大学学部レベル質問スレ 15単位目
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だからスピン群を経由しない方法でも示せるはずだけど、和を包除原理や対称反対称分解使って計算するだけだと上手く示せない… すごくモヤモヤする >>98 > そういうSはいつでも取れる 空間回転とLorentzブーストに関しては無限小変換の生成子を構成する。空間反転に関しては S=γ₄ が条件を満たす事を確認する。 物理の教科書的にはそういう流れになります。本を読み返したらDirac行列の表現によらない記述になってました。 a の中には物理的に無意味なのもありますが、虚数の空間回転とか加えれば たぶん網羅するのでしょう。 そういう意味では >>82 は「代数関係のみを使って示せる」と言えるのかも。 > 直交群の被覆であるスピン群 実験物理出身の自分には高度過ぎるようです。 >>100 ローレンツ計量の場合の証明はちゃんと読んだことないけど、O(3,1)の場合もPin(3,1)からの全射があったはず O(4)のの場合、回転は必ずいくつかの鏡映の積で書けるから、その鏡映を表現するPin(4)の元の積をSとすればそれでok (ただ詳しくみると正確にはS^(-1)vSはvの鏡映の-1倍になってしまうので、問題の式もS^(-1)γiS=det(a)Σaijγjということになる しかし定数倍det(a)は>>95 の計算に影響ないので同じ結果を得る) 開区間の重積分って閉空間と同じように計算していいの? そもそも一般のaijでは言えないの当たり前じゃないの? a1=a2=a3=a4=(1,0,0,0)のとき左辺はγ1γ1γ1γ1=Iだけど右辺0やん あんま美しくないけど気合いで示せたわ どこかが重複する和のタイプは包除原理より (2,1,1)-(2,2)-2(3,1)+6(4) これを具体的に書くと ((abxx)+(xxcd)+(axxd)+(xbcx)+(xbxd)+(axcx)) -((xxyy)+(xyyx)+(xyxy)) -2((axxx)+(xbxx)+(xxcx)+(xxxd)) +6(xxxx) 交換関係を使って得られる関係式 (xbcx)= -(xbxc)+2(xbxx)=(xxbc)-2(xxxc)+2(xbxx) (xbxd)= -(xxbd)+2(xxxd) (axcx)= -(axxc)+2(axxx) (xyxy)= -(xxyy)+2(xxxx) (xxcx)= -(xxxc)+2(xxxx) を上に代入すると ((abxx)+(xxcd)+(axxd)+(xxbc)-(xxbd)-(axxc)) -((xxyy)+(xyyx)-(xxyy)) これはペアで和を取っている部分があるものばかりなので直交性によりゼロ どういう仕組みでこうなってるのか解明しないと一般次元で示せないけど… 多分、形的に一般の次元ではWickの定理のように 1ペア縮約、2ペア縮約、3ペア縮約…の形が1項ずつ出てきて 縮約の形の交差や次数で符号がつくと思われる >>105 記号の説明 例えば (axcx)= -(axxc)+2(axxx) という式は Σ[i,k,x(=j,l)]a(1,i)a(2,x)a(3,k)a(4,x)γiγxγkγx = Σ[i,k,x(=j,l)]a(1,i)a(2,x)a(3,k)a(4,x)γiγx(-γxγk+2δkx) = -Σ[i,k,x(=j,l)]a(1,i)a(2,x)a(4,x)a(3,k)γi(γxγx)γk + 2Σ[i,x(=j,k,l)]a(1,i)a(2,x)a(3,x)a(4,x)γiγxγxγx に対応している つまりだ、直交行列は忘れてγ行列の恒等式 γaγbγcγd =ε(abcd)γ1γ2γ3γ4+δ(ab)γcγd+δ(cd)γaγb +δ(bc)γaγd+δ(ad)γbγc-δ(ac)γbγd-δ(bd)γaγc -δ(ab)δ(cd)-δ(ad)δ(bc)+δ(ac)δ(bd) を示せばいいわけだ… 4^4=256パターンの確かめは大変そうだけど重複のタイプ別に調べれば意外と簡単か 九後をカンニングしたら帰納的にも示せるっぽい 交換関係から γaγb=1/2!(γaγb-γbγa)+δ(ab) さらに反対称積を γ(a(1),a(2),…,a(n))=1/n!Σsgn(σ)γa(σ1)γa(σ2)…γa(σn) と定義すると一般に帰納的な関係式 γbγ(a(1),a(2),…,a(n))=γ(b,a(1),a(2),…,a(n)) +Σ[i=1,n](-1)^(i-1)δ(b,a(i))γ(a(1),a(2),…a(i-1),a(i+1),…,a(n)) が言えて、これらを使って順次計算できる γcγd=γ(c,d)+δ(cd) γbγcγd=γbγ(c,d)+γbδ(cd) =γ(b,c,d)+δ(bc)γd-δ(bd)γc+γbδ(cd) γaγbγcγd=γaγ(b,c,d)+γaδ(bc)γd-γaδ(bd)γc+γaγbδ(cd) =γ(a,b,c,d)+δ(ab)γ(c,d)-δ(ac)γ(b,d)+δ(ad)γ(b,c) +γaδ(bc)γd-γaδ(bd)γc+γaγbδ(cd) =γ(a,b,c,d)+δ(ab)γcγd-δ(ac)γbγd+δ(ad)γbγc +δ(bc)γaγd-δ(bd)γaγc+δ(cd)γaγb -δ(ab)δ(cd)-δ(ad)δ(bc)+δ(ac)δ(bd) 最後にγ(a,b,c,d)=ε(abcd)γ1γ2γ3γ4に注意すれば>>108 を得る わかった a11 = a22 = cosθ、a21 = - a12 = sinθ、a33 = a44 = 0、 aij = 0 ( otherwise ) のとき δi = Σj aij γj で定めるときδiもγiと同じ交換関係を満たす universarityからこの場合にはSがとれる a12 = a21= = a33 = a44 = 1、 aij = 0 ( otherwise ) のときも同様 結局aijが直交行列の時は上の2タイプの積でかけるのだからいつでもSがとれる 以下>>95 そうか、さらにわかった QVをベクトル空間の2次形式Qのなす圏、Algを代数のなす圏とするときクリフォード代数を対応させる対応は自然変換でQVの射A:(V,Q)→(W,R)は必ずクリフォード代数の射S:C(V,Q)→C(W,R)にliftするんだ しかもuniversalityからAが同型ならSも自動的に同型になる ×自然変換 ◯関手 orz わかっちゃえば簡単だな 本を前に1時間考え込んで「なるほど…自明だ…」 数学あるある x^4+y^4-2x^2の極値を求めたいんですがDが0になってしまって困ってます。y=0とかで固定して考えようと思ったりしたんですがよくわかりません。 単に無作為抽出って言った場合は復元抽出(同じ標本が何度も選ばれうる)をさすと考えていいですか? >>113-114 いや、だからS経由は簡単なんだけど それを経由させずに示せるかが気になったんよ>>99 S使えば自明なのに使わないと和の打ち消しが非自明なのが面白いと思った x^4+y^4-2x^2 = (x^2 -1)^2+y^4 -1 は x^2 =1, y = 0 の時に最小値 母集団が大きいときはどちらで計算しても統計的な量はほとんど変わらないから計算が圧倒的に楽な復元抽出を暗黙に仮定することが多いようだね >>121 ありがとうございます 大変納得いたしました 一次分数変換の分類の話で双曲的/放物的/楕円的という分類が出てきますが これらの定義をなぜ双曲とか放物とか楕円という名前で呼ぶのかがピンと来ません 双曲線などとどう関係があるのでしょうか 楕円、放物、双曲の三分類は数学の色んなところに出てきて慣れてきたら円錐曲線との関係なんか気にしなくなる >>124 気にしない方がいいんですか そうしときますありがとう 力学系と保型関数論で2次正方正則行列が双曲的放物的楕円的に分類されるがだいたい一致する >>123 変換を運動と見て回転か発散かを対応させてるのさ どんな証明にも証明の長さが最小の証明って存在するわけだが、それが一体どんなものかって気になるよなw >>126 力学系ってのは楕円型微分方程式とかそういうやつですか 双曲型のWiki眺めてみたけど確かに似てますね >>127 楕円的は回転になってるので確かにぽいですが 放物的と双曲的がどっちも発散してる感じで 出るとこと入るとこが同じか違うかをなぜ放物と双曲と言うのかと悩んでました 同じとこか違うとこかはまぁまぁ大きな差とも言える気はするな >>131 https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/ ~ito/notes_functional_analysis_20180511.pdf (1)は84〜85ページを少し変えればよい B(X)が作用素ノルムに関して完備となるのは71ページ (2)が(1)から導けないようではお先真っ暗 >>133 なるほど! そう考えると確かに納得できる 放物は楕円に近い運動してますね ありがとう 二次以下の実数多項式全体のなすベクトル空間をP(2;R)における線形変換T(f)= ∫[-1.1]2f(t)×(x-t)^2dtとして基底[1.x.x^2]に関する表現行列を求める問題なんだけどやり方わかる人いる? 定積分をそれぞれa,b,cとおいてもうまくいかない😭 ∫[-1.1]2f(t)×(x-t)^2dtじゃなくて∫[-1.1]f(t)×(x-t)^2dt >>135 すげー分かりやすかった! ありがとうございました! (2)は等比数列の和の公式使えばいい感じですよね? やってみます https://i.imgur.com/nmatJGV.png どなたかお願いします wikiの有界作用素の記事にも載っていたのですが、証明が書かれていませんでした... (i)はできそうなので大丈夫です (ii)のコンパクトの方だけお願いいたします 複素数の間の共形的かつ全単射で滑らかな写像φ:C→Cは1次変換か1次変換の複素共役である という定理の証明がわかりません 本ではその少し前に ψ:D→C,(D⊂C:開集合)が共形的でヤコビ行列がいたるところ可逆ならψかその複素共役が 正則関数になるという結果があり、これとリウビルの定理なりピカールの定理なりを使えば示せると書いてありました 上の命題を使うとφかその共役がCの間の全単射な正則関数であることは言えますが、そこから先がわかりません (本は深谷「双曲幾何」のp.65です) 全単射で正則だとリーマン球の回転と伸び縮みだけだな >>146 コレが示せたらいいのでは fがRiemann球の自己全単射で正則なら一次変換 ∵ 一次変換は三重可積遷だからf(0)=0, f(1)=1, f(∞)=∞として良い f(z)=z^n g(z)、g(z)は正則、g(0)≠0、とおける f(z)は一対一だったから原点以外に零点を持たない よってg(z)は零点を持たない ∴ g(z)は定数(∵リュービルの定理) ∴ f(z)=cz^n さらに再び一対一性よりc≠0, n=1□ >>148 なるほどこう言えばよかったんですね ありがとうございます ∫∫[0,∞)×[0,∞) 1/(1+x^2+y^2)^2dxdyってπ/4であってます? 統計学の独学でもわかりやすい参考書とかってありますか? ちなみに国立文系で数三はノータッチです。 ちょっと躓いた A,B整列集合、 A⊆B、A≠Bとする m=min(B-A)とおく。 この時、A=B<m> (切片の意味) だが、A⊆B<m>の証明に躓いた 以下Bを全集合としてBに含まれる事は一々述べない m≦x,x∈Aとすればm∈Aとなりm∈B-Aに矛盾 ∴x∈A→x<m x<m, ¬x∈Aとすればx∈B-A,x<mとなるがm=min(B-A)に矛盾 ∴x<m→x∈A >>153 mがAに入ってなくて最小なんだからほぼ自明でしょ 証明は背理法で >>154 ,155 自己解決しました。 ちなみに、A⊆B<m>は無条件では無理ですね >>158 A={0,2}, B=N なら min B-A = 1 {0,2} ⊆ N<1> ではない 遺伝的有限集合全体をHFとして 関係R⊆HF^nが兩1であるとき、 兩0集合S⊆HF^n+1が a∈R⇔∃x∈HF((a,x)∈S) となるようにとれる キューネンの基礎論p292です さらっと書いてあるんで自明なんでしょうけど、わかりません どなたか証明をつけていただけないでしょうか よろしくお願いします ここまで知らん単語だらけやとその本持ってないと手も足も出ない >>161 原本をみたら、それらしき箇所に、(see Lemma II.17.28)とあるのだが、訳書の方には書いてないの? あ、自分のノートばっかり見てました。 訳書にもありますね。 なんてミスを。すみません。 補題2.17.28から導出するのは論理式の相対化を使うんでしょうか 双曲幾何の上半平面モデル(もしくは円盤モデル)と双曲面モデルとでは角度は等しいのでしょうか もし異なれば余弦定理などの角度の入っている公式がモデル毎に異なることになると思うのですが >>166 リーマン幾何やってないので計量が違うという意味がよく分からないのですが 上半平面モデルと円盤モデルは共形ですがこれらの計量は同じなのですか? >>167 通常、角度というものは、計量から定めるものである。 リーマン幾何やってないのに、角度だのなんだの言っているのがよくわからん。 >>168 >>169 実質的には計量を考えていることになるのだと思いますが計量という言葉をあまり出さずに書いてる本を読んでいます (深谷「双曲幾何」) リーマン幾何ちゃんとやってないと理解が難しいようならそれまで棚上げにしときますが 結論としては余弦定理などの角度が出てくる公式はモデル毎に異なるという事でいいんでしょうか >>171 たとえば余弦定理の公式 cos∠γ=(coshAcoshB-coshC)/(sinhAsinhB) という式を本では双曲面モデルの上で示していましたが この式は上半平面モデルや円盤モデルでは成り立たないのかが気になっています 長さが保たれる2つのモデルで保たれることは書いてあったものの 左辺の角度が2つのモデルで同じである保証はあるのかと >>170 そうじゃない? でも多分曲率が負の一定値の定曲率空間は計量テンソルの正の定数倍で写り合う気はする なので上半平面モデルと単位円モデルで差があっても定数倍の差しかない気はする でもどっちも曲率-1/4とかだったような記憶が... >>172 >長さが保たれる2つのモデルで保たれることは書いてあったものの 長さが2つのモデルで保たれることは書いてあったものの の間違いです失礼しました >>173 なるほどそういうリーマン幾何の深い結果があって それを使うと角度も等しい事が言える的な感じなんでしょうか 本だとどうも角度もモデルによらず決まるような雰囲気で記述してあって混乱していましたが 証明系に詳しい人が居たら聞きたいんだが、今後10年20年と見据えたとき、どのプルーフチェッカーが「勝ち」そう? 「e^x=10である実数xは存在するか? 理由も含めて答えよ」 集合と位相の講義で出題されたんですが、よく分かりません 「log10は実数だから存在する」終わりじゃ駄目なんですかね? 講義中に何か説明あったんじゃないですか? 数学の問題というよりちゃんと授業を聞いているかどうかの問題な気がしますけど >>179 もし良ければ解法を教えていただけますか? >>178 存在すればその値をlog10と書くのではなくて? >>180 どこまで前提とするのかがないと答えようがないですよね z=√(x^2+y^2)の1≦x^2+y^2≦9の範囲の曲面積を求めよ >>178 e^x はどう定義したんだ? 連続を使ってないんか? >>170 > 実質的には計量を考えていることになるのだと思いますが計量という言葉をあまり出さずに書いてる本を読んでいます > (深谷「双曲幾何」) 本見てみたら、3章の冒頭文で、双曲面モデルが上半平面モデルや円盤モデルと同じ幾何を定める旨が述べてあるし、 円盤モデルと双曲面モデルが等長的であることも書いてある(定理3.59)。 等長なんだから内積も対応するし、内積から定まる角度も対応するでしょ。 恥を忍んで質問させて下さい。 書籍のAbramowitz and Stegun(Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables)の略称って、 ・AS ・A&S ・そのほか(省略しないなど) あと、上の略称は「解析概論」(もちろん高木先生の)の様に、 知らないとモグリ扱いなのでしょうか? z= √ (x^2+y^2)の1≦x^2+y^2≦9の範囲の曲面積を求める問題で答えが8 √ 2になるはずが円錐の側面積として考えると9 √ 2になってしまいます。どちらが正答でしょうか?理由もつけて教えて欲しいです。 >>185 等長なら対応する内積が等しいことが言えるんですか 疑問が氷解しました ちなみにそのことはすぐ言えるんでしょうか >>191 長さは多様体の上での距離で内積は接空間の内積ですので 何らかの局所と大域をつなげる議論が必要でしょう その部分が疑問なのです 疑問が氷解したというのは角度が等しくなるのかどうかとか 等長群の作用について等しいという事をなぜ幾何が等しいと呼ぶのかとかが 分かったという意味です >>165 >双曲幾何の上半平面モデル(もしくは円盤モデル)と双曲面モデルとでは >角度は等しいのでしょうか 等しい ただ、モデルは「見え方」だから、 円盤でもポアンカレモデルとクラインモデルでは見え方が違う つまりクラインモデルでは見た目違う角度が、モデル内の合同変換で写り合う ポアンカレモデルでは見た目の角度も同じになる (ただしポアンカレモデルのほうでは直線が円弧になったりする) 投影の仕方の違いだけなので、 それぞれのモデルの間で1対1の対応がつけられ 結局同型であることがわかる >>190 191に答えがあるが、補足。 ・長さというのは、接ベクトルのノルムを積分したもの。 ・角度というのは、接ベクトルの内積から決まるもの。 ・接空間において、ノルムと内積は表裏一体。(191) あとは、まとめれば良い。 >>192 > 長さは多様体の上での距離で内積は接空間の内積ですので > 何らかの局所と大域をつなげる議論が必要でしょう > その部分が疑問なのです 曲線をパラメータ付けして、0からsまでの部分の長さl(s)をsで微分すれば、接空間でのノルムが出てくる。 ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
read.cgi ver 07.5.5 2024/06/08 Walang Kapalit ★ | Donguri System Team 5ちゃんねる