箱入り無数目を語る部屋2

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/19(木) 07:31:57.65

前スレ箱入り無数目を語る部屋
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1609427846/

（参考）
時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）「箱入り無数目」抜粋
純粋・応用数学（含むガロア理論）8
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1620904362/401
時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）
「箱がたくさん，可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる.
どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.
もちろんでたらめだって構わない.そして箱をみな閉じる.
今度はあなたの番である.片端から箱を開けてゆき中の実数を覗いてよいが，一つの箱は開けずに閉じたまま残さねばならぬとしよう.
どの箱を閉じたまま残すかはあなたが決めうる.
勝負のルールはこうだ. もし閉じた箱の中の実数をピタリと言い当てたら，あなたの勝ち. さもなくば負け.
勝つ戦略はあるでしょうか?」

https://mathoverflow.net/questions/151286/probabilities-in-a-riddle-involving-axiom-of-choice
Probabilities in a riddle involving axiom of choice
asked Dec 9 '13 at 16:16 Denis
（Denis質問）
I think it is ok, because the only probability measure we need is uniform probability on {0,1,…,N?1}, but other people argue it's not ok, because we would need to define a measure on sequences, and moreover axiom of choice messes everything up.
（Pruss氏）
The probabilistic reasoning depends on a conglomerability assumption, ・・・and we have no reason to think that the conglomerability assumption is appropriate.
（Huynh氏）
If it were somehow possible to put a 'uniform' measure on the space of all outcomes, then indeed one could guess correctly with arbitrarily high precision, but such a measure doesn't exist.

つづく

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/13(金) 08:57:07.90

>>794
100人のペテン師を用意する。
任意の s∈R^N に対して、背番号kのペテン師は番号kを選び、
この k と決定番号 d(s) から箱の中身を回答する。
この回答は s と k に依存して決まるので、ans(s,k) と書くことにする。
従って、任意の s∈R^N に対して、100通りの回答 ans(s,1), ans(s,2), …, ans(s,100) が一括で得られる。

念のため、回答の仕方を具体的に確認しておく。
まず、s を100列に分割する。i列目は s^i と表記することにする。背番号kのペテン師は、次のように回答する：

第1列～第(k-1) 列，第(k+1)列～第100列の箱を全部開ける.
第k列の箱たちはまだ閉じたままにしておく.
開けた箱に入った実数を見て，代表の袋をさぐり， s^1～s^(k-1),s^(k+1)～s^100の決定番号のうちの最大値Dを書き下す.
いよいよ第k列の(D+1)番目から先の箱だけを開ける：s^k(D+l)， s^k(D+2)，s^k(D+3)，・・・.
ここから、s^k に関する代表 r＝r(s^k) が取り出せる。そこで、
「第k列のD番目の箱に入った実数はrDである」と回答する。
従って、回答 ans(s,k) は、具体的には

ans(s,k)：＝「第k列のD番目の箱に入った実数はrDである」

という文章として定義されることになる。

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/13(金) 08:58:48.39

そして、以上の表記のもとで、次が成り立つ。

∀s∈R^N s.t. ans(s,1), ans(s,2), …, ans(s,100) の100個の回答のうち、正しくない回答は高々1個.

ほらね、100人バージョンだと、確率論を全く設定せずに記述が終わってる。

**１３２人目の素数さん** · 2022/05/13(金) 09:04:09.06

ちなみに、同様の記述は、より初等的な>>788でも使える。

確率版の788：< > をガウス記号とする。また、箱が1つだけ与えられている。
出題者は、x∈[0,1] をランダムに1つ選び、<x＋0.5> の値を箱の中に入れる。
回答者は、箱の中身を言い当てなければならない。ただし、箱の中身が
「何らかの x∈[0,1] に対する <x＋0.5> である」ことを予め知っているものとする。
明らかに、箱の中身は 0,1 のいずれかである。そこで、回答者は 0,1 の2つの数から
ランダムに数を選んで、それを回答として提示する。すると、回答者が正解する確率は 1/2 である。

確率を使わない788：< > をガウス記号とする。また、箱が1つだけ与えられている。
出題者は、x∈[0,1] を任意に1つ選び、<x＋0.5> の値を箱の中に入れる。
回答者は、箱の中身を言い当てなければならない。ただし、箱の中身が
「何らかの x∈[0,1] に対する <x＋0.5> である」ことを予め知っているものとする。
明らかに、箱の中身は 0,1 のいずれかである。そこで、回答者を2人に増やし、
背番号kの回答者は k を回答として提出する(k＝0,1)。
すると、2人の回答者のうち、片方は正解し、もう片方は不正解になる。つまり、

∀x∈[0,1] s.t. 2人の回答者のうち、片方は正解し、もう片方は不正解

が成り立つ。

・・・ペテン師はこのような記述に一体なんの不満があるというのか？