ワイが5年間考えても解けない確率の問題を誰か解いてくれ

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/25(木) 14:31:10.45

サイコロをn回振った時、出目の積が2^nの倍数になる確率を求めよ

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/25(木) 14:34:41.70

Σが入らないような綺麗な形で答えてクレメンス

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/25(木) 14:36:06.22

今の時期はオナホールが冷たいから、みんな温めてから使うよね

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/25(木) 15:14:11.11

ゴキジェットの後始末大変

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/25(木) 15:17:56.64

連続噴射ができない

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/25(木) 15:34:49.28

窓拭き、網戸掃除も完了

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/25(木) 15:39:47.61

駐車場掃除にはケルヒャーが欲しい

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/25(木) 16:05:43.51

ブラックキャップ使うようになってからゴキブリ出なくなった
それまでは夏場は３日に１回は見かけてたんだけど

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/25(木) 16:07:51.69

へー、出たら使ってみるわ

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/25(木) 18:02:59.51

ようは偶数を出し続ければいいわけよ

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/25(木) 18:07:21.17

1,3,5を0
2,6を1
4を2に置き換えてさ
n回振ったときの出た目の和がn以上になる確率と同じなわけで

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/25(木) 18:12:40.20

1と2の和でnを作る方法ってのはn番目のフィボナッチ数通りなのよ

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/25(木) 18:15:51.06

n+1番目だった

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/25(木) 21:37:27.48

単独スレを立てた甲斐があったね

**イナシュタイン** ◆/7jUdUKiSM · 2021/11/26(金) 01:59:15.07

サイコロをn回振って出目の積が2^nの倍数になる確率をPnとすると、
n=1のとき出目の積が2の倍数になるのは2,4,6のときだから、その確率は、
P1=3/6=1/2
P=2のとき出目の積が2^2の倍数になるのは4,8,12,16,20,24,36のときだから、その確率は、
P2=15/36=5/12
P=3のとき出目の積が2^3の倍数になるのは8,16,24,32,40,48……とたくさんあり、2回振るまでの36枡の中に、3回目の出目6つのうちいくつが出目の積を2^3=8の倍数にせしむるか、その個数を表にすると、
＼1 2 3 4 5 6
1‖0 1 0 3 0 1
2‖1 3 1 6 1 3
3‖0 1 0 3 0 1
4‖3 6 3 6 3 6
5‖0 1 0 3 0 1
6‖1 3 1 6 1 3
計5+15+5+27+5+15=72
P3=72/216=1/3
以下推定。
P4=9/36=1/4
P5=6/36=1/6
P6=3/36=1/12
∴Pn=(21-3n)/36=(7-n)/12

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/27(土) 16:24:22.26

柚子を貰ったのでゆず湯

**イナクリフター** ◆/7jUdUKiSM · 2021/11/28(日) 05:44:30.24

前>>15
n=7のとき、
2が7回出て2^7の倍数になることがあるから、
P7≠0
P4から出目の積を検討する。
P_n+1=(1/2)Pn+(1/6)P_n-1
とすると、
P4=(1/2)P3+(1/6)P2
=(1/2)(1/3)+(1/6)(5/12)
=1/6+5/72
=17/72
これを実際に表を作って確認したい。

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/29(月) 16:53:45.63

>>17
1 : 1 / 2
2 : 5 / 12
3 : 1 / 3
4 : 121 / 432
5 : 77 / 324
6 : 529 / 2592
7 : 2059 / 11664
8 : 85985 / 559872
9 : 3131 / 23328
10 : 1186385 / 10077696

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/30(火) 08:55:07.12

>>18
分母は6^n

**１３２人目の素数さん** · 2021/12/02(木) 09:06:10.78

分母を6^nで統一する
1 : 1 / 2=3/6^1
2 : 5 / 12=15/6^2
3 : 1 / 3=72/6^3
4 : 121 / 432=363/6^4
5 : 77 / 324=1848/6^5
6 : 529 / 2592=9522/6^6
7 : 2059 / 11664=49416/6^7
8 : 85985 / 559872=257955/6^8
9 : 3131 / 23328=1352592/6^9
10 : 1186385 / 10077696
=7118310/6^10

**１３２人目の素数さん** · 2021/12/02(木) 09:08:18.98

1 : 3 / 6^1
2 : 15 / 6^2
3 : 72 / 6^3
4 : 363 / 6^4
5 : 1848 / 6^5
6 : 9522 / 6^6
7 : 49416 / 6^7
8 : 257955 / 6^8
9 : 1352592 / 6^9
10 : 7118310 / 6^10

**１３２人目の素数さん** · 2021/12/02(木) 09:28:12.68

0 : 0 = 0 / 1 = 0 / 6^0 = 3*0 / 6^0
(↑予想)
1 : 3 / 6^1 = 3*1 / 6^1
2 : 15 / 6^2 = 3*5 / 6^2
3 : 72 / 6^3 = 3*24 / 6^3
4 : 363 / 6^4 = 3*121 / 6^4
5 : 1848 / 6^5 = 3*616 / 6^5
6 : 9522 / 6^6 = 3*3174 / 6^6
7 : 49416 / 6^7 = 3*16472 / 6^7
8 : 257955 / 6^8 = 3*85985 / 6^8
9 : 1352592 / 6^9 = 3*450864 / 6^9
10 : 7118310 / 6^10 = 3*2372770 / 6^10

**１３２人目の素数さん** · 2021/12/02(木) 10:04:33.30

サイコロをn回振った時、出目の積が2^nの倍数になる確率を求めよ

0の場合→サイコロを0回振った時、出目の積が2^0の倍数になる確率を求めよ
0 (予想)
確率(%)… 0 %

・確認作業
サイコロをn回振った時、出目の積が2^nの倍数ではない(・・・・)確率を求めよ
6^nから2^nの倍数になる数を引けばいいので、
1 : 6^1 -3 = 6 - 3 = 3
2 : 6^2 - 15 = 21
3 : 6^3 -72 = 144
4 : 以下省略

1 : 3 / 6^1
2 : 21 / 6^2
3 : 144 / 6^3
4 :

0の場合は
0 : 6^0 - 0 = 1 - 0 = 1
サイコロを0回振った時、出目の積が2^0 の倍数ではない(・・・・)確率を求めよ
(6^0 - 0) / 6^0 = (1 - 0) / 1 = 1 / 1 = 1
確率(%)… 100 %

上記が

よって、0の場合→サイコロを0回振った時、出目の積が2^0の倍数になる確率は 0 である
確率(%)… 0 %

※注意事項
0の場合は存在しないと解釈されることもあります

**１３２人目の素数さん** · 2021/12/03(金) 13:56:03.28

シグマは残るが
以下に類題の考察がある

目の積（2010/5/5出題）
http://shochandas.xsrv.jp/probability/product.htm

シグマ入りの式には誤りがあるが、考え方は同じ
結論からいうとシグマなしでは書けない

積が平方数、立方数など特殊な場合は
母関数を使ったアプローチで
一般項が求まることがある

**１３２人目の素数さん** · 2021/12/04(土) 06:03:54.61

「パチンコ戦国恋姫」の連チャン回数の計算が
この問題に似ている
https://www.p-world.co.jp/sp/kisyu.cgi?code=9315
https://www.p-world.co.jp/_machine/img/p9315_1.jpg

大当り回数4回からスタート
回数を1つ消費して8面ダイスを振り、出た目の
2の素因数の個数だけ回数が回復する
（8の目は5％、4の目は20％、2と6は25％）

継続回数は約18.6回（公称継続率95％）

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/17(木) 04:44:42.90

平方数になる確率は？

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/18(金) 11:44:59.16

>>26
平方数にならない確率を求めればいいのかな

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/24(木) 08:43:44.13

>>26
>>24のリンク先に
解き方と答えがありますよ

n個のサイコロの目の積が
平方数になる確率は
(6^n+4^n+3*2^n)/(8*6^n)

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/24(木) 09:00:32.07

解法の概要

x=2, y=3, z=5 として、1個分の出目を
f(x, y, z)=(1/6)(1+x+y+x^2+z+xy)
で表す。n個の出目の積はこの累乗
F(x, y, z)=f(x, y, z)^n
を展開することで、文字が出目の積の値、
係数が確率として求められる。

平方数になる確率は、積における
素因数2, 3, 5の個数が偶数のものの
総和をとればよい。
確率全体は F(1, 1, 1)
2の個数が偶数の総和は
(1/2)(F(-1, 1, 1)+F(1, 1, 1))
と、-1を代入して奇数の次数を打ち消す。

2, 3, 5の個数が偶数の総和は
(-1, -1, -1)から(1, 1, 1)の8通りの和をとって
(1/8)∑[a,b,c=0～1]F((-1)^a, (-1)^b, (-1)^c)
＝(1/8)(1+(2/3)^n+3*(1/3)^n)

**１３２人目の素数さん** · 2022/11/24(木) 19:18:57.21

方向性は同じだと思うが、
『{(1+a+b+1+c+ab)/6}^n　を展開したときの定数項　ただし、a^2=b^2=c^2=1　で、a,b,cは1でも-1でもない』
と考えれば楽になる。何故なら
(1+a)^n
　=　2^(n-1) (1+a) 　；(n>0の時)
　=　1 　　　　　　　；(n=0の時)
という性質があるから。実際計算すると、次のようになる。

(1+a+b+1+c+ab)^n = {(1+a)(1+b) + (1+c)}^n
=Σ[k=0,n] C[n,k] (1+a)^k (1+b)^k (1+c)^(n-k)
=(1+c)^n + (1+a)^n (1+b)^n + Σ[k=1,n-1] C[n,k] (1+a)^k (1+b)^k (1+c)^(n-k)
=(1+c)^n + (1+a)^n (1+b)^n + Σ[k=1,n-1] C[n,k] (2^(k-1))(1+a) (2^(k-1))(1+b) (2^(n-k-1))(1+c)
=(2^(n-1))(1+c) + (2^(2n-2))(1+a)(1+b) + Σ[k=1,n-1] C[n,k] (2^(n+k-3))(1+a)(1+b)(1+c)

定数項は
=2^(n-1) + 2^(2n-2) + 2^(n-3) Σ[k=1,n-1] C[n,k] (2^k)
=2^(n-1) + 2^(2n-2) + 2^(n-3) (3^n-1-2^n)
=2^(n-3){3+2^n+3^n}

これを6^nで割れば、(3+2^n+3^n)/(8*3^n)　が得られる

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/10(火) 17:44:05.92

別の板で質問があったので、こちらのスレを再利用

将棋・チェス板より
「棋士が300試合で3連敗する確率」

同じ試合が重なる連敗は、独立な試行といえず
正確な確率は
(1-勝率^3)の(回数-2)乗
よりもやや高くなります

具体的には、3連敗する確率を
(1-0.837)^3≒0.004331
から、後述の計算による指数
p=0.996335, 1-p=0.003665
に変えると概算できます

勝率0.837の棋士が300試合で3連敗する確率なら
(1-0.003665)^(300-2)
≒0.334815

計算方法は、以下のように
前の3項によって求まる数列の漸化式を作り
十分大きい n における隣接項の比から係数を求めます
https://www.wolframalpha.com/input?i=a%280%29%3D0%2C+a%281%29%3D0%2C+a%282%29%3D0%2C+a%28n%29%3D1-%28%280.837%29%281-a%28n-1%29%29%2B%280.837*0.163%29%281-a%28n-2%29%29%2B%280.837*0.163%5E2%29%281-a%28n-3%29%29%29&lang=ja

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/10(火) 17:49:45.61

>>31
訂正
上で求まるのは、連敗が発生しない確率ですね
正しくは、1から確率を引いて

勝率0.837の棋士が300試合で3連敗する確率なら
1-(1-0.003665)^(300-2)
≒0.665185

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 08:13:07.85

以前、将棋界で最も難しい記録というスレがあってこの難問の簡単な計算式を編み出している
そのやり方はこうだった
3連敗以上しないことが何回求められるかを考える
求められるのは勝った回数に等しいが最後の3戦が1回なのは確実なので次の式で一般化して計算できる
Ｎ局中にR連敗以上しない確率
(1-(1-v)^R)^(1+(Ｎ-R)*v) ＊vは勝率

勝率0.837なら
300局中に3連敗以上がない確率は
(1-(1-0.837)^3)^(1+(300-3)*0.837)
=0.3384
嘘みたいな方法だが答えは正解に近似する

逆にＮ局中にR連勝以上する確率は
1-(1-v^R)^(1+(Ｎ-R)*(1-v))

この式が正しければ
360局中に29連勝以上がある確率と3連敗以上がない確率がほぼ同じになる
1-(1-0.837^29)^(1+331×0.163)
=0.271
(1-0.163^3)^(1+357×0.837)
=0.272

つまり、勝率0.837の藤井聡太の場合は360局目までに29連勝以上するのは3連敗以上しないより難易度が高いが360局を超えると3連敗以上しないほうが難易度が高くなる

ちなみに任意の期間での3連敗以上がない最長記録は大山康晴十五世名人の357局
＊1958年11月24日～1967年5月30日まで8年6ヶ月

**１３２人目の素数さん** · 2023/01/12(木) 08:23:16.93

現在の藤井聡太がちょうど360局でいまだ3連敗以上がないのでデビューからの29連勝より凄い記録に挑戦しているということになる
＊大山の最長記録はデビュー時からの記録で現在進行形で塗り替えていた

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/14(火) 17:58:29.17

おおー

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/18(土) 01:56:27.79

ただの29連勝と3連敗ならそうかもしれないが、デビューからの29連勝の方が難易度は高い

**１３２人目の素数さん** · 2023/02/18(土) 02:01:19.85

勝率.837だとデビューから3連敗のほうが難易度高いけど

**１３２人目の素数さん** · 2023/08/05(土) 11:20:27.02

後輩がUnknownを「うんこなう」って読んでたのでもう帰りたい

**１３２人目の素数さん** · 2023/09/16(土) 19:37:12.78

これってどうやって気にするの？