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>the E8 root lattice and the Leech lattice

E8 root lattice と Leech lattice
素粒子物理と関連して重要です
http://www2.yukawa.kyoto-u.ac.jp/~soken.editorial/sokendenshi/vol30/CST-MISC2018v2.pdf
第 8 回日大理工・益川塾連携素粒子物理学シンポジウム
日大理工・益川塾連携
素粒子物理学シンポジウム
日程: 2018 年 11 月 3 日 (土)、4 日 (日)
P8
Family Unification in Special Grand Unification
北海道大学 高等教育推進機構
山津 直樹

これまで良く知られた大統一理論は大統一ゲージ群とその正則部分群という限られた範囲での
議論しかなされて来なかった．言うまでもなく，世代を含めた大統一理論に関しても同様である．
例えば，以下のような部分群は全て正則部分群である．
E8 ⊃ E7 ⊃ E6 ⊃ SO(10) ⊃ SU(5) ⊃ GSM(:= SU(3)C × SU(2)L × U(1)Y ). (1)
しかし，特殊部分群 (または非正則部分群) と呼ばれる部分群がある．例えば，
SO(248) ⊃ E8, USp(56) ⊃ E7, SU(27) ⊃ E6, SU(16) ⊃ SO(10). (2)
ここでリー群の正則部分群と特殊部分群，最大部分群についてすこし説明する．正則部分群と
は元のリー群のルートをそのまま用いた部分群であり，特殊部分群とはすくなくとも一つのルー
トは元のリー群のルートではないものを用いた部分群のことである．部分群 H がリー群 G の最
大部分群であるということは，リー群 G の部分群 G′
(G′ ?= G, H) を考え，H ⊂ G′ ⊂ G を満たす
G′ が存在しない場合である．具体例として，リー群 SU(3) を考える．SU(3) は二つの最大部分群
SU(2)×U(1) と SO(3) ? SU(2) を持つ．SU(2)×U(1) は正則部分群であり，SO(3) ? SU(2) は特
殊部分群である．その他に SU(3) は U(1)×U(1) を部分群として含むがこれは最大部分群ではない．
なぜなら，G = SU(3) と H = U(1) × U(1) とすると，H ⊂ G′ ⊂ G を満たす G′ = SU(2) × U(1)
が存在するためである．(リー群とその部分群についてのさらなる情報は，例えば，文献 [15, 25, 16]
とそれらの参考文献に譲る．)

つづく