1999年　東大入試　第1問で複素数の掛け算を使った方法で解くのは現実的か

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/21(土) 12:04:26.47

（１）一般角θに対して、sinθ、cosθの定義を述べよ。

（２）一般角α、βに対して、次の式を証明せよ。

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/21(土) 12:11:51.46

0085 １３２人目の素数さん 2022/05/21 03:28:00
exp(z) := Σ[n=0, ∞] z^n/n!

とする。
exp(0) = 1。z≠0に対して、|(n+1項目)|/|(n項目)| = |z|/(n+1) → 0 (n→∞)。よって、expはすべての複素数zについて絶対収束する。
したがって、以下が成り立つ。

exp(x)exp(y)
= (Σ[n=0, ∞] x^n/n!)(Σ[n=0, ∞] y^n/n!)
= Σ[n=0, ∞](Σ[k=0, n]x^k y^(n-k)/k! (n - k)!) （∵ expの絶対収束性）
= Σ[n=0, ∞](x+y)^n/n! （∵ 二項定理）
= exp(x+y)

(1)
sin(θ) = exp(iθ)の虚部
cos(θ) = exp(iθ)の実部

(2)
exp(x+y) = exp(x)exp(y)より

cos(x + y) + isin(x + y)
= (cos(x) + isin(x))(cos(y) + isin(y))
= (cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)) + i(cos(x)sin(y) + sin(x)cos(y))

よって、実部と虚部を比較して

sin(x + y) = cos(x)sin(y) + sin(x)cos(y)
cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)

0090 １３２人目の素数さん 2022/05/21 09:24:23
>>85
うーん、0点！w

・ratio testの証明がない
・絶対収束の定義がない
・絶対収束する冪級数の積を次数ごとに計算していいことの証明がない
・イプシロンデルタ論法を使うならlimをイプシロンデルタ論法で再定義して、教科書とはlimの定義が違うのでlim(ab)=(lima)(limb)とか基本的なとこから証明する必要がある

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/21(土) 12:15:41.16

俺は受験生の時に「東大京大の入試では大学数学の知識を使っていい」みたいな話を聞いた気がするけど、実際どうなんだろ

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/21(土) 13:13:28.72

俺が高校生の時はロピタルの定理とかは証明してから使わないといけない
とか塾で聞いた。

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/21(土) 13:26:52.49

穴埋めはともかく、ロピタル無双できる安直な記述式問題って出るの？

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/21(土) 15:13:56.30

>>3
大学入試は、仮面浪人や再受験生も受けに来るのだが

常識で判断できない？

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/21(土) 16:36:30.48

>>6
何か主張したいならはっきり書けよ弱虫

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/21(土) 16:53:14.15

>>7
自分の読解力が足りていないのを自慢して楽しいか？

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/21(土) 18:57:25.01

論破されたのが悔しくてスレ立てちゃったのかな

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/21(土) 19:04:27.70

いや、俺は三角関数スレの３７番だが、このスレは立てていないぞ。
数学の歴史だとか整数問題のスレだとかは立てたが。

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/21(土) 20:08:26.16

このスレ建てたのは議論とはほぼ無関係な者です(一応いくつか首突っ込んだけど)

元のスレでの議論は「三角関数だけどうして嫌われるのか」って内容から大きく逸脱してたんで、新しく建てました

それに、この議論は突き詰めれば「大学入試に大学数学は使って良いのか、使って良いとしてどこまで許されるのか」っていう興味深い内容になりそうなので、専用スレで扱った方が面白いかなと思いまして…

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/21(土) 20:33:18.70

この板の住民は専門板の住民であることにプライドを持っているから、
大学受験数学とかの話題は嫌ってるのが多いんだよ。
それなのによく建てたな。

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/21(土) 20:56:10.39

>>12
そうなのか…
自分はまだ新参者なんだ、すまなかった
教えてくれてありがとう

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/21(土) 21:08:36.81

東大は確か「ロピタル使ったら簡単に解ける問題は出しません！」とか言っていたはず。
ところが、今年の入試問題はロピタルでエラく簡単になる問題が出ていた。

そりゃ教授が違うからそうなるんだろうが…。ロピタル使うのは証明してからという話もあるのでちょっとなあ。

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/22(日) 00:52:56.18

そもそも高校の教科書のドモアブルの公式が加法定理使ってるからあかんやろな
そのくらいの空気は読めやという問題やろ
しかしこの問題は正直微妙
高校の教科書では「0<θ<πである実数に対してA(1,0)とP(X,Y)の弧長がθであるPをとるときのXがcosθ、Yがsinθ」が数Aの定義で数Bで一般角に拡張するけど、ところがこの問題が出た1999年では曲線の長さは高校の教科書の範囲外(1998-2008までの10年間)、つまり高校で弧の長さの出し方教えてない
実は教科書に定義載ってない問題だったという

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/22(日) 08:00:52.91

円の弧長については、積分以前に中学までで既知という立場だろ。
円周の長さについての公式と円の面積の公式は習っている。
きちんと円の弧長を定義しているわけではないけど。

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/22(日) 16:49:11.80

>>1
おいしい数学というＨＰで紹介してる証明は
回転で2点間の距離が不変であることを利用した
素晴らしいものだった
ただなぜ加法公式がこのかたちなのかについての
知見を与えるものではないが
まあ、そういう幾何的証明があれば
決定版としてどの教科書にも掲載される筈

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/25(水) 13:28:29.91

>>12
草

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/25(水) 16:35:17.61

教育課程としての高校数学なら盛り上がることは良く分かった。

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/26(木) 09:55:29.62

大学数学で挫折してこじらせた人しかいないから高校数学ネタにこぞって飛びつくんだよ
三角関数スレがいい例

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/28(土) 07:21:59.26

そもそもsinθ/θの極限値の話から循環論法が始まってるのが混乱を招く

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/28(土) 10:35:21.71

>>21
循環論法ではないが

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/31(火) 23:42:20.25

まあこれって最初から合格が分かり切ってるレベルなら解ける可能性あるけど、受験合否ギリギリではまず無理だろw

**１３２人目の素数さん** · 2022/06/01(水) 00:04:55.35

上の方で誰か書いてたけど“道のり”やめて“回転運動”に読み替えて(流石にその程度の読み替えは許してもらえると信じて)
A(1,0)、B(cos(x)sin(x))、C(cos(x+y),sin(x+y))
と
A(cos(-x),sin(-x))、B(1,0)、C(cos(y),sin(y))
が合同になる事利用する方法くらいしか時間内に仕上げるのは難しい、そして知らないと思いつかないからなぁ

**１３２人目の素数さん** · 2022/07/23(土) 17:56:23.37

>>22
いや循環論法だよ

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/09(日) 09:01:15.29

回転行列の掛け算を使うのはアリ？

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/09(日) 09:47:44.93

高校数学では単位円を使った方法しかダメ
指数や行列は循環論法
この問題は基礎をおろそかにせず教科書を学べという東大からのメッセージ

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/09(日) 15:45:35.77

>>27
なるほど

ただ、回転行列を導くところから書けばOKでしょ
循環論法にはならない

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/09(日) 15:51:04.82

>>15
この問題が出された頃は、高校ではドモアブルはやってない。
複素平面を高校でやり出したのは最近、行列が高校から消えてから。

だから、複素平面の解答よりは、回転行列の解答の方が高校生には自然。
回転行列から導けば、加法定理も証明出来る。

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/09(日) 15:51:49.26

やな
だから
・回転は原点を原点に、平行四辺形を平行四辺形に移す、よってその座標変換は一次式でかける一次変換になってる
・一次変換の合成はまた一次変換でその行列表示は行列の積でかける
事を証明しとけば満点もらえるやろな

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/09(日) 16:47:27.81

>>30
そうです
高校で行列や1次変換をやっていた頃は(「代数・幾何」と呼んでいた頃)、
教科書にもその方法で回転行列を導いていて、
そこから加法定理も導いていました。

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/09(日) 16:49:54.49

今「代数・幾何」の内容って全然高校でやらないのか！
複素平面じゃ非可換は扱えないし、何やってんのかな？

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/09(日) 16:54:58.32

平面上の円の方程式を２年生でやっとこやるくらい変なことになってる

**１３２人目の素数さん** · 2022/10/12(水) 17:48:43.63

>>32
高校数学ヤバイことになっている
２，３年前に線形代数の授業を担当したけど、回転行列はおろか行列すら知らないから
行列の積から教えないといけない
ゆとり以上にゆとりになってる

それでいて、教えなきゃいけない内容は昔と変りないから、めっちゃ詰め込み
脱落者続出

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/07(土) 22:09:57.61

>>29
この当時は複素数平面は高校の指導要領の範囲だった。
1994年から9から10年単位でコロコロ変わってるから紛らわしくなってる。

大雑把には
高校1年のときを基準に（入試がその3年後）
1994～2002（複素数平面が入って微分方程式・一次変換は外された）
2003～2011（一次変換が入って複素数平面が外された）
2012～2021（複素数平面が入って行列・一次変換は外された）
2022～　　　(統計必須）

以前に比べて重視されたのが図形、整数、統計。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/07(土) 23:48:30.51

>>35
図形って何？

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/08(日) 02:27:18.08

円周角とか作図とか、昔の中学生がやってたこと

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/08(日) 03:14:07.45

そんなんやって何の役に立つの
世も末だな

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/08(日) 09:28:55.46

>>38
>>そんなんやって何の役に立つの
>>世も末だな

人類はそれを２０００年以上やってきたわけだが

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/08(日) 10:45:01.25

>>36
自分たちがやってきたころに比べてベクトルや座標平面（空間）を使わずに図形の問題を解くことが重視されたことかな。
方べきの定理（三角形の相似をみるのと同じだけど）とかトレミーの定理を使用して解く問題とか。

図形の問題もベクトルや座標平面使って計算に落としたほうが簡単なのにわざわざ難しくしてるような。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/08(日) 10:48:37.15

>>図形の問題もベクトルや座標平面使って計算に落としたほうが簡単なのにわざ>>わざ難しくしてるような。

効率化がすべてに優先する価値だろうか？

ユークリッド幾何があり、座標幾何があり、射影幾何があり
そして非ユークリッド幾何がある。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/08(日) 10:57:27.79

>>34
2012年の課程から高校数学で行列外されて、2015年（現役）入学の学生から行列学んでないはず。
当時そんなのは問題ないと言ってた人もいたけど、やっぱり線形代数の授業ついていけない人続出したんだ。

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/08(日) 11:53:40.15

>>39
だからどうした

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/08(日) 11:54:31.42

>>41
わざわざ非効率で役に立たないものをやる意味は無い

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/08(日) 11:57:55.18

>>39
それ人類のオツムが進歩してなかっただけ

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/08(日) 14:26:41.85

ネアンデルタール人よりもオツムが悪かったので
生き残ったのが現代の人類だと言われている。

**１３２人目の素数さん** · 2023/08/19(土) 13:25:35.79

あ、こんなところにいたんですか、社長