👿バナッハ・タルスキの定理のような逆説的で面白い話👿

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/24(木) 06:43:13.68

聞かせてくれ

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/24(木) 06:51:03.69

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%90%E3%83%8A%E3%83%83%E3%83%8F%EF%BC%9D%E3%82%BF%E3%83%AB%E3%82%B9%E3%82%AD%E3%83%BC%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9

（バナッハ・タルスキの定理の）証明は本質的に4つのステップに分かれる。

1.2つの生成元を持つ自由群F_2の「パラドキシカルな分割」を見つける。
2.自由群F_2と同型な3次元の回転群（の部分群）を見つける。
3.2で作った回転群のパラドキシカルな分割と選択公理を用いて2次元球面の分割を作る。
4.3の2次元球面の分割を3次元球の分割に拡張する。

生半可な世間一般の常識に反し、バナッハ・タルスキの本質は、
1.の自由群F_2の「パラドキシカルな分割」にある

選択公理は、回転群に適用する際に現れるに過ぎず
逆説の本質にかかわるものではない

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/24(木) 08:11:26.53

>>2
>1.の自由群F_2の「パラドキシカルな分割」にある
そういう言い方するんだ
フラクタルな分割って印象だったけど
>選択公理は、回転群に適用する際に現れるに過ぎず
>逆説の本質にかかわるものではない
やっぱ本質だと思うけどね
選択公理無いとF2を分割して準備しても
それをS2の分割にできないんだもん

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/24(木) 19:10:55.46

>>3
自由群F_2はフラクタル感満載ですね

選択公理は球面の回転群の場合必要となるだけで
双曲平面の合同変換群では不必要なので
全く本質ではないですね

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/26(土) 00:38:00.31

>>4
↑
バカw

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/26(土) 00:42:07.27

バナッハ・タルスキーの本質は選択公理を仮定すると
ルベーグ非可測集合が作れるところにある。
いわば「体積が存在しない立体」。
このルベーグ非可測集合に一旦分割して、
それをまた組み合わせたら元の球と同じ体積の球が二つ作れると言う議論。
ルベーグ非可測集合に分割するのでなければ単なる矛盾、
単なる間違い。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/26(土) 00:45:10.42

バナッハ・タルスキーの逆理の本質は
選択公理を仮定するとルベーグ非可測集合なんてベラボーなものが存在することになってしまうと言う点にあるのであって
ベラボーなモノに分割したら、また組み合わせた時にベラボーなものが出来てしまうと言うこと自体は
ある意味当たり前のこと。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/26(土) 01:00:17.85

選択公理を使った非可測集合の構成だったらヴィタリ集合とかもあるわけで
バナッハ・タルスキーに固有でもないでしょ。
非可測集合なんだから体積もないのは当たり前だよねってことになるんじゃね？
不思議さの根源はF_2から来てるんじゃないかな。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/26(土) 01:02:16.87

だれがバナッハ・タルスキーに固有だと言った

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/26(土) 01:04:34.72

バナッハ・タルスキーの逆理の本質がルベーグ非可測集合の存在にあるんであって
ルベーグ非可測集合の存在の本質がバナッハ・タルスキーの逆理にあるんじゃないよバカが

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/26(土) 01:09:45.99

>>4の言う双曲平面の合同変換群を使って同様の
ことを考えると、無限の領域になるので、有限の面積を持たない。
体積・面積を持たないという点では同じだが
この場合は選択公理は必要ないんだな。
（代表系が具体的に取れる。）
それでも、やっぱり不思議な感じはする。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/26(土) 01:10:25.58

因みに、バナッハやタルスキーは最初は選択公理が間違っていることを示そうとしたらしい。
しかし、一旦体積の存在しない立体に分割してしまうから
その後また組み直して体積が存在する状態になったときに
元の体積と違っても矛盾とは言えない。
そもそもコンパクトなのに体積が存在しないと言うことがベラボーなことだから。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/26(土) 01:13:45.93

ID:dVwItUnaは双曲平面バージョンの話は理解して言ってるの？

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/26(土) 01:15:49.98

アホがなんで上から目線なの？

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/26(土) 01:16:24.89

バナッハ・タルスキーの逆理の本質がルベーグ非可測集合の存在にあるんであって　
ルベーグ非可測集合の存在の本質がバナッハ・タルスキーの逆理にあるんじゃないよバカが

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/26(土) 01:19:39.50

だからさ、双曲平面版の話を理解した上で言ってるの？
この場合は選択公理は必要ないんだからさ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/26(土) 01:27:08.95

（低脳用にもう一度だけｗ）

バナッハ・タルスキーの逆理の本質がルベーグ非可測集合の存在にあるんであって　

ルベーグ非可測集合の存在の本質がバナッハ・タルスキーの逆理にあるんじゃないよバカが

　

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/26(土) 01:35:30.57

本質がぁとか、青筋立てて言われても、「何が本質か」なんて主観に過ぎないよね笑

そして双曲平面の話を知らないなら、そんな怒ってもしょうがないでしょ笑

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/26(土) 01:36:52.63

>>18

>>12を読めクルクルパーｗ

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/26(土) 01:39:23.94

バナッハ・タルスキーが逆理だと特別な呼び方されるのは
途中の過程が全部コンパクトだからだろ
無限大のモノを途中に混ぜたら、数学的常識として
不思議でもなんでもないだろアホ

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/26(土) 01:44:53.50

「ベラボー」も主観ねｗ

>無限大のモノを途中に混ぜたら、数学的常識として
>不思議でもなんでもないだろアホ

数学的常識て言うけど、ただの俺様常識じゃね？
不思議と思うかどうかも所詮主観でしょ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/26(土) 01:48:15.04

>>21
いいから死ね猿ｗ

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/26(土) 01:51:47.66

（低脳用に再びｗ）

無限大は何倍しても無限大
これを逆理と呼びたければ勝手にｗ呼べばよい
しかしそれはバナッハ・タルスキーの逆理を持ち出さねばならない理由にはならない

　

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/26(土) 01:55:27.04

俺様常識に反するからって、「成程、そういう考えもあるのか」
と思わずに、激おこして、ひとを「死ね」呼ばわりするようじゃ数学向いてないんでは。
わたしは>>4じゃないけど、双曲平面の話は面白いと思ってる。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/26(土) 01:59:39.21

>>24
それ主観ね猿ｗ

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/26(土) 02:00:54.29

猿死なないかなマジで

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/26(土) 06:44:43.39

>>8
>不思議さの根源はF_2から来てるんじゃないかな。
F_2の逆説性を知るとそう感じますね

>>11
＞（（双曲平面の合同変換群の場合）代表系が具体的に取れる。）
そうですね、例えばモジュラー群SL2(Z)でもできますが
この場合、基本領域が目に見える形になってますね
ま、わかりやすくするならΓ(2)とかのほうがいいですかね

>>14　>>16
多分　ID:dVwItUna氏　はわかってないですね
実は私もワプナー氏の本を読むまでわかってませんでしたｗ
球面の回転群へのF2の埋め込みはナチュラルじゃないですからね
まずSL2(R)の部分群への埋め込みで説明するのがわかりやすいんですよね
https://www.youtube.com/watch?v=m4YDNHvAfeU

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/26(土) 06:57:39.84

>>8
フラクタルは不思議ってだけ
やっぱ選択公理でフラクタル性を持った部分集合が持てるってコトが本質

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/26(土) 08:10:54.40

>>28
フラクタル性はF2（より一般的には双曲的な離散群）によるものだな

例えば無限二分木は根っこから分かれる
２つの部分木のそれぞれと同型ってのは
見ればわかることで
選択公理なしに示せるよな

バナッハ・タルスキで選択公理を使うのは、
回転群を、F2の同値関係で割った同値類から
代表元をとるところだな

それは回転群へのF2の埋め込みが
ナチュラルでないために
発生することであって
「逆説」の本質じゃないな

別な事柄の本質かもしれんが
別な事柄については、
今、特に興味ないな

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/26(土) 09:36:53.70

ソボクな疑問

選択公理を用いて非可測集合が構成できることで
「だから選択公理はオカシイ」という人はいるのに
「だから測度はオカシイ」という人をみかけない点

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/26(土) 10:12:22.88

そりゃ測度は(存在保証の)公理ではなくただの定義だし
具体例は標準的な集合論で構成可能だし

リーマン積分だと(選択公理関係なく)体積を持たない(定義できない)集合は確かに存在するわけで、その一般化であるルベーグ測度でも受け継がれること自体は不思議でもなくね

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/26(土) 11:46:15.44

>>29
他の場合に代表元がナチュラルに取れても別にそれははいそうですねってこと
だいたいF2では1と1でない奴でa,b,a^-,b^-で代表元取ってる訳でね
バナッハタルスキはそれ（代表元取ってフラクタルな部分集合を作る）がS2でできるからビックリってコトだよ
本質は選択公理だな

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/26(土) 14:14:35.34

>>27の動画作った外人さんは同様（双曲幾何版でも本質は失われていない）
と思ってるってことですね。
だって球面の場合、代表系が見えないわけで
それを「見える化」しているのは、双曲幾何的なイメージに他ならない。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/26(土) 14:18:00.00

実は遠アーベル幾何でも出てくるF_2。
しかもこの場合はガロア群が複雑に絡み合った形で出てくる。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/26(土) 15:03:53.31

>>32
>だいたいF2では、1と1でない奴で、a,b,a^-,b^-で代表元取ってる訳でね

ID:gb2e5eFmは、「何」の代表元をとろうとしてる？

球面S2のF2軌道（もちろん無数にある）のそれぞれから
選択公理で代表元をとる、ってわかってる？

上半平面HのF2軌道の代表元をとる場合には
選択公理は必要ないけど、それもわかってる？

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/26(土) 15:10:10.68

>>31
>そりゃ測度は(存在保証の)公理ではなくただの定義だし

あまりに虫のいい定義については、
それを満たす例が存在しないってことも
あるじゃないですか

>具体例は標準的な集合論で構成可能だし

しかし、任意の集合に対する測度までは定義できない、ってことですよね

それは
選択公理に問題があるのか？
測度の定義に問題があるのか？
ってことですよ

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 10:35:10.95

>>35
>ID:gb2e5eFmは、「何」の代表元をとろうとしてる？
F2とHでは簡単
S2では選択公理が必要ってコト
バナッハタルスキの逆理の本質は選択公理なんだよ

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 10:37:15.92

たぶん
この逆理がなぜ多くの人を驚かせたかを理解してないんだな

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 10:38:56.80

>>36
冪集合P(X)上の測度なんていくらでもあるが

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 12:08:36.40

>>37
簡単だと言うなら、具体的に代表系を書いてみなよ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 12:17:06.90

>>38
なぜ多くのひとを驚かせたかを理解していない？
そりゃ、誰が何で驚いたのか、いちいちは知らないよ。
直感的には驚きはあるよね。
そして、考えてみると双曲平面でも驚き・面白さはあると思う。

まず自分に驚き・面白さがあるかどうかが大事でしょ。
まさか「俺様理解が上だ」とかどうでもいいこと
主張したいがために言ってるんじゃないだろうね？

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 12:56:57.75

>>37
>F2とHでは簡単
>S2では選択公理が必要ってコト

ちょっとしたことで、わかってないって露見するね

上記の場合、「F2と」って書いたのが🐎🦌だったねｗ

SL2(R)(Hの変換群)でも、SO3(R)(S2の変換群)でも、F2は部分群なんだよ

なんで前者では選択公理が不要で、後者では必要か、全然わかってないよね

そんなワカランチンな状況で「選択公理が本質」とかいっても笑われるだけ

いいかげん首掻き切って死のう　生きてるだけ害悪　

死ぬことだけが君にできる正義　さあ今すぐ自刎せよ　痛いのは一時だけだ

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 13:18:57.20

>>42
あなた容赦ないな笑

脆く弱い自我の持ち主だったらどうするんだ。

「彼は厳しいが悪意はない」とフォローしておく。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 14:40:05.36

>>43
>脆く弱い自我の持ち主だったらどうするんだ。

決まってるだろう？

「焼いて食う👿」

すべての生き物は食料だ・・・毒がない限りｗ

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 14:47:16.17

人肉を食べたら体に何が起こるのか？
https://gigazine.net/news/20170522-what-if-ate-human-flesh/

分かった、直接食べるのはやめとく

何かに食わせて、その何かを別の何かに食わせて・・・
最終的に🐖に食わせて、その🐖を食う

ああ、イスラム教徒じゃなくてよかった・・・
しまった、四人の妻がいることを忘れてた！ｗ

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 16:38:10.88

なんか猿が静かに発狂してるなこのスレｗ
醜いねしかし
よくもまあデタラメをしゃーしゃーと

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 16:41:02.83

>>32
そう言うことですね
猿が醜い醜い
死ねば良いのにｗ
猿は落ち着いた風を装ってデタラメをくっちゃべって
ケムに巻けば勝ちだとか思ってるｗ

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 16:55:04.14

ウソつき猿のデタラメはおいといて
バナッハ・タルスキーの本質は上に書いたとおり
コンパクトな立体なのに体積の無いもの（体積が原理的に測れないもの）が存在すると言うことが
選択公理を仮定すると証明出来てしまうと言う点にある。
この部分が無いなら
1=2はい矛盾、選択公理は間違いなことが示せました。
これが言えたはずなのだ。
そうはならずに選択公理が否定されずに
バナッハ・タルスキーのほうが逆理と呼ぼれたのは
コンパクトなのに体積の存在しないとんでもない立体が選択公理を仮定すると作れてしまうからだ。
ウソつきの猿はおいといて、当然これが本質ｗ

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 16:56:44.80

>>42

>>43

それはお前らだよ猿ｗ
自己投影、自己紹介は猿の常套手段ｗｗｗ

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 17:08:06.32

>>48
その言い方だと
「コンパクトがパラドックスの本質！」
みたいに聞こえるなあｗ

例えば、RをZで割って
可算個の部分集合のコピーで全体を成すのは
全然パラドックスでもなんでもなくて
S1をZ(例えば円周上のある有理点にとって構成される回転全体）で割って
可算個の部分集合のコピーで全体を成すのは
完全なパラドックスってことっすか？

改めて聞くけど、なんで？

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 17:19:02.13

>>50
この場合は正しくそうだよ。
途中に無限大の過程が挟まったら
♾＝2×♾
なんてのは数学としては別段不思議ではないし
仮にそれが不思議だ、逆理だと言うとしても、
わざわざバナッハ・タルスキーを持ち出す理由に全然なってない。
バナッハ・タルスキーの不思議さは
コンパクトなのに体積が測れないものがある、この点に尽きる。
このため途中に無限大が全然絡まないのに1=2なんてことが
言えても矛盾にならないんだから。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 17:21:16.62

まあもう少し正確に言うと
1=2が言えたことにならないって結論になるから
矛盾を導き出せてないってことになるってことだろうがね。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 17:28:05.23

>>51
＞途中に無限大の過程が挟まったら

コンパクトでも挟まるけどねｗ

だって球面の点は非可算無限個あるよね？
回転群の要素も非可算無限個あるよね？
F2の要素は可算無限個だよね？

おもいっきり挟まってんじゃんｗ

>>52
非可測ってことで逃げただけ

別にいいけどさ

測度とかコンパクトとか結局ただの都合じゃん

それが思惑どうりに行かなかったってことだろ？

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 17:35:44.36

>>53
？
体積がコンパクトだって話しだよ猿
あるいは三次元的に有界だってこと
どこかの部分が三次元的に無限大に伸びてたりとか
そういう事が起こってないってこと
にもかかわらず体積が原理的に測れない立体がある
これがバナッハ・タルスキーの逆理で本質的な役割を果たす

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 17:37:56.98

>>53
一対一対応の話しと測度の話しとを
意図的に混同しようとしてるだろ猿？
まあいつもの猿の常套手段ですなｗ
デタラメ言ってケムに巻けば勝ちだと思ってるだろお前ら猿は？

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 17:41:49.92

>>54
＞体積がコンパクトだって話しだよ

コンパクトって位相の性質だけどね　知らなかった？

コンパクトな空間の測度を有限にしたいってことでしょ？

でも合同変換群がF2のような逆説的な群を部分群として含むと
非可測集合が上手くいかない

ノンコンパクトでも全体の測度を有限にしようとした場合
合同変換群が逆説的な部分群を含むと上手くいかないが
その場合には、選択公理をつかわなくても説明できる

コンパクトの場合は逆説的な部分群で割った集合が
大体位相的にヘンチクリンなことになってるってことでしょ

あんたやっぱり肝心なこと全然わかってないね

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 17:42:16.42

１の長さの線分と２の長さの線分との間には
一対一対応付けられるよ。
でも
ルベーグ測度１の線分の測度＝ルベーグ測度２の線分の測度
になったら矛盾だぞ猿ｗ

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 17:43:15.69

>>56
分かってないのはお前だよ猿ｗ
>>54でいいよバーカｗ

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 17:44:59.04

>>58
今日のトンデモ発言

「体積がコンパクト」

ｗｗｗｗｗｗｗ

「空間がコンパクトで、体積が有限」っていえよ　🐎ぁぁぁぁぁ🦌ｗ

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 17:46:08.08

>>59
体積がコンパクトはおかしかったな確かに
三次元的にコンパクトってことだよ猿ｗ

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 17:52:11.88

>>60
＞三次元的にコンパクトってことだよ

まだオカシイ

コンパクト＝有界って意味で言ってるみたいだけどね

数学科のヤツらなら「有限開被覆がとれる」っていう意味で使うぞ

で、そこんところが
「ノンコンパクトだとナイーブなイメージで
　パラドックスの構築が上手くいくのが
　コンパクトだとそう簡単にいかない」
最大の理由だってことはわかるか？

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 17:57:56.65

>>61
>数学科のヤツらなら「有限開被覆がとれる」っていう意味で使うぞ
多分正しく理解はしている人だろうと思いたいが
本当にこう言ったら院試で落とされるからな

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 18:04:44.64

>>61
定義が違うんだから同じじゃ無いが
今の場合は本質的には同じことだろ
まあ話し逸らすのに必死だな猿はｗ
そんなだから猿呼ばわりなんだよお前はｗ

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 18:13:41.56

>>62
どういうこと？

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 18:19:53.71

>>62
正確には「任意の開被覆から有限な部分被覆をとることができる」

>>63
君がどういう定義で言ってるか知らんから君の定義を書け
何が本質か君が分かってる保証もないしな

おまえ、出身学科どこだよ　数学科じゃないだろ？

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 18:21:51.92

どうせ「任意の」開被覆から有限「部分」被覆がとれる、的な揚げ足取りじゃない？

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 18:25:48.11

>>65
こらこら二匹目の猿ｗｗ

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 18:26:53.14

猿が話し逸らすのに必死だなｗ

そんなだからお前らは猿呼ばわりなんだよ猿ｗｗ

　

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 18:32:56.84

バナッハ・タルスキーの逆理の本質は
選択公理を仮定すると
三次元的にコンパクト／三次元的に有界な立体で
体積が測れないものが存在すると言う点にある。

だから一見、1=2 → 矛盾だ！的に見えるが、
証明においてルベーグ非可測集合の存在を避けて通ることが出来ないから
不思議だが矛盾ではない

これがバナッハ・タルスキーの逆理の本質

　

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 18:58:46.48

>>69
ありゃ、立体に固執してるんだｗ

そもそも本来の例は球面だろ？

まあ、立体にもできるけどな

なんかF2の逆説性とか分かってなさそうだし

SO3(R)にF2がどう入るかも分かってなさそう

ただわけもわからず「センタクコウリ！」っていえば
利口ぶることができると思ってそうｗｗｗｗｗｗｗ

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 19:00:11.73

猿が醜い
醜過ぎるｗ

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 19:37:03.20

>>71
必死だなｗ
あんた学科どこ？数学科じゃないだろ？

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 20:48:16.82

双曲全平面版も「一つのバナッハ-タルスキーパラドックス」
と考えてるひとは世の中に間違いなくいるわけでしょ。
（論文も出ているし、本にも載っている。）

コンパクトでも有界でもないんだが。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/28(月) 20:56:06.09

自慢じゃないけど、わたしは全く自分で思いついたけどねｗ

調べたら論文まで出ているのに驚いた。
（予想はしていたが、意外に新しいことに驚いた。）

「コンパクトだから凄いんだ」という意見は一理はあるけどね。
（多分、測度論とかやってるひとじゃないかな。）

「代表系が具体的に見える」とか「結局どういうことが起きているか」
とかの理解には双曲幾何版にも意味はあると思う。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/29(火) 00:10:43.77

>>48
>バナッハ・タルスキーの本質は上に書いたとおり
>コンパクトな立体なのに体積の無いもの（体積が原理的に測れないもの）が存在すると言うことが
>選択公理を仮定すると証明出来てしまうと言う点にある。

て言ってるけど、コンパクトなのは球面（または球体）であって
途中で出てくる分割された非可測集合は全然コンパクトじゃないよね。
有界なだけ。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/29(火) 00:49:07.29

まさか測度論に拘りあるぽいひとが、そんな初歩的な間違いするわけないというのは買い被りか？
分割した際に測度の加法性が成立しないってだけだよね。
球体に関しては体積1と2は間違いなく成立している。
ただし、一旦分割したとき非可測集合になっているので加法性が成立せず
合同変換群を作用させたあとくっつけて2倍の球体を得ても
1と2をイコールで結べないってことだよね。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/29(火) 01:02:08.09

はっきり言って「猿、猿」言うのも哀れすぎ。
社会性がないのか、掲示板では何言ってもいいと思ってるのか
知らないけど、５ｃｈでさえ、これだけ社会性のないひとは
珍しいでしょ。数学科かどうかとか言う以前の話。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/29(火) 05:11:19.32

>>74
>自慢じゃないけど、わたしは全く自分で思いついたけどねｗ

さすがだね　ま　タネを理解したら自明だけど
そもそもタネを理解してる人って少ないからねえ

大学どこ？数学科だよね？

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/29(火) 05:16:55.14

>>77　ま、いわせとけばいいじゃん　恥かくの自分だし

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/29(火) 05:19:49.95

これは自分自身に対する反省としていうんだけど

さして難しいとはいえない事柄なのに
理解する人が少ないというのは
結局その事柄を理解しようという意欲が
低いからなんだよね

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/29(火) 06:06:06.68

>>73
> 双曲全平面版も「一つのバナッハ-タルスキーパラドックス」
これはちょっと変じゃない？

ちょっと調べてみたところでは、空間全体を選択公理を使わずにパラドキシカルに分割する話は、例えばR^2を分割するのが、Sierpinski-Mazurkiewicz Paradoxとか呼ばれているもので、
論文は1914で、そういったものを踏まえた上でのBanach-Tarskiの1924の論文じゃないの。
それの双曲空間バージョンでしょ。

Banach-Tarskiのパラドックスと無関係とは言わないけど。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/29(火) 06:11:41.45

ユークリッド空間内の有限の大きさのものが2つに増えるというのが
このパラドックスの不思議さのミソじゃないの

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/29(火) 08:32:23.87

>>78
大学名はちょっと...笑
別に大学はあまり関係ないんですよ。
もともとパラドックス系の話に興味があったわけでもなく
バナッハ-タルスキーのことを知ったのも随分後なんですよ。
たまたまF_2のことをよく考えていて
これって、上半平面で考えたら代表系は
選択公理必要なく具体的に取れて
簡単だよねと思っただけです。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/29(火) 08:36:25.35

>>81
歴史的経緯はよく知りませんが、単純に洋書の専門書に
A Banach–Tarski Paradox of the Whole Hyperbolic Plane.
という項があるし、関連論文も書かれてますね。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/29(火) 16:40:32.29

>>83
>大学名はちょっと...笑

あやしい・・・さてはＴ大か？（冗談

>別に大学はあまり関係ないんですよ。

うん、大学のカリキュラムに関係ないという意味ではその通り
別にどこの大学の出身者が気づいてもおかしくはない

単に知能と関係があるかもしれんと思って聞いたまで
知能そのものはわからないので出身大学で推定しようというわけ

別に知能が高いから偉いとか、低いからダメだとかいうつもりはない
ただ数学がわかるか否かと、知能の高低は相関がある・・・残念ながら
（時にこの板で「罵倒」するのは、数学が分かってないくせに
　分かった風な口をききたがる「反数学テロリスト」を抹殺したいから
　別に数学を破壊するテロを行わないなら
　知能指数がどんなに低かろうが構わない
　え？高かったら？そりゃ怠慢だろ！勉強しろよ！ｗ）

>たまたまF_2のことをよく考えていて
>これって、上半平面で考えたら
>代表系は選択公理必要なく具体的に取れて
>簡単だよねと思っただけです。

まあ、そうだよね　あなたのいいたいことはよくわかる
そして、なんで上半平面だと上手くとれるかといえば
やっぱりコンパクトではないからなんだろうと思っている
コンパクトだったら簡単に取れないだろうなと
ま、証明したわけではないので、私の予想にすぎませんが

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/01(金) 01:02:43.12

少し認識が深まったのは、「非可測集合だから測度の加法性が成立しない」
というよりも、むしろ選択公理を仮定すると測度の（可算または有限）
加法性が成立しない集合の存在が言えてしまうことから
そのような集合を「可測集合の族から除外しておくことにする」
というのが正しいのかな？

そしてヴィタリ集合は可算加法性をみたさないのに対して
バナッハ-タルスキーは有限加法性をみたさない例を作った
しかもユークリッド平面では存在せず、3次元では
存在するのは、測度を不変にする変換群が強い非可換性
を持つ部分群を含むという代数的性質が寄与している
というのが驚きなのだろう。

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/01(金) 01:09:25.54

>>85
>コンパクトだったら簡単に取れないだろうなと
>ま、証明したわけではないので、私の予想にすぎませんが
コンパクトということは体積有限ということから
選択公理のもとに同様に非可測集合の存在が言えるはず。
→ソロヴェイの定理「R上のルベーグ非可測集合の
存在は、ZF（+可算選択公理）では証明できない」
が拡張できるならば
「代表系が簡単には取れない=ZFでは構成できない」
の意味で証明されるのでは。
このあたりの話詳しくないので、誤解・穴があるかもしれませんが。

確かに簡単な話とは思えませんね。

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/04(月) 06:56:40.84

動中

**１３２人目の素数さん** · 2021/01/09(土) 09:13:05.63

「ヘンペルのカラス」は「全てのカラスは黒い[注釈 1]」という命題を証明する以下のような対偶論法を指す[1]。

「AならばBである」という命題の真偽は、その対偶「BでないものはAでない」の真偽と必ず同値となる[2][3][4]。全称命題「全てのカラスは黒い」という命題はその対偶「全ての黒くないものはカラスでない」と同値であるので、これを証明すれば良い[2][3]。そして「全ての黒くないものはカラスでない」という命題は、世界中の黒くないものを順に調べ、それらの中に一つもカラスがないことをチェックすれば証明することができる[3]。

つまり、カラスを一羽も調べること無く、それが事実に合致することを証明できるのである[2][3]。これは日常的な感覚からすれば奇妙にも見える[2][3]。

こうした、一見素朴な直観に反する論法の存在を示したのが「ヘンペルのカラス」である。

**１３２人目の素数さん** · 2021/02/09(火) 18:55:14.22

集合の要素かどうかだけなら補集合を調べても同じ
これが不思議なのかな～

**１３２人目の素数さん** · 2021/12/05(日) 14:56:52.39

ここもまだ残ってたか

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/01(土) 15:20:23.28

test

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/01(土) 15:23:39.61

ワインの樽好き

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/01(土) 19:46:33.13

選択公理って無意識のうちに使うもの

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/02(日) 21:52:43.16

>>89
どうでもいいけど、全ての黒くないものって無限にありうるので
たぶん証明不可能。全てのカラスを調べたほうが手っ取り早い。

**１３２人目の素数さん** · 2022/01/11(火) 21:14:38.45

バナッハ・タルスキ周辺に興味あるなら
Stan Wagon「The Banach–Tarski Paradox」2nd Ed. 2016
まだ読み始めたばかりですが、これいい感じですよ。基礎論の前提知識はそんなになくても読め進められます。

2章 The Hausdorff Paradox にて K.Sato (佐藤健治) による Sato-rotations てのが出てきます。
これを使って「3次元以上のSO(Q)に次数2の自由群が含まれる」を証明します。その先も何箇所か Sato氏への言及があります。
NagataやKodairaみたいなレジェンド級以外で日本人名を見かけるのは稀なのでちょっと驚きました。

**１３２人目の素数さん** · 2022/04/11(月) 01:53:38.90

＞バナッハ＝タルスキーのパラドックス: 球を適当に分割して、組み替えることで、元と同じ球を2つ作ることができる。

これが正しいとされる世界ならもっととんでもないことまで証明されてしまって数学が破綻しないのか？って
思えるんだけど。。