∫√xdx=2/3x^(3/2)+Cを使って∫√(1-x^2)dxの値を求めよ ∫[0→1]

**もよもと** · 2021/08/30(月) 18:13:46.29

ちゃらららちゃららん♬
計算式と解答をお願いする

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/30(月) 18:23:21.49

パンツ一丁でも暑かったからスッポンポンになったら、思いのほか涼しい
パンツ一枚でこんなに差があるとは予想外だった

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/30(月) 19:07:26.97

>>1
単発質問禁止

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/30(月) 23:48:40.48

この問題を解ける猛者はいるのかな

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/31(火) 04:10:04.50

　　　-=≡///::　;;
　　／　　　''　　　　ヾ:::::＼
　/　ｶﾙﾄの王者　　＼:::::＼
　|　　　　 ,　、　　　　　彡::::| 　　　　　　　
ﾐ| _≡=、　　, =≡=_ 、　|:;;;;;/
| |　◎　|￣ |　◎　 |─´/　＼
| ヽ二 /　　＼二／　　　>∂/　　／￣￣￣￣￣￣￣￣￣
/　　／(　　　　)＼　　　　 |__/＜　うんこ喰わせちゃった！！
|　 /　　 ⌒ ⌒　　　　　　　| |　＼＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿　　　　　　　　
|　＼／ヽ／＼＿／　　　/ |　　　　　　　　　　　　　　
.＼､＼￣￣／ヽ　　　　//　　　　　　　　　　　　　
　＼　|　￣　　　／/／　　　　　
　　／　　　￣￣　＼
　　|　|　　　　　　　 |　|
　　|　|　　　　　　　|　|
|⌒＼|　　　　　　　 |／⌒|
|　　　|　　　 |　　　 |　　　|
|　＼（　　　　　　　）／　|
|　　|＼＿__人＿___／| 　 |
|　　|　　　ヾ;;;;|　　　　| 　 |
　　　　　 ,lﾉl| 　　ﾌﾞﾊﾞﾁｭｳ!!. 　　　　.ｍ
　　　　　　人;;;;;;;￣￣￣ヽ/⌒⌒⌒ヽ|.|っ
　　　　　ノ:;;,ﾋ=ε;;;/∴　　|　　＿____ /⌒/⌒ヽ
　　　　(~´;;;;;;;ﾞ'‐;;´)　　　＠）（＿＿＿_/ .. _ ）
　　,i`（;;;ﾞ'-;;;;;;　◎;;;◎―　 /ミ|───,,＿__,/ ヽ
　　ヽ;;';ｰ--―;;;;￣;;;;;;￣Y　）←>>1　　｀'ｰ--､＼＿＿＿＿／　＜くそすれさいこー！！

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/31(火) 10:39:39.65

諸法無我

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/31(火) 14:03:18.58

∫[0→1]√(1-x^2)dx=π/4

途中式は猛者が書くだろう

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/31(火) 20:38:03.27

途中式
x = (1-t)/(1+t)　とおくと
0<x<1　　⇔　　0<t<1
dx = -4t/(1+tt)^2 dt
√(1-xx) = 2t/(1+tt),

∫[0,1] √(1-xx) dx
　= ∫[0,1] 8tt/(1+tt)^3 dθ
　= ∫[0,1] 1/(1+tt) dt - [ t(1-tt)/(1+tt)^2 ](t=0,1)
　= ∫[0,1] (1 - t^2 + t^4 - t^6 + …) dt
　= 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + …　　　(グレゴリー・ライプニッツ級数)
　= π/4,

ところで　∫√x dx = (2/3)x^(3/2) + C　はどこで使った？

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/31(火) 20:40:24.85

まちがえた、
　x = (1-tt)/(1+tt),
だった。

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/31(火) 21:20:54.79

>>8
limと積分を交換してもいいのは何故？

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/31(火) 23:50:18.00

2n-2次までとったときの剰余項
　 |∫ t^{2n}/(1+tt) dt | < ∫[0,1] t^{2n} dt = 1/(2n+1)
を任意に小さくできるから…

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/06(月) 20:30:52.08

難問だな

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/12(日) 18:10:13.88

悪魔👿は存在しますか？

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/18(土) 03:38:44.76

不定積分が {x√(1-x^2)+arcsin(x)}/2+C だから、
(1√(1-1^2)+arcsin(1))/2 - (0√(1-0^2)+arcsin(0))/2 = (π/2)/2 = π/4

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/18(土) 10:19:08.69

>>8
> ∫[0,1] 1/(1+tt) dt
アークタンジェントくん「ここまで出て来て俺の出番が無いなんて酷過ぎィ！」

**１３２人目の素数さん** · 2021/09/18(土) 11:24:43.02

積分範囲が0～1だから、ベータ関数を使う解法も面白い

x = t^(1/2) とおくと、x: 0→1 のとき t: 0→1 であり、dx = 1/2*t^(-1/2)dtだから、

∫[0,1] (1-x^2)^(1/2) dx
　= ∫[0,1] (1-t)^(1/2)*1/2*t^(-1/2) dt
　= 1/2*∫[0,1] t^(-1/2)*(1-t)^(1/2) dt
　= 1/2*∫[0,1] t^(1/2-1)*(1-t)^(3/2-1) dt
　= 1/2*B(1/2,3/2)
　= 1/2*Γ(1/2)Γ(3/2)/Γ(2)
　= 1/2*Γ(1/2)*1/2*Γ(1/2)/1!
　= 1/4*{Γ(0.5)}^2
　= π/4

**１３２人目の素数さん** · 2021/11/01(月) 12:00:49.42

>>7
∫[0,1] √(1-xx) dx = (単位円の1/4) = π/4,