ε-N論法って数学の中では簡単な方なの？

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/06(日) 15:36:23.11

いま高校生で、極限分野予習してる。
収束の意味考えた時に出会ったやつがイプシロンエヌ論法です。

ちょっと理解するのに時間かかったんですけど。

a4 · 2022/02/06(日) 16:03:26.70

普通の人は知らないかもだけど、数学やってる人からしたら常識かも。高校生相手
だと簡単ではないとは言いたいけど、難しい分野は数論とか考えたら？受験のためにも。
インターネットの楕円曲線暗号の攻防戦とか僕はやってるよ。

**￣￣|／￣￣￣** · 2022/02/06(日) 16:39:46.93

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**１３２人目の素数さん** · 2022/02/07(月) 01:04:57.17

これが分からないと大学数学が始まらない

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/10(木) 11:52:00.64

数列の収束の議論をするために出てくるけど、連続性の証明に関数上の収束点列が使えることを習うと、これでεδを置き換えられるから便利

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/17(木) 05:45:19.74

a_n → α
ならば

**１３２人目の素数さん** · 2022/02/17(木) 05:47:34.29

(a_1 +a_2 + … +a_n)/n → α（n → ∞ 忘れてた）

**１３２人目の素数さん** · 2022/07/26(火) 12:37:20.65

簡単

**１３２人目の素数さん** · 2022/08/26(金) 19:56:42.79

無限スパチャ論法

**１３２人目の素数さん** · 2023/05/28(日) 15:01:36.54

極限の議論の記述を数学的に有限の記号での議論に落とし込むための方便方策だよ。

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/18(日) 00:02:06.17

数列の和　S_N = Σ_{n=1 to N} a_n　が収束するならば、
数列 a_n の極限値は0であることを示せ（配点5点）

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/18(日) 00:12:45.39

a_1=0.9, a_2=0.99, a_3=0.99, ...とする
n→∞のときa_n→1となることを示せ

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/18(日) 07:50:19.98

2項め以降定数で a_n->0.99 じゃないの

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/18(日) 10:04:46.00

Σ_{n=1 to N} a_n　がAに収束するならば
正数ε/2に整数ｍがあってそれより大きいNで
│Σ_{n=1 to N} a_n-A│<ε/2　だから
A-ε/2<Σ_{n=1 to N} a_n<A+ε/2　かつ
A-ε/2<Σ_{n=1 to N+1} a_n<A+ε/2　より　-ε<a_(N+1)<ε
正数εに先のm+1があってそれより大きいnで│a_n-0│<ε

正数ε対して-log[10]εを超える最小の整数をmとする
-log[10]ε<m　log[10]ε>-m　ε>10^-mだからm<nなるｎに対して
│a_n-1│=10^-n<10^-m<ε

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/20(火) 10:31:40.87

実数の級数が絶対収束するならば収束することを示しなさい（配点5点）。

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/20(火) 13:10:26.26

コーシーの判定条件と三角不等式より明白

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/21(水) 22:56:54.55

実数の級数が絶対収束するならば、項の順序を任意に変えても同じ値に収束することを示しなさい（配点５点）。

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/22(木) 09:05:00.96

一方の級数の和に任意に近い有限部分和に対し
他の級数からそれを含むいくらでも長い有限部分和が取り出せるから

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/22(木) 13:01:29.73

自然数関連の証明はε-N論法と数学的帰納法いずれが、しやすいか個別に見極める必要あるな。

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/22(木) 14:47:23.53

融通無碍でよい

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/22(木) 16:01:50.15

関数ｖがｇで連続であるとは任意の正数ｃに対してある正数βが存在して
|ｇ-μ|<βならば|ｖ(ｇ)-ｖ(μ)|<ｃが成り立つことをいう。

こう書くとなんだか新鮮な感じがするよね。

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/24(土) 19:11:57.87

実数の級数が絶対収束はしないが収束するとき、
項の順序を変えることで任意の実数値に収束させる
ことが可能であることを示しなさい（配点１５点）。

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/24(土) 19:33:36.62

収束するのでn番目の項はn-->∞のとき0に収束する。
絶対収束しないので正の項だけの和は∞
負の項だけの和は-∞
よって項を選んで足し続けることにより
いかようにも小さい足し幅でいかようにも大きい値まで達しうるし
負の方向にも同じことが可能。
よって並べ替えにより任意の実数値に収束させることができる。

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/24(土) 21:04:16.98

数列の収束とは何かの定義はこれが一番腑に落ちるだろ
いくらでも近づく
＝いくらの近さε>0でもいずれそれより近づく
＝いくらの近さε>0でもいずれかの番号N以降はそれより近い
＝いくらの近さε>0でもいずれかの番号N以降すべての番号n>Nで|an-α|<ε

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/24(土) 22:46:27.61

これが妥当な定義と分かれば
関数の極限の定義も必然に従い
連続性の定義もこうあるべきと分かる

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/25(日) 08:53:24.80

では一様有界性へと話を進めよう

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/25(日) 10:16:35.68

大学数学の最初の関門。この関門を
まるで空気のように自由自在に扱えるように
なるところが、大学数学の始まりの地点。
そこに立てなかったなら、大学受験の数学試験で
満点連発の猛者でも大学数学は何も
わからなかったことになる。普通の大学なら、
数学科に限らず、1年生が4,5月頃にやるところ。
もしこれを教えないなら、
そこは数学に関しては大学ではない。
慣れるのはそんなに簡単ではないが、
決して難しいものではない。

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/25(日) 10:55:52.44

収束するが絶対収束ではない複素数の級数は、
項の順序を変えることで任意の複素数に収束
させることができるか？（配点５点）

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/25(日) 10:58:50.82

出題訂正

複素数の級数が収束するが、その実部だけあるいはその虚部だけを集めたものは絶対収束ではないとき、
項の順序を変えることで任意の複素数に収束するようにできるか（配点５点）

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/25(日) 11:11:31.18

>>29
23があるのにこんな出題をするのは理解できない

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/25(日) 12:20:00.45

(1+i)(-1)^n/n.

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/27(火) 02:05:06.99

原点中心のｘの冪級数がｘ＝a（ただしaは零ではないとする）で収束するならば、
r=|a| とおくとき|x|<rであるような任意のｘに対してはその冪級数は絶対収束であることを示しなさい
（１０点）。

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/27(火) 06:36:33.10

条件より級数の一般項はx=aで0に収束する
したがって|x|<|a|ならば級数は収束べき級数を
優級数に持つので絶対収束する

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/27(火) 23:57:21.26

収束べき級数を優級数に持つべき級数は収束することを示しなさい。（１０点）

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/28(水) 06:52:21.34

条件より絶対収束するので収束する

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/28(水) 09:07:39.09

級数 Σ[n＝1～∞] ((－1)^n / n) x^n は x＝1 で収束し、|x|＜1 で絶対収束しているが、
x＝1 では絶対収束していない。

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/28(水) 11:59:09.61

|x|＜1 で絶対収束しているので
|x|＜1 で収束している

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/28(水) 12:17:45.28

いまいち要領を得ない回答だな。ちゃんと分かってるのか勘違いしてるのか、判断がつかん。

問題：a_n は実数列で、Σ[n＝1～∞] a_n は収束しているとする。
このとき、|x|＜1 ならば Σ[n＝1～∞] a_n x^n は絶対収束することを示せ。

この問題、Σ[n＝1～∞]｜a_n｜＜＋∞ なら自明だが、
Σ[n＝1～∞]｜a_n｜＝＋∞ の場合はどうするつもりなのか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/28(水) 12:22:18.04

33に戻るが
|x|<|a|ならばよい

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/28(水) 12:47:35.24

>>39
その理屈を>>38の問題に適用すると、「|x|＜1ならばよい」と言っていることになるが、
|x|＜1のときにΣ[n＝1～∞] a_n x^n が絶対収束する理由は何なのか？

Σ[n＝1～∞]｜a_n｜＜＋∞ なら自明に絶対収束するが、
Σ[n＝1～∞]｜a_n｜＝＋∞ の場合はどうするつもりなのか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/28(水) 14:53:16.59

|x|<1ならば|x|<r<1なるrがあり

Σ[n＝1～∞]｜a_n｜＝＋∞ でも

lim_{n\to\infty}｜a_n｜r^n=0だからよい

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/28(水) 15:06:43.04

>>41
この書き方も微妙だな。君の解答はいつも核心を外している。

lim[n→∞]|a_n|r^n＝0 が成り立つからといって、
なぜそこから Σ[n＝0～∞]｜a_nx^n｜＜＋∞ だと言えるのか？

Σ[n＝0～∞]｜a_nx^n｜≦Σ[n＝0～∞]｜a_n｜r^n ＜＋∞

だということか？しかし、君が示したのは lim[n→∞]|a_n|r^n＝0 であって、
Σ[n＝0～∞]｜a_n｜r^n ＜＋∞ は示されていない。
そもそも、lim[n→∞]|a_n|r^n＝0 が成り立つこと自体、君は示していない(まあこちらは自明っちゃ自明だが)。

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/28(水) 15:15:19.34

>>41

(i) Σ[n＝0～∞] a_n は収束しているとする。

(ii) すると、|x|＜1 なる任意の x に対して、ある非負の実数列 b_n が存在して、
　　|a_n x^n|≦b_n (n≧0) かつ Σ[n＝0～∞] b_n ＜＋∞ が成り立つ。
　　特に Σ[n＝0～∞] |a_n x^n| ≦ Σ[n＝0～∞] b_n ＜＋∞ なので、
　　Σ[n＝0～∞] a_n x^n は絶対収束する。

(ii)で主張されている数列 b_n を具体的に1つ提示しなければ、証明したことにならない。
君の解答では b_n が全く提示されていないので、証明としては核心をついてない。アウト。

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/28(水) 16:33:12.45

ひとりよがり

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/28(水) 16:33:54.58

ひとりエッチ

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/28(水) 16:35:57.25

>>42

>>lim[n→∞]|a_n|r^n＝0 が成り立つからといって、
>>なぜそこから Σ[n＝0～∞]｜a_nx^n｜＜＋∞ だと言えるのか？

なぜ「|x|<1ならば|x|<r<1なるrがあり」から眼をそらすのか？

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/28(水) 18:42:02.56

>>46
ほらね、いまいち核心をついてない。|x|<r<1なるrを取ったからといって、

・なぜそれで lim[n→∞]|a_n|r^n＝0 が成り立つと言えるのか？
・なぜそれで Σ[n＝0～∞]｜a_nx^n｜＜＋∞ だと言えるのか？

たぶん、Σ[n＝0～∞]｜a_nx^n｜≦Σ[n＝0～∞]｜a_n｜r^n ＜＋∞
だと言いたいのだろうが、君は lim[n→∞]|a_n|r^n＝0 が成り立つことを
主張しているだけであって、Σ[n＝0～∞]｜a_n｜r^n ＜＋∞ は示されていないよ。
証明としては全然ダメでしょ。

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/28(水) 18:43:14.37

>>46
もう一度聞くよ。

・ |a_nx^n|≦b_n (n≧0), Σ[n＝0～∞] b_n ＜＋∞

を満たす実数列 b_n を具体的に1つ提示してください。

特に大切なのは、そのような b_n が実際に Σ[n＝0～∞] b_n ＜＋∞ を満たすことを
計算してみせること。君はそのような作業を全くしていない。

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/28(水) 18:46:37.38

ε-N論法が分かれば微分積分学は全部分かる

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/28(水) 18:50:54.69

32と33に戻る

原点中心のｘの冪級数がｘ＝a（ただしaは零ではないとする）で収束するならば、
r=|a| とおくとき|x|<rであるような任意のｘに対してはその冪級数は絶対収束であることを示しなさい

条件より級数の一般項はx=aで0に収束する
したがって|x|<|a|ならば級数は収束べき級数を
優級数に持つので絶対収束する

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/28(水) 19:00:38.15

>>50
＞したがって|x|<|a|ならば級数は収束べき級数を
＞優級数に持つので絶対収束する

その「収束ベキ級数」を具体的に1つ提示しろと言ってるのだが？つまり、

・ |a_nx^n|≦b_n (n≧0), Σ[n＝0～∞] b_n ＜＋∞

を満たす実数列 b_n を具体的に1つ提示しろってこと。

特に大切なのは、そのような b_n が実際に Σ[n＝0～∞] b_n ＜＋∞ を満たすことを
計算してみせること。君はそのような作業を全くしていない。

君は「収束ベキ級数を優級数に持つ」としか言ってない。
具体的に何が「収束ベキ級数」なのか1つも提示してないし、
それが優級数であることも証明してない。それでは証明としてはアウトでしょ。

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/28(水) 19:06:34.46

>>51
一般項が０に収束するので自明

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/28(水) 19:07:19.39

補足
そういうのは単なる労働

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/28(水) 19:13:27.49

>>52-53
ほらね、結局は核心をついてない。それでは全然証明になってない。

・ Σ[n＝0～∞] a_n は収束するとする。
・ |x|＜1 なる x を任意に取って固定する。

この設定のもとで、君は級数 Σ[n＝0～∞] a_n x^n に対して
「収束ベキ級数を優級数として持つ(ゆえに絶対収束する)」と主張している。
では、具体的に何が「収束ベキ級数」なのか提示してください。
また、それが優級数であることも証明してください。

ちなみに、この設定のもとでの「収束ベキ級数」は極めて簡単に提示できるので、
「単なる労働」とかいって逃げるくらいなら、最初から提示した方が遥かに建設的。

要するに、君は何も分かってないってこと。
「収束ベキ級数」の正体が複雑怪奇で面倒くさいものだと勘違いしている。
それでは何も分かってない。

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/28(水) 20:39:09.39

わかってないのはきみの方

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/28(水) 21:05:37.07

君は「収束ベキ級数」の提示を放棄したので、こちらで>>38の解答を書く。

解答：Σ[n＝0～∞] a_n は収束するので、lim[n→∞] a_n＝0 である。特に、a_n は有界である。
よって、ある定数 C＞0 が存在して、|a_n|≦C (n≧0) である。
さて、|x|＜1 なる x を任意に取って固定する。すると、

・ |a_nx^n|≦C|x|^n (n≧0),　Σ[n＝0～∞] C|x|^n ＝ C/(1－|x|) ＜＋∞

である。つまり、級数 Σ[n＝0～∞] a_nx^n は、
Σ[n＝0～∞] C|x|^n という収束ベキ級数を優級数として持つ。
ゆえに、Σ[n＝0～∞] a_nx^n は絶対収束する。■

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/28(水) 21:12:44.90

要するに、Σ[n＝0～∞] C|x|^n という単純な等比級数こそが、
君が>>38において提示すべき「収束ベキ級数」だったということ。

・君は、|x|＜r＜1 なる r を持ち出して、「 lim[n→∞] a_nr^n ＝ 0 である」という
　要領を得ない中途半端な説明をしていた。つまり、君は Σ[n＝0～∞] C|x|^n という
　単純な収束ベキ級数に気づかなかった。

「単なる労働」とか言って逃げ続けてきた人間の末路がこれである。
こういう人間は、Σ[n＝0～∞] C|x|^n という単純な収束ベキ級数にすら気づかないのである。

まあ、r を使って別の収束ベキ級数を構成することは可能だから、別にそれでもよかったのだが、
君は結局、1度も収束ベキ級数を提示しなかった。問題外である。

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/28(水) 22:38:38.49

無知をさらけ出しているのは君の方

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/28(水) 23:25:38.96

それは単なる負け惜しみだな。Σ[n＝0～∞] C|x|^n という答えが提示された今となっては、

「君は>>38の問題を解くことができなかった」

という事実だけが残る。悔しかったら、さっさと Σ[n＝0～∞] C|x|^n という正解を
書き込めばよかっただけの話。いや、r を使った別の収束ベキ級数でも
構わなかったのだが、君は結局、1度も収束ベキ級数を具体的に提示しなかったわけでね。

「単なる労働」とか言って逃げ続けてきたツケだよ。自業自得。
今さら君が何を言っても無駄。

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/29(木) 07:33:51.67

>>59
>>「君は>>38の問題を解くことができなかった」

それをひとりよがりという

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/29(木) 09:46:54.92

{ c_n } を有界な数列とするとき、|z|<1であれば Σ[n＝0～∞] c_n z^n は収束である（特に絶対収束である）。

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/29(木) 09:52:57.12

>>61

>>（特に絶対収束である）

これを蛇足という

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/29(木) 13:23:54.68

「収束ベキ級数の具体例は、本質的には既に書いてある。
　ちゃんと解答になっている。お前が気づいてないだけだ。
　無知をさらすな。お前の言っていることはひとりよがりだ」

と言いたいのだろうが、それが負け惜しみだと言ってるんだよ。
こっちは「具体的に提示しろ」と何度も要求したからね。
この要求を突っぱねておきながら「お前が気づいてないだけだ」とか
「ひとりよがりだ」といった論法は通らない。

君は「単なる労働」とか言って逃げ続けてきたわけで、
そのツケが回ってきたんだよ。自業自得。今さら君が何を言っても無駄。

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/29(木) 15:23:36.38

>>こっちは「具体的に提示しろ」と何度も要求したからね。

何の権限があって？

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/29(木) 15:53:56.86

おいおい、「収束ベキ級数を優級数に持つ」と断言したのは君の方だろ。
そんな収束ベキ級数が取れるなら、Σ[n＝0～∞] a_nx^n が絶対収束するのは自明だ。
だから、そんな収束ベキ級数が「本当に取れる」ことを具体的に提示してみせることが、
この問題に対する証明の核心になる。

君がこの要求に答えなかった場合、君はこの問題の証明に失敗したことになる。
そして、君はこの要求に「答えない」という選択を取った。「単なる労働」とか言って逃げた。
ゆえに、君はこの問題の証明に失敗した。

これが現実。結局、どこまで行っても君の言動は正当化されない。

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/29(木) 16:51:45.65

>>君がこの要求に答えなかった場合、君はこの問題の証明に失敗したことになる。

「優級数」が気に入らなかった？

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/29(木) 17:01:12.43

優級数という言葉を別の表現に差し替えても同じことで、
君は具体的に提示してないのだから、君は証明に失敗している。

たとえば、>>48,>>51では「b_n」を使った表現で具体例の提示を要求した。
それでも、君は「単なる労働」と言って逃げた。

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/29(木) 17:12:19.55

>>67
そもそも読む気がない

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/29(木) 17:14:41.62

>>68

・収束ベキ級数を優級数に持ちます。本当です。断言します。信じてください。
　でも具体的に提示することはしません。いくら要求されても拒否します。

君がやってるのはこういうこと。証明としては失敗している。それだけ。

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/29(木) 17:28:01.31

補足
自己完結済み

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/29(木) 19:34:16.47

そもそも点数付きの出題の意図は
1を教育するため？

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/30(金) 00:48:44.27

原点を中心とする複素変数ｘの巾級数でその収束半径が1で、
複素単位円周が自然境界となっていて、それ以上解析接続が
できないものの例を挙げよ（5点）。

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/30(金) 03:04:14.14

大学数学っぽさを出すための飾り付けみたいなもの。
通過儀礼。不要だよ。

**１３２人目の素数さん** · 2023/06/30(金) 08:33:05.95

Σz^{n!}

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/01(土) 00:40:26.83

関数ｆ(x)が開区間 (a,b) 全体において連続であるとは，
　x∈(a,b)であるとき，十分小さい任意の正数εに対してある正数δが存在して
|x-x'|<δであるならば |f(x)-f(x')|<εとできることをいう。

さてそれでは、関数ｇ(x)が区間（a,b] 全体で連続である
ということを、うまく表現しなさい。

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/01(土) 07:07:30.81

もっと先に進んだり論文とかでは一見使ってないようで裏でこれが走ってたりする
呼吸するように染みついてないとこの先数学をやり続けるのは難しい

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/01(土) 07:24:56.58

>>76
どんな奴が付き合ってくれるのか見届けてやろう

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/01(土) 14:45:06.46

数列　{ c_n } の一般項 c_n の絶対値が、あるｎの多項式により上から抑えられる数列であるときに
巾級数 Σ[n＝0～∞] c_n z^n の収束半径を求めなさい　（配点5点）。

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/05(水) 23:40:23.95

中心が0で標準正規分布N(0,1)を係数とする巾級数の収束半径の分布について論じなさい（配点10点）。

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/07(金) 13:14:16.81

1/nが0に収束するのは数学的帰納法でも証明できないかな。
n=k+1のとき、(1/k)-(1/k+1)=1/K(K+1)>0だからKが増えると1/nは減少するから極限は0。

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/08(土) 18:52:42.95

数列 a_n が収束するとは、任意の正数 ε に対してある正の整数 N をうまくとるならば、
整数 n とｍが N より大きいときにはかならず |a_n - a_m| < ε となるようにできることをいう。

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/08(土) 22:21:28.14

定義ではない
判定条件

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/08(土) 22:29:59.66

条件　n,ｍ>N(ε) ⇒ |a_n - a_m| < ε
を満たす関数N(ε)：(0,∞)→{1,2,・・・}を構成すればよい

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/09(日) 18:48:17.14

具体的に与えられた級数であって、それが収束するか発散するかを数学的に決定することが不可能である
ことを示せるものにはどんなのがあるだろうか。

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/13(木) 17:43:39.06

高校で教えても良いくらい普遍的な論法な気がするんだが。

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/15(土) 02:00:17.33

二つの非負の添字を持つ二重数列 { a_{i,j} } に対して
その無限和である二重級数 S := \sum_{i,j}　a_{i,j} が「収束する」ということを定義するのに、
その有限部分和 S^{(M,N)} := \sum_{i=0}^{M} \sum_{j=0}^{N} a_{i,j}　を考えて、
\limit_{M->∞,N->∞｝S^{(M,N)} が存在すればその極限値をSとする。という定義で良いか？
上の極限の正確な意味は任意の正数 ε に対してある自然数 K が存在して、
M>K, N>K であれば |S^{(M,N)}-S| < ε となるようにできる、そのようなSのことである。

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/15(土) 10:15:55.94

二つの添え字を一つにすればいいだけ

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/15(土) 11:31:33.15

順序あると考えやすいけど
インデックス自体に別に順序はいらんのよな
インデックス集合のフレシェフィルターで定義

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/15(土) 13:34:17.11

S_1=\sum_{i=0}^{∞} ( \sum_{j=0}^{∞} a_{i,j} ) と
S_2=\sum_{j=0}^{∞} ( \sum_{i=0}^{∞} a_{i,j} ) が
一致しないような二重数列 a_{i,j} の例と、実際にそれらが
一致しないことを示しなさい（配点10点）。

**１３２人目の素数さん** · 2023/07/23(日) 19:49:02.42

整数を添字とする数列 { x_j } に対して、その無限和　\sum_{j=-∞}^{∞} x_j に対する
合理的な定義を示せ（配点5点）。

**１３２人目の素数さん** · 2023/08/27(日) 14:37:30.08

εーＮ論法が二重にあるいは三重になって使われる例はどのようなものが？