大学学部レベル質問スレ 15単位目
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>>126 力学系ってのは楕円型微分方程式とかそういうやつですか 双曲型のWiki眺めてみたけど確かに似てますね >>127 楕円的は回転になってるので確かにぽいですが 放物的と双曲的がどっちも発散してる感じで 出るとこと入るとこが同じか違うかをなぜ放物と双曲と言うのかと悩んでました 同じとこか違うとこかはまぁまぁ大きな差とも言える気はするな >>131 https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/ ~ito/notes_functional_analysis_20180511.pdf (1)は84〜85ページを少し変えればよい B(X)が作用素ノルムに関して完備となるのは71ページ (2)が(1)から導けないようではお先真っ暗 >>133 なるほど! そう考えると確かに納得できる 放物は楕円に近い運動してますね ありがとう 二次以下の実数多項式全体のなすベクトル空間をP(2;R)における線形変換T(f)= ∫[-1.1]2f(t)×(x-t)^2dtとして基底[1.x.x^2]に関する表現行列を求める問題なんだけどやり方わかる人いる? 定積分をそれぞれa,b,cとおいてもうまくいかない😭 ∫[-1.1]2f(t)×(x-t)^2dtじゃなくて∫[-1.1]f(t)×(x-t)^2dt >>135 すげー分かりやすかった! ありがとうございました! (2)は等比数列の和の公式使えばいい感じですよね? やってみます https://i.imgur.com/nmatJGV.png どなたかお願いします wikiの有界作用素の記事にも載っていたのですが、証明が書かれていませんでした... (i)はできそうなので大丈夫です (ii)のコンパクトの方だけお願いいたします 複素数の間の共形的かつ全単射で滑らかな写像φ:C→Cは1次変換か1次変換の複素共役である という定理の証明がわかりません 本ではその少し前に ψ:D→C,(D⊂C:開集合)が共形的でヤコビ行列がいたるところ可逆ならψかその複素共役が 正則関数になるという結果があり、これとリウビルの定理なりピカールの定理なりを使えば示せると書いてありました 上の命題を使うとφかその共役がCの間の全単射な正則関数であることは言えますが、そこから先がわかりません (本は深谷「双曲幾何」のp.65です) 全単射で正則だとリーマン球の回転と伸び縮みだけだな >>146 コレが示せたらいいのでは fがRiemann球の自己全単射で正則なら一次変換 ∵ 一次変換は三重可積遷だからf(0)=0, f(1)=1, f(∞)=∞として良い f(z)=z^n g(z)、g(z)は正則、g(0)≠0、とおける f(z)は一対一だったから原点以外に零点を持たない よってg(z)は零点を持たない ∴ g(z)は定数(∵リュービルの定理) ∴ f(z)=cz^n さらに再び一対一性よりc≠0, n=1□ >>148 なるほどこう言えばよかったんですね ありがとうございます ∫∫[0,∞)×[0,∞) 1/(1+x^2+y^2)^2dxdyってπ/4であってます? 統計学の独学でもわかりやすい参考書とかってありますか? ちなみに国立文系で数三はノータッチです。 ちょっと躓いた A,B整列集合、 A⊆B、A≠Bとする m=min(B-A)とおく。 この時、A=B<m> (切片の意味) だが、A⊆B<m>の証明に躓いた 以下Bを全集合としてBに含まれる事は一々述べない m≦x,x∈Aとすればm∈Aとなりm∈B-Aに矛盾 ∴x∈A→x<m x<m, ¬x∈Aとすればx∈B-A,x<mとなるがm=min(B-A)に矛盾 ∴x<m→x∈A >>153 mがAに入ってなくて最小なんだからほぼ自明でしょ 証明は背理法で >>154 ,155 自己解決しました。 ちなみに、A⊆B<m>は無条件では無理ですね >>158 A={0,2}, B=N なら min B-A = 1 {0,2} ⊆ N<1> ではない 遺伝的有限集合全体をHFとして 関係R⊆HF^nが兩1であるとき、 兩0集合S⊆HF^n+1が a∈R⇔∃x∈HF((a,x)∈S) となるようにとれる キューネンの基礎論p292です さらっと書いてあるんで自明なんでしょうけど、わかりません どなたか証明をつけていただけないでしょうか よろしくお願いします ここまで知らん単語だらけやとその本持ってないと手も足も出ない >>161 原本をみたら、それらしき箇所に、(see Lemma II.17.28)とあるのだが、訳書の方には書いてないの? あ、自分のノートばっかり見てました。 訳書にもありますね。 なんてミスを。すみません。 補題2.17.28から導出するのは論理式の相対化を使うんでしょうか 双曲幾何の上半平面モデル(もしくは円盤モデル)と双曲面モデルとでは角度は等しいのでしょうか もし異なれば余弦定理などの角度の入っている公式がモデル毎に異なることになると思うのですが >>166 リーマン幾何やってないので計量が違うという意味がよく分からないのですが 上半平面モデルと円盤モデルは共形ですがこれらの計量は同じなのですか? >>167 通常、角度というものは、計量から定めるものである。 リーマン幾何やってないのに、角度だのなんだの言っているのがよくわからん。 >>168 >>169 実質的には計量を考えていることになるのだと思いますが計量という言葉をあまり出さずに書いてる本を読んでいます (深谷「双曲幾何」) リーマン幾何ちゃんとやってないと理解が難しいようならそれまで棚上げにしときますが 結論としては余弦定理などの角度が出てくる公式はモデル毎に異なるという事でいいんでしょうか >>171 たとえば余弦定理の公式 cos∠γ=(coshAcoshB-coshC)/(sinhAsinhB) という式を本では双曲面モデルの上で示していましたが この式は上半平面モデルや円盤モデルでは成り立たないのかが気になっています 長さが保たれる2つのモデルで保たれることは書いてあったものの 左辺の角度が2つのモデルで同じである保証はあるのかと >>170 そうじゃない? でも多分曲率が負の一定値の定曲率空間は計量テンソルの正の定数倍で写り合う気はする なので上半平面モデルと単位円モデルで差があっても定数倍の差しかない気はする でもどっちも曲率-1/4とかだったような記憶が... >>172 >長さが保たれる2つのモデルで保たれることは書いてあったものの 長さが2つのモデルで保たれることは書いてあったものの の間違いです失礼しました >>173 なるほどそういうリーマン幾何の深い結果があって それを使うと角度も等しい事が言える的な感じなんでしょうか 本だとどうも角度もモデルによらず決まるような雰囲気で記述してあって混乱していましたが 証明系に詳しい人が居たら聞きたいんだが、今後10年20年と見据えたとき、どのプルーフチェッカーが「勝ち」そう? 「e^x=10である実数xは存在するか? 理由も含めて答えよ」 集合と位相の講義で出題されたんですが、よく分かりません 「log10は実数だから存在する」終わりじゃ駄目なんですかね? 講義中に何か説明あったんじゃないですか? 数学の問題というよりちゃんと授業を聞いているかどうかの問題な気がしますけど >>179 もし良ければ解法を教えていただけますか? >>178 存在すればその値をlog10と書くのではなくて? >>180 どこまで前提とするのかがないと答えようがないですよね z=√(x^2+y^2)の1≦x^2+y^2≦9の範囲の曲面積を求めよ >>178 e^x はどう定義したんだ? 連続を使ってないんか? >>170 > 実質的には計量を考えていることになるのだと思いますが計量という言葉をあまり出さずに書いてる本を読んでいます > (深谷「双曲幾何」) 本見てみたら、3章の冒頭文で、双曲面モデルが上半平面モデルや円盤モデルと同じ幾何を定める旨が述べてあるし、 円盤モデルと双曲面モデルが等長的であることも書いてある(定理3.59)。 等長なんだから内積も対応するし、内積から定まる角度も対応するでしょ。 恥を忍んで質問させて下さい。 書籍のAbramowitz and Stegun(Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables)の略称って、 ・AS ・A&S ・そのほか(省略しないなど) あと、上の略称は「解析概論」(もちろん高木先生の)の様に、 知らないとモグリ扱いなのでしょうか? z= √ (x^2+y^2)の1≦x^2+y^2≦9の範囲の曲面積を求める問題で答えが8 √ 2になるはずが円錐の側面積として考えると9 √ 2になってしまいます。どちらが正答でしょうか?理由もつけて教えて欲しいです。 >>185 等長なら対応する内積が等しいことが言えるんですか 疑問が氷解しました ちなみにそのことはすぐ言えるんでしょうか >>191 長さは多様体の上での距離で内積は接空間の内積ですので 何らかの局所と大域をつなげる議論が必要でしょう その部分が疑問なのです 疑問が氷解したというのは角度が等しくなるのかどうかとか 等長群の作用について等しいという事をなぜ幾何が等しいと呼ぶのかとかが 分かったという意味です >>165 >双曲幾何の上半平面モデル(もしくは円盤モデル)と双曲面モデルとでは >角度は等しいのでしょうか 等しい ただ、モデルは「見え方」だから、 円盤でもポアンカレモデルとクラインモデルでは見え方が違う つまりクラインモデルでは見た目違う角度が、モデル内の合同変換で写り合う ポアンカレモデルでは見た目の角度も同じになる (ただしポアンカレモデルのほうでは直線が円弧になったりする) 投影の仕方の違いだけなので、 それぞれのモデルの間で1対1の対応がつけられ 結局同型であることがわかる >>190 191に答えがあるが、補足。 ・長さというのは、接ベクトルのノルムを積分したもの。 ・角度というのは、接ベクトルの内積から決まるもの。 ・接空間において、ノルムと内積は表裏一体。(191) あとは、まとめれば良い。 >>192 > 長さは多様体の上での距離で内積は接空間の内積ですので > 何らかの局所と大域をつなげる議論が必要でしょう > その部分が疑問なのです 曲線をパラメータ付けして、0からsまでの部分の長さl(s)をsで微分すれば、接空間でのノルムが出てくる。 >>196 のレスで長さが等しいことから接空間のノルムが、よって内積が等しい事が分かりました その部分が理解できていなかったようです いろいろとありがとうございました感謝です 見た目の長さや角度とは違ってくる事はクラインモデルをいじって理解できていましたが >>197 も読んでみます z=√(12-x^2-y^2)とz=x^2+y^2で囲まれる体積を求めたいのですが積分領域をどうすればいいのかいまいち分かりません。x=rcosθ y=rsinθとおいてrの範囲はわかったんですがθの範囲をどうすればいいのでしょうか?? 「A&Sのこの項目」という表現は、Maximaのソースで知りました。 >>187 本自体はこんなやつです。 ttps://ja.wikipedia.org/wiki/Abramowitz_and_Stegun 以前雑誌記事で、参考文献に著者名抜きで「解析概論」って書いてあるのを見た事があって、 著者が分からずに学校の先生に訊いたら、どうも知ってるのが常識らしく…。 いまはそれではacceptされないんだろうなぁ。 >>201 応用数学じゃん ここで聞くより物理、化学、工学板のどれかで聞いた方がいい 有向族についての質問 集合Xの元の列x_i, i∈Iが有向族であるとは、Iが有向集合であるってのが普通の定義だけど、 Xの部分集合AとAの二項関係≦のセット(A,≦)に対して有効集合を定義しちゃいけないのか? 何か不都合があるなら教えてほしい >>203 その定義でもいいと思うよ。フィルターはそうだし ただ、有向族は数列の拡張で、数列の考え方や記法が使えるのがいいんじゃないかな 同じ添字集合の複数の有向列どうしなら収束の速さなんかの比較もできそう >>204 >同じ添字集合の複数の有向列 こういう概念も(A,≦_1)、(A,≦_2)として同様に扱えると思うんだが、 唯一の、(x_i|i∈I)と(A,≦)の違いは写像と集合の違いなんだが、これが各種議論でどういう影響を及ぼすのかが分からんから聞いてみたっていう趣旨。 K, L をそれぞれ距離空間 (X, dX), (Y, dY ) のコンパクト部分集合とする. K × L ⊂ O となる、直積空間 (X × Y, d) における任意の開集合 O に対して, (X, dX) の開集合 U と (Y, dY ) の開集合 V s.t. K × L ⊂ U × V ⊂ O が存在することを示せ。 コンパクトの定義を使ってOを有限部分被覆に分解するのは分かるのですが、そこから先がいまいち分かりません... どなたかお願いいたします... >>205 そりゃ考える数学的対象と何がしたいかによるだろう 有向族の途中の項に重複があるかどうかで違いがでるものを考えるのでなければ どっちの定義でも同等なんじゃないの? ネットとフィルターのように でもネットとフィルターで議論の仕方は結構違うよね >>206 初手から間違っている。 一般に距離空間において、コンパクト集合KとKを含む開集合Oに対し、ε>0が存在して、Kのε近傍はOに含まれる。 問題に戻る。ε>0が存在して、K × Lの2ε近傍はOに含まれる。XにおけるKのε近傍をU、Lのε近傍をVとすると、U × VはK × Lの2ε近傍に含まれ、したがってOに含まれる。 これでわからなかったら、もっと前のところの理解が怪しくなっている。 K × L ⊂ U × Vを書き漏らしたが自明だから問題ないね。 >>208 それを使ったら簡単だよなー まあ、その証明も簡単だが ところで直積空間の距離は無数にあるけど、どう定義してんの? >>208 ありがとうございます! 「コンパクト集合KとKを含む開集合Oに対し、ε>0が存在して、Kのε近傍はOに含まれる。」という定理を恥ずかしながら知らなかったのですが、どこかのサイトに証明が載ってたりしますか? Oが全集合ならば自明。 そうでないならOの補集合は空でない閉集合。 コンパクト集合と、それと交わらない空でない閉集合との距離は正である。 以上により従う。 >>211 多分それが最大だから全部含むか 最大の証明は知らんけど いやNG判定で弾かれるのを嫌ってURL表記を途中でブツ切りにしてあるだけだろ 今は何故かリンクを貼れるが前スレ当時はNGで弾かれてたんだのを 新スレ立てる時にリンクを貼れるか試さずに立てたんだろ http://mathmathmath.dotera.net ほれやっぱり貼れた。しかし何だって去年前半頃までNGワードだらけだったんだろうな >>216 あーなるほど bb2cってブラウザで見てるとスペース以降見えなくて気づかなかった ありがとう 関数解析では線形写像を線形作用素と呼ぶのが普通とのこと 何でこんな無意味な言い換えってするの? 数学ではちらほらこういう無意味な言い換えあるよな >>219 気分がそうさせるだけよ?何か問題なの? 有界閉集合でジョルダン可測(面積確定)でないものってどんなものがあるんでしょうか。 本を読んでいたら「有界閉ジョルダン可測集合」と書かれていたものがあったので、有界閉集合ってジョルダン可測なんじゃないかと思ったのですが、判例などがあればよろしくお願いします。 >>222 [0,1]∩Q上の特性関数(のグラフ)とか >>224 それって閉集合ではないですよね。 0<x<1となる無理数xは[0,1]∩Qの元ではないですが、[0,1]∩Qの集積点にはなっているので。 つまりxの近傍Vをどんなに小さく取ってもV∩([0,1]∩Q)が空集合にならないので。 >>224 すみません。勘違いしたかもしれませんが、 特性関数というのは確率論などで使うものでしょうか。 複素数値関数に見えるのですが。。。 ジョルダン可測ってのは境界のルベーグ測度が0って事だから 有開閉集合なら、内部とその集合自身のルベーグ測度が等しくないものがあるかどうか考えればいい 結局0かどうかで考えればいいから、内点を持たずに正のルベーグ測度を持つ集合であればよくて 普通にカントール集合でいいなこれは ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
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