数学得意な人ちょっと教えてください

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/08(月) 13:24:22.19

6面体のサイコロをa回振って、それぞれの面がb回出る確率ってどうやって求めるんですか？

例えば、サイコロ100回で6が30回出る確率は？

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/08(月) 13:25:53.75

>>1
単発質問スレ禁止

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/08(月) 14:28:53.85

Def:
U⊂R^n: 開集合
写像f: U → R^mがなめらかであるとは、任意の階数の偏導関数が存在し、それらが全て連続となることである。

すなわち、任意の自然数kと、任意のi_1, ..., i_k∈{1, ..., n}に対して、

∂^k/(∂x_(i_1) ... ∂x_(i_k)) f

がすべて存在して連続になることである。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/08(月) 14:38:32.43

Def:
U, V⊂R^n: 開集合
UとVが微分同相であるとは、なめらかな全単射f: U → Vが存在して、逆写像f^(-1): V → Uもなめらかになることである。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/08(月) 14:42:05.61

Remark:
写像なめらかであることは、局所的な性質である。すなわち

f: U → R^mがなめらか
⇔ 任意の点x∈Uに対して、xの近傍V_x⊂Uが存在して、f|_V_x: V → R^mがなめらか。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/08(月) 15:10:45.43

>>4
Def:
なめらかな全単射で逆写像もなめらかである写像を微分同相写像と呼ぶ。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/08(月) 15:11:25.00

Def:
Xを第二可算Hausdorff空間とする。

Xがn次元可微分多様体であるとは、以下の条件を満たすことである。

(1) Xの開被覆{U_i}が存在して
(2) 各U_iに対し、n次元Euclid空間の開集合V_iと、同相写像φ_i: U_i → V_iが存在して
(3) 各i, jに対して、φ_j○φ_i^(-1)|_(U_i ∩ U_j)が微分同相写像。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/08(月) 15:55:16.12

Ex:

S^1 = { (x, y) ∈ R^2 | x^2 + y^2 = 1 }

とする。S^1は1次元可微分多様体である。

∵
U_1 = S^1＼{(0, 1)}, U_2 = S^1＼{(0, -1)}とすると、{U_1, U_2}はS^1の開被覆である。

φ_1: U_1 → Rをφ_1(x, y) = x/(1 - y)
φ_2: U_2 → Rをφ_2(x, y) = x/(1 + y)

で定めればよい。

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/08(月) 17:28:12.47

>>8の逆写像

on U_1:

(x, y) → x/(1 - y)
t → (2t/(1 + t^2), (t^2 - 1)/(t^2 + 1))

on U_2:

(x, y) → x/(1 + y)
t → (2t/(1 + t^2), (1 - t^2)/(1 + t^2))

on U_1 ∩ U_2:
t → 1/t（t≠0）

**１３２人目の素数さん** · 2021/03/08(月) 20:48:11.74

>>1
高校の数学A、独立事象の反復試行の確率の公式
100C30 × (1/6)^30 ×(5/6)^70
＝約0.038％

aCb × (1/6)^b ×(5/6)^(a-b)

ってわけで、お礼にちんちんの先っぽレロレロさせろ