これって、RとNによらずに円2つ分？

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/01(火) 14:32:06.55

半径Rの円がN個ある
それぞれの円は別の2つの円と接しており、環状に配置されている

例:
○○○
○　 ○
○○○

接する円同士の中心を線分で結んでできる閉曲線をΓとする
それぞれの円の、

(A) Γの外側の部分の面積の和
(B) Γの内側の部分の面積の和

の差(A) - (B)を求めよ

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/01(火) 14:47:02.35

多角形Γの内角をそれぞれθ_1, ..., θ_Nとすると、

θ_1 + ... + θ_N = π * (N - 2)

である。

(B)
= Σ[n=1, N] πR^2 * θ_n/2π
= R^2/2 (θ_1 + ... + θ_N)
= πR^2 (N - 2) / 2

(A)
= Σ[n=1, N] πR^2 * (1 - θ_n/2π)
= πR^2 N - (B)

(A) - (B)
= πR^2 N - πR^2 (N - 2)
= 2πR^2

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/01(火) 14:55:03.93

どーすんの、このスレ

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/01(火) 15:42:40.40

三次元でやったらどうなるか、とか

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/01(火) 15:58:57.11

凸多面体の頂点に球を配置しても内外の体積差は一定にならないと思う

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/01(火) 16:12:39.15

○エアコン掃除
○扇風機掃除
○換気扇掃除
○通常の洗濯
×冬物の洗濯←明日やる
○ブラックキャップを設置
今日は頑張った

(2π-θ_n)-θ_n = 2*外角_n

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/01(火) 17:18:55.21

>>4
平均値の定理も3次元内の曲線で成り立たないけど
曲線と直線を曲面と平面に変えたら成り立つみたくな
次元に合うような改訂できないかな

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/01(火) 17:25:46.75

凸多面体の頂点だけでなく各辺の中点にも球を配置して
頂点球の内外差と中点球の内外差の差とかどうだろう

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/01(火) 17:29:38.49

一般にn次元凸多面体の各k次元面のk次元立体角の内外差の交代和とか意味ありそう

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/01(火) 22:17:28.06

>>9
k次元面のk次元立体角ではなくk次元面のn次元立体角だな

とりあえず3次元のときは任意の凸多面体でこの交代和がゼロになること示せた

n次元のときは(1+(-1)^n)×(単位n次元立体角)とかになる予感

**１３２人目の素数さん** · 2021/06/05(土) 11:48:04.82

>>10
これ偶数次元と奇数次元で値が変わるのはオイラー標数のせいだな
内外差=単位-2×外だから単位部分の交代和からオイラー標数がオマケで出てしまう
外だけの立体角で交代和とれば次元に依らず単位立体角になる
そしてそれは包除原理から立体角が全天を埋め尽くすことを意味してる