確率に自信ニキ来て
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トランプを2山用意します。
山の中身は
①
・1~13+ジョーカーの計14枚
②
・1が6枚
・13が6枚
・7が2枚 の計14枚
①をAさんが②をBさんが山からランダムに1枚めくり、出た数の大きい数字で勝負すると言った単純なゲーム。
尚、①のジョーカーは引いた時点で勝ち確カードとする。
山から1枚引き終わったらそのカードをまた山に戻しシャッフルしてそれを続けていく
と言う流れ。
これをお互い期待値が50%になるようにするにはどうしたらいいですか？
両方同じ中身という答えはなしでお願いします。
片方はマイルド
片方はギャンブル
こういう中身で答えが知りたいです。 Def:
集合Gが群であるとは、二項演算
*: G × G → G
が定義されて、以下の(1)-(3)を満たすことである。
∀a, b, c∈G
(1) (ab)c = a(bc)
(2) ∃e∈G s.t. ∀a∈G, ea = ae = a
(3) ∀a∈G, ∃a^(-1)∈G s.t. aa^(-1) = a^(-1)a = e >>3
(2)のeを"Gの単位元"といい、他の群のものと区別する場合は1_Gなどとも書く。
(3)のa^(-1)を"aの逆元"という。 Prop:
単位元および逆元は一意的である。
Proof:
e'が>>3の(2)をみたすとすると
e' = e'e = e。
a^(-1)'が(3)を満たすとすると、
a^(-1)'
= a^(-1)' e
= a^(-1)' (a a^(-1))
= (a^(-1)' a) a^(-1)
= e a^(-1)
= a^(-1)。□ Def:
G: 群
H⊂Gが、Gの"部分群"であるとは、Gの演算によりH自身が群になること、つまり
(1) a, b∈H ⇒ ab∈H
(2) a∈H ⇒ a^(-1)∈H
となることである。(1), (2)から、e∈H。 Prop:
G: 群
H⊂Gとする。
HがGの部分群であるためには、
a, b∈H ⇒ ab^(-1)∈H
となることが必要十分。 >>7
Proof:
Hが部分群なら、a, b∈H ⇒ ab^(-1)∈Hは明らか。
a, b∈H ⇒ ab^(-1)∈Hとする。
a = bとすれば、e∈H。
∴ a∈H ⇒ a^(-1) = ea^(-1)∈H。
∴ a, b∈H ⇒ ab = a(b^(-1))^(-1)∈H。□ Def:
G, H: 群
写像f: G → Hが"群の準同型"または単に"準同型"であるとは、
∀a, b ∈ G
f(ab) = f(a)f(b)
が成り立つことである。 Prop:
G, H: 群
f: G → Hは準同型とする
f(1_G) = 1_H
f(a^(-1)) = f(a)^(-1) >>10
Proof:
(1) f(1_G) = f(1_G 1_G) = f(1_G)f(1_G)
∴f(1_G) = 1_H。
(2) f(a)f(a^(-1)) = f(a a^(-1)) = f(1_G) = 1_H
∴ f(a^(-1)) = f(a)^(-1)。□ Def:
G, H: 群
f: G → Hは準同型
Ker(f) := f^(-1)({1_H})を"fの核"
Im(f) := f(G)を"fの像"
という。 Prop:
G, H: 群
f: G → Hを準同型とする
Ker(f)はGの部分群, Im(f)はHの部分群である。 >>13
Proof:
(1) a, b∈Ker(f)とする。
f(ab^(-1)) = f(a)f(b)^(-1) = 1_H 1_H = 1_H
∴ ab^(-1)∈Ker(f)。
(2) g, h ∈Im(f)とする。
∃a, b∈G s.t. f(a) = g, f(b) = h
f(ab^(-1)) = gh^(-1) ∈Im(f)。□ Def:
G: 群
H⊂G: 部分群
a∈Gに対し、集合aHを
aH := {ah | h∈H}
で定義する。この形の集合を、"aのHに関する左剰余類"と言う。
同様に
Ha := {ga | h∈H}
を"aのHに関する右剰余類"と言う。 Prop:
G: 群
H⊂G: 部分群
a, b∈Gに対し、関係～を
a～b
:⇔aH = bH
で定める。これは同値関係である。 Prop:
>>16の同値関係～において、aの剰余類はaHである。 >>18
Proof:
aの剰余類を[a]と書く。
g∈[a]とすると、aH = gH。
よって、h∈Hを任意に取ると、gh∈aH。
よって、∃h'∈H s.t. gh = ah'。
h' h^(-1)∈Hだから、g∈aH。
ah∈aHを任意に取り、ahH = aHを示す。
hH⊂Hだから、ahH⊂aH。
ah'∈aHを任意に取ると、ah' = ah(h^(-1)h')∈ahHだから、ahH⊃aH。□ Def:
G: 群
H⊂G: 部分群
Gの元の、Hに関する左剰余類の集合をH＼Gと書く。
Gの元の、Hに関する右剰余類の集合をG/Hと書く。 Def:
G: 群
H⊂G: 部分群とする
g∈Gに対して
g^(-1)Hg := { g^(-1)hg | h∈H }
とおく。Hが正規部分群であるとは、任意のg∈Gに対して、g^(-1)Hg = Hが成り立つことである。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
