【定理】n=3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。
【証明】x^3+y^3=z^3を、z=x+rとおいてx^3+y^3=(x+r)^3…(1)とする。
(1)をr^2{(y/r)^3-1}=a3{x^2+rx}(1/a)…(2)と変形する。
(2)はa=1、r^2=3のとき、x^3+y^3=(x+√3)^3…(3)となる。
(2)はa=1以外、r^2=a3のとき、x^3+y^3=(x+√(a3))^3…(4)となる。
(3)のx,y,zが無理数で整数比の場合は、s^3+t^3=u^3と同じとなる。(s,t,uは有理数)
(3)はxを有理数とすると、x+√3=uとならないので、s^3+t^3=u^3とならない。
(3)(4)の解の比は同じなので、(4)も、s^3+t^3=u^3とならない。
∴n=3のとき、x^n+y^n=z^nは自然数解を持たない。