微分形式の積分について

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/14(水) 13:53:18.66

微分形式とは何か

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/14(水) 14:02:07.87

微分形式である

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/14(水) 14:16:27.83

積分形式ってないの？

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/14(水) 14:38:51.96

接ベクトル空間の双対であること、積分がどう関係するの？

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/17(土) 09:49:25.52

まずRnで考えて理解するといいよ

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/17(土) 20:57:32.05

閉区間I = [a, b]を

a = x_0 < x_1 < ... < x_n = b

と分割し、

⊿x_i := x_i - x_(i-1)
x'_i∈[x_(i-1), x_i]

として、

S = S(n, ⊿, x') = Σ[i=1 to n]f(x'_i)⊿x_i

とおく。
Sのn→∞、max[i]⊿x_i → 0となる極限が、分割およびx'_iの取り方に依存せずに存在すれば、それを

∫_I f(x) dx

というのだった。

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/17(土) 21:29:08.63

微小な変化⊿xに対して、fの変化量は

f(x + ⊿x) - f(x)

で表される。しかしこれは、xとx + ⊿xの2点で決まる値である。微分積分の心としては、各点xに対して、xのみ（あるいはxの近傍にのみ）による量を定義して、それを操作してfの変化量を測りたいのである。たとえば、各時点における速度から、走行距離を計算できないか、という具合である。
そこで、fの微分係数を定義する。

A(x) = df/dx = lim[⊿x → 0](f(x + ⊿x) - f(x))/ ⊿x

fがなめらかであれば、xの十分小さな近傍では

f(x + ⊿x) と f(x) + A(x)⊿x

はほとんど変わらない。より正確に言えば、

f(x + ⊿x) - f(x) - A(x)⊿x = o(|⊿x|) （⊿x → 0）

つまり、⊿xが0に近づくよりも十分早く、「f(x + ⊿x)」と「f(x) + A(x)⊿x」は近づく。このことを記号で

df = A(x)dx

と書く。

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/17(土) 21:43:06.50

xを固定する。
なめらかな関数fと微小な変化量⊿xを与えるごとに、fの変化量を与える写像を考える。つまり

(f, ⊿x) → f(x + ⊿x) - f(x)

我々は、これの微分積分バージョンを考える。つまり

(f, ⊿x) → A(x)⊿x = df/dx (x) ⊿x

である。これはもはや⊿xによらないので、

f → A(x) = df/dx (x)

を考える。fに対して、A(x)を対応させる写像を接ベクトルという。

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/17(土) 21:46:08.21

微分をとる写像を「接ベクトル」というのは、たとえば曲線のパラメータ表示を微分したものが、各点における接線の方向ベクトルになることの一般化だと思えば、納得できると思う。

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/17(土) 21:56:08.11

ここで

x = g(t)

などと置いてみて、xをtの関数とみなすと

df/dt = dx/dt df/dx = dx/dt A(x)

つまり、接ベクトルはxの変数変換によって、定数倍の違いがある。だから、

d/dx (x): f → A(x) = df/dx

の定数倍を

a d/dx(x)(f) = a df/dx (x) = a A(x)

で定義して、{d/dx (x)}で貼られるベクトル全体を考える。これをxにおける接ベクトルといい、その元を接ベクトルということにする。

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/17(土) 22:19:59.48

接ベクトル空間から接ベクトル空間への線型写像を考えることができる。それはaを実数として

d/dx (x) → a d/dx (x)

という形である。すでに見たようにこの線型写像は、dx/dt = aである変数変換x = g(t)によって得られる。つまり、

a d/dx (x) = d/dt (t)。

もちろん、このようなgは一意ではない。

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/17(土) 22:28:24.12

さて、

df/dx (x) = A(x)

を

df = A(x) dx

と書くのだった。
そして、接ベクトル空間の間の線型写像

d/dx (x) → a d/dx (x)

は、

dx/dt = a

を意味した。つまり、

dx = a dt

である。

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/17(土) 22:51:18.21

接ベクトル空間の線型写像

A: d/dx (x) → a d/dx (x) = d/dt

を考えると、接ベクトル空間の双対空間の写像

f(・) → f(A(・))

が得られる。線型性からこれは

f(・) → a f(・)

である。

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/17(土) 22:57:02.72

d/dx (x)は接ベクトル空間の基底である。その双対基底とdxを対応させることで、{dx}で張られる空間は接ベクトル空間の双対空間と見なせる。

実際

d/dt = a d/dx

なら

dx = a dt

なので、変数変換とも整合している。

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/18(日) 01:05:34.87

dfのI = [a, b]における積分は

∫_[a, b] df = f(b) - f(a)

となる。これは変数変換によらない。

df = A(x)dx

なら、

df/dx = A(x)であり、

∫_[a, b] df = ∫_[a, b] A(x)dx = f(b) - f(a)

である。これが微分積分学の基本定理である。

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/18(日) 01:22:07.61

微分形式の変数変換は、重積分の変数変換に（符号の違いを無視して）一致しているので、こっちだけ覚えておけば計算はできる

だからもう、議論を逆にたどって、重積分を微分形式の計算規則だけを元に定義することも可能だと思う（もちろん積分する領域と関数は制限しないといけないが）んだけど、そういう教科書は無いの？

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/18(日) 01:25:07.52

一変数のときとの一番大きな違いは、実用的な関数に限っても、不連続点の集合が無限になる（たとえば積分領域全体が2次元で、不連続点の集合は曲線など）ことがあるので、
その辺を議論するためには、結局測度を持ち出す必要が出てくるのか

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/18(日) 01:49:41.94

R^(n+1)のベクトル

v_1, ..., v_n

が張る超平行2n面体の体積を表す公式ってある？

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/18(日) 15:34:43.59

>>16
fをR^n全体で連続でサポートがコンパクトなものに限れば、
fのサポートは十分大きな[a_1, b_1] × ... × [a_n, b_n]に含まれるから、

∫_R^n f dx = ∫_[a_n, b_n] ... ∫_[a_1, b_1] f(x_1, ..., x_n) dx_1 ... dx_n。

積分順序も交換可能（Fubiniの定理）

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/18(日) 17:48:03.46

>>18
行列式

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/18(日) 22:07:29.28

>>20
行列式でどう表現するんですか？

n = 1の時点ですでに√出てくるんですけど

**１３２人目の素数さん** · 2021/07/19(月) 12:57:20.83

n = 1 て v_1 だけってことか
ベクトルの絶対値なら√ 使うだろな

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/17(火) 21:20:30.32

>>15
なるほど
これを一般化すると

∫_D dω = ∫_∂D ω　（dωの積分は、境界でのωの積分）

になるのか

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/17(火) 21:26:48.67

ただこれだと完全形式の積分の意味しかわからない

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/17(火) 21:46:19.67

いや

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/17(火) 21:48:11.75

>>24
同じだ同じ
たとえば、

ω = (xdy - ydx)/(x^2 + y^2)

は、原点をわーって含む領域で完全ではないけど、これはθ = arctan(y/x)とおけば、

ω = dθ

と思える
つまり、ωの経路に沿った積分を「原始関数」だとみなせば、完全じゃない微分形式も多価関数の微分だと思える

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/18(水) 01:11:36.61

R → S^1
θ → (x, y) = (cosθ, sinθ)

の変数変換をすると、S^1上ではω = dfとなるfが存在しなかったのが、R上では

∫ dθ = θ1 - θ0

となるわけか

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/18(水) 01:19:09.93

任意のω∈Ω^k(X)に対して、局所微分同相写像

π: E→X

が存在して、π*ωが完全になるか？

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/18(水) 01:31:51.26

まずωが完全ならEとしてX自身と恒等写像を取ればいい

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/18(水) 01:50:20.17

そもそもωに依存しないんじゃないか
局所微分同相写像

π: E → X

でH^i(E) = 0 (i > 0)となるものがあるか？
複素多様体ではどうか？

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/18(水) 08:58:26.66

>>28 >>30
普遍被覆空間

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/18(水) 09:01:32.76

Eにもπにも何の制限もないならE=pt、π=constでいいやん

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/18(水) 09:02:47.34

あ、局所同相ね
失礼しました

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/18(水) 10:29:08.70

>>31
微分構造保つ写像をとれる？

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/18(水) 10:33:21.10

被覆なんやから当たり前やん

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/18(水) 10:35:19.95

あ、ただ局所同相は問題ないけどいつでもホモロジーが消えるわけではないな

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/18(水) 11:32:18.06

そうか
1次は消えるけど、高次は消えるとは限らないか

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/18(水) 21:17:33.14

さらにその被覆をとる

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/27(金) 01:02:33.68

ファインマンの経路積分は
ある種の無限次元多様体上で
微分形式を考える必要がある

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/27(金) 10:29:42.87

>>38
普遍被覆でダメなら永遠にダメ

**１３２人目の素数さん** · 2021/08/27(金) 10:53:51.66

そもそも普遍被覆2回とっても１回目と変わらんからな