ワイが5年間考えても解けない確率の問題を誰か解いてくれ
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サイコロをn回振った時、出目の積が2^nの倍数になる確率を求めよ 今の時期はオナホールが冷たいから、みんな温めてから使うよね ブラックキャップ使うようになってからゴキブリ出なくなった
それまでは夏場は3日に1回は見かけてたんだけど 1,3,5を0
2,6を1
4を2に置き換えてさ
n回振ったときの出た目の和がn以上になる確率と同じなわけで 1と2の和でnを作る方法ってのはn番目のフィボナッチ数通りなのよ サイコロをn回振って出目の積が2^nの倍数になる確率をPnとすると、
n=1のとき出目の積が2の倍数になるのは2,4,6のときだから、その確率は、
P1=3/6=1/2
P=2のとき出目の積が2^2の倍数になるのは4,8,12,16,20,24,36のときだから、その確率は、
P2=15/36=5/12
P=3のとき出目の積が2^3の倍数になるのは8,16,24,32,40,48……とたくさんあり、2回振るまでの36枡の中に、3回目の出目6つのうちいくつが出目の積を2^3=8の倍数にせしむるか、その個数を表にすると、
\1 2 3 4 5 6
1‖0 1 0 3 0 1
2‖1 3 1 6 1 3
3‖0 1 0 3 0 1
4‖3 6 3 6 3 6
5‖0 1 0 3 0 1
6‖1 3 1 6 1 3
計5+15+5+27+5+15=72
P3=72/216=1/3
以下推定。
P4=9/36=1/4
P5=6/36=1/6
P6=3/36=1/12
∴Pn=(21-3n)/36=(7-n)/12 前>>15
n=7のとき、
2が7回出て2^7の倍数になることがあるから、
P7≠0
P4から出目の積を検討する。
P_n+1=(1/2)Pn+(1/6)P_n-1
とすると、
P4=(1/2)P3+(1/6)P2
=(1/2)(1/3)+(1/6)(5/12)
=1/6+5/72
=17/72
これを実際に表を作って確認したい。 >>17
1 : 1 / 2
2 : 5 / 12
3 : 1 / 3
4 : 121 / 432
5 : 77 / 324
6 : 529 / 2592
7 : 2059 / 11664
8 : 85985 / 559872
9 : 3131 / 23328
10 : 1186385 / 10077696 分母を6^nで統一する
1 : 1 / 2=3/6^1
2 : 5 / 12=15/6^2
3 : 1 / 3=72/6^3
4 : 121 / 432=363/6^4
5 : 77 / 324=1848/6^5
6 : 529 / 2592=9522/6^6
7 : 2059 / 11664=49416/6^7
8 : 85985 / 559872=257955/6^8
9 : 3131 / 23328=1352592/6^9
10 : 1186385 / 10077696
=7118310/6^10 1 : 3 / 6^1
2 : 15 / 6^2
3 : 72 / 6^3
4 : 363 / 6^4
5 : 1848 / 6^5
6 : 9522 / 6^6
7 : 49416 / 6^7
8 : 257955 / 6^8
9 : 1352592 / 6^9
10 : 7118310 / 6^10 0 : 0 = 0 / 1 = 0 / 6^0 = 3*0 / 6^0
(↑予想)
1 : 3 / 6^1 = 3*1 / 6^1
2 : 15 / 6^2 = 3*5 / 6^2
3 : 72 / 6^3 = 3*24 / 6^3
4 : 363 / 6^4 = 3*121 / 6^4
5 : 1848 / 6^5 = 3*616 / 6^5
6 : 9522 / 6^6 = 3*3174 / 6^6
7 : 49416 / 6^7 = 3*16472 / 6^7
8 : 257955 / 6^8 = 3*85985 / 6^8
9 : 1352592 / 6^9 = 3*450864 / 6^9
10 : 7118310 / 6^10 = 3*2372770 / 6^10 サイコロをn回振った時、出目の積が2^nの倍数になる確率を求めよ
0の場合→サイコロを0回振った時、出目の積が2^0の倍数になる確率を求めよ
0 (予想)
確率(%)… 0 %
・確認作業
サイコロをn回振った時、出目の積が2^nの倍数ではない(・・・・)確率を求めよ
6^nから2^nの倍数になる数を引けばいいので、
1 : 6^1 -3 = 6 - 3 = 3
2 : 6^2 - 15 = 21
3 : 6^3 -72 = 144
4 : 以下省略
1 : 3 / 6^1
2 : 21 / 6^2
3 : 144 / 6^3
4 :
0の場合は
0 : 6^0 - 0 = 1 - 0 = 1
サイコロを0回振った時、出目の積が2^0 の倍数ではない(・・・・)確率を求めよ
(6^0 - 0) / 6^0 = (1 - 0) / 1 = 1 / 1 = 1
確率(%)… 100 %
上記が
よって、0の場合→サイコロを0回振った時、出目の積が2^0の倍数になる確率は 0 である
確率(%)… 0 %
※注意事項
0の場合は存在しないと解釈されることもあります シグマは残るが
以下に類題の考察がある
目の積(2010/5/5出題)
http://shochandas.xsrv.jp/probability/product.htm
シグマ入りの式には誤りがあるが、考え方は同じ
結論からいうとシグマなしでは書けない
積が平方数、立方数など特殊な場合は
母関数を使ったアプローチで
一般項が求まることがある 「パチンコ戦国恋姫」の連チャン回数の計算が
この問題に似ている
https://www.p-world.co.jp/sp/kisyu.cgi?code=9315
https://www.p-world.co.jp/_machine/img/p9315_1.jpg
大当り回数4回からスタート
回数を1つ消費して8面ダイスを振り、出た目の
2の素因数の個数だけ回数が回復する
(8の目は5%、4の目は20%、2と6は25%)
継続回数は約18.6回(公称継続率95%) >>26
平方数にならない確率を求めればいいのかな >>26
>>24のリンク先に
解き方と答えがありますよ
n個のサイコロの目の積が
平方数になる確率は
(6^n+4^n+3*2^n)/(8*6^n) 解法の概要
x=2, y=3, z=5 として、1個分の出目を
f(x, y, z)=(1/6)(1+x+y+x^2+z+xy)
で表す。n個の出目の積はこの累乗
F(x, y, z)=f(x, y, z)^n
を展開することで、文字が出目の積の値、
係数が確率として求められる。
平方数になる確率は、積における
素因数2, 3, 5の個数が偶数のものの
総和をとればよい。
確率全体は F(1, 1, 1)
2の個数が偶数の総和は
(1/2)(F(-1, 1, 1)+F(1, 1, 1))
と、-1を代入して奇数の次数を打ち消す。
2, 3, 5の個数が偶数の総和は
(-1, -1, -1)から(1, 1, 1)の8通りの和をとって
(1/8)∑[a,b,c=0~1]F((-1)^a, (-1)^b, (-1)^c)
=(1/8)(1+(2/3)^n+3*(1/3)^n) 方向性は同じだと思うが、
『{(1+a+b+1+c+ab)/6}^n を展開したときの定数項 ただし、a^2=b^2=c^2=1 で、a,b,cは1でも-1でもない』
と考えれば楽になる。何故なら
(1+a)^n
= 2^(n-1) (1+a) ;(n>0の時)
= 1 ;(n=0の時)
という性質があるから。実際計算すると、次のようになる。
(1+a+b+1+c+ab)^n = {(1+a)(1+b) + (1+c)}^n
=Σ[k=0,n] C[n,k] (1+a)^k (1+b)^k (1+c)^(n-k)
=(1+c)^n + (1+a)^n (1+b)^n + Σ[k=1,n-1] C[n,k] (1+a)^k (1+b)^k (1+c)^(n-k)
=(1+c)^n + (1+a)^n (1+b)^n + Σ[k=1,n-1] C[n,k] (2^(k-1))(1+a) (2^(k-1))(1+b) (2^(n-k-1))(1+c)
=(2^(n-1))(1+c) + (2^(2n-2))(1+a)(1+b) + Σ[k=1,n-1] C[n,k] (2^(n+k-3))(1+a)(1+b)(1+c)
定数項は
=2^(n-1) + 2^(2n-2) + 2^(n-3) Σ[k=1,n-1] C[n,k] (2^k)
=2^(n-1) + 2^(2n-2) + 2^(n-3) (3^n-1-2^n)
=2^(n-3){3+2^n+3^n}
これを6^nで割れば、(3+2^n+3^n)/(8*3^n) が得られる 別の板で質問があったので、こちらのスレを再利用
将棋・チェス板より
「棋士が300試合で3連敗する確率」
同じ試合が重なる連敗は、独立な試行といえず
正確な確率は
(1-勝率^3)の(回数-2)乗
よりもやや高くなります
具体的には、3連敗する確率を
(1-0.837)^3≒0.004331
から、後述の計算による指数
p=0.996335, 1-p=0.003665
に変えると概算できます
勝率0.837の棋士が300試合で3連敗する確率なら
(1-0.003665)^(300-2)
≒0.334815
計算方法は、以下のように
前の3項によって求まる数列の漸化式を作り
十分大きい n における隣接項の比から係数を求めます
https://www.wolframalpha.com/input?i=a%280%29%3D0%2C+a%281%29%3D0%2C+a%282%29%3D0%2C+a%28n%29%3D1-%28%280.837%29%281-a%28n-1%29%29%2B%280.837*0.163%29%281-a%28n-2%29%29%2B%280.837*0.163%5E2%29%281-a%28n-3%29%29%29&lang=ja >>31
訂正
上で求まるのは、連敗が発生しない確率ですね
正しくは、1から確率を引いて
勝率0.837の棋士が300試合で3連敗する確率なら
1-(1-0.003665)^(300-2)
≒0.665185 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています