>>14のつづき

■火曜日

ID:t2rCNfO0
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/122
>1.Q上対称群S_n（nは2以上の任意整数）をガロア群としてもつガロア拡大K/Q が存在する。
>2.任意の有限群Gはあるnに対してS_nの部分群と同型。（つまりGは忠実な置換表現を持つ。）
>3.ガロア対応。S_nの任意の部分群Gに対してGの不変体をkとするとK/kはガロア拡大でGal(K/k)=G。
>1.はNo.80のヒントに書いた。決して自明ではなく、証明されるべきこと。
>2.,3. は代数の常識。

雑談氏
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/129
>2．って、ケーリー（Cayley）の定理でしょ？
>いま問題にしているのは "ガロアの逆問題"で、
>与えられた群をガロア群にもつ方程式（あるいは体の拡大）
>を構成する問題ですよ
>ちょっと違うんじゃない？
>つまり"ガロアの逆問題"は、
>与えられた群Gを含む大きなガロア群（例えば大きなSn）
>を見つける問題ではなく、
>「群Gそのものがガロア群になる体の拡大が存在するかどうか」
>という問題でしょ？

ID:t2rCNfO0
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/138
「ガロア逆問題」は「Q上」という条件が付いている。
そして、Q上とは限らず、ともかくGをガロア群として持つガロア拡大K/kが存在するか？
という問題だと存在は自明になってしまう。だから問題にされないんですよ。
証明はNo.122に書いてある通りです。

雑談氏
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/149
>ケーリー（Cayley）の定理(No.129）より
>任意の群Gは、置換群による表現を持ち、ある大きな対称群Snに含まれる
>そして、ある体E上で、対称群Snをもつ一般方程式（それはn次になる）が存在して、
>代数拡大F/Eが得られる
>これは、Q上でも同じ
>それで良いなら、
>ガロア逆問題
>なんてことにはならないでしょ？

ID:t2rCNfO0
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/152
>証明はNo.122で示しましたよ。不備があるなら言って下さい。
>補足しますよ。具体例は自分で計算してください。

ID:t2rCNfO0
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/153
>基礎体を任意に選んでいいならガロア逆問題じゃないです。
>Wikipediaで存在しないんかもね？と言われてるのはQ上の話です。
>Q上で存在しないとしてもある代数体k上では存在するとしても何の矛盾もありません。

ID:t2rCNfO0
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1571400076/156
Gal(K/k)=GとなるK/kが存在する。
それは、Kがk上のある代数方程式の分解体だということです。
Q上の代数方程式で同じガロア群を持つ方程式が存在することを意味しません。