整数でこれをmとすれば
m²-3n² = -3
これを解いて
(m₀, n₀) = (0,1)
(mₖ₊₁, nₖ₊₁) = (mₖ+3nₖ, mₖ+2nₖ)
が整数解の全体
nₖ≡1 ( mod 5 ) ( k≡0 ( mod 3 ) )
2 ( mod 5 ) ( k≡1,2 ( mod 3 ) )
だから特にn≡1,2 ( mod 5 )
n ≡ 1 ( mod 5 )のとき2n+1 ≡ 3 ( mod 10 )
n ≡ 2 ( mod 5 )のとき2n-1 ≡ 3 ( mod 10 ) pを奇素数、ℚₚを有理数体ℚのp進付値による完備化とする
u,vがpの倍数でない整数のとき方程式
ux²+vy² = 1
はℚₚで解を持つ事を示せ 66,203,335,759,2227,3663,7249,80,252,420,882,2770,4618,9126
の数字の和を使って22999をピッタリ作りたい
この時、解は存在するか。
数字は重複して何度でも使用して良いが、使う回数は少なければ少ないほど良い。
18-(使用した数字の合計個数)をこの問題の得点とする
という問題誰かといてください！ 問題自体はちっとも面白くもないどころか超絶クソつまらないから、面白い解き方を用意してるのかな？ >>298
大きい数字の順に
2,0,0,1,0,0,0,0,1,0,2,0,2,0
2,0,0,0,0,1,2,0,0,0,3,0,0,0
1,1,0,0,0,2,2,0,0,0,0,2,0,0 a^3+b^3+c^3+d^3+e^3=0.
|a|,|b|,|c|,|d|,|e|:prime. 前>>247
>>298
22999≡67(mod252)
≡(mod882)
∴可能または可能性がある。 前>>247
>>298
22999≡67(mod252)
≡67(mod882)
∴可能または可能性がある。 前>>310
>>298
66+203+2227+3663+252+420・13+882+9126+80・14=22999
999の発車時刻に間にあいそう。 g(x) = tf(x)とおく
tx = sg(g(ux))
xt/(su)= g(g(x))
k = t/suとすればk≠1
g(g(x)) = kx‥①
g(0) = aとすれば
k×0 = g(a)
g(0) = ka
∴ a = 0
①を微分して
g'(g(0))g'(0) = k
g'(0)²=k
∴ k>0
(i) k<1のとき
g(g(...g(x)) = kⁿ(g(x)) = g(kⁿx))
g(x)/x = g(kⁿx)/(kⁿx)
右辺がn→0で収束するからg(0)=0
∴f(0) = 0
∴g(x)/x = g'(0) : const.
(ii) k>1のとき
g(x)の逆関数をh(x)とすれば
h(h(kx)) = x
x/k = h(h(x)) 手持ちの解答は
x=sf(tf(ux))
tx/s=tf(tf(ux))
f(tx/s)=f(tf(tf(ux)))
sf(tx/s)=sf(tf(u(tf(ux)/u)))
suf(tx/s)=tf(ux)
suf(tx/su)/t=f(x)
suf(0)/t=f(0)
su≠tよりf(0)=0
k=su/tとおくとk≠1
f'(0)の存在性から与式を微分してx=0のときを考えるとk>0
kf(x/k)=f(x)=f(kx)/k
k>1ならf(x)/x={f(x/k^n)-f(0)}/{(x/k^n)-0}→f'(0)(n→∞)
0<k<1ならf(x)/x={f(k^n x)-f(0)}/{k^n x-0}→f'(0) (n→∞)
つまりk>0,k≠1でf(x)/x=f'(0)～
みたいな感じでした >>308
mod2,9,7を考えれば5つの変数のうち値が±2,±3,±7であるものが
少なくとも1つずつ存在しなければならないことがわかる。
あとは x^3+y^3=±8±27±343 の解を全列挙して |x|,|y| が両方素数になるものを探せば良い。
てことで誰かあとよろ でもmod 13で考えると
[0,1,8,1,12,8,8,5,5,1,12,5,12]
になって±8±27±8 ≡ ±1, ±17, ±15 ( mod 13 )になって
x³+y³ ≡ ±1, ±17, ±15 ( mod 13 )
結局x,yのどっちかは±13になる
結局 x³=±8±27±343±2197だけど解ないんじゃない？ 間違った
d³+e³ = 8 - 343 - 27 (d³≡1, e³≡1 ( mod 13) )
d³+e³ = 8 - 343 + 27 (d³≡-1, e³≡-8 ( mod 13 )
がありうるわ けどどのみち解なしになる希ガス
大先生は解なしって言ってる 受験数学じゃないから解なしも立派な答え、というか受験数学でも解なし禁止されてるわけじゃないけどな
まぁこの手の問題で解なしは評価低いのはその通りだけど 前>>311
>>298
18-9=9
獲得した得点は9点ですね。 絶対値2,3,7が奇数個
2^3 + 3^3 + 7^3 < 11^3 - 7^3
2^3 + 3^3 + 7^3 < 13^3 - 11^3
====> 絶対値は全て7以下
絶対値が以下になる場合だけ考えればいい
2 2 2 3 7
2 3 3 3 7
2 3 5 5 7
2 3 7 7 7
2^3 + 3^3 + 5^3 + 5^3 < 7^3
より、上3個は消える
2^3 + 3^3 + 7^3 < 7^3 + 7^3
より、4個目も消える ああ、計算機の結果信じてないんじゃなくて計算機使わなくても示せるって話か >>308の書き方だと複素数もありえるけどそれだと簡単過ぎよな x^9-x^3(xは自然数)は、504のばいすうであることを示せ! x^3(x^6-1)が7×8×9の倍数であることを示す
xが7,2,3の倍数であるときは良いのでそうでないとき、
x^6-1はフェルマーの小定理から7の倍数であり
x^6-1の因子x^2-1は8の倍数であり
x^6-1=(x^3-1)(x^3+1)はどちらかの因子が9の倍数である 1から37までの37個の整数の中から、どの2個も差が3以上であるような7個の整数
(例:2,6,13,20,23,32,36)の選び方は何通りか。 1～25からa,b,c,d,e,f,g選んだ各場合に
a,b+2,c+4,d+6,e+8,f+10,g+12を対応させて一対一対応
∴ ₂₅C₇ 問題には４種類ある
・一見面白そうで本当に面白い問題
・一見面白そうで実はつまらない問題
・一見つまらなそうで実は面白い問題
・一見つまらなそうで本当につまらない問題 n色のおはじきをランダムに並べます。
(A)直線に並べたとき
(B)円状に並べたとき
隣り合う同じ色のおはじきが存在しない確率をそれぞれA[n],B[n]とします。
A[∞]>1/3を示し、B[∞]を求めてください。 >>336
n色のおはじきを2つずつです。すみません。 円周率を無理矢理正方形の比にして3.14の場合(1対0.725)とその時は出たsin cos tanを使ってその比を円周率の比がどんな正方形であっても対応できるようにさせる問題 330の問題俺が作ったんだけど
面白い？
面白さ度の点数ちょうだい (2n-1)!Bₙ
= Σ[k =0,n] ₙCₖ(-1)ᵏ(2n-k-1)!2ᵏ
までは容易(∵包除原理)
積分表示して
(2n-1)!Bₙ
= ∫[0,∞]t²ⁿ⁻¹(1-2/t)ⁿe⁻ᵗdt
= ∫[0,∞]tⁿ⁻¹(t-2)ⁿe⁻ᵗdt
このt:0～2の部分の寄与→0は容易だからt→t+2として
(2n-1)!Bₙ
= e⁻²∫[0,∞](t+2)ⁿ⁻¹tⁿe⁻ᵗdt
= e⁻²Σ[k=0,n-1]ₙ₋₁Cₖ2ᵏ(2n-1-k)!
第k項は
(2n-2)(2n-4)..(2n-2k)(2n-1-k)!/k!
である
ここで
0 < (2n-1)! - (2n-2)(2n-4)..(2n-2k)(2n-k-1)!
= (2n-1)!( 1 - (2n-2)(2n-4)..(2n-2k)/((2n-1)(2n-2)..(2n-k))
< (2n-1)!( 1 - (2n-2k)ᵏ/(2n-1)ᵏ)
< (2n-1)! k(2n-1)ᵏ⁻¹(2k-1)/(2n-1)ᵏ)
だから
(2n-2)(2n-4)..(2n-2k)(2n-1-k)!/k!
< (2n-1)!/k! - k(2k-1)/(2n-1)ᵏ
よって
Σ(2n-2)(2n-4)..(2n-2k)(2n-1-k)!/k! → e
である
以上により
lim Bₙ = 1/e ちょい訂正
(2n-1)!/k!
> (2n-2)(2n-4)..(2n-2k)(2n-1-k)!/k!
> (2n-1)!/k! - (2n-1)!/(2n-k)(2k(k-1)+k)/k!
よって
Σ1/k!/e² > Bₙ > Σ1/k!/e² - 1/n×3e/e²
である
以上により
lim Bₙ = 1/e
つまり展開したk項
ₙ₋₁Cₖ(2n-k-1)!2ᵏ
はほぼほぼ(2n-1)!/k!になってる
この誤差項の評価すればでる
多分もっとカッコいいやり方あるんだろうけど思いつかん
困った時の力技 >>341
実はこれ2009の京大文系の問題の改題なんだよね
もともとは9の倍数である事を示せだった
過去問やってたらあれこれ504で割り切れるじゃんって気づいた 逆に
係数が互いに素な多項式が整数代入で常に504の倍数になるならx^9-x^3を因子に持つ
と言えるか？ これだと全然ダメか
係数を0,±1に限定するか
係数は何も制限せずに(x^9-x^3)f(x)+504g(x)の形を予想するべきか x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6). なるほどw
係数を0,±1に限定した場合はどうなるんだろう？ Z[x]のイデアルがある範囲の係数の元を持つかってのは偶然性が強すぎて(良くない意味で)難しい問題なのかな
生成元の個数とかを考えるべきか x^9=x^4323(mod.x^9-x^3).
21x^8=x^8+x^14+x^20+...+x^128(mod.x^9-x^3).
175x^7=x^7+x^13+x^19+...+x^1051(mod.x^9-x^3).
735x^6=x^6+x^12+x^18+...+x^4410(mod.x^9-x^3).
1624x^5=x^5+x^11+x^17+...+x^9743(mod.x^9-x^3).
1764x^4=x^4+x^10+x^16+...+x^10582(mod.x^9-x^3).
720x^3=x^3+x^9+x^15+...+x^4317(mod.x^9-x^3).
x^3(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)
=x^4323+(x^8+x^14+x^20+...+x^128)+(x^7+x^13+x^19+...+x^1051)
+(x^6+x^12+x^18+...+x^4410)+(x^5+x^11+x^17+...+x^9743)
+(x^4+x^10+x^16+...+x^10582)+(x^3+x^9+x^15+...+x^4317)(mod.x^9-x^3). なるほど、この問題の場合は次数を6ずつ上げて無理矢理ばらけさせれるのか こういうイデアルの生成元とかって研究されてるんかな f(x)/504=a(0)1/0!+a(1)x/1!+a(2)x(x+1)/2!+a(3)x(x+1)(x+2)/3!+a(4)x(x+1)(x+2)(x+3)/4!+.... こういうのは小さい数字から調べるのが良い気がする
I_n := { f∈Z[x] : 全ての整数xについてf(x)∈(n) } とおくと
I_0 = {0}
I_1 = Z[x]
I_2 = (2, x^2-x)
I_3 = (3, x^3-x)
I_4 = (4, 2(x^2-x), x^4-x^2)
I_6 = (6, 3(x^2-x), x^3-x) 当たり前やん
メンバーシッププロブレム
もう解決済み >>353-355
面倒だけど帰納的に求めていく方法があるってことなんでしょうか？ f(x)
=a(0)504
+a(1)504x
+a(2)252x(x+1)
+a(3)84x(x+1)(x+2)
+a(4)21x(x+1)(x+2)(x+3)
+a(5)(21/5)x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
+a(6)(7/10)x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)
+a(7)(1/10)x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)
+...
=b(0)504
+b(1)504x
+b(2)252x(x+1)
+b(3)84x(x+1)(x+2)
+b(4)21x(x+1)(x+2)(x+3)
+b(5)21x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
+b(6)7x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)
+b(7)x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)
+....
(x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6),7x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5),21x(x+1)(x+2)(x+3),84x(x+1)(x+2),252x(x+1),504). f(x)
=c(0)
+c(1)x
+c(2)x(x+1)
+c(3)x(x+1)(x+2)
+c(4)x(x+1)(x+2)(x+3)
+c(5)x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
+c(6)x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)
+c(7)x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)
+....
f(0)=c(0).
c(0)=504d(0).
f(-1)=c(0)+c(1)(-1).
c(1)=504d(1).
f(-2)=c(0)+c(1)(-2)+c(2)2.
c(2)=252d(2).
f(-3)=...+c(3)(-6).
c(3)=84d(3).
f(-4)=...+c(4)24.
c(4)=21d(4).
f(-5)=...+c(5)(-120).
c(5)=21d(5).
f(-6)=...+c(6)720.
c(6)=7d(6).
f(-7)=...+c(7)(-5040).
c(7)=d(7).
...
f(x)
=d(0)504
+d(1)504x
+d(2)252x(x+1)
+d(3)84x(x+1)(x+2)
+d(4)21x(x+1)(x+2)(x+3)
+d(5)21x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)
+d(6)7x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)
+d(7)x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)
+.... >>356
そう、というかよく考えたらこの問題メンバーシッププロブレムにすらなってないわ
一般に
f(x)が全ての整数xで整数値をとる多項式
⇔ f(x)はC[ x,k ]の形の多項式のZ係数の線形結合
は受験数学でもお馴染みの話
なので
f(x)/504 = C[ x,k ]の形の多項式のZ係数の線形結合
⇔f(x) = 504C[ x,k ]の形の多項式のZ係数の線形結合
とかける事が必要十分だから504C[x,k]の全体がℤ係数ではるℤ[x]の部分空間を決定する問題でしかない 補題 任意の整数xに対して n | pₙ(x)
(∵) 任意の加法付値vに対してv(x)>0のとき
v( pₙ(x) ) ≧ Ψ(n) ≧ v(n)
v(n) = 0のときはℤ/nℤにおいてxの類は可逆元でその位数はφ(n)の倍数だからx^φ(n) ≡ 1 ( mod n )
∴ n | pₙ(x)
∴ v( pₙ(x) ) ≧ v(n)
いずれかの場合でも v( pₙ(x) ) ≧ v(n)でこれが任意の加法付値vについて成立するからn | pₙ(x)□
εₖ : ℤ/nℤ[x] → ℤ/nℤをf(x)→f(k) (i.e. kを代入する準同型)とし、ε : ℤ/nℤ[x] → ℤ/nℤ^nをε₀～εₙ₋₁までの直積とする
補題によりεはℤ/nℤ[x] →ℤ/<nℤ[x] ,pₙ(x)>を通過する
ここで環ℤ/<nℤ[x] ,pₙ(x)>は有限環であり誘導される写像ℤ/<nℤ[x] ,pₙ(x)>→ℤ/nℤ^nの核を決定するアルゴリズムが存在するのは明らか(全数テストすればいい)
結局εの核はこの誘導された準同型の核の代表元とpₙ(x)で生成される >>357-359
ありがとうございます
Q係数で考えればC[x,k]の線形和で書けて、そこから504倍した形をZ係数に入るように順次整理していくわけですね Iₚ = < xᵖ-x, p >としてn = Πp^eₚとおくとき
ker εₙ ⊃ Π Iₚ^eₚ
は言えるけど逆は無理だしそんなキレイな表示はなさそう
計算するアルゴリズムはあるくらいで満足すべき問題かな x^(2^n)-x^(2^(n-1))+1は既約であることを示せ
x^1024+x^512+1を因数分解せよ それどっかのyoutuberが「係数体指定しなきゃ問題にならん」と突っ込んでたな 係数体がℚなら
x^1024+x^512+1
＝(x^512-x^256+1)(x^256-x^128+1)(x^64-x^32+1)(x^32-x^16+1)(x^16-x^8+1)(x^8-x^4+1)(x^4-x^2+1)(x^2-x+1)(x²+x+1)
やな Cで分解できるのが明らかならわざわざ自明な解答の問題出すなんて想定することないでしょうに
意地悪な人たちだなあ この板は拗らした人が多いから
あんま気になさらずに 一般にφₘ(x)を円分多項式としてmの素因子pをとるとき
φ_pⁿm(x) = φₘ(x^(pⁿ))
証明はζ=exp(2πi/m)とするとき[ℚ(ζ):ℚ] = φ(m) (このφはEuler tautient)からすぐ 一番意地悪なのはわざと係数の範囲を伏せて出題する人 x⁴+x²+1 = (x²+x+1)(x²-x+1) は可約
x⁴-x²+1 はℚ上規約 (1) ∫[0,∞] 2/(x + eᵡ)dx = -2Σ[n≧1] (-1/n)ⁿn!/n を示せ
(2) | Σ[n≧N] (-1/n)ⁿn!/n | = O(exp(-N))を示せ( Stiring 可 ) f(x,y)=((x-1/2)^2+(y-3/2)^2)/2+xy-1/4とする
fがN×NからNへの全単射になることを示せ サイコロを5個投げて、出た目の和が13以上になる確率を求めよ。 4,5,6の3つの目がすべて出るまでサイコロを投げ続けるとき、サイコロを投げる回数の期待値を求めよ。 東工大の問題を大人気なく級数展開して解いたんだけど最初誤差項の評価でアホなことしてた
誤差項の評価なんぞ全くいらなかった
∫[0,∞] 1/(x + eᵡ)dx
= ∫[..] 1/(1 + xe⁻ᵡ)e⁻ᵡdx
= Σ∫[..] (-xe⁻ᵡ)ⁿe⁻ᵡdx
= Σ∫[..] (-x/(n+1))ⁿe⁻ᵡdx/(n+1)
= -Σ(-1/(n+1))ⁿ⁺¹∫[..] xⁿe⁻ᵡdx
= -Σ(-1/(n+1))ⁿ⁺¹n!
= -Σ[n≧1] (n-1)!/(-n)ⁿ
= ( 1 - 1/4 + 2/27 - 6/256 + 24/3125 - .. )
∴ 1 - 1/4 = 3/4 < ∫[0,∞] 1/(x + eᵡ)dx < 1
(∵級数2Σ[n≧1] n!/(-n)ⁿ⁺¹は絶対値が単調減少する交代級数である
実際
| (n-1)!/nⁿ | / | n!/(n+1)ⁿ⁺¹ |
= (n+1)ⁿ⁺¹ /( n×nⁿ ) = (1+1/n)ⁿ⁺¹ > 1
である
よって奇数項で打ち切った近似は上からの評価を与え、偶数項で打ち切った近似は下からの評価を与える)
∫[2023,∞] 1/(x + eᵡ)dx
< ∫[2023,∞] 1/(eᵡ)dx
= e⁻²⁰²³
< 1/4 ( ∵ e²⁰²³ > 2²⁰²³ > 4 )
∴ 3/4 - 1/4 < ∫[2023,∞] 1/(x + eᵡ)dx < 1 - 0
∴ 1 < ∫[0,2023] 2/(x + eᵡ)dx < 2 1から37までの37個の整数の中から7個の整数を選ぶロト7において、
無作為に抽選された本数字7個のうち3個以上の数字が連続している確率を求めよ。
電卓使用可。 >>379
変形すると
f(x,y) = 1 + (x+y)(x+y-1)/2 - y
になるので、自然数N≧2に対して {(x,y):自然数x,yの和はN} のfによる像は
Z ∩ ( (N-1)(N-2)/2 , N(N-1)/2 ]
となる。上記の集合は自然数全体の分割を与える。
なるほどなあ 合計が8以下となる異なる3個の自然数の組は(1,2,3)(1,2,4)(1,2,5)(1,3,4)の4通りですが、
合計が100以下となる異なる3個の自然数の組は何通りか。 ♯Ωᵉ
= ₙC₃
= (n(n-1)(n-2))/6
♯Ω⁽¹ ²⁾
= { (1,1,1)～(1,1,n-2),(2,2,n-4)～..(n-1,n-1,2)}
= n-2 + n-4 + .. + 2
= n(n-2)/4
♯Ω⁽¹ ² ³⁾
= ⌊n/3 ⌋
∴ ♯(Ω/S₃)
= ( (n(n-1)(n-2))/6 - 3n(n-2)/4 + 2⌊n/3 ⌋)/6
(100×99×98/6-3×100×98/4-2×33)/6
=25714 ♯Ωᵉ
= ₙC₃
= (n(n-1)(n-2))/6
♯Ω⁽¹ ²⁾
= { (1,1,1)～(1,1,n-2),(2,2,n-4)～..(n-1,n-1,2)}
= n-2 + n-4 + .. + 2
= n(n-2)/4
♯Ω⁽¹ ² ³⁾
= ⌊n/3 ⌋
∴ ♯(Ω/S₃)
= ( (n(n-1)(n-2))/6 - 3n(n-2)/4 + 2⌊n/3 ⌋)/6
(100×99×98/6-3×100×98/4+2×33)/6
=25,736 >>388
理論的には約13.8%です。
ここまでの統計的にも、そんなもんです。 >>393
こんな感じで
> replicate(10,sim(TRUE)) |> mean()
9 13 15 15 16 17 26 TRUE
6 10 11 22 27 30 37 FALSE
4 6 13 20 23 30 36 FALSE
1 19 20 23 27 28 28 FALSE
5 7 8 21 26 26 26 FALSE
3 4 10 13 17 30 34 FALSE
2 12 20 20 27 27 34 FALSE
5 8 9 16 20 31 36 FALSE
8 17 19 21 24 31 35 FALSE
3 13 14 22 30 32 36 FALSE
[1] 0.1
シミュレーションしてみると１０．９％くらいになったのだが？ １～６の６つの目がすべて出るまでサイコロを投げ続けたとき、サイコロを投げる回数を当てる賭けをする。
いくつにかけるのが最も有利か？ A = { c = a+2, b = a + 1 }
B= { d = b+2, c = b + 1 }
C = { e = c+2, d = c + 1 }
D = { f = d+2, e = d + 1 }
E = { g = e+2, f = e + 1 }
♯A = ₃₅C₅
♯B \ A= ₃₄C₅
♯C \ A \ B = ₃₄C₅
♯D \ A \ B \ C = ₃₄C₅ - ₃₃C₃
♯E \ A \ B \ C \ D = ₃₄C₅ - ₃₃C₃ - ₃₂C₃ A = { c = a+2, b = a + 1 }
B= { d = b+2, c = b + 1 }
C = { e = c+2, d = c + 1 }
D = { f = d+2, e = d + 1 }
E = { g = e+2, f = e + 1 }
♯A = ₃₅C₅
♯B \ A= ₃₄C₅
♯C \ A \ B = ₃₄C₅
♯D \ A \ B \ C = ₃₄C₅ - ₃₂C₃
♯E \ A \ B \ C \ D = ₃₄C₅ - ₃₂C₃ - ₃₁C₃ >>395
１～３７の数字から異なる７個を選ぶというルールだったので
シミュレーションをやり直すと
> replicate(k,sim()) |> mean()
[1] 0.138403
13.8％という値が得られた。 >>399
37C7を総当りで
1423241/10295472 = 1159/8384 = 0.1382395 ４個以上の数字が連続する確率は31/1887＝0.01642819と出た。 計算機使っても答え出せないならもう何も書くな
お前にこのスレで何か書く資格はない 1-(31C7+31C6×6+31C5×5C2+31C4×4)/37C7 前>>325
>>396
すべて出るには6個必要。
6個目出たとき2回以上出てるのが1/2とすると、
6×(1/2)=3
3回出てるのが1/3とすると、
6×(1/3)=2
6+3+2=11
∴11回に賭ける。 sinxを微分するとcosxになる理由を誰か分かりやすく教えて欲しい 前>>404
>>405
y=sinxの傾きがyを微分したy'だから、
0≦x≦2πで描いて傾きを調べたらわかるんじゃないか？
たとえばsin0=0だけど、cos0=1だろう。
ちょうど斜め45°で原点を突っ切って右上がりを描いてる。
y'=cosxを自分で納得するまで描いてみればいい話。 凸多面体で全ての面が正多角形であるものを正凸多面体と呼びます
例えば底面が正n角形である柱や反角柱(上面、下面が正n角形で側面に2n個の正三角形を互い違いに貼り合わせた図形)は正凸多面体です
正凸多面体でn≧12である正n角形をひとつの面として持つものは正n角柱か反n角柱である事を示してください ちなみにwikiには正凸多面体のリストがありますがそれ使うのはNG、ガリガリ初頭的に示して下さい 前>>407
>>408
上底と下底が正n角形で、
上底と下底をどちらからかの無限遠方から重ねて見たときに、
底面が重ならないように片方を回転させると、
側面が曲面になるから正n角柱にも反n角柱にもならないが、
上底の一辺と下底の頂点または上底の頂点と下底の一辺を結び、
側面を合同なn個の三角形にすると、
無数の2n角柱らしき立体ができる。 前>>410訂正。
>>408
上底と下底が正n角形で、
上底と下底をどちらからかの無限遠方から重ねて見たときに、
底面が重ならないように片方を回転させると、
側面が曲面になるから正n角柱にも反n角柱にもならないが、
上底の一辺と下底の頂点または上底の頂点と下底の一辺を結び、
側面を合同な2n個の三角形にすると、
無数の2n角柱らしき立体ができる。 三角形Tの1つの辺の長さは平方数で,残りの辺の長さは素数である。また,Tの面積は整数で,外接円の直径は素数である。
Tの各辺の長さを求めよ。 >>411
じゃあ、その見つけたら反例をこんな反例見つけたらってwikiに殴り込みでもかけてきたらいい 前>>411
>>412三角形Tの1つの辺の長さは平方数で2^2=4
残りの辺の長さは素数で3と5
Tの面積は整数で(3×4)/2=6
外接円の直径は素数で5
∴Tの各辺の長さは3,4,5
このほかにはない。 >>415
3,4,5以外の解が無いことを証明できていないので0点です。 (0,2,2)
面積=0
外接円の直径=2
(4,7,11)
面積=0
外接円の直径=11 >>412
AB=n^2、AC=p、BC=q、外接円の直径=Rとおく。(p,q,Rは素数)
△ABCの面積S=1/2*(n^2*pq)/R
n^2がRで割り切れるときn^2>Rとなり不適
よってp=Rまたはq=Rのいずれかが成立する必要がある
いずれの場合も△ABCは直角三角形
n^4+p^2=q^2として一般性を失わない
p^2=(q-n^2)(q+n^2)であることから、q-n^2=1、q+n^2=p^2
q=(p-n)(p+n)であることから、p-n=1、p+n=qとなり、q=2n-1
よって2n-1-n^2=1となり、nは0でないことからn=2、p=3,q=5
AB=4,AC=3,BC=5 かけない待て待て
素数という条件を一回しか使ってないけどそれだけ満たす反例なら山のようにある
(1,1,0,True)
(5,3,4,True)
(145,17,144,True)
(4901,99,4900,True)
(166465,577,166464,True)
(5654885,3363,5654884,True)
(192099601,19601,192099600,True)
(6525731525,114243,6525731524,True)
(221682772225,665857,221682772224,True)
(7530688524101,3880899,7530688524100,True)
(255821727047185,22619537,255821727047184,True)
しかしこの中でpもqも素数を満たすのは(p,q) = (5,3)しかない
それを示さないと0点らしいぞ >>423
全部５の倍数になってないやん
系列で3個おきに5手割って1余るパターンが出てくる
小さい方は2個おきに３の倍数になる
結局6個おきにそれでは素数でない事が示せないのがでてくる
それを処理せんとダメなんやろな
できるかどうか知らんけど とりあえず、おそらく誰でも辿り着くところは3辺をp,q,m²としてパラメータvによって
p = 2v²+2v+1, m²=2v(v+1), q=2v+1
と表示できる事、ただしパラメータvは
v/2 = y²、v+1 = x²
または
v = x²、(v+1)/2 = y²
となるときで
前者のときx² - 2y² = 1‥①
後者のときx - 2y² = -1‥②
というPell方程式解を(x,y)が満たすときでそれは
xₙ+√2yₙ = (1+√2)ⁿ
とおいたときのnが偶数のときが①の解の全体、nが奇数のときが②の全体
計算機で最初の10項計算させると
(1,1,0,True)
(5,3,4,True)
(145,17,144,True)
(4901,99,4900,True)
(166465,577,166464,True)
(5654885,3363,5654884,True)
(192099601,19601,192099600,True)
(6525731525,114243,6525731524,True)
(221682772225,665857,221682772224,True)
(7530688524101,3880899,7530688524100,True)
となる
n が3の倍数でなければpₙは5の倍数、nが奇数ならqₙが3の倍数となる
問題はnが6の倍数のとき
列挙すると
(1,1,0,True)
(192099601,19601,192099600,True)
(295218051329678401,768398401,295218051329678400,True)
(453690157176121613000576401,30122754096401,453690157176121613000576400,True)
(697229582647141045327149384731193601,1180872205318713601,697229582647141045327149384731193600,True)
さて必ずpₙ,qₙのいずれかは素数でない
こんなの示せる？ a(n)=((3+2r(2))^n+(3-2r(2))^n)/2.
a(n)|a((2k+1)n).
a(2n)=2a(n)^2-1.
a(1)=3.
a(2)=17=2(mod.5).
a(2^k)=2(mod.5).
c(2^k)=(a(2^k)^2+1)/2=0(mod.5). >>412
三辺をa,b,cとし a,bが素数でcが平方数とする
面積=abc/(2*外接円の直径) が整数だからabcは直径の倍数
直径は素数だからa,bのどれかが直径
つまりTは直角三角形で、aを斜辺としておく
また、a,b,cのどれかが2の倍数だがaは斜辺で唯一の最大だから3以上
するとbが2かcが偶数平方だが b^2=a^2-c^2≧3^2-2^2=5 よりbは2ではない
ゆえにcが偶数平方で a=m^2+n^2 b=m^2-n^2 c=2mn
bは素数だからb=(m+n)(m-n)=b*1 ゆえにm=n+1 すると a=c+1
aは4で割って1余る素数だから一意的に平方数の和で書けるから m^2=c n^2=1
するとn=1、m=2と決まり a=5、b=3 c=4 >>426
コレは何？
ごめんわからん
もう少し行間書いて >>425
ピタゴラス三角形の辺のうちどれかは必ず5の倍数になる >>426
もっと言えばPell 方程式の解で小さい方から列挙した場合、実際pₙが５の倍数になつてないの出てきてるよね？
それはどこで除外されてるん？ a(6)=19601=1153a(2).
a(12)=768398401=1331713a(4).
a(18)=30122754096401=1536796801a(6)=1771926711553a(2).
a(24)=1180872205318713601=1773462177793a(8). >>429
でもm²が５の倍数になったとて何も矛盾しないよね？ なるほど
pₙ = (vₙ+1)² + vₙ² = xₙ⁴ - 4yₙ⁴
だからFibonacci型になってるんやな 前>>415 ∩∩
結局3,4,5以外ないんでしょ ((-｡-) 違う
xₙ⁴+4yₙ⁴の方はこのままでは三項間の定数漸化式満たさない
4(xₙ⁴+4yₙ-3)にしないとダメだ
xₙ⁴-4yₙ⁴はこのままでLucas型
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
(3辺をpₙ,qₙ,m²ₙとして)
pell 方程式の解(xₙ,yₙ)を用いて
pₙ = xₙ⁴ + 4yₙ⁴、qₙ = | xₙ⁴ - 4yₙ⁴ |、mₙ² = 4(xₙyₙ)²
と表されるpₙ,qₙ,m²ₙを調べる
α=1+√2, β=1-√2とおけば
xₙ = ( αⁿ+βⁿ )/2. yₙ = ( αⁿ-βⁿ )/( α-β )
である
よってpₙは
((αⁿ+βⁿ)/2)⁴ + 4((αⁿ-βⁿ)/(α-β))⁴
= ( α⁴ⁿ + β⁴ⁿ )/8 + 3/4( αβ )²ⁿ
= ( α⁴ⁿ + β⁴ⁿ )/8 + 3/4
でありqₙは
| ((αⁿ+βⁿ)/2)⁴ - 4((αⁿ-βⁿ)/(α-β))⁴ |
= | ( α³ⁿβⁿ + αⁿβ³ⁿ )/2 |
= | (-1)ⁿ( α²ⁿ + β²ⁿ )/2 |
= ( α²ⁿ + β²ⁿ )/2
でありmₙは
2(αⁿ+βⁿ)/2)((αⁿ-βⁿ)/(α-β))
= ( α²ⁿ - β²ⁿ )/( α - β )
と表される 以上によりp'ₙ := 4pₙ-3, qₙ, mₙは漸化式
p'ₙ₊₂ = 34p'ₙ₊₁ - p'ₙ
qₙ₊₂ = 6qₙ₊₁ - qₙ
mₙ₊₂ = 6mₙ₊₁ - mₙ
を満たす( ∵ α⁴+β⁴=34, α²+β²=6, αβ=-1 )
ここでp'₀ ≡ 1 ( mod 5 ) p'₁ ≡ 2( mod 5 )から
p'₂ ≡ -p'₁ - p'₀ ≡ 2 ( mod 5 )
p'₃ ≡ -p'₂ - p'₁ ≡ 1 ( mod 5 )
p'₄ ≡ -p'₃ - p'₂ ≡ 2 ( mod 5 )
となり以下周期3でループする
特に3|̸n のときpₙ ≡ 0 ( mod 5 )である
一方で3倍角の公式
q₃ₙ
= ( α⁶ⁿ + β⁶ⁿ )/2
= ( ( α²ⁿ + β²ⁿ )³ - 3α²ⁿβ²ⁿ (α²ⁿ + β²ⁿ ) ) /2
= 4qₙ³ - 3qₙ
であり、よってqₙ | q₃ₙとqₙ≧3 (n≧1),q₀=1によりq₃ₙは素数ではない (1) a,b,c が 正整数で a^2+b^2=c^2 を満たすなら 60|abc
(2) a,b,c が 60|abc を満たし、a,b,cのうち二つが素数なら、その二つの素数は2,3,5のいずれか
らを考慮するとTの三辺は3,4,5に限られる p^2+(60n)^2=q^2
について考えれば十分ってことだな 「0以上1未満の有理数をランダムに選んだとき、その数が有限小数である確率は？」 可算無限個からどうランダムに選ぶっちゅうんじゃ(´・ω・`) 横からなんだけど
可算無限個に対して一様な確率って考えられないのか…
なんか不思議だね ちなみに>>444は昨日ツイッターで見かけた話題をちょっと改変したやつなのだ 素数の個数をNとする
A = Πp/(p-1)を考える
Aは2ᴺ以下である
2進数表示でk桁になる自然数2ᵏ～2ᵏ⁺¹-1の逆数の和は1/2以上だから2ᴺ⁺¹桁以下の数の逆数の和は2ᴺ以上
ここで
A > Π(1-(1/p)ᴺ⁺¹)/(1-1/p) = Π(1+1/p+..+1/pᴺ⁺¹)
ここで右辺を展開した和は全てのN+1桁以下の数の逆数が現れるから右辺は2ᴺ以上
左辺Aは2ᴺ以下 改変してもなってないやんw
分布も与えず確率なんか求められるはずないやん？
指摘されてる通り「分布は普通コレ」なんてものも存在しない
尿瓶？ いや、答えは分布がないから無理で正解なのよ
改変前の問題文が「循環小数である確率は？」で、文脈的に有限小数でないという意味っぽかったのだが
有限小数だって循環小数ではあるから(0が永遠に続くとも取れるし0.5=0.4999…のようにも表せる)
問題文としておかしいと思って>>444では「有限小数である確率は？」に直した >>454わいが習ったやりかたは一から順番に素数をかけてそれにプラス1した数はどの素数で割ることもできないから。
ってことだったけど、これはこれで綺麗 vを3進付値とするときn≧2に対してv(2^(3^n)-1) = n+1である
実際n=2の時は2^(3^2)-1 = 513 = 3³×19により成立
n=kで成立するとしてn=k+1の時は
2^(3^(k+1))-1
= ( 2^(3^k)-1 )( (2^(3^k))² + 2^(3^k) + 1 )
であるが仮定により2^(3^k)≡1 ( mod 9 )により
( (2^(3^k))² + 2^(3^k) + 1 )≡3 ( mod 9 )
となりv( 2^(3^k))² + 2^(3^k) + 1 ) = 1である
さらに帰納法の仮定よりv( 2^(3^k) -1 ) = k+1であるからn=k+1のときも成立する
特にv(2^(3^n)² + 2^(3^n) + 1) = 1と2^(3^n)² + 2^(3^n) + 1>3により^(3^n)² + 2^(3^n) + 1は3以外の素因子pを持つ
このときpは 2^(3^n) - 1の素因子ではない
何故ならば互除法により
( 2^(3^n) - 1, 2^(3^n)² + 2^(3^n) + 1 )
= ( 2^(3^n) - 1, 3 ) = 3
により2^(3^n) - 1と2^(3^n)² + 2^(3^n) + 1 は3以外の共通素因子を持ち得ない
以上により2^(3^(n+1))-1の素因子の数は2^(3^n)-1のそれより少なくとも大きくなる
∴2^(3^n)-1は少なくともn個の素因子を持つ 3!!!! (!がn個)をaₙとする
aₙ-1 < aₙだからaₙ-1 | aₙ! = aₙ₊₁である
aₙ-1 > 1だからaₙ-1は素因子を持つ
一方で互除法よりaₙ-1 とaₙは互いに素である
よってaₙ-1はaₙの素因子でない素因子を持つ
ここでaₙ₊₁=aₙ! はaₙとaₙ-1の公倍数であるからaₙ(aₙ-1)の倍数である
よってaₙ₊₁の素因子の数はaₙのそれより大きい >>461
フェルマー数が互いに素であることの証明をアレンジしてるんだね >>462
要するにnが2より大きい素数のときn!-1はnより大きい素因数を持つという話か
ユークリッドの証明をアレンジしたものだね 1からnまでの自然数が書かれたn枚のカードが2組みある。
この2n枚のカードを一列に並べるとき、同じ数字が書かれたカードが隣り合わないような並べ方は何通りか？ >>465
昔に高校数学スレで出された問題
解は超幾何級数でしか表せない
数字を同一視し、置換関係のみを抽出したときの
場合の数は
a(1)=0, a(2)=1, a(n+2)=(2n+1)a(n+1)+a(n)
の解で a(n)={0, 1, 5, 36, 329, ...}
https://oeis.org/A278990
この数列の一般項は、初等的には書けない
1 から n のカード2組に対する解は
これに n の階乗を掛けて
n!・a(n)={0, 2, 15, 144, 1645, ...} >>469
ケアレスミスがあった
a(1)=0, a(2)=1, a(n+2)=(2n+3)a(n+1)+a(n)
a(n)={0, 1, 5, 36, 329, ...}
https://oeis.org/A278990
解は n!・a(n)={0, 2, 30, 864, 39480, ...}
https://oeis.org/A114938 >>470
自分でケアレスミスって言っちゃう人って… 円C1の中に、任意の3点を取って、その3点を通る冤罪C2がC1の内部にある確率を求めよ。
ただし任意の3点全てが同一直線上ある場合を除外する。 答えは2/5ね
ベルトランのパラドックスみたいなやつとは無縁 >>473
3点は独立だろうけど
点の分布はどうするの？ ほっとけよ
分布って言われてわからん奴このスレで出題できるレベルにない よっぽど特殊に作られた集合ならともかく
何も指定せず開集合上でランダムに取るってったらルベーグ測度で何の問題があるんだよ
違ったら違ったで指摘すればいいだけなのに
揚げ足取り好きな人いるよなあ >>481
そこを曖昧にすると厄介なことになる、というのがベルトランのパラドックス 同一直線上にある場合を除外するというのは標本空間から除外する(そもそもそのように点を選ぶことができない)ことではないの？
そうであれば円の内部に3点を独立かつ一様に取れるはずない
そうでなければ除外するの意味がわからん よくこんなレベルでこのスレに出題しようとか思えるな ３点が同一直線状にあるパターンなんて測度0でしかないんだから無視したらいいじゃないの
問題がnot for meなのはしょうがないけど
度を越して連投してる訳でもあるまいのに実力貶めて萎縮させる程のこと？ 確かに叩くほどではないが本人も突っ張って素直に分布答えずに煽り入れてるのよなｗ [定理]
平方数と立方数にはさまれた
唯一の数は26である
[証明]
k,xは自然数，kx≠0とする
x^3-(x+k)^2=2 から
x^3-x^2-k^2-2kx=2
x^3-x^2-2kx=k^2+2
x^2(x-1)-2kx=k^2+2
x{x(x-1)-2k}=k^2+2
x{x(x-1)-2k}=(k-1)(k-2)+3k
x{x(x-1)-2k}-3k=(k-1)(k-2)
{x{x(x-1)-2k}-3k}/(k-1)=(k-2)…‥①
①はk=2のとき、
x{x(x-1)-2k}-3k=0 となるので、
k=2が確定
x{x(x-1)-2k}-3k=0 にk=2を入力
x{x(x-1)-4}-6=0
x{x(x-1)-4}=6から、
∴x=3
∴整数解は、k=2,x=3 高木クラスだが一応証明にはなってない事を理解できてるだけマシか >>487
>x{x(x-1)-2k}-3k=0 となるので、
>k=2が確定
なんで？ >>487
①はk=2のとき、
x{x(x-1)-2k}-3k=0 となるので、
k=2が確定
ここがおかしいですね さすがに自分の書いた文章がおかしい事くらいは気づいてるんだと信じたい
それすらできないならもはや完全に高木クラス へえ
平方数の立方数で差が1になる組は8と9のみで
差が2になる組は25と27だけなんだな
じゃあ、
“差が3”の組も“探さん”とな >>491,494
大嘘を書くな、何故そこまで必至に工作活動をするのか >>495
OEISによれば(±2)^2-(1)^3=3だけが解っぽいね
この形の問題はかなり難しい話のようだ
Mordell's equationと呼ばれていて例示だけで論文がたくさん書かれてる
立方数と平方数がどれくらい接近するかが未だ分かってないなんて整数論ヤバすぎぃ >>502
間違っている部分が指摘されているけど？ こんな問題を考えてみた
好きに整数m,nを与えよ
この問題の得点はn/(m^3-n^2)とする
(ただし分母はゼロにならないように与えるものとする) [定理]
平方数と立方数にはさまれた
唯一の数は26である
[証明]
k,xは自然数，kx≠0とする
x^3-(x+k)^2=2 から
x^3-x^2-k^2-2kx=2
x^3-x^2-2kx=k^2+2
x^2(x-1)-2kx=k^2+2…‥①
x{x(x-1)-2k}=k^2+2
x{x(x-1)-2k}=(k-1)(k-2)+3k
x{x(x-1)-2k}-3k=(k-1)(k-2)
{x{x(x-1)-2k}-3k}/(k-2)=(k-1)…‥②
{x{x(x-1)-2k}-3k}/(k-1)=(k-2)…‥③
①よりkは偶数
②はk≧4のとき、
左辺{x{x(x-1)-2k}-3k}/(k-2)が偶数
右辺(k-1)が奇数であることと矛盾
したがって、k=2が確定
③にk=2を入力
x{x(x-1)-2k}-3k=0
x{x(x-1)-4}-6=0
x{x(x-1)-4}=6から、
∴x=3
∴整数解は、k=2,x=3 >>508
>②はk≧4のとき、
>左辺{x{x(x-1)-2k}-3k}/(k-2)が偶数
なんで？ 何回指摘しても、また間違った証明を書き込みに来そう 505の問題、分子を√mにしたらガチヤバ予想になるのか
その場合、wikiによると人類は50点くらいしか取れてなくて、何点まで取れるか未だに不明っぽいな >>516
すまん>>508がレス乞食やりだしたと勘違いした 自分で正しい証明が書けるようになるのが数学学習の一区切りだけど、そのためにはまず何より「今目の前にある証明があってるのか間違ってるのか」が判断できるようにならんと何も始まらん
それすらできないお話にも何にもならんレベル x^3-(x+k)^2=-2の場合が考慮されていない >>513
あとは和 Σ_(n,m:整数、n^2≠m^3)1/|n^2-m^3| の収束性あたりも闇深そうな雰囲気
この辺の問題は未来にタイムスリップしてでも結末を聞いてみたいけど
果たして人間が解決できるか… イージー
100≦m^2/(m^3-n^2)
ハード
100≦m/(m^3-n^2)
エイリアン
100≦√m/(m^3-n^2) これを平方数、立方数に限らず一般の累乗数に拡張しても面白い
例えば差が6の累乗数のペアは未だ見つかっていないとか マジか
やっぱり乗法的に定義された数の加法的性質は闇だね
近いうちに大きなパラダイムが起きて一挙に謎が解けたりしないかな、そういう妄想すらしたくなる
もちろんIUTTにも期待しているけどね クソ問も大量に埋まってそうなんだよなあ
例えば
(m+n)^n=n^(m-n)+m
を満たす自然数m,nの組を1つ求めよ
p^(p-q)+p=q^(p+q)+q
を満たす素数p,qの組を1つ求めよ
と出されたとしてまあ解く気にならんだろう
この例は小さい数なので解けなくもないだろうが、多少大きめの数でやられたらまず無理だ 数学で見た目には美しいけど現代数学の力ではどうしようもない問題あるなんかいくらでもある
そんなものあげつらってできないできないいうのが数学の目的ではない
その中からちゃんと今我々の獲得した知恵で新たになんとかなりそうなやつを探していくのが数学
それが分かってないアンポンタンのこんなん思いつきました～がやめられないアホ数知れず (m,n)=(1,1)
(p,q)=(5,2)か
そういう問題で答えが大きい数のみになってるってなかなか無いんじゃないか
指数部分もパラメータにすると制約がきつくなりすぎるイメージ >>526
ああそうか、(1,1)もあるな
想定としては(10,3)だった
何も考えずに出すとこういうことになるとは [定理]
平方数と立方数にはさまれた
唯一の数は26である
[証明]
k,xは自然数，kx≠0とする
x^3-(x+k)^2=2
を成立させる唯一の方法は、
原始ピタゴラス数の性質により、
(k+x)^2=x^2+{2(x^2-1)}
となる場合のみである
この時、x^3=3x^2 が成立する
x^3=x(x^2)なので、
∴x=3
x^3-(x+k)^2=2 から
∴k=2 「x^3-(x+k)^2=2
を成立させる唯一の方法は、
原始ピタゴラス数の性質により、
(k+x)^2=x^2+{2(x^2-1)}」
もう少し丁寧にお願いします 隣接する二つの三角数の二乗の差は
立方数である
隣接する二つの三角数で、
差が二倍となる組は3と6のみである
table[x(x+1)/2,{x,1,100}]
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66,
78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190,
210, 231, 253, 276, 300, 325, 351,
378, 406, 435, 465, 496, 528, 561,
595, 630, 666, 703, 741, 780, 820,
861, 903, 946, 990, 1035, 1081,
1128, 1176, 1225, 1275, 1326,
1378, 1431, 1485, 1540, 1596,
1653, 1711, 1770, 1830, 1891,
1953, 2016, 2080, 2145, 2211,
2278, 2346, 2415, 2485, 2556,
2628, 2701, 2775, 2850, 2926,
3003, 3081, 3160, 3240, 3321,
3403, 3486, 3570, 3655, 3741,
3828, 3916, 4005, 4095, 4186,
4278, 4371, 4465, 4560, 4656,
4753, 4851, 4950, 5050 >>528
もし何かの問題への回答（の一部）ならレス番参照つけてね
あるいは問題を出したいなら明示的に問題として出してね
どちらの趣旨の投稿にも見えないけど認識合ってるならスレチなので他所でやってね 受験問題、受験縛りでも無しでもどうぞ
次の３つのルール(I),(II),(III)に従って三角形ABCの頂点上でコマを動かす事を考える
(I) 時刻0においてコマは頂点Aに位置している
(II) 時刻0にサイコロを振り、出た目が偶数なら時刻1でBに、出た目が奇数ならCにコマを移動させる
(II) n=1,2,..に対して、時刻nにサイコロを振り、出た目が3の倍数でなければ時刻n+1にコマを時刻n-1に位置していた頂点に移動させ、出た目が3の倍数であれば時刻n+1にコマを時刻n-1にも時刻nにも位置していなかった頂点に移動させる
時刻nにAに位置する確率をpₙとする
以下の問いに答えよ
(1) p₂,p₃を求めよ
(2) n=1,2...に対してpₙ₊₁をpₙ, pₙ₋₁で表せ
(3) 極限値lim pₙを求めよ >>535
よくそのレベルのカスみたいな数学力でプロの数学者の作った問題に文句つけられるもんやな
まぁその性格故に能無しなんやろけど >>536
受験範囲縛りで点数が適当にバラけるように作ったのが受験問題
プロの数学者が作ろうが面白くない問題なぞいくらでもある。 >>537
まぁお前にはこの問題の面白さはわからんやろ
クズレスのレベル見てたらお前のカスみたいな数学力は透けて見えるからな
黙っとけや能無し p[2]=p(A→非A→A)=1*2/3=2/3
p[3]=p(A→非A→非A→A)=1*1/3*1/3=1/9
nを2以上とする
時点nでA以外にいるという条件の下で次にAに移る確率をr[n]とする
p[n+1]=(1-p[n])*r[n] (1-p[n])(1-r[n])=1-p[n]-p[n+1]
時点nでAにいる条件下で時点n+2でAにいる確率は
時点n+1でどちらかに移動してから元位置に戻る確率だから1*2/3
時点nでA以外にいる条件下で時点n+2でAにいる確率は
時点n+1でA以外に行き次にAに行くので(1-r[n])*1/3
ゆえにp[n+2]=p[n]*2/3+(1-p[n])*(1-r[n])*1/3＝{2p[n]+1-p[n]-p[n+1]}/3
q[n]=p[n]-1/3と置くと q[n+2]=q[n]/3-q[n+1]/3
足して-1/3，掛けて-1/3になる数をa,bとし
q[n+2]-(a+b)q[n+1]+abq[n]=0
q[n+2]-aq[n+1]=b{q[n+1]-aq[n]}=b^(n-1){q[3]-aq[2]}=b^(n-1)(-2/9-a/3)
n=1でも成り立つ 同様に
q[n+2]-bq[n+1]=a^(n-1){q[3]-bq[2]}=a^(n-1)(-2/9-b/3)
(b-a)q[n+1]=a^(n-1)(2/9+b/3)-b^(n-1)(2/9+a/3)
√13/3*q[n+1]=a^(n-1)(2/9+(-1+√13)/18)-b^(n-1)(2/9-(1+√13)/18)
=a^(n-1)(3+√13)/18-b^(n-1)(3-√13)/18
={(-1-√13)/6}^(n-1)*(3+√13)/18-{(-1+√13)/6}^(n-1)*(3-√13)/18
q[n+1]={(-1-√13)/6}^(n-1)*(3/√13+1)/6-{(-1+√13)/6}^(n-1)*(3/√13-1)/6
p[n]=1/3+{(-1-√13)/6}^(n-2)*(3/√13+1)/6-{(-1+√13)/6}^(n-2)*(3/√13-1)/6
nは2以上で成り立つ │(-1±√13)/6│<1だから極限は1/3 >>539
正解
元ネタ2020京大特色入試
https://youtu.be/_mJVPyjt4FQ
まぁよくある確立漸化式で取り立てて他の確率漸化式と変わらないように見えて、実は流石にうまくできてる
時刻nにおける“状態”を幾つでも設定してでかい遷移行列作ってガチャガチャやれば解けるんだけど、そんな事しなくてもスッキリ解けますよ、できます？という問題
状態山のように作って漸化式巨大にしただけの問題ならバカでも作れるけど、うまいルート見つけたら気持ちよくスッキリ解ける美しい問題を作るのは中々センスが必要
そういう違いがわかるやつにはわかる問題
まぁ解く方はもちろん解けりゃなんでもいいんだけどな
作る側が唸る問題
こういう筋のいい問題がサラッと作れるのが京大はさすがというところ
━━━━━━━━━━
Eₙを時刻nでAにいる事象としてEₙ∩Eₙ₊₁=Φであるから
Eₙ₊₁ = ( Eₙ₋₁∩Eₙ₊₁ ) ∪ ( (Eₙ₋₁∪Eₙ)ᶜ∩Eₙ₊₁ )
∴ pₙ₊₁ = P( Eₙ₊₁ ∧ Eₙ₋₁ ) + P( Eₙ₊₁ ∧ not ( Eₙ₋₁ ∨ Eₙ ) )
= P( Eₙ₋₁ ) P( Eₙ₊₁ | Eₙ₋₁ )
+ P( ￢ ( Eₙ₋₁ ∨ Eₙ ) ) P( Eₙ₊₁ | ￢ ( Eₙ₋₁ ∨ Eₙ ) )
= pₙ₋₁ × 2/3
+ ( 1 - ( pₙ₋₁ + pₙ ) ) × 1/3
= -1/3pₙ + 1/3pₙ₋₁ + 1/3
qₙ = pₙ-1/3とおいて
qₙ₊₁ = -1/3qₙ+1/3qₙ₋₁
α, β をt²+1/3t-1/3 = 0の2解としてu,vを qₙ= u αⁿ+v βⁿ が= 0,1で成立するようにとれば、漸化式から全てのnで成立
| α|,|β|<1よりlim qₙ=0
∴ lim pₙ = 1/3 >>538
このスレで俺の書き込みは537だけだがな
エスパーお疲れさま♪ なんか…数年前と雰囲気変わったよねここ
喧嘩っ早くなったというか
それだけ色んな人が来るくらい人気のスレになったってことでもあるんだろうけど 多分有名問題
m×nマスのチェス盤の好きな場所にナイトを置きそこからスタートしてナイトを動かす、動かせる位置はチェスのナイトの動きで水平方向±2, 垂直方向±1 または水平方向±1, 垂直方向±2 (つまり桂馬の動き)
ただし同じマスは2回通過できない
m×nマス全部回れれば成功
(問題)
m,nが十分大きな整数ならうまくやれば必ず成功できる事を示せ ないです
奇数×奇数ならそもそも戻れませんがどちらか偶数なら戻る解もあるかも 1回の移動ごとに盤の白黒が入れ替わるからね
奇数マスでループは不可能 >>544
やっぱり有名問題だった
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Knight%27s_tour
によると
Schwenk[10] proved that for any m × n board with m ≤ n, a closed knight's tour is always possible unless one or more of these three conditions are met:
1. m and n are both odd
2. m = 1, 2, or 4
3. m = 3 and n = 4, 6, or 8.
らしい
他にも色々書いてあるんだけど、この
4×n ( n≧4 )のとき周回する解がないの証明がわからん
どなたか分かります？ それともまさかとは思うけどあくまで「ここの条件の例外なら必ず周回する解がある」が示されてるだけで「4×n (n≧4)の場合周回する解は持ち得ないか？」は未解決って事あり得る？ないよねぇ？ そう、周期的でない解が存在するのはすぐ証明できる
てか、1実際構成法与えれば終わりだから
難しいのは「周期的なものは存在しない」の証明
どうやるんだか 次は、 ７×７チェス盤のナイト巡回問題の解のうち、始点が角で、終点(=49)がいずれかの角の斜め隣のものを示した。
もし同じ型の盤が並んでいれば、終点から隣の盤の角に飛び移ることができる。
01 26 09 06 03 14 11 01 30 09 06 03 14 11 01 32 09 06 03 14 11
28 49 02 13 10 07 04 32 27 02 13 10 07 04 34 29 02 13 10 07 04
25 22 27 08 05 12 15 29 22 31 08 05 12 15 31 22 33 08 05 12 15
48 29 24 21 16 31 44 26 33 28 21 16 37 46 28 35 30 21 16 39 48
23 36 39 30 43 20 17 23 42 25 36 45 20 17 23 44 25 38 47 20 17
38 47 34 41 18 45 32 34 49 40 43 18 47 38 36 27 42 45 18 49 40
35 40 37 46 33 42 19 41 24 35 48 39 44 19 43 24 37 26 41 46 19
次は、５×５チェス盤のナイト巡回問題の解二つと、７×５チェス盤の解三つを示した。これらも、終点から隣の盤の角へ飛べる。
01 10 25 20 03 01 14 09 20 03 01 28 11 06 03 22 17 01 26 09 06 03 20 15 01 30 11 06 03 24 13
24 19 02 09 14 22 19 02 15 10 12 35 02 21 16 07 04 10 07 02 19 14 35 04 32 19 02 23 12 07 04
11 08 15 04 21 13 08 21 04 25 27 32 29 10 05 18 23 25 30 27 08 05 16 21 29 22 31 10 05 14 25
18 23 06 13 16 18 23 06 11 16 30 13 34 25 20 15 08 28 11 32 23 18 13 34 18 33 20 27 16 35 08
07 12 17 22 05 07 12 17 24 05 33 26 31 14 09 24 19 31 24 29 12 33 22 17 21 28 17 34 09 26 15
これらを組み合わせれば、非負整数a,b,c,dを使って、m=5a+7b、n=5c+7dと表せるm,n(※)に対して、
>>544の要求を具体例を以て示すのに必要な十分な材料となる。
(※):13以下では5,7,10,12のみ。14以上では16,18,23以外全て ７×５チェス盤の解一つを追加提出
01 14 11 06 03 20 31
12 25 02 21 32 07 04
15 22 13 10 05 30 19
26 35 24 17 28 33 08
23 16 27 34 09 18 29 正解
私も5と7でやりました
ちなみにKnight Tourの最終的な解
Schwenk[10] proved that for any m × n board with m ≤ n, a closed knight's tour is always possible unless one or more of these three conditions are met:
1. m and n are both odd
2. m = 1, 2, or 4
3. m = 3 and n = 4, 6, or 8.
Cull et al. and Conrad et al. proved that on any rectangular board whose smaller dimension is at least 5, there is a (possibly open) knight's tour.[4][11] For any m × n board with m ≤ n, a knight's tour is always possible unless one or more of these three conditions are met:
1. m = 1 or 2
2. m = 3 and n = 3, 5, or 6[12]
3. m = 4 and n = 4.[13]
も同様な構成でできますがサイズが小さい場合の例外処理が邪魔くさくなります サイコロをn回降った時、出目の積が2^nで割り切れるが2^(n+1)で割りきれない確率pを示せ 4がk回出て、2か6が合わせてn-2k回出ればよい kは0から[n/2]まで
p=Σ[k=0,[n/2]](1/6)^k*(2/6)^(n-2k)
=(1/3)^nΣ[k=0,[n/2]](1/6)^k*(6/2)^(2k)
=(1/3)^nΣ[k=0,[n/2]](9/6)^k
=(1/3)^n(1-(3/2)^([n/2]+1))/(1-3/2)
=2/3^n((3/2)^([n/2]+1)-1) p(n)=(1/6^n) Σ[k=0,[n/2]] {C[n,k]*C[2(n-k),n]*2^k}
p(1)=(1/6)C[1,0]*C[2,1]*2^0=1/3
p(2)=(1/36){C[2,0]*C[4,2]*2^0+C[2,1]*C[2,2]*2^1}=(1/36)(6+4)=5/18
p(3)=(1/216){C[3,0]*C[6,3]*2^0+C[3,1]*C[4,3]*2^1}=(1/216)(20+24)=11/54
p(4)=107/648
p(5)=263/1944 (1/2+x/3+x²)ⁿのn次の係数
あるいは
(1/(2x)+1/3+x)ⁿの定数項
Σとか使わな無理やろ Knight tourの問題
Wikipedia のKnight tourの項によると3×3,3×5,5×3,3×6,6×3,4×4はKnight tourを持たず、3×8,8×3はclosed Knight tourを持たない
もう有限ケースだけだし計算機使えば簡単に確認できる
計算機使わない証明もできなくはない
しかしカッコいいスパッとした気持ちいい証明が思いつかん
なんかいい方法はないものか 元の出題(>>544)では「十分大きな」場合を聞いてたから
てっきり十分大きい場合には比較的簡単に示す技があるのかと思ったんだけど違うんかな 同大の正七角形で平面を敷き詰めることを考える
以下の3つを充填率が高い順に並べよ
A．正七角形に外接する最小のホームベース型五角形(直角が2つあり、直角同士が隣り合っている五角形)を平面に充填することを考え、正七角形をその通りに配置する
B．正七角形に外接する最小の平行六角形を平面に充填することを考え、正七角形をその通りに配置する
C．正七角形6つをドーナツ型(穴は凹十角形)に配置することを繰り返す >>565
>いかにもテキトー感満載
確か円筒に球を何個詰め込めるかって問題も
いかにもテキトー感満艦飾だけど
世紀の難問として研究されてたらしいが 答えはある
綺麗な解き方があるかは知らない
563とは別人
本来は画像を3枚貼る予定だったけど何故か貼れなかったので仕方なく文章で説明したから問題のイメージが伝わってないかも 解はあるやろ
そんなもん答え持ってるうちに入らん
ちゃんとexplicitに問いた答え持ってんのかつて話 作図して概算で解いたので正確な計算はしてない
だから記号を選ぶだけの当てずっぽうでも1/6で当たる形式にした なぜダメだと言われてるのかわからないのがお前の限界なんだよ
スレ荒れるから消えてくれ 正直全くわからない
充填率を求めよという問題なら正確に算出する必要があるので酷い問題だが、大小を比べよという問題なのだから概算で求めても全く問題ないと思う
迷惑だったようなので消える 「√7^√8と√8^√7のどちらが大きいか答えよ。ただし出題者は概算で解きました」 e^7>(3^7/10)^7>1046>2^10 log2<7/10
7^5=16807 2^14=16384 7^5/2^14=1+423/16384
log(7^5/2^14)=log(1+423/16384)>423/16384-(423/16384)^2/2>1/40
5log7>14log2+1/40=14log2+7/10/28>14log2+log2/28=393/28*log2
log7/log8>(393/28)/3/5=131/140>√(7/8) だから自分に合わない問題なら反応しなけりゃいいのにって… >>581
それにしては良い問題
√ 7<e<√8
でびみょーン 人の力量推し量れるぐらいに数学できるなら例の問題が
「計算や評価は面倒そうだが最終目的が大小評価だから、
解答が用意されているかどうかとは独立に、どんなに汚くなろうが力ずくで解くことは可能」
な類いであることは想像できるでしょうに
その上で「解答無いならやーめた」以上の中傷する必要がどこにあるのさ
身を引くこと覚えてよ なぜ尿瓶のこういう「こんな問題作ってみました」がダメなのかわからんアホが尿瓶本人以外にもいるんやな
尿瓶はまぁ数学の勉強した事ないからしょうがないとしても、数学ちょっとでも齧ってこんな尿瓶レベルの書き込みするやつはもう全く見込みがない はいでた「〇〇がわからないようじゃ」構文
そうやって >>88 でもうまいこと短く言い返した気になってたんでしょ知ってる
「見込み」って言葉も好きよねあなた
問題が面白いかどうかなんて人によるのにさあ
しつこく連投してる訳でもあるまいに、このスレに投稿するために何の「見込み」が必要だって言うんだよ？
そんな自分の好みや「レベル」に達してる投稿以外受けつけない閉鎖的な場所にしたい？ [定理]
平方数と立方数にはさまれた
唯一の数は26である
[証明]
k,l,m,n,xは自然数，klmnx≠0とする
x^3-(x+k)^2=2…‥①
x^3-x^2-k^2-2kx=2
x^3-x^2-k^2=2kx+2
x^2(x-1)-k^2=2(kx+1)…‥②
x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③
②より、kは偶数，kx+1は奇数
③より、
x^2(x-1)/2は奇数
x^2は奇数，(x-1)/2も奇数
したがって,(x-1)は奇数の二倍
つまり、xは4の倍数-1
x=4n-1，k=2mとおく
x^3-(x+k)^2=2…‥① に代入
(4n-1)^3-(4n-1+2m)^2=2 から、
m^2+m(4n-1)-16n^3+16n^2-5n=-1
m^2+m(4n-1)=16n^2(n-1)+5n-1
m(m+4n-1)=16n^2(n-1)+5n-1…‥④
④より、
右辺はnが偶数のとき奇数
左辺は常に偶数
したがってnは奇数
つまり、xは8の倍数-5 となる
x=8l-5，k=2mとおく
x^2(x-1)/2-(k^2)/2=kx+1…‥③ に代入
(8l-5)^2(4l-3)-2m^2=2m(8l-5)+1
(8l-5)^2(4l-3)=2m^2+2m(8l-5)+1
(8l-5)^2(4l-3)=2m(m+8l-5)+1
(8l-5)^2={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
64l^2-80l+25={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
16l(4l-5)+25={2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)
{2m(m+8l-5)+1}/(4l-3)-16l(4l-5)=25…‥⑤
⑤は、l=m=1のとき、
原始ピタゴラス数の等式
3^2+4^2=5^2を満たす
つまり⑤は、
l=1，m=1しか解が存在しない
l=m=1を、x=8l-5，k=2mに代入
∴整数解は、k=2,x=3 >>587
やっぱりお前尿瓶級だよ
何年か数学は勉強したのかもしれんが金ドフに捨てただけだったんだな >>589
いよいよ言葉の勢いが加速してきたね、見てて面白い
内容に反論できないからかレッテル貼りや中傷以外のレス見ないもんね君から
存在すらも気づかないくらい君の内面にべったりこびりついた必然性のない「べき論」に君はいつ気がつくのかなあ >>590
じゃあ尿瓶の問題解いてやれば？
カス同士仲良くなる >>591
君が尿瓶と呼んでいそうな人の問題はnot for meだから触れてないだけなんだけど
何で私が解かなきゃならない？
何度も言ってるよね「自分が面白いと思わなければ言及しなければいい」って
あまりに目につくぐらい連投するようになったらそこで手を打てばいい
レス消費したらまた新しいの作ればいい
きっと君の中ではいつま何かがつっかかって
ついつい自分の都合の悪い投稿にはレスせずにはいられないみたいだけど
いつになったらその肝の部分を説明してくれるかなあ 何度言っても同じ
お前が書いてる内容でお前の数学力は透けて見えるわ
何より“数学という学問そのもの”に対する哲学がポンコツすぎて話にならんわ
解けやポンコツの問題ポンコツどうして仲良く傷舐め合っとけカス ……もういいや、言うこと同じだしあまり続けても荒らしになる
んじゃお口直しに簡単めの問題（過去に同じの出してたら申し訳ない）
□□
□□□
↑この形のパネルを縦7×横15の長方形に隙間、はみ出し、重複無く敷き詰めることは可能か。
回転、反転はアリ。□は一辺1の正方形とする Ω⊂R^2をコンパクト集合とする
argmax{d(x,∂Ω) | x∈ Ω}の2次元ルベーグ測度は必ず0か？
ただし、d(x,∂Ω)は、点xからΩの境界∂Ωまでの距離、
min{|x-y| | y∈Ω}のこととする >>597
argmaxはmaxを達成する元を集めた集合のことです
今回の場合は、M := max{d(x,∂Ω) | x∈Ω}として、
{y∈Ω | d(y,∂Ω) = M}のことです あああえくくけけけせせつててて
ああええくくけけすせせつつてて
いいええくこここすすせつつとと
いいおおききここすすたたたとと
いうおおきききししそたたちとな
ううおかかささししそそちちなな
ううかかかさささしそそちちなな m = max{ d(x,∂Ω) }
A = { x∈Ω | d(x,∂Ω) = m }
とおき、μ(A) > 0と仮定する
Lebesgue の密度定理よりa∈Aで
lim[t→0] μ(A∩Bₜ(a))/μ(Bₜ(a)) = 1
がa.e a∈Ωで成立する
特にそのようなaを必ず取ることができる
このときb∈∂Ωをa∈∂Bₘ(b)ととることができる
このときint(Bₘ)の点pにおいてはd(p,b) < mとなり特にpはAに属さない
よってA∩Bₘ(b) = Φである
一方で十分小さいe>0に対してμ(Bₑ(a)∩Bₘ(b))>1/4μ(Bₑ(a))である
よって特にμ(Bₑ(a)＼Bₘ(b))≦3/4μ(Bₑ(a))であるからμ(A∩Bₑ(a))≦3/4μ(Bₑ(a))となるがこれはaの取り方に矛盾する >>599
うおっ早い、正解です
以前出した縦5×横奇数が不可能であることを示すやつ絡みで
ギリギリNGにならないサイズでどうなるかを問う問題でした これは可能であるのがいつか完全に決定されてるやつですか？ 長方形だけなら決定されてる、というかできるはず
今軽く確かめてみたけど可能パターンの構成も
不可能パターンの証明もそんなに難しくないし、規則性もわかりやすい 答え見てどうやってこんなの思いつくの系
x∈ℂとk∈ℕ∪{0}に対して
(x)ₖ = x(x+1)(x+2)...(x+k-1)
とする(名前忘れたけど何とか記号)
c, a+b-c-n+1が非負整数でなく、nが非負整数のとき
Σ[k=0,∞](a)ₖ(b)ₖ(-n)ₖ/( a+b-c-n+1 )ₖ
= (c-a)ₙ(c-b)ₙ/( (c)ₙ(c-a-b)ₙ )
を示せ
(注意) まず思いつかないと思います
知らないと無理なやつです
でも数学を愛する者は無理と言われても挑戦する生き物だと思います factor(
1*1*1/1/1
-3*a*b/c/(a+b-c-2)
+3*a*(a+1)*b*(b+1)/c/(c+1)/(a+b-c-2)/(a+b-c-1)
-1*a*(a+1)*(a+2)*b*(b+1)*(b+2)/c/(c+1)/(c+2)/(a+b-c-2)/(a+b-c-1)/(a+b-c)
)
((- b + c) (- b + c + 1) (- b + c + 2) (- a + c) (- a + c + 1)
(- a + c + 2)) / ((- a - b + c + 1) (- a - b + c + 2) (- a - b + c)
(c + 1) (c + 2) c) >>606
はい、問題文にある例外を除く複素数です factor(
1*1*1/1/1/0!
+a*b*(-3)/c/(a+b-c-2)/1!
+a*(a+1)*b*(b+1)*(-3)*(-2)/c/(c+1)/(a+b-c-2)/(a+b-c-1)/2!
+a*(a+1)*(a+2)*b*(b+1)*(b+2)*(-3)*(-2)*(-1)/c/(c+1)/(c+2)/(a+b-c-2)/(a+b-c-1)/(a+b-c)/3!
)
((- b + c) (- b + c + 1) (- b + c + 2) (- a + c) (- a + c + 1)
(- a + c + 2)) / ((- a - b + c + 1) (- a - b + c + 2) (- a - b + c)
(c + 1) (c + 2) c) >>573
コンピュータにやらせるのを自力って言うの？ コンピュータとはどこにも書いてないから暗算で解いた説 >>605
まぁコレノーヒントでは絶対無理なやつです
そもそもコレ「こんなん思いつかん、なんとかならんのか」と今も“New proof”みたいな論文が出てるやつなので
概略書いとくので挑戦して見てください
(1) まずEulerの積分表示
₂F₁(a,b,c;z)
= 1/B(a,c-a)∫[0,1]xᵃ⁻¹(1-x)ᶜ⁻ᵃ⁻¹(1-zx)⁻ᵇdx
を示す
(2) (1)を用いて
・(Gauss's summation theorem)
₂F₁(a,b,c;1)
= Γ(c)Γ(c-a-b) /( Γ(c-a)Γ(c-b) )
・(Pfaff's transform )
₂F₁(a,b,c,z) = (1-z)⁻ᵃ₂F₁(a,c-b,c,z/(z-1))
・(Euler's transform )
( 1-x )ᵃ⁺ᵇ⁻ᶜ₂F₁(a,b;c;x) = ₂F₁(c-a,c-b;c;x)
を示す
(3)
Euler's transform
( 1-x )ᵃ⁺ᵇ⁻ᶜ₂F₁(a,b;c;x) = ₂F₁(c-a,c-b;c;x)
のn次のMaclaurin展開の
n次の係数×k!/(c-a-b)ₙ
を計算
右辺のそれは
(c-a)ₙ(c-b)ₙ/( (c)ₙ(c-a-b)ₙ )
となる事は自明
左辺のそれが
₃F₂(a,b,-n; c,1+a+b-c-n;1)
になる事を示す 左辺の分母にcがなくて右辺の分母にcがあるんだから成り立つわけない ちなみにもう隠すのも面倒なので公式は
₃F₂(a,b,c;d,e;z)
= Σ[k=0,∞] (a)ₖ(b)ₖ(c)ₖ/( (d)ₖ(e)ₖk! ) zᵏ
とした時の
₃F₂(a,b,-n; c,1+a+b-c-n;1)
= (c-a)ₙ(c-b)ₙ /( (c)ₙ(c-a-b)ₙ )
です 今見返して見たけど全部左辺の分母cあると思うけど？ >>602
5×奇数が不可能の証明はどれくらいしんどいんですか？ 1+ab(-1)/(a+b-c)=(ab-a-b+c)/(c-a-b)=(abc-ac-bc+c^2)/(c(c-a-b)).
(c-a)(c-b)/(c(c-a-b))=(ab-ac-bc+c^2)/(c(c-a-b)). n=1のときは
LHS
=₃F₂(a,b,-1; c,1+a+b-c-1;1)
= 1 + ab(-1)/( c(a+b-c) )
= (c(a+b-c) - ab)/( c(a+b-c) )
= ( -c²+(a+b)-ab)/( c(a+b-c) )
= (c-a)(c-b)/( c( c-a-b)
= RHS >>620
気づけばかなり簡単に解ける、ただ気づかなくとも確か過去スレで誰かがやってたみたいに
プログラミングで言うところの動的計画法のような方法で力ずくで解くことも可能 >>623
気づけば簡単の方おながいします
自分の証明はあげたら2、3レスかかるスレ汚しにしかならないやつでしかないのであげるのやめときます
もうそろそろ模範解答上がっていい頃ではないでしょうか？ >>624
□□□□□
□■□■□
□□□□□
□■□■□
□□□□□
……………
□□□□□
□■□■□
□□□□□
5×(2n+1)の長方形の一部を上のように規則的に塗ると、
敷き詰められたどのパネルも１つ以上の塗られた■を覆うことになる
■の個数は2nであるから、長方形に敷くことができるパネルの個数は2n以下でなければならないが、
これでは面積 5(2n+1) の長方形を覆いきることは不可能。 >621 は >605 で >622 は >618 だから別の問題 あぁ、確かに分母に(c)ₖとk!抜けてるわ
元ネタはPfaff-Saalschütz Theoremで別スレで出てたから出した、示すべき式は
₃F₂(a,b,-n; c,1+a+b-c-n;1)
= (c-a)ₙ(c-b)ₙ /( (c)ₙ(c-a-b)ₙ )
ただし
₃F₂(a,b,c;d,e;z)
= Σ[k=0,∞] (a)ₖ(b)ₖ(c)ₖ/( (d)ₖ(e)ₖ k!) zᵏ
証明は色々あるようです、new proofとかelementary proof とかもっといい方法ないかと今も話題になる定理
ひとつは上の方で書いた奴
色々準備がいるけどそれらの準備もこの辺の話で重要なやつばっかりで面白いのでやってみて下さい 半径1の円内に、交わりのない二つの図形A,Bを描く
このとき、
(Aの境界の長さ)÷(Aの面積) + (Bの境界の長さ)÷(Bの面積)
の最小値を求めよ. 最大最小値を求めよって問題、それを解く必然性が感じられない問題はつまらないよね。 そうかね？素人的には>>630は面白そうだけど
いや俺には解けないけどね 出てた記憶はあるけど何スレ目だったかな
結構前だった気がする 機体トラブルで酸欠状態に
僅か１０分しかなく、必死で家族が待つ地球へ戻ろうとする様を描いています。
想像してみてください。//youtu.be/oWs3yvVADVg [0,1]区間上のリプシッツ連続関数列{f_N}およびfについて、
直線x=0,x=1およびグラフy=f_N(x)とグラフy=f(x)が囲う領域の面積が0に収束することを面積収束(L^1収束)と呼ぶ.
また、グラフy=f_N(x)の弧長がグラフy=f(x)の弧長に収束することを弧長収束と呼ぶ.
(1)f_Nがfに一様収束しているならば、面積収束しているか？
(2) f_Nがfに一様収束しているならば、弧長収束しているか？
(3)f_Nがfに面積収束していてかつ弧長収束しているならば、一様収束しているか？ >>636
弧長収束って収束概念になってないじゃないか >>638
もちろん何か位相があってそれに伴った収束概念ではないですが(もしかしたら関数空間に適切な同値関係を入れたら正当化出来るかも？)、弧長という実数が収束するという事に単に呼び名を付けただけという事でお願いします >>642
すみません、記載してませんでしたがfもリプシッツ連続関数です >>644
そもそもリプシッツ条件にしたのは、グラフの弧長を定義出来るという意味でしかないので、関数の滑らかさの条件はあまり本質的じゃないですね 連続ではないが弧長が定まる場合とかは除外してるのね ∀ε>0 ∃δₙ>0 ∀|x-y|<δₙ | fₙ(x) - fₙ(y) | < ε
このδₙはnに無関係にとれるは仮定してはダメなん？ >>636
yes no yes
最後はあんま自信ないが >>646
すみません どんなヘルダーでもいい訳ではないですね
答えるとαが2以上のαヘルダーならおkのはずです
>>647
とりあえずそういう追加条件無しで解けます >>649
実はこれで正解なんですが証明もお願いします (3)のヒントとしては、関数解析でよく使われる不等式を使います >>650
>>647へのレスではなくて>>648へのレスでした リプシッツ以上になるので当たり前っちゃ当たり前でしたね とは言われても関数解析なんか勉強した事ないから“よく使われる不等式”なんて言われてピンとくるもんないな
と言うか関数解析なんか不等式だらけやん てか滑らかさの仮定がないなら長さは∫√(1+(f'(x))²dxではないんやな
長さの定義は何？ >>657
リプシッツ連続であれば弱微分が定義できるので
その積分の定義で問題無いです A君とB君で、３×３のマスでビンゴゲームを行う
（i）最初に揃った列が中心のマスを通っていればA君の勝ち
(ii)最初に揃った列が正方形の辺であればＢ君の勝ち
(i)と(ii)が同時に満たされた場合は引き分けとする
Ａ君とＢ君のどちらが有利か >>658
イヤ、弱微分って超関数の意味なんでしょ？
できたところでf'(x)を各点ごとに二乗して1足して√とるなんか無理やん
定義書いてください 弧長収束とか言ってる馬鹿に構うな
どうせ用意した解答も間違っている いや、普通に解けるし、問題設定も一般化できる。
問題の設定が本質を突いてない中途半端な状態なので、
>>661みたいに怪訝な顔をされるのは仕方がないが、もったいないな。 >>660
f∈L^1について、任意のテスト関数φに対して
∫ fφ’ dx = -∫gφ dxなるg∈L^1が存在していれば、gをfの弱微分といいます L^1関数は「ほとんんど全ての点で一致」という同値類で割っている
リプシッツ関数uはほとんど全ての点で微分可能だから弱微分関数u’は一意的に定義出来る(ほとんど全ての点で一致ならば同値のため)
なので積分∫√(1+u’(x)^2)dxは問題なく定義出来ます
>>661
弧長収束の呼称だけで馬鹿と決めつけるのはあまりに狭量な考えでしかない
そもそも弧長という「実数列」が収束している
あと例え何か位相に伴った収束でなくとも、「～収束」という概念は普通に数学界に存在する
普通に君は失礼なので私の解答がもし正しければ全力で謝ってください リプシッツじゃなく、普通にC^1にすれば混乱しなかったのかな？ 俺が解いたときの弧長の定義は
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BC%A7%E9%95%B7
これを採用した。
L(C)＝sup_{…}Σ[i＝0～n－1] d(f(t_i),f(t_{i＋1))
と書いてあるやつね。積分による計算は、普通はこの定義から導出されるので、
積分の方で定義しちゃうのは一般性が低くなるだけ。 >>663
「リプシッツ関数がほとんどの点で微分可能だから長さが定義できる」
と
「弱微分は定義できるので長さが定義できる」
は話し全然違うやん？
少なくとも後者は嘘やん ともかくwikipediaのソボレフ空間の項やリプシッツ関数の項に書いてあるページで使えそうな奴って本問題のいわゆるリプシッツ定数が一様に有界である事を仮定してるんだけど、その仮定なくて成立するの？ >>636の(3)を一般化した問題を出題してみる。まずは準備から。
定義(閉区間の分割の定義)
Rの有界閉区間 I＝[a,b] を任意に取る。m≧1 として、点列 {t_i}_{i＝0～m} が
a＝t_0≦t_1≦t_2≦…≦t_m＝b を満たすとき、{t_i}_{i＝0～m} のことを I の分割と呼ぶ。
Iの分割全体の族を M_I と表記し、M_I の元のことを Δ と表記する。
Δ＝{t_i}_{i＝0～m}∈M_I に対して、|Δ|：＝max{t_{i＋1}－t_i｜0≦i≦m－1} と置く。
定義(全変動の定義)
(X,d)は距離空間とする。写像 f:[0,1]→X と [a,b]⊂[0,1] とΔ＝{t_i}_{i＝0～m}∈M_{[a,b]} に対して
f(Δ)：＝Σ[i＝0～m－1]d(f(t_i),f(t_{i＋1}))
と定義する。そして V_f([a,b])：＝sup{ f(Δ)｜Δ∈M_{[a,b]} } と定義する。
V_f([a,b]) は＋∞を込めて [0,＋∞] の中に必ず値が定まることに注意せよ。
V_f([a,b]) のことを、fの[a,b]上での全変動と呼ぶ。
V_f([a,b])＜＋∞ のとき、f は [a,b]上で有界変動であると呼ぶ。 定義(ある種の収束性の定義)
(X,d)は距離空間とする。a＜b は実数とする。
写像 f_n：[a,b]→X (n≧1)と写像 f：[a,b]→X は、次の条件を満たすとする：
・ 任意の狭義単調増加な正整数の列 {n_k}_{k≧1} に対して、
ある狭義単調増加な正整数の列 {k_l}_{l≧1} と、
[0,1]上で稠密な ある A⊂[0,1] が存在して、A上の各点収束の意味で
lim[l→∞] d(f_{n_{k_l}}(a),f(a))＝0 (∀a∈A) が成り立つ。
全く同じことだが、次が成り立つとする：
・ f_n の任意の部分列 f_{n_k} に対して、その更なる適切な部分列 f_{n_{k_l}} と
[0,1]上で稠密な ある A⊂[0,1] が存在して、A上の各点収束の意味で
lim[l→∞] d(f_{n_{k_l}}(a),f(a))＝0 (∀a∈A) が成り立つ。
この条件を満たすとき、f_n ＝＞ f in [a,b] と書くことにする。 準備は以上。ここからが問題。
問題1
(X,d) は完備な距離空間とする。写像 f_n,f：[0,1]→X は
・ f_n ＝＞ f in [0,1],
・ f は[0,1]上で連続
を満たすとする。このとき、[0,＋∞] の中で
liminf[n→∞] V_{f_n}([0,1]) ≧ V_f([0,1]) が成り立つことを示せ。
問題2
(X,d) は完備な距離空間とする。f_n,f：[0,1]→X は
・ f_n ＝＞ f in [0,1],
・ f は[0,1]上で連続,
・ V_f([0,1])＜＋∞,
・ lim[n→∞] V_{f_n}([0,1]) ＝ V_f([0,1])
を満たすとする。このとき、f_n は f に一様収束することを示せ。すなわち、
lim[n→∞] sup_{t∈[0,1]} d(f_n(t),f(t)) ＝ 0 が成り立つことを示せ。 補足
X＝R^2 として、その距離関数 d は通常のユークリッド距離を採用する。
f：[0,1]→R に対して、g(t)：＝(t,f(t)) として g：[0,1]→ X を定めるとき、
V_g([0,1])∈[0,＋∞] が定まる。この V_g([0,1]) は、
xy平面上の y＝f(x) (0≦x≦1) のグラフを曲線として見たときの
「曲線の長さ」の定義そのものである。
また、f_n,f：[0,1]→R が L^1関数で lim[n→∞]∫[0,1]|f_n(t)－f(t)|dt＝0 を満たす場合には、
g(t)：＝(t,f(t)), g_n(t)：＝(t,f_n(t)) として g_n,g：[0,1]→ X を定めるとき、
g_n ＝＞ g in [0,1] が成り立つことが証明できる。
従って、上記の「問題2」は>>636の(3)の一般化になっている。 準備の段階からよくわからん
任意の部分列に対してある稠密なAが存在してA上各点収束
ならその“任意の部分列”に“全体”を適用してそれに対して“各点収束する稠密なA”がとれることになるけど、だったら最初から
ある稠密なAで各点収束してる
で終わりじゃないの？ >>672
全体である f_n そのものに対して条件を適用すると、
f_n のある部分列 f_{n_k} とある稠密な A が存在して、
f_{n_k} は A 上で各点収束することになる。
つまり、lim_k f_{n_k}(a)＝f(a) (∀a∈A) が成り立つことになる。
だからと言って、f_n 全体に対して lim_n f_n(a)＝f(a) (∀a∈A) が成り立っているわけではない。 >>672
＞任意の狭義単調増加な正整数の列 {n_k}_{k≧1} に対して、
＞ある狭義単調増加な正整数の列 {k_l}_{l≧1} と、
＞[0,1]上で稠密な ある A⊂[0,1] が存在して、A上の各点収束の意味で
＞lim[l→∞] d(f_{n_{k_l}}(a),f(a))＝0 (∀a∈A) が成り立つ。
今の場合、f_n 全体を適用したいので、1行目で任意に取ってよいとされている {n_k}_k には
n_k＝k (k≧1) という列を指定することになる(これで f_k 全体が適用対象になる)。
すると、ある狭義単調増加な正整数の列 {k_l}_{l≧1} と、
[0,1]上で稠密な ある A⊂[0,1] が存在して、A上の各点収束の意味で
lim[l→∞] d(f_{n_{k_l}}(a),f(a))＝0 (∀a∈A) が成り立つ。
今の場合、n_k＝k だから、n_{k_l}＝ k_l であり、
よって lim[l→∞] d(f_{k_l}(a),f(a))＝0 (∀a∈A) が成り立つ。
つまり、f_k の部分列 f_{k_l} (k≧1) は A 上で各点収束する。
だからといって、f_k そのものが A上で各点収束しているわけではない。 C^∞級関数f:R→Rについて、n階微分の絶対値が必ず1以下で、f’(0)=1のとき、f(x)=sin xとなることを示せ. >>676
えぇ…
それ見て思いついたらホモとするなら
それ知ってる676ｯﾁｬﾏもホモとなるじゃないか…
…なんだこれは…同好会員同士の邂逅じゃないか…
…たまげたなぁ… >>677
最近Twitterで話題になってたな
論文ネタだったと思うけど簡単に示せるんだろうか >>682
向こうはn階積分の有界性を課しますが、こちらは課しません
でもヒント無いとさすがにシンドイので流れを言います
・fは正則関数F:C→Cに拡張出来ることを示す
・a∈(-π/2,π/2)として、複素関数F(z)/((z-a)^2 cos(z))
に対して留数定理を使い、
(d/dz) F(z)/cos(z) |_(z=a) = Σ_(k=-∞)^∞ (-1)^k F(kπ+π/2)/(kπ+π/2-a)^2
を示す イヤ、零点が周期的を示すとこがミソちゃうの？
そこのヒントじゃなかつたらヒンになってない >>686
n階積分「も」ですね
向こうはn階積分およびn階微分の一様有界性を課してますが
こちらは積分の一様有界性はいりません
>>687
多分それは別の証明法じゃないですか？ 元の証明法というのがなにかはわからないけどそもそもテイラーの定理
f(x) = Σ[0～n-1]f⁽ᵏ⁾(0)/k!xᵏ + f⁽ⁿ⁾(θ(x)x)/n!xⁿ ∃θ(x)∈(0,1)
から全ての階数の微分の絶対値が1以下なら実解析的まで自明やん
なので整関数までは当たり前
なので因数分解定理零点の位置で決まる
それが周期的にしか現れ得ない事の証明をどうするかじゃないの？ >>689
もちろん解析級なのはすぐに導けます
でもその先の証明は>>685の留数定理から導ける命題により、零点関係なく示せます そう、実解析的までほぼ自明なのに
「まず複素平面に拡張可能であるのを示せます」
とかいみ不明
いちびってるとしか思えん >>691
重要なのは>>685の2番目の命題
あなたは慣れているから要らないのかもしれないけど、整関数であるコメントをして、複素積分しても大丈夫という確認をしているという意味合いに過ぎない 出典教えてくれ
君みたいな出し惜しみする人と対話したくない あんまり自分の考え、視野が他の人でもそうだと思わない方がいいよ
>>693
このスレの住民はあなただけじゃないでしょ
私はあなただけに対して出題してるつもりはないです >>686の考えはおそらくこうだろ
この手の問題は零点の周期性を示す問題のはずだ！(←この時点で己の考えに固執しきっていて頭悪い)
なのに出されたヒントは零点の周期性からほど遠い！
だからコイツは証明を理解してないか、意地悪をしているはず！
出典だけよこせ！対話したくない！ なんか知らんけどオレと誰か別の奴混同してる奴いるな
想像力逞しいのはいい事かもしれんけど サインコサイン関数は微分方程式から定義するやり方が循環論法にならずに済み、それで零点の存在も言える。 >>696
了解です
とりあえず言えることは>>685さえ認めてしまえば、
あとは高校数学レベルの知識で解けます(最後一致の定理使うのでそれ以外は) それにしても本質的にはただ任意階の微分の一様有界性しか課していないのに、それが三角関数にしかならないというのは個人的には直感に反する不思議な命題
リウヴィルの定理とかに通ずるものがありそう ヘルダー空間の言葉で書くなら
C^(∞,0)(R)={a*sin(・)+b | a,b∈R}ってことかな
もっと言えば
C^(∞,0)(R)～R^2 絶対値1以下の幅に対してf'(0)をピッタリ1と定めてるのもミソなのかな
絶対値を2以下にまで広げたりf'(0)の制約を取っ払ったりした途端解がブワッと増えそう ちょっと実軸から上げた線上と下げた線上での∫F(z)/(cos(z)(z-a)²)dzが死んでくれないなぁ >>705
少なくとも任意微分の一様有界性だけの条件だと
Σ[k=1,N] a[k]*sin(b[k]x) + a[0]
(|b[k]|≦1) みたいな関数は全部okになってしまうな いわゆる因数分解定理のexp(pz+q)のパートのpの虚部の絶対値が1以下を示せばいいはず g(x)がL²(ℝ)、そのFourier変換をh(x)とする
gⁿ⁾(x)が有界→supp h(x)⊂[-1,1]とか言えないもんかな >>693みたいな人昔はこのスレにはいなかったよね
すぐ出典教えろだの答え教えろだの言う人 >>685のヒントは左辺-右辺が
1/(2πi)∫[Γ]f(z)/(z-a)²cos(z))dz
ただし積分路は-∞-i→∞-iと∞+i→-∞+iの合併とやるんだろうけどそこからがわからん
もちろんこの積分値が0である事を示したいわけで積分路を+i∞と-i∞の方に離していくんだろうけどその時のf(x)の発散がexp(imz)で抑えられる事を示さんといかん
それをf⁽ⁿ⁾(x)の有界性から示すんだろうけどそこからわからん >>713
積分経路としてはnπ(±1±i)を頂点にもつ正方形(n→∞)で問題ないです
まさしく|f(z)|≦exp(|Im(z)|)を示す必要がありますが
ヒントとしてはテイラー展開です 最初の経路はそこでいいやろけど右辺も留数定理ちゃうの？ 間違った
位数2未満
つまりlim[|z|≦R] |f(z)|R⁻ᵗ = 0 if t<2 >>715
もちろん右辺も留数定理から導いてますよ
なので経路はnπ(±1±i) (n→∞)を頂点に持つ正方形です あかん、まだ違う
lim |f(z)| exp(-Rᵗ) = 0 ( if t < 2 )
まぁつまり因数分解定理のexpの肩が一次式が示せればよい G(z)が位数1の整関数でG(z)の因数分解のexpの肩の一次の係数の虚部の絶対値が1以下とする、特に|G(z)exp(z)| = O(imz)とする
このとき任意の2次子式(z-a)²に対して有理形関数G(z)/((z-a)²cos(z))と正の数tに対して積分路Γₜを
Γₜ = (-∞-it → ∞-it ) + (∞+it→-∞+it )で定め
Iₜ=1/(2πi)∫_Γₜ G(z)/(z-a)²cos(z))dzと定める
tを十分大きく取り帯領域にaを含むように取ればそれより大きなtではIₜの値は普遍であり、G(z)の大きさに関する仮定により
Iₜ = 0 ( for suff. large ∀t )
である
よってとくに
Res( G(z)/((z-a)²cos(z)), z = a )
= -Σ Res( G(z)/((z-a)²cos(z)), z = π/2 + kπ)
である
ここで
LHS = G(z)/cos(z)のz=aにおけるTayler exp. の一次の係数 = d/dz(G(z)/cos(z))_|z=a
RHS = Σ(-1)ᵏG(z)/(z-a)²_|z=π/2+kπ
である
∴この二つの値は仮定を満たす任意のG(z)で等しくなる だからF(π/2 + 2nπ) = 1, F(-π/2+2nπ) = -1くらいは言える なるほどやっと半分分かった
あとは| F( z ) | = O(exp(im z))をどうするか ダメだ
諦めた
>>685
の答えプリーズ
>>685の等式以降は簡単だけどこの等式の示し方がわからん あ、イヤ、待て待て
f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(0)/n! xⁿ
使えば|f(x)| = O( exp( |x| ) )って当たり前か？
もちょっとお時間を でけた
できると何を悩んでたんだろうと情けなくなる
過去レスのアンカー貼るのもめんどくさいのでまとめて
f(x) = Σf⁽ᵏ⁾(0)/k!xᵏ + f⁽ⁿ⁾(θ(x)x) (∃θ(x)∈(0,1))
によりf(x)は収束半径∞の実解析的関数でℂて定義された整関数としてよい
さらに任意の実数s,tとz = s+itに対して
f(z) = Σf⁽ᵏ⁾(s)/k! (it)ᵏ
であるから
|f(z)|= O( exp( |z| ) )
である
Γᵗ : ∞+it → -∞+it
としてa∈ℂとt > |im(a)|に対してcos(z)の零点を交わす長方形をうまくとって長方形の巾を広げていって
Res( f(z)/( (z-a)²cos(z)), z = a )
+ ΣRes( f(z)/( (z-a)²cos(z)), z = π/2 + πk )
= ∫[Γᵗ] f(z)/( (z-a)²cos(z))dz
- ∫[Γ⁻ᵗ] f(z)/( (z-a)²cos(z))dz
である
ここで|f(z)|= O( exp( |z| ) )であるから
lim[t→∞]∫[Γᵗ]～dz = lim[t→∞]∫[Γ⁻ᵗ]～dz = 0であるから
Res( f(z)/( (z-a)²cos(z)), z = a )
= - ΣRes( f(z)/( (z-a)²cos(z)), z = π/2 + πk )
である
よって
f'(a)/cos(a) + f(a)sin(a)/cos²(a)
= Σ(-1)ᵏf(π/2+kπ-a)/(kπ+π/2)²‥①
を得る
特にa=0を代入すればf'(0)=1により
1 = Σ(-1)ᵏf(π/2+kπ)/(kπ+π/2)²
≦ Σ1/(kπ+π/2)²
= 1
で等号成立する事が必要であるが等号成立は全てのkでf(π/2+kπ) = (-1)ᵏが成立するときでこれが必要である
これを①に代入して
f'(a)/cos(a) + f(a)sin(a)/cos²(a)
= Σ1/(kπ+π/2)² = 1/cos²(a)
を得る
この関数方程式によりf⁽ⁿ⁾(0)が全て帰納的に決定してf(x)は実解析的であったから
f(x) = c + sin(x)
が必要でx=±π/2で|f(x)|≦1よりc=0である□ | f(z) | の評価書き間違ってるわ
| f(z) | = O( | im(z) | )
でつ >>728
お見事大正解です！！
>>714でも書きましたが、|f(z)|の評価はまさしくテイラー展開がミソでした 正解頂いたんですがウソ混じってました
f'(x) + f(x)tan(x) = 1/cos(x)
の一般解は
f(x) = sin(x) + C cos(x)
(by 大先生)でした(それくらい自分で解けとかは無しで)
からの最大値=√(1+C²)≦1よりC=0 >>731
それについては微分方程式を解く必要はなくて、
等式から、a∈(-π/2, π/2)に対して
(d/dz) (F(z)/cos(z)) |_(z=a) = (d/dz) (sin(z)/cos(z)) |_(z=a) より、ある定数cが存在して
F(a)/cos(a) = sin(a)/cos(a) + c
となるので、F(a)=sin(a)+c*cos(a)、
F(π/2)=1かつF’(π/2)=cより、maxF≦1から、c=0
としても問題ありません >>732
失礼しました
やっと言いたい事わかった
要するにこの問題「～であるf(x)を求めよ」ではなくて「～を満たすのはsin(x)だけである事を示せ」で実は「f(x)=sin(x)が解である」が最大のヒントになってるのね
活用できるポイントが上の解答なら3箇所ある
まず
f'(a)/cos(a) + f(a)sin(a)/cos²(a)
= Σ(-1)ᵏf(π/2+kπ-a)/(kπ+π/2-a)²
の右辺が1/cos²(a)になる事がノーヒントなら因数分解定理知らないとまず分からないけどf(a)=sin(a)のとき成立する式とわかってれば
1+tan²(a)
= Σ(-1)ᵏf(π/2+kπ-a)/(kπ+π/2-a)²
と気づけるし、コレに気づけばその前のとこにある
1 = Σ1/(kπ+π/2)²
もζ(2)=π²/6しらなくても自動的に気づける(逆にこの証明がζ(2)=π²/6の別証にもなってる)
最後の微分方程式
f'(x) = -tan(x)f(x) + 1/cos(x)
も特殊解探すのに演算子法もラプラス変換も使う必要もなくsin(x)をそのまま特殊解として使えるわけね
この出題の形式でうまいこと難易度設定してたわけだ
全く気づかなかった >>735
出典はこちらの2番目の定理です
https://ncatlab.org/toddtrimble/published/Characterization+of+sine
H. DelangeのCaractérisations des fonctions circulaires(1967)が元論文になります
>>682で言われていたのはこのサイトの3番目の主張の「Roeの定理」になります
こちらは今回の証明とは全く独立でフーリエ解析を使い証明するそうです
今回の定理がsinのリウヴィルの定理的特徴付けと思えば、
上記サイトの1番目のsinの特徴付けはボーア・モレルップの定理みたいで面白い そうなんよね
今回のもFourier解析するのかと思ってそっち方向でずっと考えてたんだよな
つまりf(x)のFourier変換のsuppが|ξ|≦1に収まる事を示せるはずとずっと粘ったんだけどダメだった
違う設定ならそっちでもいけるのか、はたまた俺の実力不足かorz この問題、以下の条件まで緩めることが可能？
f：R→R はC^∞級で、sup[x∈R, n≧0]|f^{(n)}(x)|＜＋∞ かつ
f'(0)＝sup[x∈R]|f(x)| を満たすとする。
このとき、f(x)＝f'(0)*sin x (x∈R) が成り立つ。 g(x) = f(x)/f'(0)とればいいんじゃないの？ そのように取っても、もともとの問題に完全に帰着されるわけではなくて、
g：R→R はC^∞級で、sup[x∈R, n≧0]|g^{(n)}(x)|＜＋∞ かつ
sup[x∈R]|g(x)|＝1, g'(0)＝1 を満たすとする。
このとき、f(x)＝sin x (x∈R) が成り立つ。
という問題になる。もともとの問題では sup[x∈R, n≧0]|g^{(n)}(x)|≦1 だったのが、
sup[x∈R, n≧0]|g^{(n)}(x)|＜＋∞ に変更されている。この変更は危ない可能性がある。
なぜなら、「1」をぴったり attain することが証明の中で重要だから。
それでも例の証明は通用するよね？っていう質問。
なぜなら、1 を attain する部分は sup[x∈R]|g(x)|＝1, g'(0)＝1 という条件で
使われているだけに見えるので。 それなら
sin(x) + cos(x/10)とかでダメなのでは？ >>742
f(x)＝sin(x) + cos(x/10)と置くとき、sup[x∈R, n≧0]|f^{(n)}(x)|＜＋∞ は成り立つが、
f'(0)＝sup[x∈R]|f(x)|
は成り立たないのでは？ 数学科に進学する女性の割合を増やすにはどうすれば良いか？ 女性にとって自分が出した答は誰が何を言おうと正しい。
数学はそれを否定してくるから嫌いになる。 >>739
この主張は正しいはず
なんなら等号じゃなくともf’(0) ≧ sup[x∈R]|f(x)| でおk アカン
何が問題なのかさっぱり分からん
元の問題と何が変わってんの？ ああ、やっとわかった
n階微分の制限なくして|f(x)|≦～だけにするのね
そこ１でいいやん >>746
正しいの？
もちろん仮定それだけなら上の方のHintの式の導出も無理だよね？ あ、違う
n階微分の条件もそのままやん？
何が違うか分からん >n階微分の制限なくして|f(x)|≦～だけにするのね
なくしてない。sup[x∈R, n≧0]|f^{(n)}(x)|＜＋∞ と書いてあるでしょ。 元の問題：
f：R→R はC^∞級で、sup[x∈R, n≧0]|f^{(n)}(x)|≦1 かつ
f'(0)＝1 を満たすとする。このとき、f(x)＝sin x (x∈R) が成り立つ。
条件を緩めた問題(>>741バ－ジョン)：
f：R→R はC^∞級で、sup[x∈R, n≧0]|f^{(n)}(x)|＜＋∞ かつ
sup[x∈R]|f(x)|＝1, f'(0)＝1 を満たすとする。このとき、f(x)＝sin x (x∈R) が成り立つ。
条件を緩める前だと
・ |f(x)|≦1, |f'(x)|≦1, |f''(x)|≦1, |f'''(x)|≦1, … かつ f'(0)＝1
と言っている。条件を緩めたあとは、何らかの定数C＞0に対して
・|f(x)|≦C, |f'(x)|≦C, |f''(x)|≦C, |f'''(x)|≦C, … かつ |f(x)|≦1 かつ f'(0)＝1
と言っている。後者で f(x)/C を考えても、前者に完全に帰着させることはできない。 だからそれでなんでsin(x)+cos(x/10)が反例になってないの？
コレ何回微分しても±cos(x)±(1/10)ᵏsin(x/10)か±sin(x)±(1/10)ᵏcos(x/10)しか出てこないやん？
||f⁽ⁿ⁾(x)|有界やん？ >>753
f(x)＝sin(x)+cos(x/10) の場合だと、
・|f(x)|≦C, |f'(x)|≦C, |f''(x)|≦C, |f'''(x)|≦C, … かつ |f(x)|≦1 かつ f'(0)＝1
という条件における一番最後の
「 |f(x)|≦1 かつ f'(0)＝1 」
が成り立ってない。正確には
「 |f(x)|≦1 」
の部分が成り立ってない。wolfram でプロットすると、f(x)＝2 あたりまで増加する。 あぁそこか、
|f(x)|だけは有界だけでなく|f(x)|≦1を要求するのね >>746
コレは正しい根拠はあるの？
証明持ってるの？
勘？ 少なくとも上で上がってる証明はアウトやね
肝は| f(x) | = O( exp( im x ) |だけどその仮定だと| f(x) | = O( exp( M im x ) |までしかいえない(ただしM = sup { | f⁽ⁿ⁾(x)| })
するとf(x)/(cos(x)(x-a)²)の分子の発散の位数が分母cos(x)の発散の位数より強い事が可能だから上の証明はそのままは通用しない
別証持ってるん？ >>757
少しは落ち着いたらどうだ。さっきから勘違いが酷すぎるぞ。
まるでchatgptみたいな間違え方してるよ。
|f^{(k)}(x)|≦M が一様に成り立つとする。z＝s＋it に対して
f(z)＝Σ[k＝0～∞] f^{(k)}(s)/k! (it)^k
であるから、
|f(z)|≦Σ[k＝0～∞] M /k! |t|^k ＝ M e^{|t|}
である。つまり ｜f(z)｜＝O(e^{｜Im(z)｜}) である。
君は | f(x) | = O( exp( M im x ) と言っているが、
なぜ M が e の指数の肩に乗ってるんだよ。計算ミスってレベルじゃねーぞ。 あ、ほんとだ
すまんいえてるな
しかしお前その言い方何？
オレがミスってイラついたのはわかるがその言い方はあるんか？ >>759
いくら何でも間違いの回数が多すぎる。
・ 何が問題なのかさっぱり分からん 元の問題と何が変わってんの？
・ ああ、やっとわかった n階微分の制限なくして|f(x)|≦～だけにするのね
・ あ、違う n階微分の条件もそのままやん？ 何が違うか分からん
・ だからそれでなんでsin(x)+cos(x/10)が反例になってないの？
・ あぁそこか、|f(x)|だけは有界だけでなく|f(x)|≦1を要求するのね
ここまで勘違いを繰り返してやっと条件の違いを理解したと思ったら、今度は
・ | f(x) | = O( exp( M im x ) |までしかいえない
という勘違い。さすがにおかしいだろ。一歩進むごとに毎回転んでるがな。
勘違いの質がマジでchatgptなんだよ。 ああそうかい
悪いのは頭悪いオレなわけやな
ならええわそれで
もちろんオレにも言い分あるけど言い出すと止まらなくなるからわめとくわ
オレの勘違いで絡むかたちになったことは申し訳なかったから謝っとくわ
すまんかった
お前は好きにしろや なんか結果だけ欲しくてクレクレやってるように見えるんだよなあ
もっとじっくり考えてみるとか、間違っていると思ったら自分の方が間違えてないか
勘違いしていないか相手のレスを見返してみるとかしてる？
しかもそこまでミス連発したら普通はごめんの一言も出るもんだと思うけど
それも最後の最後まで無し、加えて悪びれもせず逆ギレって何一体？
落ち着いて深く考えるのがそんなに嫌い？ まぁなんであかんやろと直感的に思ったか書いとくわ
上の方でも書いたがこれはFourier変換の方から攻めるアプローチもあるんだよ
| f⁽ⁿ⁾(x) | ≦ M という条件からf(x)の超関数としての*ノルムというのがM以下が出る、M=1なら*ノルムも≦1
するとそのFourier変換の*ノルムも≦1
f⁽ⁿ⁾(x)のfourier変換はξⁿ𝔽(f)でその*ノルムが1以下なら𝔽が通常の関数で表示される場合にはsupp(𝔽(f))⊂[-1,1]になる
するとそれを逆変換で戻した時fはexpitx) |t|>1の成分は含んでいない事になり|f(z)| = I(exp(im z) |が言える、ただし残念ながらfは超関数なのでそのFourier変換𝔽(f)も超関数になり今やったsuppの議論はそこまで明らかでないからそのままでは通用しない
まぁ逃げれるとは思ってるけど微妙
問題はそこか≦1でなく≦Mになると*normもM以下までしかいえなくなる
そしてそれはf(x)の持ってる高周波成分の限界に直結するんだよ
オレはこっちの証明がダメになるから載せた方の証明もダメになるようなハヤトチリしたんだよ
それといくらなんでも数値を1から変えてそのまま証明が通用する話を“一般化”と言って出題してくる奴がいるなんてまさか思わなかったもんでね
当然載せた方の証明も破綻するんやろとハヤトチリしたんだよ
それとおれ誤ったやろ
もうええわ アレ？
この言い訳もおかしいなw
よく考えたら*ノルム有限だけから|ξ|>1の成分0出るわw ほんと被害妄想酷いなコイツ……
言い方云々言い出すならまず自分の言い方を改めたらどうなん？ もはやこの関西弁の人の喧嘩芸はこの板の名物だろw
この板で数学できる側の人なことは確かなんだけどね もういいよ
お前の勝ちだよ
アホは寝るわ
よかったな勝てて
アホ懲らしめてよかったね ||f^(n)||_∞の有界性のみで
>>707こういうsinの有限和以外の反例ってある？ 1のn乗根を1,ω,ω^2,…ω^(n-1)とする。
任意の整数係数の多項式f(x)について、
f(x)f(ωx)f((ω^2)x)…f((ω^(n-1))x)
は整数係数の多項式となり、かつ次数がnの倍数でない項は0となることを示せ
例えば、n=3、f(x) = 2x^2 + x + 2 のとき、
f(x)f(ωx)f((ω^2)x) = 8x^6 - 11x^3 + 8 となり、次数が3の倍数でない項が全て0である整数係数の多項式となる g(x)=f(x)f(ωx)f((ω^2)x)…f((ω^(n-1))x) =Σa_i x^iとして
g(ωx)-g(x)=0よりΣa_i(ω^i-1)x^i=0
iがnの倍数でないときω^i-1≠0よりa_i=0 >>773
f(x)=(1-cos(x))/x (x≠0の時), 0 (x=0の時)
も満たしそう
おそらくだけど関数 g:R→R s.t. (g(x)≠0 ならば x∈[0,1]) が絶対可積分なら
f(x) = ∫_(0≦t≦1) sin(tx) dt も条件を満たすと思う >>776
Oh 間違えたgどこにあるねん
f(x) = ∫_(0≦t≦1) g(t)sin(tx) dt です >>776,>>777
おおおおなるほど素晴らしい
ありがとう
確かに微分の数値実験する限りはずっと有界だな
1番目はライプニッツの公式使うんかな？
2番目はどれだけ微分しても、
≦∫_0^1 |g(t)|dtで評価出来るし確かにそうだね
となると本質的にf’(0)=||f||_∞って条件は重要なんだな 並行移動で考えれば
||f’||_∞≧||f||_∞で十分なのか
「sup_n ||f^(n)||_∞ < ∞かつ||f’||_∞≧||f||_∞ならば
∃a,b∈R s.t. f(x)=a*sin(x+b)」 log(n番目の素数)<n番目の素数以下の自然数の逆数和
<Π[i=1,n]Σ[j=0,∞]1/(i番目の素数)^j
=Π[i=1,n]1/(1-1/(i番目の素数))
=2Π[i=2,n](1+1/(i番目の素数-1))
<2Π[i=1,n-1](1+1/(i番目の素数))
=2e^{Σ[i=1,n-1]log(1+1/(i番目の素数))}
<2e^{Σ[i=1,n-1]1/(i番目の素数)}
Σ[i=1,n]1/(i番目の素数)>log{log√(n番目の素数)}→∞(n→∞) これは別の問題？
それともその主張から上が示せるの？
どちらにしてもすぐには分からないが… n番目の素数以下の自然数はn番目以下の素数で素因数分解できる数に含まれ
二行目を展開した各項はn番目以下の素数で素因数分解できる数の逆数だから
n番目の素数以下の自然数の逆数和は二行目よりも小さい >>787
二行目を展開って二行目も展開も何を指してるのか分からん >>781
やや見にくいがようやく追えた（個人的には最後の式の直前だけでも「よって」みたいな日本語クッションあると嬉しいかも）
最後の式は、Σでiが動く範囲を変えたら中辺もnからn+1に変える必要があるから、正確にはこうかな？
Σ[i=1,n]1/(i番目の素数)>log{log√(n+1番目の素数)}→∞(n→∞) >>790
ああいや、Σとる範囲を増やしても不等式は保たれるから別にいいのか…忘れてくれ >>789
二行目はΠ[i=1,n]Σ[j=0,∞]1/(i番目の素数)^jのこと
展開はこれを和の形にバラすこと >>785
これだと発散したい和を上から評価してしまうことになるよね ああ、いや分かった
log(1+x) < xを途中で使うんだね にしても>>781と>>785だけだとさすがに説明少なすぎる
普通にこれだけならバツだな 普通に×って
お前ここはテストの解答用紙じゃねえよ >>798
自分はその人じゃないよ
まぁ同じだったとしても今それ関係ないよね
>>799
有名な発散だし証明なんてググればすぐ出るから
答え方が重要な問題なのかと思ったんだよ
でも上のはググった証明を断片的に書いただけに見えるし
証明としても不完全すぎる 全部できてるが.
何行目から何行目ができていない? ID:fKySuEJa
君数学に向いてないよ。
最先端の研究者の論文なんて論理的にめちゃくちゃだよ。 なんでも行間読めってのは違うだろ
標準的な議論であったり全体のバランスのために割愛することはあるけど上のはそういうレベルじゃない あ、そうですか
まぁ特にオリジナルな証明でも無いようだしどうでもいいや あ、いや、スマンw
janeで781が一行目しか表示されていなかったことに気付いた
ブラウザから見たら式全部書いてんじゃん…
お騒がせしました
本当に申し訳ない すべてはjaneのせいだ！\ｿｳﾀﾞｿｳﾀﾞ－/
しかし安心したまえ
janeは全責任を負い、逝ったようだ… janeは遠くに行ってしまったけれどお前ら生きてるか 次の(n-1)次多項式が(n-1)個の実解を持つことを示せ
Σ[1≦i≦n] Π[1≦j≦n, j≠i] (x-j)
上の多項式は例えばn=3のとき
(x-1)(x-2)+(x-2)(x-3)+(x-3)(x-1)
である 正になって負になって正になって負になって正になるんじゃよ そりゃあ(n-1)個のゼロテンがあるということだから、それはそうなんだけどねw 両辺(x-1)×...×(x-n)で割った後の話でしょ
典型問題だから受験戦線潜り抜けてきた人間は即答やろ 割らなくてもjとj+1代入したときに符号変わるのすぐ分かるんだけどもね >>630
2π/｛π-(π/2-1/4)｝+π/(π/2-1/4)
=2π/(π/2+1/4)+π/(π/2-1/4)
=(24π^2-4π)/(4π^2-1)
=5.82934925542…… 次の不等式を示せ
(a-b)^6+(a-c)^6+(a-d)^6+(b-c)^6+(b-d)^6+(c-d)^6
≧
3(((a-b)(b-c)(c-a))^2+((b-c)(c-d)(d-b))^2+((c-d)(d-a)(a-c))^2+((d-a)(a-b)(b-d))^2) x = a-d、y=b-d、z = c-dとおく
x≧y≧zとして良い
(d/dx)^2( x^6 + y^6 + z^6 + (x-y)^6 + (y-z)^6 + (z-x)^6-3(x^2y2(x-y)^2+y^2z^2(y-z)^2+z^2x^2(z-x)^2) )
=
90 x^4 - 120 x^3 (y + z) + 144 x^2 (y^2 + z^2) - 84 x (y^3 + z^3) + 24 (y^4 + z^4)
≧ 90x^4-120x^3y+40x^2y^2
+ 90x^4-120x^3z+40x^2z^2
+ 24y^4-84x^3y+73.5x^2y^2
+ 24z^4-84x^3z+73.5x^2z^2
≧0
d/dx( x^6 + y^6 + z^6 + (x-y)^6 + (y-z)^6 + (z-x)^6-3(x^2y2(x-y)^2+y^2z^2(y-z)^2+z^2x^2(z-x)^2) )
=
18 x^5 - 30 x^4 (y + z) + 48 x^3 (y^2 + z^2) - 42 x^2 (y^3 + z^3) + 24 x (y^4 + z^4) - 6 y^5 - 6 z^5
x=yのとき
= {12 z^4 (y^2 - y z) + 12 z^2 (y^2 - y z)^2 + 4 (y^2 - y z)^3 + 3 z^6
≧0
x=yのときの( x^6 + y^6 + z^6 + (x-y)^6 + (y-z)^6 + (z-x)^6-3(x^2y2(x-y)^2+y^2z^2(y-z)^2+z^2x^2(z-x)^2) )
=
12 z^4 (y^2 - y z) + 12 z^2 (y^2 - y z)^2 + 4 (y^2 - y z)^3 + 3 z^6
≧0 >>820
おお、乙です
上手い示し方ですね
実は(左辺)-(右辺)が平方和の形に書けるので是非それも考えてみてください 90x^4を2回使うというアホミスしてるorz
そもそも大先生使うなら２階微分なんか必要なかった
一階微分の段階でyzで割り切れる項が全滅してて
事実上2変数、そこからx/y=t+1と置換したら全係数+
以下x=yの場合以降はそのまま
d/dx( x^6 + y^6 + z^6 + (x-y)^6 + (y-z)^6 + (z-x)^6-3(x^2y2(x-y)^2+y^2z^2(y-z)^2+z^2x^2(z-x)^2) )
=
18 x^5 - 30 x^4 (y + z) + 48 x^3 (y^2 + z^2) - 42 x^2 (y^3 + z^3) + 24 x (y^4 + z^4) - 6 y^5 - 6 z^5
=
3 (3 x^5 - 10 x^4 y + 16 x^3 y^2 - 14 x^2 y^3 + 8 x y^4 - 2 y^5)
+
3 (3 x^5 - 10 x^4 y + 16 x^3 y^2 - 14 x^2 y^3 + 8 x y^4 - 2 y^5)
3 x^5 - 10 x^4 y + 16 x^3 y^2 - 14 x^2 y^3 + 8 x z^4 - 2 y^5
= 3y^5( 3 t^5 + 5 t^4 + 6 t^3 + 4 t^2 + 3 t + 1 ) ( t = x/y + 1 )
=
3 t^5 + 5 t^4 + 6 t^3 + 4 t^2 + 3 t + 1
≧ 0 あらま、
こちらも細かいところチェック出来てませんでした 再挑戦
まずAM≧GMより
x^6 + y^6 + z^6 + (x-y)^6 + (y-z)^6 + (z-x)^6-3(x^2y2(x-y)^2+y^2z^2(y-z)^2+z^2x^2(z-x)^2 +(x-y)^2(y-z)^2(z-x)^2)
≧
x^6 + y^6 + z^6 -3(x^2y2(x-y)^2+y^2z^2(y-z)^2+z^2x^2(z-x)^2)
から大先生に微分をお願い
d/dx ( x^6 + y^6 + z^6 -3(x^2y2(x-y)^2+y^2z^2(y-z)^2+z^2x^2(z-x)^2) )
=
6 x^5 - 12 x^3 (y^2 + z^2) + 18 x^2 (y^3 + z^3) - 6 x y^4 - 6 x z^4
=
6(x^5/2 -2x^3y^2+3x^2y^2-xy^4)
+(x^5/2 -2x^3z^2+3x^2z^2-xz^4)
=
1/2 (t^5 + 5 t^4 + 6 t^3 + 4 t^2 + 3 t + 1)
+
1/2 (u^5 + 5 u^4 + 6 u^3 + 4 u^2 + 3 u+ 1)
≧0 (ただしx/y = t+1, x/z= u+ 1 )
x=yのとき x^6 + y^6 + z^6 -3(x^2y2(x-y)^2+y^2z^2(y-z)^2+z^2x^2(z-x)^2)
=
2 y^6 - 6 y^4 z^2 + 12 y^3 z^3 - 6 y^2 z^4 + z^6
= (y^2 - z^2)^3×2 + 12 y^3 z^3
= (2 v^6 + 12 v^5 + 24 v^4 + 28 v^3 + 24 v^2 + 12 v + 3)y^6
≧
0 前>>818
>>630の答えは境界線が90°でT字型に交わるから、
5.82934925542……で正解じゃないのかい？
4π(6π-1)/｛(2π-1)(2π+1)｝
こうか？ Σ[n=1,∞]1/(n^2*C[2n,n])を求めよ。 Σ[n=1,∞]1/(n^4 C[2n,n]) = 17π^4/3240 が成り立つことを証明せよ 905：ウィズコロナの名無しさん：[sage]：2023/07/31(月) 22:28:55.07 ID:Zb/rsFU20
123456789＋912345678＋891234567＋789123456＋678912345を9で割ったあまりは?
開成中の問題 勿論力技で解いたら時間切れになる。 1+9+8+7+6=31≡4 (mod 9)
2+1+9+8+7=27≡0 (mod 9)
3+2+1+9+8=23≡5 (mod 9)
4+3+2+1+9=19≡1 (mod 9)
5+4+3+2+1=15≡6 (mod 9)
6+5+4+3+2=20≡2 (mod 9)
7+6+5+4+3=25≡7 (mod 9)
8+7+6+5+4=30≡3 (mod 9)
9+8+7+6+5=35≡8 (mod 9)
405≡0 (mod 9)
162≡0 (mod 9)
738≡0 (mod 9) >>832 の問題解いてる人いる？
いないようなら想定解答貼り付けるけど 前>>828
>>833
いずれの数も9で割り切れる。
∴余りは0 >>837
想定解答は、arcsin^2のマクローリン展開:
2arcsin^2(x/2) = Σ[n=1,∞]x^(2n)/(n^2 C[2n,n])
から和を積分に置き換えて
正三角形の対称性1-e^(iπ/3)=e^(-iπ/3)を用いて積分路を迂回させ
簡単な多項式の積分に持ち込む方法です。
S = Σ[n=1,∞]1/(n^4 C[2n,n])
= 4∫[0,1](∫[0,y]2arcsin^2(x/2)/xdx)/ydy
= 8∫[0,1]arcsin^2(x/2)/x(∫[x,1]dy/y)dx
= 4∫[0,1]arcsin^2(x/2) d/dx(-log^2(x)) dx
= 8∫[0,π/6] t log^2(2sin t) dt
= (8/3)∫[0,π/6] im[(it + log(2sin t))^3 - (it)^3] dt
= (8/3)∫[0,π/6] im[(log(1-e^(2it)) + iπ/2)^3 - (it)^3] dt
= (8/3)I + (2/3)(π/6)^4 - (8/3)(π/2)^3(π/6)
ここに
I = im∫[0,π/6] [(log(1-e^(2it)) + iπ/2)^3 - (iπ/2)^3] dt
= im∫[0,1-e^(iπ/3)] [(log(z) + iπ/2)^3 - (iπ/2)^3] dz/(2i(z-1))
積分を1-e^(iπ/3)=e^(-iπ/3)であることに注意して0→1と1→e^(-iπ/3)の2つに分解
I = J+k
ここに
J = im∫[0,1] [(log(x) + iπ/2)^3 - (iπ/2)^3]/(2i(x-1)) dx
= (1/2)∫[0,1]log^3(x)/(1-x) dx - (3/2)(π/2)^2∫[0,1]log(x)/(1-x) dx
= (1/2)(-3!ζ(4)) - (3/2)(π/2)^2(-1!ζ(2))
= 7π^4/240
K = im∫[1,e^(-iπ/3)] [(log(z) + iπ/2)^3 - (iπ/2)^3]/(2i(z-1)) dz
変数変換z→1/zの後に実軸対称で積分を反転
K = -im∫[1,e^(-iπ/3)] [(log(z) + iπ/2)^3 - (iπ/2)^3]/(2iz(z-1)) dz
= -K + im∫[1,e^(-iπ/3)] [(log(z) + iπ/2)^3 - (iπ/2)^3]/(2iz) dz
= -K + im∫[0,-iπ/3] [(u + iπ/2)^3 - (iπ/2)^3]/(2i) du
= -K - (1/8)[(π/6)^4-(π/2)^4] - (1/2)(π/2)^3(π/3)
∴
K = -17π^4/2592
S = (8/3)(7π^4/240-17π^4/2592) + (2/3)(π/6)^4 - (8/3)(π/2)^3(π/6)
= 17π^4/3240
参考文献
Alfred van der Poorten, Some wonderful formulae...
Footnotes to Apery's proof of the irrationality of ζ(3),
Seminaire Delange-Pisot-Poitou. Theorie des nombres, 20, no 2 (1978-1979). >>821
これの答えも書いちゃうと
>>819の左辺-右辺=1/2Σ[sym.](a-b)^2(b-c)^4 追加問題
>>819
実はこの不等式、右辺の係数3を5に変えても成り立つ
左辺-右辺を正係数の平方和にすることで示せ どっかの模試の問題
①(0,0)スタート
②一回毎に↑↓→←に1移動、確率1/4
③2m回移動
において
A:(2m-4,0)に到達
B:途中でx=-1になる
C:途中でy=-1になる
として条件付き確率
P( C | A ∧ not B )
を求める問題
ゴリゴリやれば解けるし模範解答もゴリゴリやってるんだけど、それにしては解がメッチャキレイ
なんかエレガントな解答あるんかな？ n:自然数のとき
n+1～2nの積を2^(n+1)で割ったあまりを求めよ 曲線C:y=x²/2上の動点Pに対してPを通るCの法線上のy<x²/2の側にPQ==1となるようにとる
Pのx座標が0<x<1の範囲で動くとする
(1)Pの軌跡の長さを求めよ
(2)線分PQの通過領域の面積を求めよ >>841 考えてて思いついたんだけど、これって有名問題？
x = 0 でスタートして、コイン投げて表なら+1裏なら-1進むというのを2n回繰り返したとき、
A: 最終的にx = 0
B: 一連の2n回の移動中、常にx座標が非負（x=-1にならない）
とする。P(B|A) を求めよ。 >>846
カタラン数で検索
経路の数（＝カタラン数）：
C(n)＝(2n)!/(n!(n+1)!)
確率 P(B|A)：
C(n)/combin[2n,n]＝1/(n+1) >>841
2m回目にA(2m-4,0)に居る？ではなくて2m-4～2m回目のどこかでA(2m-4.0)を通ればいい？ >>847
ありがとう、答えも合ってます
>>841
答えは (2m+1)/(6m) で合ってる？
「2m回目に(2m-4,0)に居る」だと思ってゴリゴリやったんだけど計算に自信はない 前>>836
>>845(1)
(0,0)と(1,1)の最短距離は√2=1.41421356……
四分円でつなぐなら2π/4=1.57079632……
放物線なら√3=1.7320508……と推定される。 前>>850
>>845(2)
(1,1)は((5+2√5)/5,(5-√5)/5)と、
(0,0)は(0,-1)と長さ1の直線でつなぐことができ、
端点(0,-1)と((5+2√5)/5,(5-√5)/5)を放物線でつなぐと、
求める領域の面積は、PQの中点の軌跡の長さ×1すなわち
PQの中点の軌跡の長さそのものである。
(1)より一辺1の正方形内を充填する放物線の長さは√3と推定された。
点Qの軌跡はy=x^2の軌跡に対し、
x方向に(5+2√5)/5倍
y方向に(10-√5)/5倍
PQの中点の軌跡はy=x^2に対し、
x方向に(5+2√5)/10倍
y方向に(10-√5)/10倍
これらを掛けあわせて√ をとれば、
√3√(5+2√5)(10-√5)/10=√(120+45√5)/10
1.48533854386……
もう少し広く見えるけど、こんなものか。 前>>851訂正。
>>845
(1,1)は((5+2√5)/5,(5-√5)/5)と、
(0,0)は(0,-1)と長さ1の直線でつなぐことができ、
端点(0,-1)と((5+2√5)/5,(5-√5)/5)を放物線でつなぐと、
求める領域の面積は、PQの中点の軌跡の長さ×1すなわち
PQの中点の軌跡の長さそのものである。
(1)より一辺1の正方形内を充填する放物線の長さは√3と推定された。
点Qの軌跡はy=x^2の軌跡に対し、
x方向に(5+2√5)/5倍
y方向に(10-√5)/5倍
PQの中点の軌跡はy=x^2に対し、
x方向に(1+√5/5)倍
y方向に(3/2+√5/10)倍
これらを掛けあわせて√ をとれば、
√3√｛(1+√5/5)(3/2+√5/10)｝
=2.73555873141…… >>849
(2m-1)/(3m)のハズ
バイト先の生徒さんが受けた模試(多分駿台模試)なんだけど今解答ないので間違ってるかも 前>>852訂正の予定。
(1,1)じゃなくて(1,1/2)だった。
もっとP,Qの軌跡は短くなって領域の面積は小さくなる。 前>>854訂正。あってるかな。
>>845
(1)
(0,0)と(1,1/2)の最短距離は√(5/4)=√5/2=1.1180339……
四分円ならぬ楕円の1/4でつなぐなら、
単位円の周の1/4に対して縦方向に1/2、横方向に1だから、
2π/4√｛(1/2)・1｝=π√2/4=1.1……
放物線なら√3√｛(1/2)・1｝=√6/2=1.2695……と推定される。
(2)
(1,1/2)におけるy=(1/2)x^2の接線の傾きは、
y'=(1/2)2x=xにx=1を代入しy'=1
(1,1/2)におけるy=(1/2)x^2の法線の傾きは-1
(1,1/2)は((2+√2)/2,(1-√2)/2)と、
(0,0)は(0,-1)と長さ1の直線でつなぐことができ、
端点(0,-1)と((2+√2)/2,(1-√2)/2)を放物線でつなぐと、
求める領域の面積は、PQの中点の軌跡の長さ×1すなわち
PQの中点の軌跡の長さそのものである。
(1)より一辺1の正方形内を充填する放物線の長さは√3と推定された。
点Qの軌跡はy=x^2の軌跡に対し、
x方向に(2+√2)/2倍
y方向に(1+√2)/2倍
PQの中点の軌跡はy=x^2に対し、
x方向に(4+√2)/4倍
y方向に(2+√2)/4倍
これらを掛けあわせて√ をとれば、
√3√｛(4+√2)/4)(2+√2)/4)｝
=√｛3(10+6√2)｝/4
=√(30+18√2)/4
=1.86171701869…… 前>>857
>>845(1)
(0,0)と(1,1/2)の最短距離は√(5/4)=√5/2=1.1180339……
四分円ならぬ楕円の1/4でつなぐなら、
単位円の周の1/4に対して縦方向に1/2、横方向に1だから、
2π/4√｛(1/2)・1｝=π√2/4=1.1……
放物線なら√3√｛(1/2)・1｝=√6/2=1.2695……と推定される。
(2)
(1,1/2)におけるy=(1/2)x^2の接線の傾きは、
y'=(1/2)2x=xにx=1を代入しy'=1
(1,1/2)におけるy=(1/2)x^2の法線の傾きは-1
(1,1/2)は((2+√2)/2,(1-√2)/2)と、
(0,0)は(0,-1)と長さ1の直線でつなぐことができ、
端点(0,-1)と((2+√2)/2,(1-√2)/2)を放物線でつなぐと、
求める領域の面積は、
(0,3/2)を中心とした半径(5/2),中心角π/4の扇形から、
(0,3/2)を中心とした半径(3/2),中心角π/4の扇形を除いた面積だから、
半径(5/2)の八分円から半径(3/2)の八分円を引き、
(π/8)｛(5/2)^2-(3/2)^2｝
=(π/8)(4/2)^2
=π/2
=1.57079632679…… 前>>858扇形なわけない。訂正。
>>857で中点の軌跡の長さを√6/2にする。 >>655
答え今ないのですが計算機で数えてみたらやはり(2m-1)/(3m)のようです
m=2のときA ∧ notB とA ∧ notB ∧ Cをリストアップしたリストもつけました
10/20 = 1/2 = (2×2-1)/(3×2)になってます
https://ideone.com/YxQvKP 前>>859訂正。
>>845(2)
縦倍率と横倍率を掛け合わせ√ をとると、
√(15√2+18)/4=1.56551116723…… 前>>861
>>845
(1)
(0,0)と(1,1/2)の最短距離は√(5/4)=√5/2=1.1180339……
四分円ならぬ楕円の1/4でつなぐなら、
単位円の周の1/4に対して縦方向に1/2、横方向に1だから、
2π/4√｛(1/2)・1｝=π√2/4=1.1……
放物線なら√3√｛(1/2)・1｝=√6/2=1.2695……と推定される。
(2)
(1,1/2)におけるy=(1/2)x^2の接線の傾きは、
y'=(1/2)2x=xにx=1を代入しy'=1
(1,1/2)におけるy=(1/2)x^2の法線の傾きは-1
(1,1/2)は((2+√2)/2,(1-√2)/2)と、
(0,0)は(0,-1)と長さ1の直線でつなぐことができ、
端点(0,-1)と((2+√2)/2,(1-√2)/2)を放物線でつなぐと、
求める領域の面積は、PQの中点の軌跡の長さ×1すなわち
PQの中点の軌跡の長さそのものである。
(1)より縦1/2,横1の長方形内を充填する放物線の長さは√6/2と推定された。
PQの中点の軌跡は縦(2-√2)/4-(-1/2)=(4-√2)4
横(4+√2)/4の長方形内を充填する放物線だから、
y=x^2/2に対し、
x方向に(4+√2)/4(倍)
y方向に｛(4-√2)/4｝/(1/2)=(4-√2)/2(倍)
これらを掛けあわせて√ をとれば、
(√6/2)√[｛(4+√2)/4｝｛(4-√2)/2｝]
=√｛(3/2)(14/8)｝
=√(21/8)
=√42/4
=1.6201851746…… 前>>862
>>845(1)訂正。
√6/2=1.22474487139…… それぞれ4本ずつ辺を持つ17点同士がその辺で結ばれている。2本以下の辺をたどることで任意の2点間を移動できるように辺を取ることはできるか？ 正三角柱と正五角柱点と辺のなすグラフGとHを用意する
それぞれの頂点はA×{0,1}～C×{0,1}の6点とD×{0,1}～H×{0,1}の10点とする
A×i-D×i、B×i-E×i、C×i-F×i、の6本の辺を追加すればこれら12点は全て分岐数4になる
頂点Iを追加してIとG×i、H×iの4点を結べば全ての頂点の分岐は4分岐になる
この時頂点IからB×iまでは4本の辺を渡らなければ移動出来ない もしかして
k正則グラフの直径が2以下なら頂点数は2ᵏ以下である事を示せ
かな？
k=4の場合は泥臭く場合わけして示せたけど一般に成り立つのかな 違った
4正則グラフで直径2の頂点数の最大は15らしい
答え載ってる資料見つけたけどもちょっと考えたい人のためにあげるの保留 問題を17点にしてるということは2^4以下だとキレイに示せたりするってことなんかな？ 俺の見つけた資料によると
k正則グラフで直径2以下のグラフの頂点数の最大値をnₖとするとき
5(k-1) ≦ nₖ ≦ k²+1
らしいk = 2の時はn₂=5で正五角形のなすグラフ、k=3のときはnₖ=10でペーターセングラフというものになるらしい
k=4の時は15≦n₄≦17だけと正解はn₄=15
見つけた資料ではn₄≠17,16と順に示してるけどめっちゃ泥臭い >>865の想定解は、題意のような辺の取り方があると仮定すると
(1)17点のうちの任意の点について元の点に戻ってくる最短経路の辺の数がちょうど5に定まること(6以上だと対面の点に2辺以内で移動できず、4以下だと2辺の移動で自分以外の16点をカバー出来なくなる)
(2)(1)から、任意の1辺について、その辺を1辺に持つ五角形の総数が2×2=4で求まること
(3)(2)から、グラフ全体の中にある異なる五角形の数が(4×((17×4)/2))/5=27.2で整数でないことから仮定が矛盾する。
上の一般化で、1点の持つ辺の数がn,直径k,点の数N= (n×(n-1)^k-2)/(n-2)の場合について、N×(n/2)×(n-1)^kが2k+1で割りきれない時は題意の辺のとり方が存在しないことが分かります。
>>870 ペーターセングラフって言うんですね。これを見つけたので一般化した辺の結び方を探したけど上手く行きませんでした。せめてn=5,k=2,N=26の時だけでも分かるといいんですが。 それより>>865の問題文はない
もう少し他人にちゃんと伝わる文章が書けるようにならんとアカン >>841 の問題をこのスレ用に手直ししてみた
・xy座標で(0,0)からスタート
・1回毎に確率1/4で上下左右に1移動
・n回移動後に(k,k)に到着する確率をp[n,k]とする
このとき
Σ[n=0,∞](p[n,0]-p[n,1]) = 4/π
Σ[n=0,∞](p[n,0]-p[n,2]) = (4/π)(1+1/3)
......
Σ[n=0,∞](p[n,0]-p[n,k]) = (4/π)(1+1/3+1/5+...+1/(2k-1))
を示せ >>873
(2)の任意の1辺についてその辺を1辺に持つ五角形の総数が2×2=4というのがよくわからないので解説してほしい >>876
すみません。3×3=9の間違いでした。5で割り切れるかどうかには影響出ません。
2点P,Qが辺で結ばれていて、Pと結ばれているQ以外の3点をP1,P2,P3、同様にQについてQ1,Q2,Q3とする。P´∈{P1,P2,P3}からQ´∈{Q1,Q2,Q3}への最短の移動経路について、距離が1と仮定すると四角形PP´Q´Qが存在して(1)に矛盾。また最短の移動経路が2つ以上あると仮定すると、その最短経路の組み合わせで四角形が作れるため矛盾するので、最短経路は距離が2でただ一つに定まる。よって辺PQを通る五角形の総数はは3×3=9。一般の場合も同じです。 「核の3本柱」強化を表明 プーチン大統領 新型ICBM「近く実戦配備」
ロシアのプーチン大統領はICBM=大陸間弾道ミサイルなど「核の3本柱」を
強化していく考えを示しました。
「最重要課題はロシアの安全と世界の安定を保証する、核の3本柱の発展である」
プーチン大統領は21日、モスクワのクレムリンで軍大学校の卒業生らを前に演説し、
▼ICBM、▼核ミサイル搭載潜水艦、▼長距離爆撃機で構成される核の3本柱を
強化していく考えを示しました。
そのうえで、“10個以上の核弾頭を搭載可能とされる新型のICBM「サルマト」が
近く実戦配備される”としています。 >>877
理解しました！
解説ありがとうございます >>840
右辺-左辺 = (1/4)Σ[sym.](a-b)^2(2(a-c)^2(a-d)^2+(c-d)^4) 訂正：左辺-右辺=(1/4)Σ[sym.](a-b)^2(2(a-c)^2(a-d)^2+(c-d)^4)
この問題、なんか背景とかあるん？ >>881
おお、正解です！
背景というかキッカケは>>813のn=4のとき変数をa_i(1≦i≦4)として実際に判別式D≧0を計算してみたら
その過程で(a_i-a_j)^2の対称式たちの間の変な関係式がたくさん出てきて、そこからですね xyz=(x^3+y^3+z^3-p^3)/3を満たす素数の組(x,y,z,p)を求めよ。 p^3=(x+y+z)((x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2)/2
p=2のとき、x,y,z=2,3,3
pが奇素数のとき、x,y,zすべてが奇素数だと右辺は偶数になり不適なので、そのうち2つは2となる
例えばy=z=2とすればp^3=(x+4)(x-2)^2
しかしx-2=1、x-2=pどちらも不適なのでこの場合は解なし >>875 を考えてくれている人いますか？
いないようなら想定解あげましょうか？ 前>>863
>>845(2)
放物線の内側の面積は押しのけた長方形の面積の2/3だから、
大きい放物線部分に台形部分を足し、
小さい放物線部分を引くと、
(2/3)[1｛(1-√2)/2-(-1)｝]
+(1/2)｛1+(2+√2)/2｝｛1/2-(1-√2)/2｝
-(2/3)(1/2)1
=(3-√2)/3+(1+2√2)/4-1/3
=(2-√2)/3+(1+2√2)/4
=(8-4√2+3+6√2)/12
=(11+2√2)/12 前>>886
>>845(1)は(2)と同じ値でいいんでしょうか？
放物線の長さと、放物線に挟まれた領域の面積、幅が1なら同じ値になるということでしょうか？ >>845
(1)
∫[0,1]√(1+x^2)dx
= (1/2)(√2+log(1+√2))
(2)
線分PQの微小平行移動と微小回転の積分と考える
∫(微小平行移動の面積＋微小回転の面積)
= (曲線Cのx=0～1までの長さ)×1 + (半径1角45°の扇形の面積)
= (1/2)(√2+log(1+√2)) + π/8
= 1.540492656... 前>>887
y=x^2/2とy=-x+3/2のグラフを描くと、
放物線の0＜x＜1の部分をいくらx軸上にのばしても、
絶対に1.5まではのびない。
1.15236892706……が正しいと思う。 >>845 をゴリゴリ計算してみた
Pの座標を(t,t^2/2)とするとQの座標は(t+t/√(1+t^2),t^2/2-1/√(1+t^2))と求まる
(Qの軌跡は放物線ではない)
(2)
(Pのt=0～1の軌跡とx軸とx=1で囲まれる面積)
= ∫[0,1](t^2/2)dt
= 1/6
(Qのt=0～1の軌跡とx軸とx=1+1/√2で囲まれる面積)
= ∫[0,1]|t^2/2-1/√(1+t^2)| d(t+t/√(1+t^2))
= ∫[0,1](-t^2/2+1/√(1+t^2))(1+1/(1+t^2)^(3/2))dt
= (1/24)(2+6√2+3π+12log(1+√2))
したがってPQの軌跡の面積はこの二つの値と二つの三角形の和と差で以下のようになる
1/6 + (1/24)(2+6√2+3π+12log(1+√2)) + (1/2)^2/2 - (1/√2-1/2)^2/2
= (1/8)(π+4√2+4log(1+√2))
= 1.54049265639504319... 前>>889訂正。
最初の大きいほうの長方形で横(2+√2)2を掛け忘れてた。
Qの軌跡が放物線だとしたら、
放物線の内側の面積は押しのけた長方形の面積の2/3だから、
大きい放物線部分に台形部分を足し、
小さい放物線部分を引くと、
(2/3)[｛(1-√2)/2-(-1)｝｛(2+√2)/2｝]
+(1/2)｛1+(2+√2)/2｝｛1/2-(1-√2)/2｝
-(2/3)(1/2)1
=｛(3-√2)+(3-√2)√2｝/6+(1+2√2)/4-1/3
=(3+2√2-2-2)/6+(1+2√2)/4
=(4√2-2+3+6√2)/12
=(10√2-1)/12
=1.09517796864……
Qの軌跡が放物線でないとしたら、これより少し広い。
P,Qの座標をPQ=1に代入し、Qの軌跡がわかれば、
面積はわかるはず。 前>>891訂正。
(2) Qの軌跡が放物線だとしたら、
放物線の内側の面積は押しのけた長方形の面積の2/3だから、
大きい放物線部分に台形部分を足し、
小さい放物線部分を引くと、
(2/3)[｛(1-√2)/2-(-1)｝｛(2+√2)/2｝]
+(1/2)｛1+(2+√2)/2｝｛1/2-(1-√2)/2｝
-(2/3)(1/2)1
=(2/3)｛(3-√2)/2｝｛(2+√2)/2｝
+(1/2)｛(4+√2)/2｝(√2/2)
-1/3
=(3-√2)(2+√2)/6
+(1+2√2)/4
-1/3
=(4+√2)/6+(1+2√2)/4-1/3
=(2+√2)/6+(1+2√2)/4
=(4+2√2+3+6√2)/12
=(7+8√2)/12
=1.52614237492……
Qの軌跡が放物線でないとしたらこれよりやや広い。 >>890
正解です。
想定解
一般に
定理 凸集合K,Lと正の実数a,bにたいして凸集合aK+bLを
aK+bL = { R | OR→ = aOP→+bOQ→ ∃P∈K, ∃Q∈L }
とするときある多項式P(x,y)が存在して
Area(aK + bL) = P(x,y)
をみたす、特にLが単位円のときP(1,t)は二次式
P(1,t) = at^2 + bt + c
とおくとき
a = π、b = Kの周長、c = Kの面積
である。
をもちいて
K = { 0≦x≦1、x^2/2≦y≦1-(1-x)^2 }、L:単位円
とすれば
求める面積は(Area(K+L)-3π/4)/2
= (π+√2 + sinh^(-1)(1) -3π/4)/2
= 1/sqrt(2) + π/8 + 1/2 sinh^(-1)(1)
= 1.540492656... >>875
誰も解答しないので想定解書きます(みんなくだらない問題と思ったのかな)
・想定解答
n回移動後に(j,k)に到着する確率をp[n,j,k]と置きなおす。仮定より
p[n+1,j,k] = (1/4)(p[n,j-1,k] + p[n,j+1,k] + p[n,j,k-1] + p[n,j,k+1])
そしてp[n,j,k]の特性関数
P[n,x,y] = Σ[j,k∈Z] p[n,j,k] e^(ijx+iky), i=√-1
を考えると
P[n+1,x,y] = (1/4)(e^(+ix) + e^(-ix) + e^(+iy) + e^(-iy))P[n,x,y]
= ((cosx+cosy)/2)P[n,x,y]
が成り立ち、これは簡単に解けて
P[n,x,y] = ((cosx+cosy)/2)^n
反転公式より
p[n,j,k] = 1/(2π)^2∫∫[-π,π]^2 ((cosx+cosy)/2)^n e^(-ijx-iky) dxdy
あとは計算するだけ
Σ[n=0,∞](p[n,0,0]-p[n,k,k])
= Σ[n=0,∞]1/(2π)^2∫∫[-π,π]^2 ((cosx+cosy)/2)^n (1-cos(kx+ky)) dxdy
= 1/(2π)^2∫∫[-π,π]^2 (1-cos(kx+ky))/(1-(cosx+cosy)/2) dxdy (x=u+v,y=u-v,積分領域は対称性から同じ)
= 1/(2π)^2∫∫[-π,π]^2 (1-cos(2ku))/(1-cosu cosv) dvdu
= 1/(2π)∫[-π,π](1-cos(2ku))/|sin u| du
= S[k],
S[0] = 0,
S[k+1]-S[k] = 1/(2π)∫[-π,π](cos(2ku)-cos(2ku+2u))/|sin u| du
= 1/(2π)∫[-π,π](2sin(2ku+u)sin u)/|sin u| du,
= (4/π)(1/(2k+1))
よって
S[k] = (4/π)Σ[m=1,k]1/(2m-1) 前>>891
>>845(1)
(1)y'=x
∫[x=0→1]√(1+x^2)dx
=[x√(1+x^2)](x=0→1)-∫[x=0→1]｛x(x/√(1+x^2)｝
※部分積分=[上げてそのまま]-∫(上げて下げる)dx
=√2-∫[x=0→1]｛x^2/√(1+x^2)｝dx
=√2-∫[x=0→1]｛(1+x^2)/√(1+x^2)｝dx+∫[x=0→1]｛1/√(1+x^2)｝dx
=√2-∫[x=0→1]√(1+x^2)dx+∫[x=0→1]｛1/√(1+x^2)｝dx
2∫[x=0→1]√(1+x^2)dx=√2+∫[x=0→1]｛1/√(1+x^2)｝dx
※同形出現→左辺に移行
x=tanθとおくとx=sinθ/cosθだから、
dx/dθ=｛(sinθ)'cosθ-sinθ(cosθ)'｝/cos^2θ
=｛cosθ・cosθ-sinθ(-sinθ)｝/cos^2θ
=(cos^2θ+sin^2θ)/cos^2θ
=1/cos^2θ
dx=(1/cos^2θ)dθ
∫[x=0→1]｛1/√(1+x^2)｝dx
=∫[θ=0→π/4]｛1/√(1+sin^2θ/cos^2θ)｝(1/cos^2θ)dθ
=∫[θ=0→π/4]｛1/(1/cosθ)｝(1/cos^2θ)dθ
=∫[θ=0→π/4](1/cosθ)dθ
※ここでなぜか=∫[θ=0→π/4]cosθdθとなったんで、
=[sinθ](θ=π/4)
=√2/2
2∫[x=0→1]√(1+x^2)dx=√2+∫[x=0→1]｛1/√(1+x^2)｝dx
2∫[x=0→1]√(1+x^2)dx=√2+√2/2
∫[x=0→1]√(1+x^2)dx=√2/2+√2/4
=3√2/4
=1.06066017178……
絶対に間違えてるんだけど、いい値なんだよこれ。 前>>895却下。
(0,0)と(1,1/2)の距離が、
√｛1+(1/2)^2｝=√5/2
=1.11803398875
放物線のほうが弛んでるからこれより少し長い。 ∫[0,1]√(1+x^2)dx
= ∫[1,1+√2] 1/2(t + 1/t) 1/2(1 + 1/t^2)dt
= 1/4∫[1,1+√2] (t + 2/t + 1/t^3)dt
= 1/4 [t^2/2+ 2log(t)-1/(2t^2) ) ]_1^(1+√2)
= 1/√2 + 1/2 log(1 + √2) 前>>896
>>845
(1)y'=x
∫[x=0→1]√(1+x^2)dx
=[x√(1+x^2)](x=0→1)-∫[x=0→1]｛x(x/√(1+x^2)｝
=√2-∫[x=0→1]｛x^2/√(1+x^2)｝dx
=√2-∫[x=0→1]｛(1+x^2)/√(1+x^2)｝dx+∫[x=0→1]｛1/√(1+x^2)｝dx
=√2-∫[x=0→1]√(1+x^2)dx+∫[x=0→1]｛1/√(1+x^2)｝dx
2∫[x=0→1]√(1+x^2)dx=√2+∫[x=0→1]｛1/√(1+x^2)｝dx
x=tanθとおくとx=sinθ/cosθだから、
dx/dθ=｛(sinθ)'cosθ-sinθ(cosθ)'｝/cos^2θ
=｛cosθ・cosθ-sinθ(-sinθ)｝/cos^2θ
=(cos^2θ+sin^2θ)/cos^2θ
=1/cos^2θ
dx=(1/cos^2θ)dθ
∫[x=0→1]｛1/√(1+x^2)｝dx
=∫[θ=0→π/4]｛1/√(1+sin^2θ/cos^2θ)｝(1/cos^2θ)dθ
=∫[θ=0→π/4]｛1/(1/cosθ)｝(1/cos^2θ)dθ
=∫[θ=0→π/4](1/cosθ)dθ
=∫[θ=0→π/4]｛cosθ/(1-sin^2θ)｝dθ
=∫[θ=0→π/4](1/2)｛cosθ/(1-sinθ)+cosθ/(1+sinθ)｝dθ
=(1/2)log｛1+sin(π/4)｝-(1/2)log｛1-sin(π/4)｝
=(1/2)log｛(1+√2/2)/(1-√2/2)｝
=(1/2)log｛(2+√2)/(2-√2)｝
=(1/2)log｛(2+√2)^2/(2^2-2)｝
=(1/2)log｛(6+4√2)/2｝
=(1/2)log(3+2√2)
2∫[x=0→1]√(1+x^2)dx=√2+(1/2)log(3+2√2)
∫[x=0→1]√(1+x^2)dx=√2/2+(1/4)log(3+2√2)
=0.89849462385……
√｛1^+(1/2)^2｝=√5/2
=1.1180……
より短いのはおかしい。 前>>898
>>897
なんで1より短いの？
√5/2=1.118……より長いはずなのに。 log(2)=0.6931471805599453094172321214581765680755001343602552541206800094933936219696947156058633269964186875....
log(10,2)=0.3010299956639811952137388947244930267681898814621085413104274611271081892744245094869272521181861720.... >>899
google電卓はlogを常用対数、lnを自然対数として扱います。
>>なんで1より短いの？
あなたは√2/2+(1/4)log(3+2√2)の値を知りたくて電卓を使いましたが、
その電卓はlogを常用対数だと認識して誤った答えを返しました。
正しく電卓を使うためには√2/2+(1/4)ln(3+2√2)と入力しましょう。
なお、ここは電卓の使い方を学ぶスレではありません。 前>>899
>>845(1)底をeにしてみると、
√2/2+(1/4)log(3+2√2)=√2/2+(1/4)log(e)(3+2√2)
=1.3399202158…… 前>>904修正。
>>845(1)
∫[x=0→1]√(1+x^2)dx=√2/2+(1/4)log(3+2√2)
=√2/2+(1/4)｛log(3+2√2)/log(e)｝
=1.1477935747…… ∫[x=0→1]√(1+x^2)dx=√2/2+(1/4)log(3+2√2)
=√2/2+(1/4)｛log(3+2√2)/log(e)｝
=1.1477935747……＜1.18……=√5/2
違うな。1.18を少し超えなきゃ。 >>905
わざとですか？
〇√5/2 = 1.118……
×√5/2 = 1.18……
>∫[x=0→1]√(1+x^2)dx=√2/2+(1/4)log(3+2√2)
>=√2/2+(1/4)｛log(3+2√2)/log(e)｝
>=1.1477935747……
であなたの答えは正解です。
なお、ここはおかしな解答を競い合うスレではありません。 前>>903じゃあなかったことにします。
>>845(2)
(1)で求めた値に、
単位円の八分円の扇形を足すと、
√2/2+(1/4)(log(3+2√2)/log(e))+π/8
=1.5404926564…… まぁしかし面積が弧長×道幅＋π×道幅²になるとこまではわかてっるんやな
イナにしては上出来 >>841 関連で
2次元格子上で(0,0)スタート
一回毎に↑↓→←に1移動、確率1/4
n回移動
において(j,k)に到達する確率（n-j-kは偶数と仮定）を計算すると
p[n,j,k] = 1/(2π)^2∫∫[-π,π]^2 ((cosx+cosy)/2)^n e^(-ijx-iky) dxdy
= {1/(2π)∫[-π,π] (cosu)^n e^(-i(j+k)u) du}{1/(2π)∫[-π,π] (cosv)^n e^(-i(j-k)v) dv}
= (1/4)^n C[n,(n-j-k)/2] C[n,(n-j+k)/2]
になるけど、これを組合せ論的に示すにはどうすればいい？ >>910
A, B を位数 (n-j-k)/2, (n-j+k)/2 の I={1,…,n} の部分集合として、i番目の動きを
AかつBのとき←
AかつB^cのとき↓
A^cかつBのとき↑
A^cかつB^cのとき→
で定めると(j,k)に到達する経路になる
自分としては>>910の計算の詳細というかそれを計算すれば良いという理由が知りたい >>911
解答ありがとう。
> 自分としては>>910の計算の詳細というかそれを計算すれば良いという理由が知りたい
n回移動後に(j,k)に到着する確率をp[n,j,k]とすると漸化式
p[n+1,j,k] = (1/4)(p[n,j-1,k] + p[n,j+1,k] + p[n,j,k-1] + p[n,j,k+1])
が成り立ち、これを解けば答えが出る。
そこでp[n,j,k]の（確率）特性関数
P[n,x,y] = Σ[j,k∈Z] p[n,j,k] e^(ijx+iky), i=√-1
を考えると漸化式は
P[n+1,x,y] = (1/4)(e^(+ix) + e^(-ix) + e^(+iy) + e^(-iy))P[n,x,y]
= ((cosx+cosy)/2)P[n,x,y]
に置き換わり
P[n,x,y] = ((cosx+cosy)/2)^n
と解くことができて、特性関数の反転公式から
p[n,j,k] = 1/(2π)^2∫∫[-π,π]^2 ((cosx+cosy)/2)^n e^(-ijx-iky) dxdy
・・・
と求まる。 >>912
ありがとう。確率の特性関数勉強してみる。 次の条件を満たす多項式p(A,B,C,U,V,W)が存在することを示せ
(1)任意の四面体OABCに対して
vol(OABC)=p(OA,OB,OC,BC,CA,AB)
が成立する
(2) p(a,b,c,u,v,w) > 0である正の数a,b,c,u,v,wに対してあるし、ある四面体OABCで
(a,b,c,u,v,w) = (OA,OB,OC,BC,CA,AB)
を満たすものがとれる >914
p(x,√2,√2,2,√5,√5) = (√(x^2-1))/3 になったんだけどなんかミス？ (1)はまぁ有名な話ではあるけど(2)は知らなかった
かなり面白そう
一般次元でもそうなってるのかね？ ん？
(1)は916で訂正されてるけど(2)が嘘ってこと？ p(x,√2,√2,2,√5,√5) = -(x^2-10x+9)/6のハズ p(x,√2,√2,2,√5,√5) = -(x^4-10x^2+9)/6のハズ 915は計算ミスった
そのままだと根号出てくるって言いたかっただけだから放っておいたけど >>924
ほんとだw
全然ダメじゃん
(2)が成り立つならかなり興味深い問題だったんだがテキトー出題だったのかな それぞれが100と互いに素で、相異なる100以下の自然数からなる組で、和が100の倍数となるものは何通りか． サトマイ（統計学専門家の女性）が真面目に「ウンコ」連発してる動画が笑える
【ひろゆきさんのツイート】ウンコ漏らしたことがある人の方が年収高いを解説
https://youtu.be/bIoxVkh8XVQ 複素数w,x,y,zが
(w+x+y+z)^2=4(w^2+x^2+y^2+z^2)
(w+x+y+z)^3=16(w^3+x^3+y^3+z^3)
|w-x|≦|w-y|≦|w-z|=2
をみたしているとき|y-z|を求めよ。 >>1
>面白い数学の問題を紹介して解き合うスレです
>質問スレではありません
>出題者が答えを知らない問題はお控えください pが正で二つの面の三角形が存在するなら四面体が存在する.
一つだと不明. [w^2]=(1/4)[w]^2.
[w^3]=(1/16)[w]^3.
[w^2]=[w]^2-2[wx].
[w^3]=[w]^3-3[w][wx]+3[wxy].
[wx]=(3/8)[w]^2.
[wxy]=(1/16)[w]^3.
s=(1/4)[w].
[w]=4s.
[wx]=6s^2.
[wxy]=4s^3.
t^4=s^4-[wxyz].
[wxyz]=s^4-t^4.
(X-w)(X-x)(X-y)(X-z)=X^4-4sX^3+6s^2X^2-4s^3X+s^4-t^4=(X-s)^4-t^4.
{w,x,y,z}={s+t,s+ti,s-t,s-ti}. (w-(w+x+y+z)/4)^4-(x-(w+x+y+z)/4)^4
=((w-x)(y+z)/8)((w+x+y+z)^2-4(w^2+x^2+y^2+z^2))
-((w-x)/48)((w+x+y+z)^3-16(w^3+x^3+y^3+z^3)). このスレッドは１０００を超えました。
新しいスレッドを立ててください。
life time: 255日 5時間 41分 4秒 5ちゃんねるの運営はプレミアム会員の皆さまに支えられています。
運営にご協力お願いいたします。
───────────────────
《プレミアム会員の主な特典》
★ 5ちゃんねる専用ブラウザからの広告除去
★ 5ちゃんねるの過去ログを取得
★ 書き込み規制の緩和
───────────────────
会員登録には個人情報は一切必要ありません。
月300円から匿名でご購入いただけます。
▼ プレミアム会員登録はこちら ▼
https://premium.5ch.net/
▼ 浪人ログインはこちら ▼
https://login.5ch.net/login.php レス数が1000を超えています。これ以上書き込みはできません。
