数学のための論理学　1

**１３２人目の素数さん** · 2021/10/25(月) 21:48:04.50

数学も色々ありますが論理学も色々あります．
私は数学で用いることのできる推論規則は

最小論理+DN規則+同一性規則

だと考えています．たとえば
・対偶法
・ド・モルガンの法則
は数学では利用しません．
ここでの数学は代数学(集合と位相もあり)に限定します．

参考文献は主に金子洋之『記号論理入門』産業図書，1994
を用いたいと思います．
もしこの話に興味のある方がいましたら何でも話をしましょう．

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/17(金) 00:09:43.49

>>951
訂正

①のD⊆β(S)がみたされ

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/17(金) 00:10:27.62

A^c∈Dであるので②も成り立つ．

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/17(金) 00:11:12.45

>B(S)も閉集合系

β(S)

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/17(金) 13:36:42.77

■　閉包

(S,D):1つの位相空間
M:(S,D)の任意の部分集合　i.e.　M⊆S
α⊆β(S):閉集合系

とする．このときMを含むような閉集合全体の共通部分
すなわち

M^a:=∩_[λ∈X]M_λ　(M⊆∩_[λ∈X]M_λ)

とくに

M^a=∩_[k=1,n]M_k∈α　(Mを含む最小の閉集合)

である．このときM^aをMの閉包あるいは触集合と呼ぶ．

補題　p.157

(2.6)　M^{ca}=M^{ic}　☆

(証明)

与えられた等式の左辺と右辺が一致することを示す．

ΩM[M∈β(S)→∃T[T∈β(S)∧M=T]]

に対して

S∈β(S)∧M=S　①

を仮定する．このとき

(左辺)=(S^c)^a=Φ^a　 p.17(2.14)

(右辺)=(S^i)^c=S^c=Φ　M=M^iとp.17(2.14)による

と書ける．ここでΦ^aについて

Φ^a=∩_[k=1,n]Φ_k=Φ_1∩Φ_2∩...∩Φ_n=Φ　p.15(2.9)'

により左辺と右辺が一致する．それゆえ，∃-導入と∃-除去から
仮定①が落ちて①に依存する判断はないのでΩ-導入により
☆が成立する．□

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/17(金) 14:43:35.03

■　(2.7)　p.158

(1)　M^{cac}=M^i
(2)　M^{ci}=M^{ac}
(3)　M^{cic}=M^a

(証明)

(1)について

M^{cac}
=M^{icc}　(補題(2.6))
=M^i　　　p.17(2.13)

(2)について

ΩM[M∈β(S)→∃T[T∈β(S)∧M=T]]

に対して

Φ∈β(S)∧M=Φ　①

を仮定する．このとき与えられた等式の左辺と右辺が一致することをみる．

(左辺)
=(Φ^c)^i
=S^i
=S　　　　　(M=M^i)

(右辺)
=(Φ^a)^c
=Φ^c　　　Φ∩Φ=Φによる
=S　　　　 p.17(2.14)

これより左辺と右辺が一致することがわかった．そして
∃-導入と∃-除去から仮定①が落ちて①に依存する判断はない．
それゆえ，Ω-導入により(2)が成立する．

(3)について

M^{cic}
=M{acc}　(2)による
=M^a　　 (M^cc=M)p.17(2.13)

以上より(2.7)が示された．□

補足

補題(2.6)M^{ca}=M^{ic}を含めて(2.7)は互いに同等である，という説明があるが
たとえばM^iとM^aが同等であるとはどういう意味なのだろうか？
もし(同値⇔)あるいは双条件(←→)の意味なのだとしたら
開集合と閉集合とを分けて考える意味が無くなってしまう
もっというと集合とその補集合とが一致するということが惹起されるので
ここでは「互いに同等である」という文言を削除した

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/17(金) 14:52:02.97

開かつ閉はn次元ユークリッド空間R^nにおける集合系の性質だった
一般の位相でそれが成り立つかどうかを考えるのは意味がない気がする
しかしもう少し読み進めて考えてみたいのでこの件は保留する

**１３２人目の素数さん** · 2021/12/17(金) 20:18:49.72

もう一回数学科で修業し直してはいかがか

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 02:20:00.79

その言葉が大学でガンバレよっていう意味だとすると
ありがたいですけど
私の我を受け入れてくれるような研究室は何処にもないと思います
実際に研究室で「自分の考え」を述べたら激怒されたという経験もあります
また
・君は哲学に向いているだとか
・数学で有限や無限を考えることは本質ではない
などといわれ嫌な思いもしました

私は大学のメンツがあると思ったので一切反論もせずに中退しました
この学歴社会と教育行政あるいは政治とカネに無縁な所があれば
勉強したいとは思っています

多分そんな所(先生)はないと思うのでここに書くことくらいしかないと思い
今に至ります

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 02:40:38.57

このスレは1で終わりにしようと思います
私が言いたかったことの論理は一通り書けました
もちろん
束縛変項と自由変項の扱い
とりわけ∀-導入の使い方に問題があるというのはわかっています
今のままだとフェルマーの最終定理のような形式が説明できません
たとえば
数列や集合列に出てくるnとフェルマーのnで
∀-導入に違いが出てくるとすると問題です

最後にこのnの使い方について考えたことをまとめて
ここに書きたいと思います

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 02:45:16.86

本の書きかえなんていうのは目的にしていません
結果として本に書いてあることと違うものが出てくることは
ありますがそういうことを狙ったものではないです

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 02:46:13.18

考えたことを何処にも出さないで消えて行くのはどうかと
思ったのですが
黙って消えた方がよいということもあるかも知れないなとも思いました

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 02:48:18.99

裸の王様を笑いたいわけでもないので
理解されることは難しいですが
とくに利害関係も無いのに数学をやっているような人を
傷つけるということもあるかも知れないなと思いました

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 02:49:32.82

わからないことがわかってよかった
そう単純な人はいないのだなと
何れにしても自分の考えを否定されることが許せない
そういう場合もあるのだなと思いました

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 02:50:52.06

でもそれがわかってよかったです
数学に前向きな人とばかり話をしてもわからなかったことがある
ということに気が付けたので

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 02:53:17.72

もちろん今までネット上で
友好的に議論をしてくれた人は1人だけでした
真数学を愛する会通称数愛さんです
数愛さんだけは僕の思いついたことを否定はしますけど
よく話を聞いてくれて一緒に考えてくれる人です
僕はそういう人と数学をやりたいだけです

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 02:54:51.27

もちろんその否定というのは
間違っていると考えられるから否定しているだけで
もしそうではないことがわかれば合意に至ります
合意できることとそうでないことをはっきりさせて
話をしようというだけのことです

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 02:58:09.89

数学の話をするときは
まず前提とする公理系と推論規則を明示するべきだ
というのを教えてくれたのも数愛さんでした

数学だけやっているとあまりそういう話をしたことがありませんでした
実際に僕がいたような研究室で論理や公理に関係することを話したら
それは数学ではないと頭ごなしに否定され追い出されたと思います

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 02:59:34.62

盲従だけすればよい大学なんてなくなっちまえばよい
と思っていた時期もありました
ある意味数愛さんには救われたのだと思います

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 03:01:29.16

では数列のnとフェルマーのnについて考えてみたいと思います

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 03:07:42.54

数列
a:自由変項
∀n[n∈N→∃i[i∈N]∧n=i]

とする
このとき

(1)　無限個の列

a_1,a_2,...,a_n,...

(a_i)_[i=1,∞]

(2)　有限個の列

Ωn[n∈N→∃i[i∈N∧n=i]]

a_1,a_2,...,a_n

(a_i)_[i=1,n]

という違いがある

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 03:10:19.80

しかし全称導入という意味では同じ型である

①　iについてi∈N∧n=iを仮定する

②　論証

③　仮定落としのある推論規則を適用して論証中に用いられた仮定を落とす

④　仮定に依存する判断がなければ全称導入を適用できる

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 03:16:47.84

ではフェルマーの最終定理のnについて考えてみたい．

x,y,zは束縛変項として用いたいので代わりにa,b,cを使う．

a,b,c：自由変項

とする．このとき

a^n+b^n=c^n　(nは3以上の自然数)

となる自然数の組(a,b,c)は存在しない．

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 03:28:40.26

ここでもしnが束縛変項だとすると

上記(1)と(2)のどちらかの意味になる．
無限個の自然数を考えているわけではないので
自動的に(2)を考えていることがわかる．

それではΩn[n∈N→∃i[i∈N∧n=i]]だとし
今までと同じようにiについて考えてみたい．

1∈N∧n=1　①

を仮定する．このとき

a+b=c

は写像

f:N→N

f(a+b):=c　i.e.　a+b=c

により成立する．
これより∃-導入と∃-除去により仮定①が落ちて
①に依存する判断はないからΩ-導入により
任意の自然数nに対して

a^n+b^n=c^n

が成立する．

これが今までと同じ論証である．

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 03:29:53.20

しかし定理は3以上の自然数nについて

a^n+b^n=c^n

となる自然数の組(a,b,c)がないと主張している．つまり
自然数nについてだけではなくa,b,cも考慮しなければならない．

では(a,b,c)について何を考えなければならないのだろうか？

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 03:31:31.91

たとえばn=1のとき

1+1=2

より(1,1,2)と表示できる．

つまり1つの組さえあればよい．

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 03:34:40.51

n=2のとき

3^2+4^2=5^2

より(3,4,5)が1つあった．

これでn-2の場合も「ある」といえる．

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 03:36:41.85

つまり今まで全称導入してきたことと扱う性質が違う．
今までは

・全称判断がしたい
・任意の元を選ぶ
・任意の元で命題が成立する
・命題は任意の元に依存していない
・全称命題成立

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 03:39:28.25

フェルマーは

・n=1のとき少なくとも1つの組がある
・n=2のとき少なくとも1つの組がある
・3以上のnのとき組は1つもない

が要請される．これをどのように限量するべきだろうか．

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 04:02:46.95

はじめに

論理式というのは自由であるゆえに唯一の正解というものはない

Ωn[n∈N→∃i[i∈N∧n=i]]
n≠1
n≠2
x,y,z:束縛変項

Ωx[x∈N→∃s[s∈N∧x=s]]
Ωy[y∈N→∃t[t∈N∧y=t]]
Ωz[z∈N→∃z[z∈N∧z=u]]

とする．このとき

x^n+y^n=z^n

となる組(x,y,z)は存在しない．

(証明)

￢(x^n+y^n=z^nとなる組(x,y,z)は存在しない)　①

を仮定する．

sについて　1∈N∧x=1　②
tについて　1∈N∧y=1　③
uについて　1∈N∧z=1　④
iについて　3∈N∧n=3　⑤

を選択すると

1^3+1^3=1^3

により①を否定できるので￢-導入より仮定⑤が落ちて

￢￢(x^n+y^n=z^nとなる組(x,y,z)は存在しない)

を得る．ここで∃-導入と∃-除去から仮定④,③,②,①が落ちる．
そしてDN規則から

x^n+y^n=z^nとなる組(x,y,z)は存在しない

但し

n≠1
n≠2

が成立する．□

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 04:03:29.14

メタ言語で考えたらいつもと同じ証明になってしまった
これが正解なのかわからないが
記録しておく

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 04:07:25.43

松坂和夫が
「任意の」と「適当な」を同義語として用いる理由でもあるかも知れない

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 04:08:42.50

>>980
訂正
Ωz[z∈N→∃u[u∈N∧z=u]]

**１３２人目の素数さん** · 2021/12/18(土) 09:31:56.24

計算機相手に厳密な基礎づけやるほうが向いてそう。
Coqとかで。

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 10:55:37.59

全称導入の問題点は命題が「成立する」という場合

・存在することが成立する
・存在しないことが成立する

という何れかに帰着される時に
たとえば素数列でしか成立しない場合など
離散的な数の構成に対して無力であるということ

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 11:03:07.09

もちろん自然数列と同じように「素数列に対して」
というようにも考えられるかも知れない
しかしそれは循環論法ではないかと思われる

素数の分布がわかっていないのに
素数の存在を用いてしまうことはご法度だろう

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 11:04:31.97

確率の話のように
たとえば離散的なものも極限を用いれば連続と看做せる
というようにできるものなら全称判断も可能かも知れない
しかしそうではないものに対してはやはり無力だ

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 11:08:11.17

しばらくは全称判断と数列(点列)というテーマで考えてみたい

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 11:08:59.83

本当に点列が連続しているのかなどを考えるには
やはり位相空間がよいのではないかと思う

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 11:10:52.56

松坂和夫の構成のように
①集合と位相(位相空間論)
②線型代数
③抽象代数学
④解析学
という考え方がよさそうに思う

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 11:12:28.67

もちろんこのやり方だと
どの分野もかいつまんだだけという結果に成るので
実際には①のみで完結してしまうかも知れない
あくまでも考え方というだけ参考にしたい

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 11:13:25.75

数論や代数幾何学への野望なんてものはないから
④まである程度読んだら
中学・高校数学に回帰するというのもありかなとは思う

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 11:14:28.46

あれだけわからなかった数学が
ここまでわかるようになった
という経験も無駄ではないと思うからだ

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 11:16:54.40

行列のnというのも全称判断が可能なのかどうなのか難しい

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 11:18:42.32

それは
行列の積が非可換だからだ
自由変項の行列Aに対してはn=1のときをa:=(a)と看做すことで
たとえば実数aと1次行列(a)を同一視することができるが
必ずしも

ab=ba

ではないという事実がある以上
無条件な仮定をつくり出すことが難しいと思われる

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 11:20:17.65

n=1の場合の実行列と実数がすべて対応していないので
それを何か補完できる概念が必要だ

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 11:21:43.50

しかしまあ行列の非可換性というのも
行列の表現(写像)に依存したものであり
うまく定義すれば解消されるものかも知れない
その辺りはこれから考えて行くことだと思っている

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 11:24:01.71

既にみたようにたとえば認容部分群がイデアルだと呼ばれた時代の定義から
現代のイデアルに再定義すれば認容部分群の不備が無かったことになる
というように

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 11:28:14.67

作用団という概念がどこに潜んでいるのかもよくわからないので
代数や解析を読む時は作用素という言葉に気をつけて読みたいと
思っています

位相空間でも作用子で何でも説明できてしまうというような兆しが
あるので作用子を慎重に運用したいです

**山本大輝** ◆wJsR4i5hDM · 2021/12/18(土) 11:32:33.60

もしかするとホモロジー代数(圏論)などの世界では
この集合論上の作用子でほとんどの概念を説明するということが
行われているのかも知れません

かつて作用団は無意味な記号の集まりでした

無定義語の点のような役割かも知れません
無定義語の点に意味を与えたのが位相だとすると
無意味な記号に意味を与えるのが圏なのかも知れません

何れにしても数学(及び記号)に意味はあるという立場で
これからも考えて行きたいと思っています

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