面白い数学の問題おしえて〜な 40問目
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面白い数学の問題を紹介して解き合うスレです
質問スレではありません
出題者が答えを知らない問題はお控えください
統計学などはスレ違い、数学以外の話題は論外です
荒らし、煽りはスルー推奨
前スレ
面白い問題おしえて〜な 39問目
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1633923732
過去ログ(1-16問目)
http://www3.tokai.or.jp/meta/gokudo-/omoshi-log/
まとめwiki
http://w.atwiki.jp/omoshiro2ch/ 有意水準とか危険率だと５％以下だと稀な現象と判断する。
＞サイコロを100個振ったときの目の和が期待値になる確率を求めよ。
期待値というから稀じゃないと思って期待したら期待外れだった。 ある幼稚園で、砂場で遊んでいたA,B,C,D 部屋で遊んでいたE,F,Gの７人の中に、
逆上がりができる子が２人いることが分かっている。
そこで、A〜Gに尋ねたところ、それぞれ以下の発言をした。
ただし、７人うち、本当のことを言っているのは２人だけで、あとの５人は間違ったことを言っていた。これらのことから確実にいえるのはどれか。
A：Bは逆上がりできるよ。
B：Aは間違ったことを言っているよ。
C：AもBも２人とも間違ったことを言っているよ。
D：砂場で遊んでいた子の中には逆上がりできる子はいないよ。
E：私は逆上がりできない。
F：逆上がりができるのは２人とも砂場で遊んでいた子だよ。
G：EとFの少なくともどっちかは本当のこと言っているよ。 >>38
アンタ期待値もわかってないなら出てってくれる？ >>29
(1) サイコロを100個振ったときの目の和が100である確率は1/6^100
(2)サイコロを100個振ったときの目の和が101である確率は100/6^100=25/(3^2・6^98)=25/(9・6^98)
(3)サイコロを100個振ったときの目の和が102である確率は(100+9900)/6^100=(2^2・5^2)/(2^100・3^100)=25/(2^98・3^100)
(3)サイコロを100個振ったときの目の和が期待値350である確率は365である確率よりは高い。 前>>43
>>40
BとEは逆上がりができるんじゃないかなぁ？
先生の気持ち的に。 >>40
正直者：BD
逆上がり可能：EF or EG 3柱の神様A、B、Cは、それぞれ誰かが真神、偽神、乱神です。真神は必ず真実の答えを、偽神は必ず嘘の答えを言いますが、乱神が真実を答えるか嘘を答えるかは完全にランダムです。あなたは3つのイエスかノーかで答える質問をして、A、B、Cの正体（真神か偽神か乱神）を決めてください。1つの質問には1柱の神様しか答えてくれません（こちらで質問先A、B、Cの指定は可能）。神様は私たちの言葉を理解しますが、返答は私たちの言葉ではなく、神の言葉「Da」と「Ja」で返します。DaとJaのどちらがイエスでどちらがノーを意味するかは分かりません。 >>48
そうだけどなんでそんなに怒るん？
ちゃんとした数学と問題だと思うけど？ 高級アルコールとか、複雑骨折とかも誤解を招く用語である。 >>30
複素平面上に作図
https://i.imgur.com/vAelqrP.png
計測すると
> abs(D-E)
[1] 4.898979
おまけ
> abs(A-D)
[1] 2.830646
> abs(A-I)
[1] 1.418647
> abs(A-E)
[1] 2.830646
> abs(B-C)
[1] 9.239314 >>46
神どおしはお互いの正体を知っているという前提でしょうか？ サイコロをn個(nは偶数)投げて出た目の和が期待値になる確率は
n=2のとき0.167
n=4のとき0.113
n=6のとき0.0928
n=8のとき0.0809
確率が5％未満になるのはnがいくつ以上のときか？ >>53
答え貼られた問題になんでいつまでも固執するん？
そういうのが迷惑なんだよ 全前スレでアホにながされた問題
平面上のPL-Jordan閉領域Dの境界J=∂D上に4点をとりJを4つの閉線分にわけて正の向きに順にR,T,L,Bとする
Jordan経路PがL∩P≠φ、R∩P≠φを満たすときPはDを横断すると呼び、T∩P≠φ、B∩P≠φを満たすときPはDを縦断すると呼ぶとする
Dのその２つのPL部分集合による被覆D=X∪Yを取る
このときXがDを横断する経路を持つか、またはYがDを縦断する経路を持つかのいずれかが成立する事を示せ >>43
乱数発生させて実験した結果
https://i.imgur.com/NAoPmJx.png
和が350になった割合
> mean(y==350)
[1] 0.0232915
和が365になった割合
> mean(y==365)
[1] 0.0159091 >>58
自分で考えるのは勝手にすればいい
それをここに書くからみんな迷惑するんだよ
一生懸命数学の勉強して、実力つけて、それなりに面白い問題頑張って作って答えも用意して、それがそういうしょうもない、くっだらないレスにどんどん流されて言ってる時の気持ちわかる？
自分がどれだけ数学的になんの意味もない迷惑なだけのレスを貼り続けてるかわからんの？
時にはすごい面白い名作が並んでるのわかる？
みんなそれをどれだけ頑張って準備してるのか想像できんの？ 〜このスレの皆さんへ〜
現在、無意味なプログラムを書き込む悪質な荒らしが常駐しています
通称｢プログラムキチガイ｣｢害悪プログラムおじさん｣は医療・医者板にいる尿瓶、脳内医者と呼ばれている荒らしです
https://egg.5ch.net/test/read.cgi/hosp/1607687111/
数学Iの三角比の問題や中学数学の平面図形の問題でさえ手計算では解けずに
わざわざプログラムで解くような人物です
二項分布の期待値npすら知らないレベルです
かなり低レベルの数学の問題もどきを出題してマウントを取りに来ます
下ネタが大好きです >>41
期待という日本語にはpositiveな含蓄がある。期待される人間というと没落が期待されてはいないと思う。
hot waterに違和感はないが熱い水というのは違和感を覚える。
expcted lossを期待損失と訳すのは熱い水と同じ違和感を感じる。
こうのが理解できない気の毒な頭のようである。 >>59
面白いと考えた人が、サイコロを100個振ったときの目の和とか論理パズルにレスしてんじゃないの？
>30の問題って数学的に何か意味があんの？
俺は解くのが面白いから作図して計測した。
まあ、プログラムで方程式の数値解を出して座標を計算して長さを計測するというのをやっただけだが。 >>57
ワクワク期待していたのに、期待どおり（期待値どおり）になる頻度が２％とは期待外れと体感できた。 脱字補充
>>41
期待という日本語にはpositiveな含蓄がある。期待される人間というと没落が期待されてはいないと思う。
hot waterに違和感はないが熱い水というのは違和感を覚える。
expected lossを期待損失と訳すのは熱い水と同じ違和感を感じる。
こういうのが理解できない気の毒な頭のようである。 >>63-65
専用のスレを作ったので、
今後、そういう問題は以下のスレに書き込んでください。
数値解析の問題を書き込むスレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1640641452/
＞主に数値解析を中心とする問題を紹介して解き合うスレです
＞
＞数学的な厳密解が求まりそうになく、
＞プログラム・シミュレーション等で概算値を出せれば十分、
＞という問題が中心となります
＞
＞ただし、普通の数学の問題もＯＫ >>65
スレタイも読めない気の毒な頭のようである >>63
そういう言い訳もいらん
お前自分で数学の勉強した記憶ないやろ？
数学勉強してるした人間が何を面白いと思うのか、何が参考になるのかなんかお前みたいな能無しのカスにわかるわけないやろ？
黙ってロムっとけ
能無し 実関数f:R→Rであって任意の実数x,yについて
f(x+y)=f(x)cosy+f(y)cosx
を満たすものを全て求めよ 専門用語が一般用語のconnotationから外れる。
医学用語にはそういうのが多いな。合併症とか縫合不全とか術者の責任を回避するような用語がめだつと俺は感じている。 そういえばめちゃイケのテストで突然ひらがなが混じるのがバカの特徴みたいなこと言われてたなww
案外当たってるかも >>68
こういうのが助言よりも罵倒を喜びとするクズ人間の典型。 >>73
特大ブーメラン
全部アンタのことだよそれ さっそく罵倒厨がこういう投稿をしていて笑える
数学スレにはこういうのが多いね。
数値解析の問題を書き込むスレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1640641452/5
5 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2021/12/28(火) 10:53:21.01 ID:V7fjP+Uc
>>1
よそでやれ
つまり、ここでやれとの「助言」だわなｗｗｗ
さて、ベンチタイムが終わったので成形して二次発酵にとりかかろう。 >>75
他の人はアンタの言動に失笑してるだけだと気づかないのが笑えるな >>70
関係ない雑談の頻度が過ぎてると思うから雑談はこっちでやってね
雑談はここに書け！【６１】
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1637315946/
あと >>75 あんたの問題が統計スレ
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1640641452/5
の方が適している事実は変わらないから今後はこっちに投稿すること
あんたの問題が面白くない（それにしつこい）と感じている人が大勢いるんだから
せめてコテつけてこっちが自衛できるようにするぐらいの配慮はしてよ 連続関数f:R→Rついて、
任意のx＞0に対して、数列{f(x),f(2x),f(3x),...}が0に収束するとき、
lim(t→∞)f(t)=0を示してください. >>79
ああ見てたのか
その場合は(・∀・)ﾆﾔﾆﾔでお願いします >>69
実数 z を任意に取り、x＝z−π/2, y＝π/2 として、
f(z)＝f(z−π/2)cos(π/2)＋f(π/2)cos(z−π/2)＝f(π/2)sin(z)
これが任意の z で言えるので、結局、ある λ∈R に対して
f(x)＝λsin(x) (∀x∈R) となる。逆に、このように表せる f は与式を満たす。 >>78
できた
閉集合Fnを
Fn = { x > 0 ; ∀m≧n |f(nx)|≦ε }
で定める
仮定により(0,∞) = ∪Fn である
ベールのカテゴリー定理により少なくとも一つのFnは内点を持たなければならない
(a,b)⊂Fnとする
n0>nを1+1/n0<b/aと選べば任意のm≧n0に対して(m+1)a<mbである
特に
∪[m≧n0](ma,mb) = (n0a,∞)である
よってx>n0aのときm>n0とy∈(a,b)をx=myと取れるがこの時|f(x)|=|f(my)|≦εである 数列問題
1,3,9,27,82,252,783,2457,？,24801,79596,256824,…
？を求めましょう >>83
素晴らしいです お見事大正解
まさしく閉集合族F_nをそう置いてベールの範疇定理を使うのがミソでした
元ネタ
数学詳しいやつ来て！！！！！
https://mi.5ch.net/test/read.cgi/news4vip/1640629371/
この>>1は一週間掛けて何も出来なかったと言っていたのに、たった数時間で解けるとはさすがですね もしか
こっち仮定したら被服定理証明できたりは？
さすがに無理かな >>87
それはどうなんだろう
あと個人的に気になるのは
連続性を課さなかったら>>78の反例が出来るのか？
ということですね >>82 正解！シンプルでいいね
>>88 連続じゃない時の反例は例えば
f(x)=1 (ある整数mについて x=e^m を満たす時),
f(x)=0 (それ以外)
があるんじゃないかな
個々の x>0 について f(xn)>0 を満たす正の整数nは高々一つだから
lim(n→∞) f(xn)=0 は成り立つが、一方
lim(x→∞) f(x)=0 は成り立たない 連続性がなければいくらでも反例ありますがな
x1,x2,....
をQ上線形独立、limxi=∞ととって
f(x) = 1 ( ∃i x = xi )
0 ( otherwise )
で反例 >>88
さすが無理よな
けんど
もそっと弱いとこからの証明があってしかるべしかとそう思てさ >>89
>>90
すごい ありがとうございます
あーなるほど整数刻みであることを利用して
「複数のnでf(nx)≠0とはならない」ことを作ればいいのか 素晴らしい
クソーこういう反例をパッと思い浮かべるようになりたいな 数列
1,3,8,21,55,144,377,…
(3倍して前の数を引いたやつが次の数)
と
数列
1,3,10,33,109,360,1189,…
(3倍して前の数を足したやつが次の数)
の平均が
>>84の数列
1,3,9,27,82,252,783,…
になる
9項目を求めると7777 素数の有限集合で相加平均が2022であるものの元数の最大値を求めよ
#計算機可
#見たぞの人は(・∀・)ﾆﾔﾆﾔで 区別のつかない100個の玉を区別のつかない5個の箱に入れる。
どの箱にも最低1個の玉はいれるものとする。
何通りの入れ方があるか？ お年玉100万円を1万円単位で6人で分ける分け方は何通りあるか？
お年玉をもらいない人がいてもよいものとする。 119 １３２人目の素数さん[sage] 2021/12/31(金) 10:50:19.35 ID:QNczF9a7
お年玉100万円を1万円単位で6人で分ける分け方は何通りあるか？
誰も最低1万円はもらえるものとする。
マルチすんなゴミ しんじろう 「これ意外と知らない方が多いんですけど
素数ってほとんどが奇数なんですよね」
↑ これは真であるか偽であるか？ 数列 a_n = Σ_(k=1,n) sin(sin(k)) は有界であることを示せ a_i,j(1≦i,j≦n)が
任意の実数x_i,y_i(i=1,2,…,n)に対して
Σ(1≦i≦n)(Σ(1≦j≦n)(a_i,j・x_j))y_i=0
を満たすならば
a_i,j=0であることを示せ >>105
xi=δiq,yj=δjpとすればa_pq=0 >>106
愚直だけど sin(sin(x)) をテイラー展開してそれぞれの項を評価する感じ
多分πの無理数度に関する結果も使うと思う 前>>44
>>102
素数で偶数なのは2だけだよ（(-｡-) >>110
それって前提として
「自然数のうち、偶数でないものは奇数である」
っていうのが必要だよね？
それって証明されているの？
奇数でも偶数でもない素数が存在する可能性はどうなんだ？
自然数は「偶数、奇数、そのどちらでもない」
の3つの集団に分けられると考えてみよう。
そうすると、
「素数のほとんどが奇数」という表現はおかしくない。 >>108
ダメだ
大先生も教えてくれない
sin(sin(x))のフーリエ級数展開だけでも教えて下さい >>108
ダメだ
円周率の無理数度も上からの評価がちょこちょこあるだけでどう使えばいいかサッパリわからない
もう少しヒントを >>112 >>113
フーリエ係数 sin(sin(x)) = Σ_(m=1,∞) c_m･sin(mx) は厳密な値は必要じゃなくて、
任意の定数 r>0 について c_m=O(m^(-r)) (k→∞) であることだけで十分
何ならπの無理数度も有限であることしか使わないと思う
証明の始めは
|a_n| = |Σ_(k=1,n) sin(sin(k))|
= |Σ_(k=1,n) Σ_(m=1,∞) c_m sin(km)|
≦ Σ_(m=1,∞) c_m |Σ_(k=1,n) sin(km)|
…とこんな感じになるかな >>114
え？
じゃあフーリエ級数展開を持つ任意の周期2πの関数でいえるって事？ ともかくフーリエ級数展開して
Σ[k,m]sin(sin(k)) = Σ[k,m]c_m sin(km)
にしてc_mは連続関数のフーリエ係数である事用いてある程度評価できてもm固定してk走らせた方の和
Σ[k]sin(km)
が評価できない
kが大きくなるとアーベルプラナも使えないし >>104
解答の筋道はわかった。
sin(sin(x)) = a[1] sin(x) + a[3] sin(3x) + a[5] sin(5x) + ...
この係数はベッセル関数の母関数より
a[m] = 2*BesselJ[m](1)
〇係数の評価
ベッセル関数の積分表示より
|BesselJ[m](1)|
= (1/2)^m/(√πΓ(m+1/2))|∫[0,π]cos(cos(x))sin(x)^(2m)dx|
≦√π/(2^m Γ(m+1/2))
〇項別級数の評価
|Σ[k=1,n]sin(mk)|
=|sin(mn/2)sin(m(n+1)/2)/sin(m/2)|
≦1/|sin(m/2)|
したがって
|Σ[k=1,n]sin(sin(k))|
≦Σ[j=0,∞] √π/(2^(2j) Γ(2j+3/2)|sin(j+1/2)|)
あとは円周率の無理数度の評価からjの和が有界になることを示せばよい。 >>115
いやいや、sin(sin(x)) の場合はC^∞級だし、
関数の平均 ∫_[0,2π] sin(sin(x))dx の値が0だからね
不連続な関数とかだとこうはいかない >>114
πの無理数度が有限というのは
ある定数c>0が存在して任意の自然数p,qに対して
|π-p/q| >1/q^c
が成立する
で合ってる？
フーリエ級数展開を持つ一般の関数について言えてる性質と上の事実だけから示せるで間違いない？ あ、そうか
sin(mk)cos(k)
= 1/2(sin(mk+k/2) -sin(mk-k/2))
でΣ[k]sin(mk)はexplicitに計算できるやん
なるほど
でsin(sin(x))の方はL^ ∞だから相方の級数はl^1に入ってるのか >>117
そういうこと！
あとは無理数度を使うくだりかな
続きを考えたい人のために捕捉
πの無理数度の有限性から、1/πの無理数度の有限性も導けることに注意。
あと、実数 r に一番近い整数 n をとれば |sin(πr)|≧2|r-n| という評価も得られる。
これらを使えばある実数 A,B>0 が存在して、正の整数jについて
1/|sin(j/2)| ≦ Aj^B
が成り立つことを導ける
>>119
うん。知識としてはC^∞関数のフーリエ係数のオーダーと、
πの無理数度の有限性だけで足りるはず >>121
うん、今考えててそこまでは行った
相方こフーリエ級数の方がl^1に入ってるからもう片方の1/cos(km)がmについて有界とかならl^1×l^∞でl^1に入ってくれる
しかし1/cos(km)の上から評価ぎできん
inf { | l π/2 - km | ; l } とかを下から評価することになるけど無理数度有限から言えるのはjをとって
| π/2 - km/l | > l^j
という評価ぎ得られるだけで
ここから1/cos(km)をどうやって上から評価していいか分からん
フーリエ級数の方はl^1以上の援助は望めないよね？ >>123
1/|sin(k/2)|のこと？
>>117 で具体的に提示してくれた通り、
係数はl^1である以上に指数関数的な減少をしてくれるから
1/|sin(k/2)|を多項式で抑えれば収束性は十分示せると思うけど >>124
うん、示せた
やはり最低でもsin(sin(x))のような筋のいい関数でないとダメやね
外のsinをマクローリン展開して
Σ[u:odd](-1)^((u-1)/2)1/u!(sin(x))^u
でm次のフーリエ展開の係数はこの係数に(sin(mx),(sin(x)^u) (ただし(,)はL^[-π,π]の内積、sin(mx)の長さが1になるように取っておく)をかけてu≧mで足し合わせるけど(sin(mx),(sin(x)^u) の発散より分母のu!の方が強くで和も1/m!より小さくなるから桶やね
Σ[k]sin(km)が初等的に足せるのうっかりしてた A⊂[0,1]^2 はボレル可測で、その2次元ルベーグ測度は正とする。
このとき、ある異なるx_1,x_2∈[0,1]と、ある異なるy_1,y_2∈[0,1]が存在して、
(x_1,y_1),(x_1,y_2),(x_2,y_1),(x_2,y_2)∈A が成り立つことを示せ。 >>127
R^2のルベーグ測度をμと置くとき、μ(A)＞0 という意味。 せっかくだから清書し直すわ。
R^2のルベーグ測度をμと置く。A⊂[0,1]^2 はボレル可測で、μ(A)＞0 とする。
このとき、ある異なるx_1,x_2∈[0,1]と、ある異なるy_1,y_2∈[0,1]が存在して、
(x_1,y_1),(x_1,y_2),(x_2,y_1),(x_2,y_2)∈A が成り立つことを示せ。 >>129
X = R×R×R×Rの座標関数をx1,x2,y1,y2として閉集合Fを{ x1=x2 or y1=y2 }とする
F(x1,x2,y1,y2) = | x1-x2||y1-y2|とする
閉区間の列In,Jn,Kn,Lnと正の数の列cnを
∪In×Jn×Kn×Ln = X＼F, p∈∪In×Jn×Kn×Ln→F(p)>cn
ととっておく
仮定から少なくとも一つのnで
μ(A×A×A×A ∩ In×Jn×Kn×Ln) > 0
であるからこの時∫[A×A×A×A]f(p)dp > 0である
よって特にA×A×A×Aは0ではない
f(p)≠0であるA×A×A×Aの点p=(x1,x2,y1,y2)をとればこれが条件を満たす >>130
＞μ(A×A×A×A ∩ In×Jn×Kn×Ln) > 0
何かおかしい。次元が一致してない。
A⊂[0,1]^2 なので、A×A×A×A ⊂ R^8 となるが、
In,Jn,Kn,Ln は R の閉区間なので、In×Jn×Kn×Ln ⊂ R^4. >>129
対偶を示す。つまり、A⊂[0,1]^2 をルベーグ可測な集合とする時、
もし異なる x1,x2∈[0,1] と異なる y1,y2∈[0,1] について
(xi,yj) (i,j=1,2) の全てがAの元になることがないならば、
Aのルベーグ測度が0となることを示す。
R^3の部分集合Bを B' = {(x1,x2,y)∈R^3 | (x1,y),(x2,y)∈A} と定める。
これはルベーグ測度 μ(A)^2 を持つ A^2⊂[0,1]^4 の射影であるから、
μ(A)^2≦μ(B') が成り立つ。
また、P={(x1x2,y)∈R^3 : x1≠x2} のルベーグ測度は0であるから、
B=B'-P と定めると μ(B)=μ(B') が成り立つ。
ここで、もし二点 (x1,x2,y),(x1,x2,y')∈R^3 が共にBの元であるとすると、
Bの定義より x1≠x2 となるが、これとAの仮定より y=y' でなければならない。
よって集合Bの、y軸（注意：yは第三成分）と平行な任意の直線との交点は高々一つ。
ゆえに μ(B)=0 であるから μ(A)=0. >>133 ん？射影のくだりが何か変な気がする
ちょっと保留 >>129
できた
容易にA⊂I×Iとしてよいとわかる( ただしI = [0,1] )
各x∈Iに対してAx={y | (x,y)∈A}とおく
まずS = {x | μ(Ax)>0}は非可算である
そうでなければA' = A＼∪[x∈S]AxとおくとSが可算ならA'も可測でμ(A')=μ(A)でなければならないが一方でFubiniの定理より
μ(A') = ∫[x]μ({y|(x,y)∈A'})dx = 0
となるので矛盾を生じる
この時Sの可算部分集合Cと正の定数e>0をμ(Ax)>eと選ぶことができる
何故ならはφ:S→(0,∞)をx→μ(Ax)で定める時いずれかの自然数nでφ^(-1)((1/2^n,1/2^(n-1)])が非可算集合とならねばならないからそこから可算無限集合Cを選びe=1/2^nと取ればよい
この時Cから異なる2点x,x'をμ(Ax∩Ax')>0となるように選べる
そうでなければCの元をx1,x2,...と並べてBxi = Axi ＼∪[j<i]Axjと定めればBxiは互いに素で全て測度がeより大きいからμ(∪Bxi) = ∞となるが、コレはBxiが全てIの部分集合であることに反する
以上によりCから2点x,x'をμ(Ax∩Ax')>0と選べるが、この時特にAx∩Ax'は異なる2点を含む□ >>135
S は実際に非可算だが、その証明が何かおかしい。
＞ A' = A＼∪[x∈S]Ax
Ax ⊂ R なので ∪[x∈S]Ax⊂R だが、一方で A⊂R^2 なので、
A＼∪[x∈S]Ax は次元の異なる集合の差を取っていて意味を成さないように見える。
それ以外の部分は論証込みで合ってると思う。 前>>110
自然数は奇数か偶然のどちらかです。
かつ2以外の偶数はすべて2で割れます。
∴ 素数で偶数なのは2だけだよ（(-｡-) >>136
書き方悪かったな
A'= A＼∪[x∈S] {(x,y) | y∈Ax }
ね
可算個しかないx∈Sに対して∪[x∈S] {(x,y) | y∈Ax }を抜く
まぁ抜かなくてもどのみち∪[x∈S] {(x,y) | y∈Ax }は測度0なんだけど ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
