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43コメント18KB
加法定理の証明ってこれでOK？
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0001１３２人目の素数さん
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2022/04/16(土) 00:37:07.44ID:qOX3xTXr
これで左辺を展開して右辺と各要素を比較すれば証明できたことになる？
https://i.imgur.com/a5Jgf6i.jpg
0005１３２人目の素数さん
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2022/04/16(土) 01:25:16.75ID:7zgZmmwB
α回転の次にβ回転したらα＋β回転にならないと回転の定義が破綻しないか？
0006１３２人目の素数さん
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2022/04/16(土) 01:35:37.16ID:02QlDMeN
行列は今は高校でやらないから、それを答案に書いても減点される可能性がある。
高校でやらない公式は、証明してから使えという話があったりする。

単位円上の２点　a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ) で内積を考えると
a・b = cosαcosβ+sinαsinβ = cos(β-α)

となるから、これを取っ掛かりにして証明した方が簡単なんじゃないの？ちなみに、内積の公式の証明は三角関数の余弦定理しか
使っていないから、循環論法になっている心配はない。
0007１３２人目の素数さん
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2022/04/16(土) 03:23:30.81ID:4GO5h3tV
>>1
は (cosα, sinα) をβ回転させると (cos(α+β), sin(α+β)) になると言ってるだけだから間違いではないと思う
0008１３２人目の素数さん
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2022/04/16(土) 08:11:59.68ID:1aBWvxmR
OP↑をβ回転させると右辺になるのは自明なんだろうけど、
左辺の形になるというのはそんなに自明じゃない、つまり>>4
0009１３２人目の素数さん
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2022/04/16(土) 08:19:48.73
>>1
どっちも回転行列使えばいいじゃん　アホなの？

(cos(α+β)　-sin(α+β))
(sin(α+β)　 cos(α+β))
=
(cosβ　-sinβ)(cosα -sinα)
(sinβ　 cosβ)(sinα cosα)
=
(cosαcosβ-sinαsinβ　-cosαsinβ-sinαcosβ)
(cosαsinβ+sinαcosβ　 cosαcosβ-sinαsinβ)
0010１３２人目の素数さん
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2022/04/16(土) 08:24:28.00ID:JAoRr3Gp
わざわざ筆記量を倍にしてまでそうするメリットは？
0011１３２人目の素数さん
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2022/04/16(土) 08:25:17.18
ていうか回転行列より複素数つかったほうが早いじゃんｗ

　cos(α+β)+sin(α+β)i
=(cosα+sinα*i)(cosβ+sinβ*i)
=cosαcosβ+(cosαsinβ+sinαcosβ)*i+(sinαsinβ)*i^2
=(cosαcosβ-sinαsinβ)+(cosαsinβ+sinαcosβ)*i
0012１３２人目の素数さん
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2022/04/16(土) 08:28:07.50
>>10
＞わざわざ筆記量を倍にしてまで
そもそも回転行列が冗長なんで、そこも半分にするなら
実二次元ベクトルではなく、>>11のように複素数とするのが最適解

っていうかそこが本質でしょ
0013１３２人目の素数さん
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2022/04/16(土) 08:31:37.85ID:JAoRr3Gp
つか>>1と>>11って同じようなことじゃん
なのに>>1をアホ呼ばわりして>>9ｗｗｗｗｗ
0014１３２人目の素数さん
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2022/04/16(土) 08:40:14.00
>>13
＞つか>>1と>>11って同じようなことじゃん
ああ、君、群とか知らないでしょｗ

ベクトルと正方行列は違うよね？

かけ算だというなら、どっちも正方行列じゃないとオカシイよね？
で、>>10はそれだと冗長だとかわめいてたけど
そもそも回転行列が冗長なのよね
で、冗長性を削るんなら、複素数をつかえばいい
これだと両方とも同じ複素数（ついでにいうと絶対値が１）だから
同じ集合の要素となっている

なんなら(cosαcosβ-sinαsinβ)+(cosαsinβ+sinαcosβ)*iの
絶対値が１かどうか確認してみｗ
0015１３２人目の素数さん
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2022/04/16(土) 08:46:04.97ID:JAoRr3Gp
SO(2)のR^2への作用とU(1)のCへの作用の比較、とか言ってくれても大丈夫だよ
0016１３２人目の素数さん
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2022/04/16(土) 08:54:55.36
ま、個人的には
「絶対値１の複素数は、乗法演算で閉じてる」（つまり群である）
というところから始めて
「だから絶対値１の複素数ｃ＋ｓ＊ｉに、
　ｃ（α＋β）＋ｓ（α＋β）＊ｉ
＝（ｃ（α）＋ｓ（α）＊ｉ）（ｃ（β）＋ｓ（β）＊ｉ）
　となるような値α、βを割り付けられる筈」
という仮説を実現するのが筋でしょ

で、例えば「度」は
「ｉの原始９０乗根の１つに１という値をつける」
というものだし、「ラジアン」は
ｌｉｍ（ｄｘ→０）（（ｉ＾（ｄｘ）ー１）／ｄｘ）＝(π／２)ｉ
に基づいて、i＝cos（π/2)＋sin（π/2)*iとなるように
値を割り付けたものでしょ
0017１３２人目の素数さん
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2022/04/16(土) 08:58:09.22
>>15
平面ベクトルに回転行列を掛けるのは
「SO(2)のR^2への作用」
という必要があるけど、
二つの絶対値１の複素数の掛け算を
「U(1)のCへの作用」
という馬鹿はいない

だってT＝{z∈C||z|=1}どうしの掛け算じゃんｗ
君、脳ミソあるの？
0018１３２人目の素数さん
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2022/04/16(土) 09:06:29.62
もし、ｉをディラックが考案してたら？

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
Ｉ
＝（１　０）
＝（０　１）
とする

ーＩ＝（Ｉｍ）＾２
なる行列があれば便利だが
それは以下で実現できる

Ｉｍ
＝（０　ー１）
＝（１　　０）
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー
0019１３２人目の素数さん
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2022/04/16(土) 09:42:26.19ID:iF8/HT0r
微分方程式を経由すると、証明が簡単に出来る。
x(t)を未知関数とする微分方程式
(1)D^2x＋x(t)＝0
を考える。
初期条件
x(0)＝0, x’(0)＝1の解がsin(t)
x(0)＝1, x’(0)＝0の解がcos(t)
となる。
(2)A,Bを定数とすると
Asin(t)＋Bcos(t)は
(1)の解となり、また全ての解はこの形に一意的に表される。
加法定理の証明
sin(x＋y)を、xを変数とする関数と考えると
この関数とその導関数は、(1)の解となる。
(2)により
sin(x＋y)＝Asinか
0025１３２人目の素数さん
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2022/04/16(土) 14:08:33.10ID:YhhLPFoA
>>19
続き
(3)sin(x＋y)＝Asin(x)＋Bcos(x)
と表される。
A,Bはyの関数となる。
(3)の両辺をxで微分すると
(4)cos(x＋y)＝Acos(x)−Bsin(x)
(3)にて、x＝0を代入すれば
sin(y)＝B
(4)にて、x＝0を代入すれば
cos(y)＝A
これを整理すれば
加法定理が求められる。
0026１３２人目の素数さん
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2022/04/16(土) 15:17:40.07ID:nLxuz1go
>>9
お前が書いてるのって>>2と同じじゃないの？
0027１３２人目の素数さん
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2022/04/16(土) 15:17:59.01ID:nLxuz1go
>>5
どういうこと？
0029１３２人目の素数さん
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2022/04/16(土) 16:13:58.20
>>25
一つ質問していいかな？
cos(x)、sin(x)の微分に
加法定理使ってないかな？
0030１３２人目の素数さん
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2022/04/16(土) 16:24:02.34
そもそも絶対値１の複素数ｚについて
ｚ^ｘの微分のｘ＝０での値が
ｃｉ（ｃ∈Ｒ）になるが
このことを加法定理を用いずして
直接云えるかどうかがカギ
0031１３２人目の素数さん
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2022/04/16(土) 19:21:27.34ID:GB8qrFhb
>>29
三角関数をどう定義するのかが問題となる。
高校の定義は曖昧で厳密ではない。
角も弧度法では、弧の長さを使うが、その定義はどこにも無い。
厳密な定義は
(1)整級数で直接定義する。
(2)微分方程式の解として定義する。
などがある。
(1)は、標準的な定義と言える。
東大出版の解析入門など多くの本で採用されている。
(2)は、オレが微分方程式の本を読んでいて思いついた。
が、オリジナリティーを主張する気はない。
(1)の定義の場合、加法定理を証明するとき、無限級数をゴチャゴチャ計算することが多い。
加法定理の証明に微分方程式を経由すれば、簡単に証明ができる。
0032１３２人目の素数さん
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2022/04/16(土) 19:35:20.73ID:J2/301I7
OKなのかどうか誰も答えてない
ここの人たちは日本語が苦手なのか？
0033１３２人目の素数さん
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2022/04/16(土) 21:07:54.55
ま
(cos(α+β)　-sin(α+β))
(sin(α+β)　 cos(α+β))
=
(cosβ　-sinβ)(cosα -sinα)
(sinβ　 cosβ)(sinα cosα)
（あるいは
　cos(α+β)+sin(α+β)*i
=(cosα+sinα*i)(cosβ+sinβ*i)）
と「定義」しちゃうんなら、
その結果として加法定理は示せちゃうよね
0034１３２人目の素数さん
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2022/04/16(土) 21:12:17.67
>>31
君、cos(x)とsin(x)を微分してみて
グタグダ無駄文書かずにさ
0035１３２人目の素数さん
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2022/04/16(土) 22:37:38.46ID:QHM19UlY
>>34
まいなSINx
cosx
0036１３２人目の素数さん
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2022/04/17(日) 00:02:36.91ID:DMCNaPVj
>>34
早く答えろ
0037１３２人目の素数さん
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2022/04/17(日) 00:32:51.01ID:k3SuJG4S
てか現時点での高校の教科書の定義は厳密には微分方程式、ないしは不定積分の逆関数による定義
高校のsin(x)はザックリ
「弧長がθである点とった時のy座標」
で高校の曲線の長さの定義と考え合わせて
x = ∫[0,y]1/√(1-y^2)dy
の逆関数、すなわち微分方程式
dx = dy/√(1-y^2)、y(0)=0
の解、が今の高校の教科書のsin(x)の定義
各種の特殊関数を微分方程式の解として定義するのは別に珍しいことでもなんでもない
多くの特殊関数は物理や工学の研究の中で微分方程式の解として最初現れた場合がほとんどだからな
しかしそれを解析していくと「定義域をどこまで一意に伸ばせるか」の問題で必ずめんどくさい議論が必要になってくる
でその後は天下り的に級数表示、積分表示が見つかってしれっとそれを“定義”に置き換えるのが大体のお決まりパターン
楕円関数然り、超幾何関数然り
0038１３２人目の素数さん
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2022/04/17(日) 01:15:10.37ID:TkGEJ6qI
もう直角三角形2つ描いて示せばいいよ
加法定理の形出せば三角関数の性質で拡張しておしまい

もしくは地道に余弦定理や
0039１３２人目の素数さん
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2022/04/17(日) 11:59:55.20ID:UYMIpe4C
これだと中身が複素数のときに話ができないから、級数で考えた方がいいんじゃね？
0040１３２人目の素数さん
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2022/04/17(日) 13:31:29.30ID:tgIWOSQ9
exp、sin、cosとかのentire functionなら級数で定義して終わり
なのでそれ以上考えることもない
しかし普通の特殊関数はentire function出ないので微分方程式とかとの併用になるし、そもそも級数表示をどんなに眺めてみてもその関数の持ってる種々の性質が自然に出てきたりする事はない
sin(x)の持つ微分方程式
dx = dy/√((1-y^2))
あるいは
s' = c、c' = -s
の話は楕円関数の微分方程式
dx = dy/√((1-y^2)(1-k^2y^2))
あるいは
s' = cd、c' = -sd、d' = -k^2sc
につながっていく、そしてこっちはentire functionではないので級数表示は収束半径が∞にならない
そもそも楕円関数とか持ち出す以前にΓ関数、あるいは1/Γですら1/Γなんかentire functionでもあるのに級数表示の一般項すらexplicitな表示与えられてないと思うし
関数論の基本はリュービルの定理だったり因数分解定理だったりするけどその際にkeyはもちろん定義域、整関数でも有理関数でもともかく定義域をC全体に広げないと話にならないけど、その時使われるのが加法定理や倍角の公式、逆に言えば加法定理の証明する段階ではリュービルの定理や因数分解定理がまだ使えなかったりする
なので加法定理の証明が楕円関数論とかでは最初のめんどくさい難関だったりする
なのでそれが割と気持ち良く証明できるΘ関数の話に持ち込んでいくルートが好まれたりしてる
0043１３２人目の素数さん
垢版 |
2022/05/10(火) 15:21:00.41ID:eqytkdEP
>>29
sinx/xが1になる硬式を使う
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