大学学部レベル質問スレ 15単位目
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>>82
反交換関係から γi γj γk γm = sign(i, j, k, m) γ1 γ2 γ3 γ4 を出して
あとは det の定義 >>84 和をとる時の添え字は各自独立に動くので
γ1 γ2 γ1 γ4 みたいな重複アリの項をどう処理したらいいのか分からんのです。
いくつかランダムな直交行列と、具体的な Dirac行列(Dirac表現) で数値計算してみたんですが、
・γi γi γj γk, γi γj γi γk, .... (3色: i,j,kは相異なる)
・γi γj γj γj, γi γj γi γi, ...., γi γi γj γj, ... (2色: i,jは相異なる)
・γi γi γi γi (1色)
この場合分けの総和でゼロになる事が(数値上で)確認できたんですが、其々の段の和はゼロにはならんのです。
どうやれば代数的に相殺できるのやら...といった感じなのです。 >>83
そもそも実関数ならx<0で定義されてない、つまりx→0の極限操作そのものが定義されてないです
ただし本によってはx<0で定義されない場合は片側極限(x→+0)によってその極限(x→0)を定義するので、回答は「立場によって変わる」となります
「lim x→a f(x)=-∞の定義は…」とありますが、そこでのDはaの近傍、特にx<aであるようなある点xも含むことを仮定してませんか？もちろん、上で言ったように片側極限をもって定義することもありaが孤立点でなければいいと書いてるものもありますが、とにかく定義の確認をするべきです >>86
すみません、定義に見落としがありました
lim x→a f(x)=-∞の定義はfの定義域をDとして、aは集積点で∀N>0∃δ>0∀x∈D 0<∣x-a∣<δ⇒f(x)<-Nとなります
ただ、結局0は(0,∞)のRの部分集合としての集積点であり、やはりlim x→0 logxとlim x→+0 logxは同じになるということで良いのですか？ >>84
det の定義
det(a) = ΣΣΣΣ{i,j,k,m} sign(i, j, k, m) a[1,i]a[2,j]a[3,k]a[4,m]
は知らんのか >>85 (追加)
別の場合分けで部分的にゼロになるのは分かるんです。
ΣΣΣ{i,k,m} a[1,i]a[2,i]a[3,k]a[4,m] γi γi γk γm
= Σ{i} a[1,i]a[2,i] ΣΣ{k,m} a[3,k]a[4,m] γk γm = 0 (aの直交性)
ΣΣΣ{i,j,k かつ i≠j} a[1,i]a[2,j]a[3,k]a[4,k] γi γj γk γk
= ΣΣ{i,j かつ i≠j} a[1,i]a[2,j] γi γj Σ{k} a[3,k]a[4,k] = 0 (aの直交性)
しかしこの先が続かない... 残りの場合分けは簡単になるようには見えません。
>>88
i,j,k,m が全て相異なるパターンの和がそうなるのは分かります。
そうでないパターンの総和がゼロになる事を示したいのです。
本当に代数関係だけで示せるのかは知りません。 おっと悪い
γi γi = I
を見落としてたわ
直交行列を使うんだろうな >>89
ありがとうございます、答えがはっきり分かりスッキリしました >>91
おかしいな
Σ{i} a[1,i]a[2,i]a[3,i]a[4,i]
は残るぞ >>93
PARI/GPによる数値計算の一部を載せときます。
この種の計算に向いてる言語とは思いませんが、ある程度は何をしたか伝わるかと思います。
X = matrix(4); \\ 4次ゼロ行列
\\ 3色
X += sum(i=1,4,sum(j=1,4,sum(k=1,4, (i!=j)*(j!=k)*(k!=i)*( \
a[1,i]*a[2,i]*a[3,j]*a[4,k] *G[j]*G[k] + \
a[1,i]*a[2,j]*a[3,i]*a[4,k] *G[k]*G[j] + \
a[1,i]*a[2,j]*a[3,k]*a[4,i] *G[j]*G[k] + \
a[1,j]*a[2,i]*a[3,i]*a[4,k] *G[j]*G[k] + \
a[1,j]*a[2,i]*a[3,k]*a[4,i] *G[k]*G[j] + \
a[1,j]*a[2,k]*a[3,i]*a[4,i] *G[j]*G[k] ) )));
\\ 2色
X += sum(i=1,4,sum(j=1,4, (i!=j)*( \
a[1,i]*a[2,i]*a[3,j]*a[4,j] *+matid(4) + \
a[1,i]*a[2,j]*a[3,i]*a[4,j] *-matid(4) + \
a[1,i]*a[2,j]*a[3,j]*a[4,i] *+matid(4) + \
a[1,j]*a[2,i]*a[3,i]*a[4,i] *G[j]*G[i] + \
a[1,i]*a[2,j]*a[3,i]*a[4,i] *G[i]*G[j] + \
a[1,i]*a[2,i]*a[3,j]*a[4,i] *G[j]*G[i] + \
a[1,i]*a[2,i]*a[3,i]*a[4,j] *G[i]*G[j] ) ));
\\ 1色
X += sum(i=1,4, a[1,i]*a[2,i]*a[3,i]*a[4,i])*matid(4);
これでゼロ行列になりました。
(ランダム直交行列: a[i,j]と Dirac行列: G[i] を用意する部分は省略) >>82 (改)
もしかしたら当初の代数関係のみを用いて示すのは無理があるのかもしれません。
Sを4次の変換行列として、
物理的要請 S⁻¹γᵢS = Σ{j} aᵢⱼγⱼ を加えます。
本来示したかったのは S⁻¹γ₅S = det(a) γ₅ の等式でした。(γ₅:= γ₁γ₂γ₃γ₄)
S⁻¹γ₅S = (S⁻¹γ₁S)(S⁻¹γ₂S)(S⁻¹γ₃S)(S⁻¹γ₄S)
= Σ{ijkm} a₁ᵢ a₂ⱼ a₃ₖ a₄ₘ γᵢ γⱼ γₖ γₘ
一方で γ₅ = 1/4! *Σ{ijkm} ε[ijkm] γᵢ γⱼ γₖ γₘ (ε[ijkm]は完全反対称テンソル)
と表せるので、
S⁻¹γ₅S = 1/4! *Σ{ijkm} ε[ijkm] (S⁻¹γᵢS)(S⁻¹γⱼS)(S⁻¹γₖS)(S⁻¹γₘS)
= 1/4! *Σ{ijkm} Σ{stuv} ε[ijkm] aᵢₛ aⱼₜ aₖᵤ aₘᵥ γₛ γₜ γᵤ γᵥ
= det(a) γ₁γ₂γ₃γ₄ {∵ εの反対称性より s,t,u,vの重複項は消える}
これより >>82 の等式が示せました。 >>96
a に対応する S の存在を前提条件に加えたので、元の >>82 とは問題の性質が変わったんです。 物理的要請と書いてるけど、そういうSはいつでも取れるはずなんじゃないっけ
直交群の被覆であるスピン群からそういう元を取ったと思えば だからスピン群を経由しない方法でも示せるはずだけど、和を包除原理や対称反対称分解使って計算するだけだと上手く示せない…
すごくモヤモヤする >>98
> そういうSはいつでも取れる
空間回転とLorentzブーストに関しては無限小変換の生成子を構成する。空間反転に関しては S=γ₄ が条件を満たす事を確認する。
物理の教科書的にはそういう流れになります。本を読み返したらDirac行列の表現によらない記述になってました。
a の中には物理的に無意味なのもありますが、虚数の空間回転とか加えれば たぶん網羅するのでしょう。
そういう意味では >>82 は「代数関係のみを使って示せる」と言えるのかも。
> 直交群の被覆であるスピン群
実験物理出身の自分には高度過ぎるようです。 >>100
ローレンツ計量の場合の証明はちゃんと読んだことないけど、O(3,1)の場合もPin(3,1)からの全射があったはず
O(4)のの場合、回転は必ずいくつかの鏡映の積で書けるから、その鏡映を表現するPin(4)の元の積をSとすればそれでok
(ただ詳しくみると正確にはS^(-1)vSはvの鏡映の-1倍になってしまうので、問題の式もS^(-1)γiS=det(a)Σaijγjということになる
しかし定数倍det(a)は>>95の計算に影響ないので同じ結果を得る) 開区間の重積分って閉空間と同じように計算していいの？ そもそも一般のaijでは言えないの当たり前じゃないの？
a1=a2=a3=a4=(1,0,0,0)のとき左辺はγ1γ1γ1γ1=Iだけど右辺0やん あんま美しくないけど気合いで示せたわ
どこかが重複する和のタイプは包除原理より
(2,1,1)-(2,2)-2(3,1)+6(4)
これを具体的に書くと
((abxx)+(xxcd)+(axxd)+(xbcx)+(xbxd)+(axcx))
-((xxyy)+(xyyx)+(xyxy))
-2((axxx)+(xbxx)+(xxcx)+(xxxd))
+6(xxxx)
交換関係を使って得られる関係式
(xbcx)= -(xbxc)+2(xbxx)=(xxbc)-2(xxxc)+2(xbxx)
(xbxd)= -(xxbd)+2(xxxd)
(axcx)= -(axxc)+2(axxx)
(xyxy)= -(xxyy)+2(xxxx)
(xxcx)= -(xxxc)+2(xxxx)
を上に代入すると
((abxx)+(xxcd)+(axxd)+(xxbc)-(xxbd)-(axxc))
-((xxyy)+(xyyx)-(xxyy))
これはペアで和を取っている部分があるものばかりなので直交性によりゼロ
どういう仕組みでこうなってるのか解明しないと一般次元で示せないけど… 多分、形的に一般の次元ではWickの定理のように
1ペア縮約、2ペア縮約、3ペア縮約…の形が1項ずつ出てきて
縮約の形の交差や次数で符号がつくと思われる >>105
記号の説明
例えば
(axcx)= -(axxc)+2(axxx)
という式は
Σ[i,k,x(=j,l)]a(1,i)a(2,x)a(3,k)a(4,x)γiγxγkγx
= Σ[i,k,x(=j,l)]a(1,i)a(2,x)a(3,k)a(4,x)γiγx(-γxγk+2δkx)
= -Σ[i,k,x(=j,l)]a(1,i)a(2,x)a(4,x)a(3,k)γi(γxγx)γk
+ 2Σ[i,x(=j,k,l)]a(1,i)a(2,x)a(3,x)a(4,x)γiγxγxγx
に対応している つまりだ、直交行列は忘れてγ行列の恒等式
γaγbγcγd
=ε(abcd)γ1γ2γ3γ4+δ(ab)γcγd+δ(cd)γaγb
+δ(bc)γaγd+δ(ad)γbγc-δ(ac)γbγd-δ(bd)γaγc
-δ(ab)δ(cd)-δ(ad)δ(bc)+δ(ac)δ(bd)
を示せばいいわけだ… 4^4=256パターンの確かめは大変そうだけど重複のタイプ別に調べれば意外と簡単か
九後をカンニングしたら帰納的にも示せるっぽい
交換関係から
γaγb=1/2!(γaγb-γbγa)+δ(ab)
さらに反対称積を
γ(a(1),a(2),…,a(n))=1/n!Σsgn(σ)γa(σ1)γa(σ2)…γa(σn)
と定義すると一般に帰納的な関係式
γbγ(a(1),a(2),…,a(n))=γ(b,a(1),a(2),…,a(n))
+Σ[i=1,n](-1)^(i-1)δ(b,a(i))γ(a(1),a(2),…a(i-1),a(i+1),…,a(n))
が言えて、これらを使って順次計算できる
γcγd=γ(c,d)+δ(cd)
γbγcγd=γbγ(c,d)+γbδ(cd)
=γ(b,c,d)+δ(bc)γd-δ(bd)γc+γbδ(cd)
γaγbγcγd=γaγ(b,c,d)+γaδ(bc)γd-γaδ(bd)γc+γaγbδ(cd)
=γ(a,b,c,d)+δ(ab)γ(c,d)-δ(ac)γ(b,d)+δ(ad)γ(b,c)
+γaδ(bc)γd-γaδ(bd)γc+γaγbδ(cd)
=γ(a,b,c,d)+δ(ab)γcγd-δ(ac)γbγd+δ(ad)γbγc
+δ(bc)γaγd-δ(bd)γaγc+δ(cd)γaγb
-δ(ab)δ(cd)-δ(ad)δ(bc)+δ(ac)δ(bd)
最後にγ(a,b,c,d)=ε(abcd)γ1γ2γ3γ4に注意すれば>>108を得る わかった
a11 = a22 = cosθ、a21 = - a12 = sinθ、a33 = a44 = 0、
aij = 0 ( otherwise )
のとき
δi = Σj aij γj
で定めるときδiもγiと同じ交換関係を満たす
universarityからこの場合にはSがとれる
a12 = a21= = a33 = a44 = 1、
aij = 0 ( otherwise )
のときも同様
結局aijが直交行列の時は上の2タイプの積でかけるのだからいつでもSがとれる
以下>>95 そうか、さらにわかった
QVをベクトル空間の2次形式Qのなす圏、Algを代数のなす圏とするときクリフォード代数を対応させる対応は自然変換でQVの射A:(V,Q)→(W,R)は必ずクリフォード代数の射S:C(V,Q)→C(W,R)にliftするんだ
しかもuniversalityからAが同型ならSも自動的に同型になる ×自然変換
◯関手
orz
わかっちゃえば簡単だな 本を前に1時間考え込んで「なるほど…自明だ…」
数学あるある x^4+y^4-2x^2の極値を求めたいんですがDが0になってしまって困ってます。y=0とかで固定して考えようと思ったりしたんですがよくわかりません。 単に無作為抽出って言った場合は復元抽出（同じ標本が何度も選ばれうる）をさすと考えていいですか？ >>113-114
いや、だからS経由は簡単なんだけど
それを経由させずに示せるかが気になったんよ>>99
S使えば自明なのに使わないと和の打ち消しが非自明なのが面白いと思った x^4+y^4-2x^2 = (x^2 -1)^2+y^4 -1 は x^2 =1, y = 0 の時に最小値 母集団が大きいときはどちらで計算しても統計的な量はほとんど変わらないから計算が圧倒的に楽な復元抽出を暗黙に仮定することが多いようだね >>121
ありがとうございます
大変納得いたしました 一次分数変換の分類の話で双曲的/放物的/楕円的という分類が出てきますが
これらの定義をなぜ双曲とか放物とか楕円という名前で呼ぶのかがピンと来ません
双曲線などとどう関係があるのでしょうか 楕円、放物、双曲の三分類は数学の色んなところに出てきて慣れてきたら円錐曲線との関係なんか気にしなくなる >>124
気にしない方がいいんですか
そうしときますありがとう 力学系と保型関数論で2次正方正則行列が双曲的放物的楕円的に分類されるがだいたい一致する >>123
変換を運動と見て回転か発散かを対応させてるのさ どんな証明にも証明の長さが最小の証明って存在するわけだが、それが一体どんなものかって気になるよなw >>126
力学系ってのは楕円型微分方程式とかそういうやつですか
双曲型のWiki眺めてみたけど確かに似てますね
>>127
楕円的は回転になってるので確かにぽいですが
放物的と双曲的がどっちも発散してる感じで
出るとこと入るとこが同じか違うかをなぜ放物と双曲と言うのかと悩んでました 同じとこか違うとこかはまぁまぁ大きな差とも言える気はするな >>131
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~ito/notes_functional_analysis_20180511.pdf
(1)は84～85ページを少し変えればよい
B(X)が作用素ノルムに関して完備となるのは71ページ
（２）が（１）から導けないようではお先真っ暗 >>133
なるほど！
そう考えると確かに納得できる
放物は楕円に近い運動してますね
ありがとう 二次以下の実数多項式全体のなすベクトル空間をP(2；R)における線形変換T(f)= ∫[-1.1］2f(t)×(x-t)^2dtとして基底［1.x.x^2］に関する表現行列を求める問題なんだけどやり方わかる人いる？
定積分をそれぞれa,b,cとおいてもうまくいかない😭 ∫[-1.1］2f(t)×(x-t)^2dtじゃなくて∫[-1.1］f(t)×(x-t)^2dt >>135
すげー分かりやすかった！ ありがとうございました！
(2)は等比数列の和の公式使えばいい感じですよね？ やってみます https://i.imgur.com/nmatJGV.png
どなたかお願いします
wikiの有界作用素の記事にも載っていたのですが、証明が書かれていませんでした... (i)はできそうなので大丈夫です
(ii)のコンパクトの方だけお願いいたします 複素数の間の共形的かつ全単射で滑らかな写像φ:C→Cは1次変換か1次変換の複素共役である
という定理の証明がわかりません
本ではその少し前に
ψ:D→C,(D⊂C:開集合)が共形的でヤコビ行列がいたるところ可逆ならψかその複素共役が
正則関数になるという結果があり、これとリウビルの定理なりピカールの定理なりを使えば示せると書いてありました
上の命題を使うとφかその共役がCの間の全単射な正則関数であることは言えますが、そこから先がわかりません
(本は深谷「双曲幾何」のp.65です) 全単射で正則だとリーマン球の回転と伸び縮みだけだな >>146
コレが示せたらいいのでは
fがRiemann球の自己全単射で正則なら一次変換
∵ 一次変換は三重可積遷だからf(0)=0, f(1)=1, f(∞)=∞として良い
f(z)=z^n g(z)、g(z)は正則、g(0)≠0、とおける
f(z)は一対一だったから原点以外に零点を持たない
よってg(z)は零点を持たない
∴ g(z)は定数(∵リュービルの定理)
∴ f(z)=cz^n
さらに再び一対一性よりc≠0, n=1□ >>148
なるほどこう言えばよかったんですね
ありがとうございます ∫∫[0,∞)×[0,∞) 1/(1+x^2+y^2)^2dxdyってπ/4であってます？ 統計学の独学でもわかりやすい参考書とかってありますか？
ちなみに国立文系で数三はノータッチです。 ちょっと躓いた
A,B整列集合、 A⊆B、A≠Bとする
ｍ=min(B-A)とおく。
この時、A=B<m> (切片の意味)
だが、A⊆B<m>の証明に躓いた 以下Bを全集合としてBに含まれる事は一々述べない
m≦x,x∈Aとすればm∈Aとなりm∈B-Aに矛盾
∴x∈A→x<m
x<m, ￢x∈Aとすればx∈B-A,x<mとなるがm=min(B-A)に矛盾
∴x<m→x∈A >>153
mがAに入ってなくて最小なんだからほぼ自明でしょ
証明は背理法で >>154,155
自己解決しました。
ちなみに、A⊆B<m>は無条件では無理ですね >>158
A={0,2}, B=N なら min B-A = 1
{0,2} ⊆ N<1> ではない 遺伝的有限集合全体をHFとして
関係R⊆HF^nが⊿_1であるとき、
⊿_0集合S⊆HF^n+1が
a∈R⇔∃x∈HF((a,x)∈S)
となるようにとれる
キューネンの基礎論p292です
さらっと書いてあるんで自明なんでしょうけど、わかりません
どなたか証明をつけていただけないでしょうか
よろしくお願いします ここまで知らん単語だらけやとその本持ってないと手も足も出ない >>161
原本をみたら、それらしき箇所に、(see Lemma II.17.28)とあるのだが、訳書の方には書いてないの？ あ、自分のノートばっかり見てました。
訳書にもありますね。
なんてミスを。すみません。
補題2.17.28から導出するのは論理式の相対化を使うんでしょうか 双曲幾何の上半平面モデル(もしくは円盤モデル)と双曲面モデルとでは角度は等しいのでしょうか
もし異なれば余弦定理などの角度の入っている公式がモデル毎に異なることになると思うのですが >>166
リーマン幾何やってないので計量が違うという意味がよく分からないのですが
上半平面モデルと円盤モデルは共形ですがこれらの計量は同じなのですか？ >>167
通常、角度というものは、計量から定めるものである。
リーマン幾何やってないのに、角度だのなんだの言っているのがよくわからん。 >>168>>169
実質的には計量を考えていることになるのだと思いますが計量という言葉をあまり出さずに書いてる本を読んでいます
(深谷「双曲幾何」)
リーマン幾何ちゃんとやってないと理解が難しいようならそれまで棚上げにしときますが
結論としては余弦定理などの角度が出てくる公式はモデル毎に異なるという事でいいんでしょうか >>171
たとえば余弦定理の公式
cos∠γ=(coshAcoshB-coshC)/(sinhAsinhB)
という式を本では双曲面モデルの上で示していましたが
この式は上半平面モデルや円盤モデルでは成り立たないのかが気になっています
長さが保たれる2つのモデルで保たれることは書いてあったものの
左辺の角度が2つのモデルで同じである保証はあるのかと >>170
そうじゃない？
でも多分曲率が負の一定値の定曲率空間は計量テンソルの正の定数倍で写り合う気はする
なので上半平面モデルと単位円モデルで差があっても定数倍の差しかない気はする
でもどっちも曲率-1/4とかだったような記憶が... >>172
＞長さが保たれる2つのモデルで保たれることは書いてあったものの
長さが2つのモデルで保たれることは書いてあったものの
の間違いです失礼しました
>>173
なるほどそういうリーマン幾何の深い結果があって
それを使うと角度も等しい事が言える的な感じなんでしょうか
本だとどうも角度もモデルによらず決まるような雰囲気で記述してあって混乱していましたが 証明系に詳しい人が居たら聞きたいんだが、今後10年20年と見据えたとき、どのプルーフチェッカーが「勝ち」そう？ 「e^x=10である実数xは存在するか？ 理由も含めて答えよ」
集合と位相の講義で出題されたんですが、よく分かりません
「log10は実数だから存在する」終わりじゃ駄目なんですかね？ 講義中に何か説明あったんじゃないですか？
数学の問題というよりちゃんと授業を聞いているかどうかの問題な気がしますけど >>179
もし良ければ解法を教えていただけますか？ >>178
存在すればその値をlog10と書くのではなくて？ >>180
どこまで前提とするのかがないと答えようがないですよね z=√(x^2+y^2)の1≦x^2+y^2≦9の範囲の曲面積を求めよ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
