面白い問題おしえて〜な 35問目
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過去スレ
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34 //rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1608679703/
(前スレ) >>103
一般に、等差整数列の逆数の有限和
Σ[j=1,n] 1/(a+jd) (a>1, d>0)
は整数にならない。
数セミ増刊「数学の問題」第(1)集, 日本評論社 (1977)
●87 あ、むりか
ちょっと考えればすぐにわかることだった p(k)=Σ[1≦i≦n](x_i)^kとおく
p(k)=1 (1≦k≦n-2), p(n-1)=2, p(n)=n のとき
p(k)(k>n)の値も自動的に決定する
p(k)が整数値になるk>nが存在することを示せ 解と係数の関係から
x^n-x^(n-1)+ax+b=0 (x=x_1,x_2,…,x_n)
となるa,bの存在を利用する感じなのかな
どっちも有理数ということはわかるけど… >132
a = (-1)^n/(n-1)
b = (-1)^(n-1)(n^2-3n+1)/(n(n-1))
かな
なのでp(k) (n+1≦k≦2n-1)で分母に来れるのはn(n-1)の約数だけでしかも(n+1≦k≦2n-3)まではnの約数しか来れないところまでは簡単
頑張らないといけないのはk=2n-2とk=2n-1のときだな 違う
> a = (-1)^(n-1)/(n-1)
> b = (-1)^(n-1)(n^2-3n+1)/(n(n-1))
だ
n=4→p(k) = p(k-1)+1/3p(k-3)+5/12p(k-4)
n=5→p(k) = p(k-1)-1/4p(k-4)-11/20p(k-5)
n=4→p(k) = p(k-1)+1/5p(k-5)+19/30p(k-6)
‥ >>134
まだ違う
a = 1/(n-1)
b = (n^2-3n+1)/(n(n-1))
だ
n=4→p(k) = p(k-1)+1/3p(k-3)+5/12p(k-4)
n=5→p(k) = p(k-1)+1/4p(k-4)+11/20p(k-5)
n=6→p(k) = p(k-1)+1/5p(k-5)+19/30p(k-6)
...
か
なのでpn〜p(2n-3)までは公差(n-1)/nの等差数列でp(2n-3)=(2n^2-4n+3)/n
∴ p(2n-2)
=p(2n-3)+1/(n-1)p(n-1)+(n^2-3n+1)/(n(n-1))p(n-2)
=(2(n-1)^3+n^2)/(n(n-1))
p(2n-1)
=p(2n-2)+1/(n-1)p(n)+(n^2-3n+1)/(n(n-1))p(n-1)
=2n 正方形をいくつかの三角形に分割する
全ての辺の長さが整数になるとき、正方形の大きさが最も小さいものを答えよ よく簡単に見つけられるなあ。すばらしい。
それはさておき、そうすると 12x12 も満たすのでそれ以下ということになるな。 根と係数の関係から
x^n - q(1)x^{n-1} + q(2)x^{n-2} - ････ + (-1)^{n-1} q(n-1) + (-1)^n q(n) = 0,
ここに q(j) は {x_1, x_2, …, x_n} のj次の基本対称式。
p(1) = q(1) = 1,
p(2) = q(1)^2 - 2q(2),
p(3) = q(1)^3 - 3q(1)q(2) + 3q(3),
p(4) = q(1)^4 - 4q(1)^2･q(2) + 2q(2)^2 + 4q(1)q(3) - 4q(4),
…
漸化式
p(k) = Σ[j=1,k] (-1)^{j-1} p{k-j} q(j), 漸化式
p(k) = Σ[j=1,k] (-1)^{j-1} p{k-j} q(j),
= p(k-1) - a･p(k+1-n) - b･p(k-n),
= p(k-1) + (1/(n-1))p(k+1-n) + ((nn-3n+1)/n(n-1))p(k-n),
ここに
a = - 1/(n-1),
b = - (nn-3n+1)/(n(n-1)),
なお、基本対称式は
q(0) = n,
q(1) = 1,
q(2), … q(n-2) = 0,
q(n-1) = (-1)^n /(n-1),
q(n) = (-1)^{n-1} (nn-3n+1)/(n(n-1)), 正数解 α ≒ 1 + (1/(n-2))W(n-1),
負数解 β ≒ - 1 + log(2)/(n-1), (n：偶数)
他は虚数解… β ≒ - 1 + log(2)/n + {3 + (1/2)log(2)(1-log(2))}/nn
= - 1 + 0.6931472/n + 3.1063471/nn f:R→Rがf(f(x))=e^xを満たすとする(fは一意に決まらない)
f(1)の値として取りうる範囲を求めよ 前>>75
>>136
3:4:5の直角三角形を2枚ずつてれこで貼りあわせた長方形を、
縦横3枚4枚並べると、
一辺12の正方形ができる。
三角形の数をできるだけ少なくするには、
3:4:5を2つ
5:5:6を3つ
6:8:10を2つ
10:10:12を1つ
の8分割にするといい。 >>136
まずn×nを分割した三角形の面積をSiとでもすると
n^2=ΣSi
かつヘロンの公式からSi^2は有理数
よって両辺のトレースを計算することによりSiは全て有理数とわかる
ここで3辺がa,b,cの時面積は
1/4√(-a^4-b^4-c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2)
であるが、a,b,cのうち奇数が3個、又は1個の時ルートの中がmod 4で3に合同となり平方数になり得ないので不可能
よって組み合わせとして許されるのは全部偶数か奇数2個のみ
奇数2個の場合ルートの中は32の倍数で面積は偶数、全部偶数の時はa/2,b/2,c/2に議論を還元してやはり面積は偶数とわかる
同様に考えて3の倍数である事もわかり面積は6の倍数である
よってnも6の倍数とわかる
6×6が不可能で12×12が可能であるのも容易にわかるから、求める分割可能な最小の正方形は12x12 >>147
g(x)=e^xとおくとする
f^(2)=gとなるfを以下”gの平方根”と呼ぶとする
任意の実数が0以下の実数rと非負整数nを用いてg^(n)(r)と一意に表される事に注意する
0以下の実数rに対しGr = { g^n(r) }とおくとする
よってgの平方根fは0以下の実数のペアリング
(-∞,0] = ∪ { ri,si }
を用いて
f(g^(n)(ri) = g^(n)(si)
f(g^(n)(si) = g^(n+1)(ri)
を満たすものに限られる
特に1はG0に属し、1=g(0)であるからf(1)として得られる実数は負の実数rを用いてg(r)かもしくはg^(2)(r)と表されるものである
以上によりf(1)の取りうる値の範囲は
(1,e) ∪ (e,e^2)
である 某スレより
問：999999999999以下で最も多くの種類のピタゴラス三角形の底辺となりうる数は何か？
解説：ピタゴラス三角形とはご存じの通り、辺長がいずれも正整数の直角三角形のことであるが、
例えば 24 は (24,7,25),(24,10,26),(24,32,40),(24,70,74),(24,143,145) の5種類のピタゴラス三角形の底辺となりうる。
(ここで「底辺」は斜辺でない辺のいずれかを指す)
24未満の正整数で5種類以上のピタゴラス三角形の底辺となりうる数はないので、
「24以下で最も多くの種類のピタゴラス三角形の底辺となりうる数は何か？」の解は24である。
上の問いは、同様のことを1兆未満の正整数で求めよというもの。
計算機で総当たりするより理詰めで解く方が向いていると思ったのでこちらのスレに移動してみる。 ようは2mnか(m+n)(m-n)の形で最も多く書ける数を調べればいいわけだ
単純に約数の個数が最大のものとはならないんだろうか 多分だけど1兆の2つ手前の高度合成数に2の累乗をかけて1兆に近づけたやつが答えなんじゃないだろうか 単純に約数の種類が多ければいいってもんじゃないかもしれないけど、高度合成数に考え方は似てるよね
思いきって、１兆以下の１兆に一番近い高度合成数が最大だと予想しておく >>150
解き方としては大正解です
最後がもったいないミス こんなの解ける人間には簡単
整数論のイロハのイ
ガウス環の素因数分解だよ >>136
コレもしかして6n×6nで分割可能なのはnが偶数の時に限られたりしない？
反例ある？ 長方形で分割するなら必ず偶数になるね
それ以外の複雑な分け方ってあるんだろうか 例えば60×60で36-48-60の直角三角形を60の辺を正方形の辺に合わせておけば中に斜めってる12×12が残ってそれを埋めるとかで長方形を分けていくのとは違うのができる
どのみち「長方形に分ける方法ではできないからどうやっても無理」は通らないし 分割数最小は
12×12で
(0,0)から(12,9)
(8,6)から(0,12)
(8,6)から(8,12)
(8,12)から(12,9)
に線分を引いた5分割でいいのかな 最小の方は最小性の証明ができん
３分割不可能の証明すら思いつかない ちなみに３分割不可能の証明は多分不定方程式
2xy=2zw=x^2-y^2+z^2-w^2
が整数解を持たない事とかになると思うんだけど、でどうしたものか >>164
変数4つは多すぎる
3分割なら正方形の1辺を1:nにわけるとかでできないか >>165
「存在するなら1:nの形」が言えるならもちろん終わり
(n+1)^2+1^2が平方数になるnは存在しない
変数の数増やすだけなら
楕円曲線
((s^2+2s-1)/(2s))^2+1 = t^2
が0<s<1である有理点を持たない事を示す
でもいい
しかしできるんかねぇ？
コンピュータに調べさせたら4桁/4桁くらいまでは解なし
オレは出題者も答え持ってないと踏んでる >>151
底辺 N のとき、ピタゴラス三角形の種類の数を P(N) とする
N の素因数分解表示を N = 2^e Π p_k^e_k (p_k は奇素数) とすると、P(N) = |2e - 1| (Π(2(e_k) + 1)) - 1) / 2
N = 931635825120 = 2^5 × 3^3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29 のとき、
P(N) = ((9 × 7 × 3^8) - 1) / 2 = 206671 >>168
N=24=2^3･3^1のとき、
P(N)=((2･3-1)(2･1+1)-1)/2=7
151の設問と合ってないような >>170
P(24)=7で正しい
151の例示に抜けがある 上で出てきた高度合成数（＝A002182）は、約数の個数の記録を更新する正整数のこと
1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 7560, ...
同じようにP(N)の記録を更新する数を列挙すると、高度合成数と重なる部分もあるが微妙に異なっている
3, 8, 12, 24, 48, 60, 120, 240, 360, 420, 720, 840, 1680, 2520, 3360, 5040, 9240, ...
法則をどう見つけたら良いだろうか もちろん単純に約数の個数とピッタリ一致するはずもないからねぇ？
いつものごとく思考0で解くんでしょ？
ひたすら法則見つかるまで計算機で計算し続けたらええやん？ 素因数分解の問題になるから大雑把な法則はあるかもしれないが次の数を予測するようなものはなさそう
P(N)との重なりを調べるよりもP(N)×1/2でとの重なりを調べた方がいい気がする >>174
いくら計算しても計算機は答えしかくれないからね
法則は人間が見つける必要があるよ 高度合成数は、約数の数が評価関数になっている。
これに対して、P(N)は、
Nが偶数の時は (N/2)^2の約数の数
Nが奇数の時は N^2の約数の数
が、評価関数になっている。(正確には、(約数の数-1)/2)
似た傾向を持つことも、完全には一致しないことも納得できると思うが。 評価関数はP(N)そのものではないの？
約数関数をd(N)として、P(N)とd(N/2)を比べても増減の傾向が厳密には一致していないから、記録更新の箇所が異なるんでしょ >>175
P(N)の記録を1/2にしたものと比較（×は不一致）
×1, ×2, 4, 6, 12, 24, ×36, ×48, 60, 120, 180, ×240, 360, ×720, 840, 1260, 1680, 2520, ×5040, 7560, ...
×3/2, 4, 6, 12, 24, ×30, 60, 120, 180, ×210, 360, ×420, 840, 1260, 1680, 2520, ×4620, 7560, ...
公比2の等比数列となっている部分を抜き出して並べ替え
(1, 2, 4), ( , 6, 12, 24, 48), 36, ( , 60, 120, 240), (180, 360, 720), ( , , 840, 1680), (1260, 2520, 5040), , (7560, 15120), ...
( , , 4), (3/2, , 6, 12, 24, ), , (30, 60, 120, ), (180, 360, ), (210, 420, 840, 1680), (1260, 2520, ), 4620, (7560, ), ... >>179
一般に約数関数といえば、約数の和を指すので、
ここでのd(N)は、Nの正の約数の個数を表す関数ということで、いいですよね。
高度合成数の数列は、当然、d(n)が評価関数になっています。
>>173の下の数列を、高度ピタゴラス数の数列と呼ぶこととすると、高度ピタゴラス数は
d(N^2/4) または、d(N^2) が評価関数となります。(前者か後者かは、Nの偶奇によります)
d(N/2)は、この議論に関係ありますか？ 関係あるのはd((N/2)^2)のはずですが。 >>181
失礼しました。175の話題とごっちゃにしていて ^2 を見落としてました。
評価関数がP(N)そのもの、という点に誤りはないと思っています。
ただ、偶数のNに限れば 2P(N)+1 に等しい d((N/2)^2)の増減傾向は P(N)と変わりありませんので、d((N/2)^2)を評価関数とすることに異論はありません。 n = 2^a1 * 3^a2 * 5^a3 * ... * pn^an
と素因数分解できるとき、高度合成数の評価関数は
(a1+1)*(a2+1)*(a3+1)* ... * (an+1)
であり、高度ピタゴラス数の評価関数は
|2*a1-1|*(2*a2+1)*(2*a3+1)* ... * (2*an+1)
となります。
これを踏まえれば、「似た傾向を持つことも、完全には一致しないことも納得できると思うが。」
という意見を>>178では書きました。 そうか、二乗か・・・。と思ってリストに当てはめようとしましたが
そもそもどちらのリストにも殆ど平方数は含まれていないので、
2倍とかと同じように調整して重なる部分を単純に比較する、ということはできないですね。 >>180
NとP(N)を両対数軸でプロットしたところ
青い線は公比2
http://imgur.com/G1mroq0.png
P(N)を増やすにはNを2倍するのが最も効率が良いかと思われるけど指数 e が増えると効果が低くなる
そのような場合は奇素数の指数 ek を増やして補うと良い >>187
Nを偶数に限って考えてみる。N=2nとして、評価関数にP(N)の代わりにD(n)=d(n^2)を採用する(dは約数関数)。
nに素数pで乗じたときのD(pn)は、nの素因数分解のpにおける指数をeとして、
D(pn)/(2(e+1)+1)=D(n)/(2e+1), よって、D(pn)=(1+2/(2e+1))D(n)
横軸をnと縦軸をD(n)で取った両対数軸のグラフにD(n)とD(pn)をプロットすると、
線分(log n, log D(n))-(log pn, log D(pn))の傾きが
((log D(pn))-(log D(n)))/((log pn)-(log n))=(log (1+2/(2e+1)))/log p となる
n<499999999999の範囲でD(n)が最も大きくなるnを見つけるためには、
この範囲で、グラフ上で線分の傾きが最も大きくなる素数を選んで掛け合わせていくと良い
まず、n=1 から始める。nの素因子の指数はすべて0なので、1→pの傾きはpが最も小さいときに最も大きい。よって次のnは2*1=2
n=2 について、2→4, 2→6 の傾きはそれぞれ log(5/3)/log(2), log(3)/log(3) であり、2→6 の傾きが大きいので次のnは6
同様にして、評価関数グラフの傾きが大きい素因子を選択すると以下のようになり、
1→2→6→12→60→420→840→2520→27720→360360→6126120→116396280→232792560→5354228880→155272637520→465817912560
N=2n=931635825120=2^5*3^3*5*7*11*13*17*19*23*29 のときD(n)は最大値D(n)=d(n^2)=9*7*3^8=413343をとる
このとき、P(N)も最大でP(N)=(d(n^2)-1)/2=206671
なお、Nが奇数の場合も評価関数をd(N^2)とすることで同様に考えることができ、
N=902522205585=3^3*5*7*11*13*17*19*23*29*31のときP(N)=(7*3^9-1)/2=68890 ダメやろ
使える素数の数がひとつ増えた時、値が最大になる解が前の最大解にひとつ素数を追加したものであるのは決して自明ではない
それで答えが合うにしても「答えあってるからいい」ならプロおじレベル
それでいいならいいが 実際に「高度(非斜辺)ピタゴラス数」を計算させてみた。偶数限定なので、3を加えると、順番は一つずつズレる。
68:{53542288800, 82012},69:{64250746560, 84199},70:{80313433200, 89302},71:{107084577600, 100237}
72:{155272637520, 114817},73:{214169155200, 118462},74:{310545275040, 147622},75:{465817912560, 160744}
76:{621090550080, 180427},77:{776363187600, 191362},78:{931635825120, 206671},79:{1242181100160, 213232}
80:{1552726375200, 246037},81:{1863271650240, 252598},82:{2329089562800, 267907},83:{3105452750400, 300712}
84:{4658179125600, 344452},85:{6210905500800, 355387},86:{9316358251200, 420997},87:{9626903526240, 442867}
88:{14440355289360, 482233},89:{18632716502400, 497542},90:{19253807052480, 541282},91:{24067258815600, 574087} >>192
御託だけは一丁前だな
期待値も分からないくせに まぁ考えてみるのは勝手だから挑戦してみればいい
要するに問題は
束縛条件
Σei log(pi) ≦ logN
における
S=Σlog(2ei+1)
の最大値を求める問題
束縛条件を満たす領域は条件が線形だから超三角形というか、超四面体というかそんな感じの領域
Nを少しずつ増やしていったときSを最大にする点PNについて次のP(N+1)はPNに隣接しているのかという問題
もちろんSがどんな凸関数取ってきても成立するわけではない
今回問題になってるSだとなんかの特殊事情で成立してるかもしれない
成立してると思うなら挑戦してみるのはいい事ではある
しかし証明できるまではただの妄想に過ぎない
問題の性格上68位でやってみた結果なんかひとつもあてにならんしな 押すと(1/2)^nの確率でn億円貰えるけど
一度押したら当たるまでその部屋から出られなくなるボタン
nは押すたびに1→2→3……って1ずつ増えてく
押す？ 前>>148
>>162
いい。
12×12内に最大の9:12:15をとり、
逆側から3:4:5
その谷間に5:5:6
残る台形を6:8:10
と10:10:12に分ける。
たしかに5分割。 >>199
語るに落ちてるじゃないか。底無しのバカとお見受けする。
そんなお前は出禁だぞ。 期待値有限で出られない可能性あるならやる価値はないな 1/2 < 1 - 1/2 < e^(-1/2),
(1/2)^{1/2} < 1 - 1/4 < e^(-1/4),
(1/2)^{1/4} < 1 - 1/8 < e^(-1/8),
…
(1/2)^{1/2^(k-1)} < 1 - 1/(2^k) < e^(-1/(2^k)),
…
辺々掛けて
1/4 < P < 1/e,
0.25 < P < 0.36788 カタルニア落ちた
カタルニアにしてもスコットランドにしても…
還付金とか、取るに足らんイザコザをあげつらって「独立運動」と言ってるが
本気で独立する気なら、だれを首相にするのか？
今の首相よりいいのか？ >>195
無限ループ回避のため、ボタンを押す回数の上限を1000回に設定してシミュレーションプログラム1万試行してみたら
獲得賞金の期待値
> mean(y)
[1] 1.0947
1000回までに賞金が獲得できない（＝部屋から出られない）確率は
> mean(y==0)
[1] 0.2828
オマケ（Rのコード）
sim <- function(MAX=1e3){
n=0
win=FALSE
while(!win & n < MAX){
n=n+1
win=rbinom(1,1,(1/2)^n)
}
return(ifelse(n==MAX,0,n))
}
y=replicate(1e4,sim())
hist(y,breaks='scott',ann=F, axes=F) ; axis(1)
mean(y)
mean(y==0) >195を改題
押すと(1/2)^nの確率で2^n億円貰えるけど
一度押したら当たるまでその部屋から出られなくなるボタン
nは押すたびに1→2→3……って1ずつ増えてく
押す？ >>195
５回以内くらいに当たらないと部屋から出られる確率がぐんと減るんだな。
https://i.imgur.com/Mbb4Xsf.png １０億円以上の賞金を獲得して部屋から出られる確率を計算させてみると
0.0005647745 >>172
24のときの正しい例示は
> Pithago(24)
[[1]]
[,1] [,2] [,3]
[1,] 7 24 25
[2,] 10 24 26
[3,] 18 24 30
[4,] 24 32 40
[5,] 24 45 51
[6,] 24 70 74
[7,] 24 143 145
[[2]]
[,1] [,2] [,3]
[1,] 7 24 25
[2,] 24 143 145
[[2]]の方は原始ピタゴラス数の組み合わせ。 サイコロを6の目が6回連続で出るまで振り続ける時、サイコロを振る回数の期待値はいくつ？ >>216
1回連続から15回連続までの試行回数の期待値
> E(1/6,1:15)
[1] 6 42 258 1554 9330 55986
[7] 335922 2015538 12093234 72559410 435356484 2612139164
[13] 15672839570 94037367119 564224202719 >>219
どんな形状の分布になるのか興味が湧いたので数を減らしてシミュレーション
https://i.imgur.com/TitE0sw.png xyz空間において、x軸からの距離が1以内かつ、y軸からの距離が1以内である領域の体積を求めよ。 >>221
原点を中心とする単位球と対象の領域を平面z=aで切断した断面積の比は常にπ:4だから
(4*π/3)*(4/π)=16/3 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
