楕円関数・テータ関数・モジュラー関数

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/02(月) 07:00:50.57

三者の関係について語すスレ

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/18(水) 19:16:56.24

>>79
誤りがあったので訂正

★定理2.3
WeierstrassのP関数は微分方程式
P'^2=4P^3-g2P-g3
を満たす

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/18(水) 19:41:44.06

★定理2.6(加法公式)
u1,u2,u3∈C,
u1+u2+u3=0のとき、
等式

|P(u1) P'(u1) 1|
|P(u2) P'(u2) 1|
|P(u3) P'(u3) 1|
=0

が成り立つ

★定理2.7
u1+u2+u3=0のとき、
3次曲線
C*:x0x2^2=4x1^3-g2x0^2x1-g3x0^3
上の3点
[1,P(u1),P'(u1)]
[1,P(u2),P'(u2)]
[1,P(u3),P'(u3)]
は同一直線上にある。

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/18(水) 19:42:07.36

★定理2.8
u1+u2+u3=0のとき、
次の公式が成り立つ

1)P(u1)+P(u2)+P(u3)=a^2/4
2)(P(u1)+P(u2)＋P(u3))(4P(u1)P(u2)P(u3)-g3)=(P(u1)P(u2)+P(u2)P(u3)+P(u3)P(u1)+g2/4)^2

ただし
a=(P'(u1)-P'(u2))/(P(u1)-P(u2))

定理2.6より
P'(u1)(P(u3)-P(u2))+P'(u2)(P(u1)-P(u3))＋P'(u3)(P(u2)-P(u1))=0
したがって
P'(u3)=(P'(u1)(P(u3)-P(u2))+P'(u2)(P(u1)-P(u3)))/(P(u1)-P(u2))

定理2.8の1)から導かれる式
P(u3)=-P(u1)-P(u2)+a^2/4
をつかってP(u3)を消去すれば、以下の定理を得る

★定理2.9

P(u1+u2)=-P(u1)-P(u2)+a^2/4
P'(u1+u2)=(1/(P(u2)-P(u1))）
[P'(u1){(-P(u1)-2P(u2))+(a^2/4)}
+P'(u2){(2P(u1)+ P(u2))-(a^2/4)}]

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/18(水) 19:43:22.46

☆補題2.3

f(u)をΩを周期とする2重周期関数とする
f(u)が偶関数であれば、f(u)はP(u)の有理式で書ける

★定理2.10

f(u)をΩを周期とする2重周期関数とする。
このときP(u)の有理式F(P(u)),G(P(u))が存在して
f(u)＝F(P(u))＋G(P(u))P'(u)
と書ける

Ωを周期とする楕円関数全体K(Ω)は楕円関数体を構成する
定理2.10は、体K(Ω)がP(u),P'(u)により、C上生成されることを示す
K(Ω)=C(P(u),P'(u))

一方微分方程式
P'^2=4P^3-g2P-g3
は体C(P(u),P'(u))がC(P(u))の二次拡大であることを示している

つまり抽象体として、下記は同型である
C(P(u),P'(u))≣C[x,y]/(y^2-4x^3+g2x+x)

したがって楕円関数体の構造は
g2=60Σ'1/ω^4,　g3=140Σ'1/ω^6
によって完全に決まる

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/18(水) 19:47:58.35

★定理2.11(Chow)

W⊂Pnを複素閉部分多様体とする
このとき斉次多項式f1,…,frが存在して
Wは、f1,…,frの共通零点の集合となる

★定理2.12

V⊂Pnを非特異射影多様体とする
このとき代数多様体V上の有理関数体C(V)は
複素多様体V上の有理型関数全体のなす体と一致する

定理2.10は、定理2.12を3次曲線
C*:x0x2^2=4x1^3-g2x0^2x1-g3x0^3
に適用した特別の場合となる

この型の定理をGAGA型の定理という
(GAGAとはSerreの論文
"Geometrie Algebrique et Geometrie Analytique"
に由来する)

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/18(水) 19:55:04.14

感想

P関数の加法公式　及び
楕円関数体がPおよびP'によって生成されること
を示しました

この後、Weierstrassのζ関数およびσ関数の話になります

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/20(金) 02:43:08.09

https://news.yahoo.co.jp/articles/8962165de43b5e742ae4be6432cc9bf1dbb6fd8e/comments

南京慰安婦国技殺人ニホンザルをこの世から殺し尽くせ

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/20(金) 07:05:46.63

昭和女のエレジー終戦間際の狂気、全裸羞恥に咽び泣く女達

https://www.dmm.co.jp/mono/dvd/-/detail/=/cid=1hbad398/?dmmref=aMonoDvd_List/

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/21(土) 05:37:36.63

□Weierstrassのζ関数
ζ(u)=1/u+Σ'(1/(u-ω)+1/ω+u/ω＾2)
と定義する
(Σ'はωが集合Ω\{0}を動くときの総和)

ζ'(u)=-1/u^2+Σ'(-1/(u-ω)^2+1/ω^2)
　　　=-P(u)

ζ(-u)=-ζ(u)　(※)

ω∈Ωとすると

ζ(u+ω)-ζ(u)は定数である

ζ(u+ω1)-ζ(u)=η1
ζ(u+ω2)-ζ(u)=η2

とすると、(※)より

2η(ω1/2)=η1
2η(ω2/2)=η2

一般に整数m,nに対して

ζ(u+mω1+nω2)=ζ(u)+mω1+nω2

ζはΩのみで極を持ち、その位数は1、そこでの留数は1
したがって、周期平行四辺形[u0]の辺Γ上、反時計回りに積分すれば

2πi=∫Γ　ζ(u)du
=∫[u0　u0+ω2]　(ζ(u+ω1)-ζ(u))du-∫[u0　u0+ω1]　(ζ(u+ω2)-ζ(u))du
=η1ω2-η2ω1

(Legendreの関係式)

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/21(土) 05:39:53.44

●命題2.3

φ(u)を楕円関数とし、その極はすべて1位であるとする
周期平行四辺形上でのφ(u)の極を
a1,…,ar
そこでの留数を
c1,…,cn
とする
このとき、複素数c0が存在して、以下が成立する
φ(u)=c0+Σ(i=1～r) ciζ(u-ai)

---
なぜなら、命題1.6により、周期平行四辺形上の
留数の総和Σ(i=1～r) ci=0であるので

ψ(u)=Σ(i=1～r) ciζ(u-ai)

は楕円関数であり、またφ(u)-ψ(u)は全平面上正則であるから
命題1.5により定数　その値をc0とすればいい

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/21(土) 05:42:35.70

さて
ζ(u)-1/u=Σ'(1/(u-ω)+1/ω+u/ω＾2)

∫[0 u] (ζ(u)-1/u)du
=∫[0 u] Σ'(1/(u-ω)+1/ω+u/ω＾2)du
=Σ'(1/(u-ω)+1/ω+u/ω＾2)
=Σ'(log(1-u/ω)+u/ω+u^2/2ω^2)

exp(Σ'(log(1-u/ω)+u/ω+u^2/2ω^2))
=Π'(1-u/ω)exp(u/ω+u^2/2ω^2)

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/21(土) 05:43:50.65

>>93
□Weierstrassのσ関数

σ(u)
=u exp(∫[0 u] (ζ(u)-1/u)du)
=uΠ'(1-u/ω)exp(u/ω+u^2/2ω^2)
と定義する

exp(∫[0 u] (ζ(u)-1/u)du)
=σ(u)/u

両辺のlog微分をとると
ζ(u)-1/u=σ'(u)/σ(u)-1/u

したがって
ζ(u)=σ'(u)/σ(u)
P(u)=-ζ'(u)=d^2logσ(u)/du^2=(σ'(u)^2-σ(u)σ''(u))/σ^2(u)

★命題2.4
σ(u)=u+a5u^5+a7u^7+…

a_2n+1(n>=2)はg2,g3の有理数を係数とする多項式

★命題2.5
整数m,nに対して,等式
σ(u+mω1+nω2)
=(-1)^(n+n+mn) exp((mη1+nη2)(u+(mω1+nω2)/2))σ(u)

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/21(土) 05:46:11.70

f(u)=σ(u-b)/σ(u-a)

ω=mω1+nω2
η=mη1+nη2
とすれば
f(u+ω)=exp(η(a-b))f(u)

したがって以下の定理がいえる

★定理2.6
g(u)を位数rの楕円関数、
その零点の完全代表系を
b1,…,br
極の代表系を
a1,…,ar
とする

このとき、定理1.2(Abel)より
Σ(i=1～r)ai=Σ(i=1～r)bi+ω
となり、代表系の交換により
Σ(i=1～r)ai=Σ(i=1～r)bi
とできるので
0でない定数cが存在して
g(u)=c(σ(u-b1)…σ(u-br))/(σ(u-a1)…σ(u-ar))
と書ける

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/21(土) 15:58:04.95

☆補題2.4
ωを定数とし、任意の複素数uについて、
P(u+ω)=P(u)
が成り立てば、ω∈Ωである

●命題2.7
ω1,ω2およびω1',ω2'をR上1次独立な複素数の二つの組とする
次の条件は同値である
1)uの関数として
　P(u;ω1,ω2)=P(u;ω1',ω2')
　が成り立つ
2)(ω1,ω2)=(ω1',ω2')
3)行列
　(a　b)
　(c　d)
　∈GL2(Z)が存在して、
　(ω1)
　(ω2)
=
　(a　b)(ω1')
　(c　d)(ω2')

　GL2(Z)={
　(a　b)
　(c　d)
　|a,b,c,d∈Z,ad-bc=±1}

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/21(土) 15:58:39.99

>>96
●命題2.8
　命題2.7の1)～3)と以下の条件は同値である
4)uの関数として
　ζ(u;ω1,ω2)=ζ(u;ω1',ω2')
　が成り立つ
5)uの関数として
　σ(u;ω1,ω2)=σ(u;ω1',ω2')
　が成り立つ

●命題2.9
　命題2.7,2.8のの1)～5)と以下の条件は同値である
6)g2(ω1,ω2)=g2(ω1',ω2')かつ
g3(ω1,ω2)=g3(ω1',ω2')が成立する

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/21(土) 16:07:44.56

問題2.1
　g2^3-27g3^2≠0となる複素数g2,g3が与えられたとき、
　３次曲線
　C*:x0x2^2=4x1^3-g2x0^2x1-g3x0^3
　を考える、
　このとき、R上1次独立な複素数ω1,ω2が存在して、写像
　C/Ω→P2：u→[1,P(u;ω1,ω2),P'(u;ω1,ω2)]
　によってC/Ωと３次曲線C*は同型になるか？

問題2.2
　g2^3-27g3^2≠0となる複素数g2,g3が与えられたとき、
　g2(ω1,ω2)=g2、g3(ω1,ω2)=g3
　となるR上1次独立な複素数ω1,ω2は存在するか？

答えは肯定的である

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/21(土) 16:08:34.86

>>98
☆補題2.5
　g2(e^(2πi/3),1)=0

☆補題2.6
　g3(i,1)=0

★定理2.13
　任意の複素数aに対して
　J(ω1,ω2) = 1728g2^3(ω1,ω2)/(g2^3(ω1,ω2)-27g3^2(ω1,ω2)) = a
　となるようなR上1次独立な複素数ω1,ω2が存在する

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/21(土) 16:18:55.00

感想
　>>91-95
　・Weierstrassのζ関数、σ関数を定義した
　（注：両方とも楕円関数ではない）
　・さらにζ関数、σ関数による楕円関数の表示が
　　可能であることを示した
　（ここで、楕円関数f(u)の周期平行四辺形[u0]上の
　　すべての極にわたる留数の総和は0であること、および
　　Abelの定理を使う）
　>>96-97
　・異なるω1,ω2が、同じ格子を持つとき、そのときに限り
　　同じP関数、ζ関数、σ関数をもたらすことを示した
　>>98-99
　・３次曲線が非特異であれば、対応する格子が存在することを示した

次回から、いよいよテータ関数に入る
刮目して待て！

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/22(日) 21:14:21.97

テータ関数って楕円関数の一種なの？

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/23(月) 20:11:34.41

違う
テータ関数は擬二重周期
楕円関数はテータ関数の積の比で表される

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/24(火) 19:36:46.31

○(x)=exp(2πix)
とおく

(注:原文ではe(x)としているが、
　　e^xと紛らわしいので
　　あえて○(x)と書き直す）

Hを上半平面とする

●命題3.1
　(z,τ)∈C×Hに対して、級数
　θ(z,τ)=Σ(n∈Z) ○(1/2*n^2τ+nz)
　を考える
　θ(z,τ)はC×H上広義一様に絶対収束し、
　θ(z,τ)はC×H上の正則関数となる

テータ関数の定義式は
　θ(z,τ)=Σ(n∈Z) ○(1/2*n^2τ)○(nz)
と書ける

　○(n(z+1))=○(nz)であるので
　θ(z+1,τ)=θ(z,τ)が成り立つ

さらに、以下が成り立つ

　θ(z+τ,τ)
＝Σ(n∈Z) ○(1/2*n^2τ+n(z+τ))
＝Σ(n∈Z) ○(1/2*(n+1)^2τ-1/2*τ+nz)
＝Σ(n∈Z) ○(1/2*(n+1)^2τ-1/2*τ+(n+1)z-z)
＝○(-1/2*τ-z)Σ(n∈Z) ○(1/2*(n+1)^2τ+(n+1)z)

n+1=mとおけば
＝○(-1/2*τ-z)Σ(m∈Z) ○(1/2*m^2τ+mz)
＝○(-1/2*τ-z)θ(z,τ)

つまり、以下が成り立つ
　θ(z+τ,τ)＝○(-1/2*τ-z)θ(z,τ)

一般にm,nを整数とすれば
　θ(z+mτ+n,τ)＝○(-1/2*m^2τ-mz)θ(z,τ)

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/24(火) 20:02:36.82

さて、a,b∈Rに対して
　θa,b(z,τ)＝○(1/2*a^2τ+a(z+b))θ(z+aτ+b,τ)
とおく
θa,b(z,τ)を指標a,bのテータ関数と呼ぶ

具体的に級数で書けば
　θa,b(z,τ)
＝○(1/2*a^2τ+a(z+b))Σ(n∈Z) ○(1/2*n^2τ+n(z+aτ+b))
＝Σ(n∈Z) ○(1/2*(n+a)^2τ+(n+a)(z+b))

上記より、以下の公式が成り立つ

θ0,0(z,τ)＝θ(z,τ)
θa,b(z+b',τ)＝θa,b+b'(z,τ)
○(1/2*a'^2τ+a'z)θa,b(z+a'τ,τ)＝○(-a'b)θa+a',b(z,τ)
θa+p,b+q(z,τ)＝○(aq)θa,b(z,τ)

ここで、a,a',b,b'∈R、p,q∈Z　である

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/24(火) 21:57:25.30

　
テータ関数ってのは何のためにあるのかな
楕円関数をテータ関数の比で表すということだけ？

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/25(水) 11:19:48.79

そうか、テータ関数はモジュラー形式の一種なんだね

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/25(水) 19:34:13.75

τ∈H、整数l>=0を固定して
V_l:={f(z)|f(z)は整関数、∀m,n∈Z.f(z+lmτ+ln)=○(-1/2*l^2m^2τ-lmz)f(z)}
とおく
V_lはC-ベクトル空間である
その基底をテータ関数を使って与えることができる

☆補題3.1
整関数f(z)に関する次の条件は同値である
1)f(z)∈V_l
2)f(z+lmτ)=○(-1/2*l^2m^2τ-lmz)f(z)およびf(z+ln)=f(z)が
　任意の整数m,nについて成り立つ
3)f(z+lτ)=○(-1/2*l^2τ-lz)f(z),f(z+l)=f(z)が成り立つ

☆補題3.2
整関数f(z)に関する次の条件は同値である
1)f(z)∈V_l
2)f(z)=Σ(n∈(1/l)Z) c_n○(1/2n^2τ+nZ)と展開できて
　さらにm-n∈lZとなるににのm,n∈(1/l)Zに対してc_m=c_nが成り立つ

ベクトル空間V_lの元f(z)は
f(z)=Σ(n∈(1/l)Z) c_n○(1/2n^2τ+nZ)
と書け、補題3.2より係数c_iは
0<=ｉ<=l-1/l (i∈(1/l)Z)
に対して自由に選べるので
以下の命題が証明できる

●命題3.2
C-ベクトル空間V_lの次元はl^2である

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/25(水) 19:45:16.14

>>107
テータ関数を使ってベクトル空間V_lの基底を書くことができる

●命題3.3
a_i∈(1/l)Z (i=0,…,l-1)
b_j∈(1/l)Z (j=0,…,l-1)
を2組の((1/l)Z)/Zの完全代表系とすると
θa_i,b_j(z,τ)
はC-ベクトル空間V_lの基底となる

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/26(木) 19:12:20.78

Vを整関数全体のなすC-ベクトル空間とする
ベクトル空間Vの自己同型全体のなす群をGL(V)で表す
τ∈Hを固定しておく

a,b∈Rに対して、線形写像S_b,T_aを
f(z)∈Vに対して

S_b f(z)=f(z+b)
T_a f(z)=○(1/2*a^2τ+az)f(z+aτ)

により定義すると,S_b,T_a∈GL(V)である

任意のb1,b2,a1,a2∈Rについて

S_b1・S_b2=S_b1+b2
T_a1・T_a2=T_a1+a2

である

S_bとT_aは可換に近いが実は異なる

S_b・T_a f(z)
=S_b(○(1/2*a^2τ+az)f(z+aτ))
=○(1/2*a^2τ+a(z+b))f(z+b+aτ)

T_a・S_b f(z)
=○(1/2*a^2τ+az)f(z+aτ+b)

つまり

S_b・T_a f(z)
=○(ab)T_a・S_b f(z)

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/26(木) 19:14:10.05

>>109
C1~*={c∈C||c|=1}と置く

写像
ρ:C1~*×R×R→GL(V)　(c,a,b)→cT_a・S_b
を考えると、ρは単射で、像ImρはGL(V)の部分群

(c1T_a1・S_b1)・(c2T_a2・S_b2)
=c1c2○(a,b)T_a1+a2・S_b1+b2

(cT_a・S_b)^-1=c^-1○(a,b)T_a・S_b

つまり

(c1,a1,b1)・(c2,a2,b2)=(c1c2○(a1,b2),a1+a2,b1+b2)
(c,a,b)^-1=(c^-1○(ab),-a,-b)

C1~*×R×Rの上記の群構造をGと書く
GをHeisenberg群と呼ぶ

●命題3.4
1)群Gの中心はC1~*(=C1~*×{0}×{0})である
2)群Gの交換子群[G,G]はC1~*である

C1~*はGの中心であるので正規部分群であり
商群G/C1~*は2次元ベクトルの加法群R×Rである
つまり以下は完全列である

1→C1~*→G→R×R→0

量子力学における有名な定理

★定理3.1(von Neumann-Stone)
Gの既約ユニタリ表現　ρ:G→GL(W)　で、
任意のc∈C1~*について　ρ(c)=cId_W　となるものが、
同型を除いて唯一つ存在する
(Id_WはWの恒等写像)

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/26(木) 19:41:41.93

>>109-110
さて、テータ関数とHeisenberg群の関係について述べる

(S_b・T_a)θ(z､τ)
=(S_b・T_a)Σ(n∈Z) ○(1/2*n^2τ+nz)
=S_b(○(1/2*a^2τ+az)Σ(n∈Z) ○(1/2*n^2τ+n(z+aτ))
=○(1/2*a^2τ+a(z+b))Σ(n∈Z) ○(1/2*n^2τ+n(z+b+aτ))
=θa,b(z,τ)

Γ={(1,a,b)∈G|a,b∈Z}とおけば、ΓはGの可換部分群
さらに整数l>=0に対して
lΓ={(1,a,b)∈G|a,b∈lZ}とおくと、lΓはΓの部分群で
(1,l,0)及び(1,0,l)によって生成される
ρ((1,l,0))=T_l,ρ((1,0,l))=S_lであるので
以下の命題を得る

●命題3.5
f(z)∈Vに関する次の条件は同値
1) f(z)はlΓ不変　つまりg∈lΓに対してg(f(z))=f(z)
2)S_l(f(z))=f(z),T_l(f(z))=f(z)

S_l(f(z))=f(z+l)
T_l(f(z))=○(1/2*l^2τ+lz)f(z+lτ)
であるので、補題3.1より、以下の結果を得る

●命題3.6
V_l={f(z)∈V|f(z)はlΓ不変}　(>>107)
が成立する

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/26(木) 19:57:02.22

>>109-111
Mumfordのテータ関数論で大切なのは
Heisenberg群の有限版である

mを正整数とし
μm={ζ∈C1~*|ζ^m=1}
とおく

さて
G(l)={(c,a,b)∈G｜c∈μl^2,　a,b∈(1/l)Z}
とおくと、G(l)はGの部分群で、lΓ⊂{G(l)の中心}である

Gl=G(l)/lΓ=μl^2×((1/l)Z/lZ)×((1/l)Z/lZ)

(c1,a1,b1)・(c2,a2,b2)=(c1c2○(a1,b2),a1+a2,b1+b2)

[Gl,Gl]=μl^2

Glは、Heisenberg群の有限版であり、
定理3.1の類似が成り立つ

★定理3.2
Glの有限次元既約表現　ρ:Gl→GL(W)で、
任意のc∈μl^2について　ρ(c)=cId_W　となるものが、
同型を除いて唯一つ存在する
(Id_WはWの恒等写像)

この既約表現が実はV_lである　(>>107)

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/27(金) 00:00:10.08

　
テータ関数が熱方程式の解であることには
何か深い意味でもあったりするの？

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/27(金) 01:08:26.67

>>113
「ユビキタス熱核」読んでスペクトル幾何調べて太鼓で形を聞き分ける絡みのネタ熱心に追ってた時期がボクにもありますた。

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/27(金) 14:31:54.84

　
テータ関数の本質というか正体っていったい何なんですか？
教科書を見ると変換公式やら互いの関係式やらは書いてあり
ますが、それだけでは何が何やらさっぱりわかりません・・

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/27(金) 20:06:33.49

V_l (>>107) に属するテータ関数を用いて
複素トーラスC/(1,τ)の
射影空間P l^2-1への埋め込みを与える

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/27(金) 20:07:14.10

>>116
Ω(τ)=(1,τ)とおく

☆補題3.3
0≠f(z)∈V_lとすると
f(z)はlΩ(τ)=(l,lτ)の基本周期四辺形の中に
ちょうどl^2個の零点を持つ
ただし零点は重複度を込めて数える

☆補題3.4
zの関数としてθ1/2,1/2(z,τ)は奇関数である　つまり
θ1/2,1/2(-z,τ)=-θ1/2,1/2(z,τ)
したがって
θ1/2,1/2(0,τ)=0

●命題3.7
θ(z,τ)の零点全体のなす集合は
{(p+1/2)τ+(q+1/2)|p,q∈Z}

(ai,bi)∈((1/l)Z)×((1/l)Z) (0<=i<=l^2-1)
を((1/l)Z)×((1/l)Z)の完全代表系とする
θi(z,τ)=θai,bi(z,τ)とおく

●命題3.8
θi(z,τ)の零点全体のなす集合は
{(-ai+p+1/2)τ+(-bi+q+1/2)|p,q∈Z}

i≠jならば
θi(z,τ)とθj(z,τ)には
共通零点が存在しない

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/27(金) 20:09:18.94

命題3.8 (>>117) より、
l>=2とすると、任意のz∈Cに対して
(θ0(lz,τ),…,θl^2-1(lz､τ))
は零ベクトルになることはないので、
射影空間P l^2-1の点
[θ0(lz,τ),…,θl^2-1(lz､τ)]
が定まる　つまり、解析写像
Φl:C→P l^2-1
z　→　[θ0(lz,τ),…,θl^2-1(lz､τ)]
が定まる

V_l(>>107)の定義より
　(θ0(l(z+1),τ),…,θl^2-1(l(z+1)､τ))
＝(θ0(lz,τ),…,θl^2-1(lz､τ))
　(θ0(l(z+τ),τ),…,θl^2-1(l(z+τ)､τ))
＝○(-1/2l^2τ-lz)(θ0(lz,τ),…,θl^2-1(lz､τ))
であるので
　[θ0(l(z+1),τ),…,θl^2-1(l(z+1)､τ)]
＝[θ0(lz,τ),…,θl^2-1(lz､τ)]
　[θ0(l(z+τ),τ),…,θl^2-1(l(z+τ)､τ)]
＝[θ0(lz,τ),…,θl^2-1(lz､τ)]

したがって、解析写像
φl:C/Ω(τ)→P l^2-1
z　→　[θ0(lz,τ),…,θl^2-1(lz､τ)]
が定まる

E_τ=C/Ω(τ)とおく

★定理3.3
l>=2ならば、解析写像
φl:E_τ→P l^2-1
は、複素トーラスE_τ=C/(1,τ)の射影空間P l^2-1への埋め込みである

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/28(土) 09:43:20.28

V_l(>>107)はG_l(>>112)加群であるので　準同型写像
ρ:G_l→GL(V_l)
が存在する
(1,a,b)∈μl^2×((1/l)Z/lZ)×((1/l)Z/lZ)に対して
ρ(1,a,b)(θi)=Σ(j=0～j^2-1) cijθj
であるとする

☆補題3.5
　φl(z+(aτ+b)/l,τ)
＝[Σ(j=0～j^2-1) c0jθj,…,Σ(j=0～j^2-1) cl^2-1jθj]

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/28(土) 09:52:51.67

●命題3.9
射影平面P l^2-1において、超平面Hと像φl(E_τ)の共通部分は
重複度も込めて丁度l^2個の点からなる

一般に射影空間Pn内のd次元射影多様体Vが与えられたとき
Pnの一般の位置にあるn-d次元超平面H^(n-d)とVは
有限個の点で交わることが知られている

さらに交点の数|V∩H|はHのとり方によらない
この数を射影多様体V⊂Pnの次数という

命題3.9はφl(E_τ)⊂P l^2-1がl^2次曲線であることを述べている

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/28(土) 19:12:39.36

l=2(>>107)の場合

伝統的テータ関数記号(Mumford,Tata lectures on Theta)の定義
θ00(z,τ)=θ0,0(z,τ)
θ01(z,τ)=θ0,1/2(z,τ)
θ10(z,τ)=θ1/2,0(z,τ)
θ11(z,τ)=θ1/2,1/2(z,τ)

指標付きテータ関数の定義(>>104)より
θ00(z,τ)=Σ(n∈Z) ○(1/2*n^2τ+nz)
θ01(z,τ)=Σ(n∈Z) ○(1/2*n^2τ+n(z+1/2))
θ10(z,τ)=Σ(n∈Z) ○(1/2*(n+1/2)^2τ+(n+1/2)z)
θ10(z,τ)=Σ(n∈Z) ○(1/2*(n+1/2)^2τ+(n+1/2)(z+1/2))

一方、以下が成立している
θ00(z,τ)=θ(z,τ)
θ01(z,τ)=θ(z+1/2,τ)
θ10(z,τ)=○(1/8τ+1/2z)θ(z+1/2τ,τ)
θ11(z,τ)=○(1/8τ+1/2(z+1/2))θ(z+1/2τ+1/2,τ)

関数の零点(>>117)　(p,q∈Z)
θ00(z,τ)　z=(p+1/2)τ+(q+1/2)
θ01(z,τ)　z=(p+1/2)τ+q
θ10(z,τ)　z=pτ+(q+1/2)
θ11(z,τ)　z=pτ+q

θ00(-z,τ)=θ00(z,τ)　偶関数
θ01(-z,τ)=θ01(z,τ)　偶関数
θ10(-z,τ)=θ10(z,τ)　偶関数
θ11(-z,τ)=-θ11(z,τ)　奇関数

>>118で、l=2とした場合
Φ2:C→P3　z→[θ00(2z,τ),θ01(2z,τ),θ10(2z,τ),θ11(2z,τ)]

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/01(火) 19:55:45.85

☆補題3.6
A=
(1 1 1 1)
(1 1 -1 -1)
(1 -1 1 -1)
(1 -1 -1 1)
とおくと、等式
tAA=AtA=4I4
が成立する

ここでI4は4次の対称行列を表す

つまり(1/2)Aは直交行列である

☆系3.1
u1,u2,u3,u4,v1,v2,v3,v4を変数とする

u をu1 ～u4 による縦ベクトル
u'をu1'～u4'による縦ベクトル
v をv1 ～v4 による縦ベクトル
v'をv1'～v4'による縦ベクトル
とする

u'=(1/2)Au　v'=(1/2)Av
とおく

このとき等式
Σ(i=1～4)ui'vi'=Σ(i=1～4)uivi
が成立する

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/01(火) 20:14:09.50

テータ関数の定義より
θ00(x1,τ)θ00(x2,τ)θ00(x3,τ)θ00(x4,τ)
=Σ(m1～m4∈Z) ○((1/2)(Σ(i=1～4)mi^2)τ+Σ(i=1～4)mixi)
θ01(x1,τ)θ01(x2,τ)θ01(x3,τ)θ01(x4,τ)
=Σ(m1～m4∈Z) ○((1/2)(Σ(i=1～4)mi)+(1/2)(Σ(i=1～4)mi^2)τ+Σ(i=1～4)mixi)
θ10(x1,τ)θ10(x2,τ)θ10(x3,τ)θ10(x4,τ)
=Σ(m1～m4∈Z) ○((1/2)(Σ(i=1～4)(mi+1/2)^2)τ+Σ(i=1～4)(mi+1/2)xi)
θ11(x1,τ)θ11(x2,τ)θ11(x3,τ)θ11(x4,τ)
=Σ(m1～m4∈Z) ○((1/2)(Σ(i=1～4)mi)+(1/2)(Σ(i=1～4)(mi+1/2)^2)τ+Σ(i=1～4)(mi+1/2)xi)

　上記四個の等式を加えると
θ00(x1,τ)θ00(x2,τ)θ00(x3,τ)θ00(x4,τ)
+θ01(x1,τ)θ01(x2,τ)θ01(x3,τ)θ01(x4,τ)
+θ10(x1,τ)θ10(x2,τ)θ10(x3,τ)θ10(x4,τ)
+θ11(x1,τ)θ11(x2,τ)θ11(x3,τ)θ11(x4,τ)
=2Σ'(m1～m4∈(1/2)Z) ○((1/2)(Σ(i=1～4)mi^2τ)+Σ(i=1～4)mixi)

ここでΣ'は条件1)または2)を満たす,すべてのm1～m4にわたる和を表す
1)i=1～4について、miは整数であって、Σ(i=1～4) mi∈2Z
2)i=1～4について、mi∈Z+1/2であって、Σ(i=1～4) mi∈2Z

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/01(火) 20:29:08.75

さて
n=n1～n4による縦ベクトル
m=m1～m4による縦ベクトル
x=x1～x4による縦ベクトル
y=y1～y4による縦ベクトル
として
n=(1/2)Am　y=(1/2)Ay
とおくと、以下の補題が成り立つ

☆補題3.7
m1～m4に関する次の条件は同値である
i) m1～m4はΣ'に関する>>123の条件1)または2)を満たす
ii)上に定義したn1～n4は整数である

系3.1(>>122)を、ui=vi=miとして適用して
Σ(i=1～4) mi^2=Σ(i=1～4) ni^2
を得る　さらにui=mi,vi=xiに適用すれば
Σ(i=1～4) mixi=Σ(i=1～4) niyi

したがって
θ00(x1,τ)θ00(x2,τ)θ00(x3,τ)θ00(x4,τ)
+θ01(x1,τ)θ01(x2,τ)θ01(x3,τ)θ01(x4,τ)
+θ10(x1,τ)θ10(x2,τ)θ10(x3,τ)θ10(x4,τ)
+θ11(x1,τ)θ11(x2,τ)θ11(x3,τ)θ11(x4,τ)
=2Σ'(n1～n4∈Z) ○((1/2)(Σ(i=1～4)ni^2τ)+Σ(i=1～4)niyi)

よってRiemannのテータ公式を得る
θ00(x1,τ)θ00(x2,τ)θ00(x3,τ)θ00(x4,τ)
+θ01(x1,τ)θ01(x2,τ)θ01(x3,τ)θ01(x4,τ)
+θ10(x1,τ)θ10(x2,τ)θ10(x3,τ)θ10(x4,τ)
+θ11(x1,τ)θ11(x2,τ)θ11(x3,τ)θ11(x4,τ)
=2θ00(y1,τ)θ00(y2,τ)θ00(y3,τ)θ00(y4,τ)

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/01(火) 20:56:15.51

☆補題3.8
次の公式が成り立つ
θ00(z+1,τ)=θ00(z,τ)
θ01(z+1,τ)=θ01(z,τ)
θ10(z+1,τ)=-θ10(z,τ)
θ11(z+1,τ)=-θ11(z,τ)

>>124の公式で、x1にx1+1を代入して補題3.8を使うと以下の公式を得る
θ00(x1,τ)θ00(x2,τ)θ00(x3,τ)θ00(x4,τ)
+θ01(x1,τ)θ01(x2,τ)θ01(x3,τ)θ01(x4,τ)
-θ10(x1,τ)θ10(x2,τ)θ10(x3,τ)θ10(x4,τ)
-θ11(x1,τ)θ11(x2,τ)θ11(x3,τ)θ11(x4,τ)
=2θ01(y1,τ)θ01(y2,τ)θ01(y3,τ)θ01(y4,τ)

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/01(火) 20:56:40.47

☆補題3.9
次の公式が成り立つ
○(τ/2+z)θ00(z+τ,τ)=θ00(z,τ)
○(τ/2+z)θ01(z+τ,τ)=-θ01(z,τ)
○(τ/2+z)θ10(z+τ,τ)=θ10(z,τ)
○(τ/2+z)θ11(z+τ,τ)=-θ11(z,τ)

>>124の公式で、x1にx1+τを代入して両辺に○(τ/2+x1)を掛けると
補題3.9により以下の公式を得る

θ00(x1,τ)θ00(x2,τ)θ00(x3,τ)θ00(x4,τ)
-θ01(x1,τ)θ01(x2,τ)θ01(x3,τ)θ01(x4,τ)
+θ10(x1,τ)θ10(x2,τ)θ10(x3,τ)θ10(x4,τ)
-θ11(x1,τ)θ11(x2,τ)θ11(x3,τ)θ11(x4,τ)
=2θ10(y1,τ)θ10(y2,τ)θ10(y3,τ)θ10(y4,τ)

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/01(火) 20:57:12.08

☆補題3.10
次の公式が成り立つ
○(τ/2+z)θ00(z+τ+1,τ)=θ00(z,τ)
○(τ/2+z)θ01(z+τ+1,τ)=-θ01(z,τ)
○(τ/2+z)θ10(z+τ+1,τ)=-θ10(z,τ)
○(τ/2+z)θ11(z+τ+1,τ)=θ11(z,τ)

>>124の公式で、x1にx1+τ+1を代入して両辺に○(τ/2+x1)を掛けると
補題3.10より以下の公式を得る

θ00(x1,τ)θ00(x2,τ)θ00(x3,τ)θ00(x4,τ)
-θ01(x1,τ)θ01(x2,τ)θ01(x3,τ)θ01(x4,τ)
-θ10(x1,τ)θ10(x2,τ)θ10(x3,τ)θ10(x4,τ)
+θ11(x1,τ)θ11(x2,τ)θ11(x3,τ)θ11(x4,τ)
=2θ11(y1,τ)θ11(y2,τ)θ11(y3,τ)θ11(y4,τ)

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/01(火) 21:30:45.64

x1,x2,x3,x4にx1+l1,x2+l2,x3+l3,x4+l4を代入することにより
20個の公式を得る
l1～l4∈(1/2,τ/2)　かつ　l1+l2+l3+l4∈(1,τ)　である

θab(x1,τ)θcd(x2,τ)θef(x3,τ)θgh(x4,τ)　を
[ab,cd,ef,gh]　と表し
θab(y1,τ)θcd(y2,τ)θef(y3,τ)θgh(y4,τ)　を
[ab,cd,ef,gh]'　と表す

上記の記号により20個のRiemannテータを記載する
1) [00,00,00,00]+[01,01,01,01]+[10,10,10,10]+[11,11,11,11] = 2[00,00,00,00]'
2) [00,00,00,00]+[01,01,01,01]-[10,10,10,10]-[11,11,11,11] = 2[01,01,01,01]'
3) [00,00,00,00]-[01,01,01,01]+[10,10,10,10]-[11,11,11,11] = 2[10,10,10,10]'
4) [00,00,00,00]-[01,01,01,01]-[10,10,10,10]+[11,11,11,11] = 2[11,11,11,11]'

5) [00,00,01,01]+[01,01,00,00]+[10,10,11,11]+[11,11,10,10] = 2[01,01,00,00]'
6) [00,00,01,01]+[01,01,00,00]-[10,10,11,11]-[11,11,10,10] = 2[00,00,01,01]'
7) [00,00,01,01]-[01,01,00,00]+[10,10,11,11]-[11,11,10,10] =-2[11,11,10,10]'
8) [00,00,01,01]-[01,01,00,00]-[10,10,11,11]+[11,11,10,10] =-2[10,10,11,11]'

9) [00,00,10,10]+[01,01,11,11]+[10,10,00,00]+[11,11,01,01] = 2[00,00,10,10]'
10) [00,00,10,10]+[01,01,11,11]-[10,10,00,00]-[11,11,01,01] = 2[01,01,11,11]'
11) [00,00,10,10]-[01,01,11,11]+[10,10,00,00]-[11,11,01,01] = 2[10,10,00,00]'
12) [00,00,10,10]-[01,01,11,11]-[10,10,00,00]+[11,11,01,01] = 2[11,11,01,01]'

13) [00,00,11,11]+[01,01,10,10]+[10,10,01,01]+[11,11,00,00] = 2[01,01,10,10]'
14) [00,00,11,11]+[01,01,10,10]-[10,10,01,01]-[11,11,00,00] = 2[00,00,11,11]'
15) [00,00,11,11]-[01,01,10,10]+[10,10,01,01]-[11,11,00,00] =-2[11,11,00,00]'
16) [00,00,11,11]-[01,01,10,10]-[10,10,01,01]+[11,11,00,00] =-2[10,10,01,01]'

17) [00,01,10,11]+[01,00,11,10]+[10,11,00,01]+[11,10,01,00] = 2[11,10,01,00]'
18) [00,01,10,11]+[01,00,11,10]-[10,11,00,01]-[11,10,01,00] =-2[10,11,00,01]'
19) [00,01,10,11]-[01,00,11,10]+[10,11,00,01]-[11,10,01,00] =-2[01,00,11,10]'
20) [00,01,10,11]-[01,00,11,10]-[10,11,00,01]+[11,10,01,00] = 2[00,01,10,11]'

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/02(水) 20:18:47.16

Riemannのテータ関係式において
x1=x2、x3=x4と特殊化すると
テータ関数の加法公式が得られる

例えば
θ00(x1+x3)θ00(x1-x3)θ00(0)^2
=θ00(x1)^2θ00(x3)^2+θ11(x1)^2θ11(x3)^2
=θ01(x1)^2θ01(x3)^2+θ10(x1)^2θ10(x3)^2

θ11(x1+x3)θ11(x1-x3)θ00(0)^2
=θ11(x1)^2θ00(x3)^2-θ00(x1)^2θ11(x3)^2
=θ01(x1)^2θ10(x3)^2-θ10(x1)^2θ01(x3)^2

ここでさらにx3=0とすると

θ00(x1)^2θ00(0)^2
=θ01(x1)^2θ01(0)^2+θ10(x1)^2θ10(0)^2

θ11(x1)^2θ00(0)^2
=θ01(x1)^2θ10(0)^2-θ10(x1)^2θ01(0)^2

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/02(水) 20:19:59.61

φ2:Eτ=C/(1,τ)→P3
φ2(z)=[θ00(2z,τ),θ01(2z,τ),θ10(2z,τ),θ11(2z,τ)]
が成り立つ

さらに
θ00(x1)^2θ00(0)^2-θ01(x1)^2θ01(0)^2-θ10(x1)^2θ10(0)^2=0
θ11(x1)^2θ00(0)^2-θ01(x1)^2θ10(0)^2+θ10(x1)^2θ01(0)^2=0
が成り立つ

このことは、射影空間の点
[a0,a1,a2,a3]=[θ00(2z,τ),θ01(2z,τ),θ10(2z,τ),θ11(2z,τ)]
が、二つの関係式
f1=θ00(0)^2 a0^2-θ01(0)^2 a1^2-θ10(0)^2 a2^2=0
f2=θ00(0)^2 a3^2-θ10(0)^2 a1^2+θ01(0)^2 a2^2=0
を満たしていることを示している

つまり[a0,a1,a2,a3]∈V(f1,f2)⊂P3

φ2(Eτ)⊂V(f1,f2)　であるが実は
φ2(Eτ)⊃V(f1,f2)　でもあるので
φ2(Eτ)=V(f1,f2)である

V(f1,f2)は二つの二次曲面の交わりとして定義されているので
射影空間内の4次曲線である(Bezoutの定理）

つまり2次式f1,f2は、4次曲線φ2(Eτ)の定義方程式を与える

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/03(木) 19:10:25.50

★定理3.4

∂θ11(z,τ)/∂τ|z=0　＝　-πθ00(0,τ)θ01(0,τ)θ10(0,τ)

☆補題3.11

∂^2θij(z,τ)/∂z^2=4π√(-1)θθij(z,τ)/∂τ

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/04(金) 20:45:49.18

★定理3.5
i)無限級数Σ(n=1～∞) |un|が収束するとき,
無限積Π(n=1～∞) (1+un)は収束する
この時Π(n=1～∞) (1+un)は絶対収束するという。
ii)絶対収束するとき、上記の無限積は
積の順序に関係なく一定の値に収束する。
さらに分配法則にしたがって無限積を
形式的に無限級数に展開してもよい。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/04(金) 20:46:17.31

★定理3.6
有界閉集合K⊂Cが存在して
un(z)は、任意のnについてK上正則とする。
さらに級数Σ(n=1～∞) |un(z)|が
K上で一様収束すると仮定する　このとき
無限積Π(n=1～∞) (1+un)はK上で一様収束し、
したがって正則である

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/04(金) 20:47:10.46

☆補題3.12
z∈C,整数mに関する次の条件は同値である
i) ○((m+1/2)τ-z)=-1
ii) 整数nが存在し、2πi(z-(m+1/2)τ)=(2π+1)πiと書ける
iii)整数nが存在して、z=(m+1/2)τ+(n+1/2)と書ける

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/04(金) 20:47:32.76

★定理3.7
テータ関数θ(z,τ)は以下のように無限積に展開される
θ(z,τ)=Π(m=1～∞) (1-○(mτ)) Π(m=0～∞) {[1+○((m+1/2)τ-z)][1+○((m+1/2)τ+z)]}

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/04(金) 20:48:05.57

☆補題3.13
p(z,τ)=Π(m=0～∞) {[1+○((m+1/2)τ-z)][1+○((m+1/2)τ+z)]}とおくと
i) p(z+1,τ)=p(z,τ)
ii)p(z+τ,τ)=○(-(1/2)τ-z)p(z,τ)

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/05(土) 16:21:43.17

>>135
定理3.7の公式は
q=○((1/2)τ),w=○((1/2)z)
とおくと、以下のように書ける

Σ(m=-∞～∞) q^(m^2)w^(2m)
=Π(m=1～∞) (1-q^2m)(1+q^(2m-1)w^2)(1-q^(2m-1)w^(-2))

上記の公式はJacobiの三重積公式と呼ばれている

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/05(土) 16:22:45.61

>>137
Jacobiの三重積公式の公式で
w=iq^(1/4)　q=q^3/2
を代入すると、Eulerの5角数公式を得る

Σ(m=-∞～∞)(-1)^m*q^(m(3m+1)/2)
=Π(m=1～∞) (1-q^m)

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/05(土) 16:24:09.38

>>138
Eulerの5角数公式の右辺を展開すると
Π(m=1～∞) (1-q^m)
=1+Σ(n=1～∞)q^n[E(n)-U(n)]

ここで
E(m)は整数mを偶数個の相異なる正整数の和に表す書き方の数
U(m)は整数mを奇数個の相異なる正整数の和に表す書き方の数

★定理3.8
正の整数mが与えられたとき、
正の整数nが存在して
m=(1/2)n(3n+1)　または　m=(1/2)n(3n-1)
と書けるならば
E(m)-U(m)=(-1)^n
上記の整数nが存在しなければ
E(m)-U(m)=0

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/06(日) 18:25:52.36

☆補題3.14
整数a,b,c,dがad-bc=1を満たすとき
(1,τ)=(aτ+b,cτ+d)
が成立する

☆補題3.15
τを上半平面H上の点とし、
整数a,b,c,dはad-bc=1を満たすと仮定する
このとき次が成立する
i) (aτ+b)/(cτ+d)∈H
ii)Cの各元を(cτ+d)^(-1)倍する写像C→Cは
　　複素トーラスの同型
　　C/(1,τ)≣C/(1､(aτ+b)/(cτ+d))
　　を引き起こす

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/06(日) 18:26:18.73

★定理3.9(Jacobiの変換公式)
　θ00(z/τ,-1/τ)=○(-1/8)τ^(1/2)○(z^2/(2τ))θ00(z,τ)
☆系3.2
　θ10(z/τ,-1/τ)=○(-1/8)τ^(1/2)○(z^2/(2τ))θ01(z,τ)
　θ01(z/τ,-1/τ)=○(-1/8)τ^(1/2)○(z^2/(2τ))θ10(z,τ)
　θ11(z/τ,-1/τ)=-i*○(-1/8)τ^(1/2)○(z^2/(2τ))θ11(z,τ)

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/06(日) 18:26:37.97

★定理3.10
　θ11(z,τ+1)=○(1/8)θ11(z,τ)
☆系3.3
　θ00(z,τ+1)=θ01(z,τ)
　θ01(z,τ+1)=θ00(z,τ)
　θ10(z,τ+1)=○(1/8)θ10(z,τ)

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/06(日) 18:27:12.55

★定理3.11
a,b,c,d∈Z,ad-bc=1,c>=0とする

θ00(z/(cτ+d),(aτ+b)/(cτ+d))
=○(-1/8)(cτ+d)^(1/2)○(cz^2/(2(cτ+d))θ00(z,τ)

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/07(月) 19:47:18.75

★定理3.12
θ01(2z,2τ)/θ00(z,τ)θ01(z,τ)=θ01(0,2τ)/θ00(0,τ)θ01(0,τ)
θ11(2z,2τ)/θ10(z,τ)θ11(z,τ)=θ01(0,2τ)/θ00(0,τ)θ01(0,τ)

☆補題3.16～3.17
定数aが存在して
θ00(2z,2τ)=a(θ00(z,τ)^2+θ01(z,τ)^2)

★定理3.13
2θ00(0,2τ)θ00(2z,2τ)=θ00(z,τ)^2+θ01(z,τ)^2
2θ00(0,2τ)θ10(2z,2τ)=θ10(z,τ)^2-θ11(z,τ)^2

●命題3.10
θ00(0,2τ)^2=(θ00(z,τ)^2+θ01(z,τ)^2)/2
θ01(0,2τ)^2=θ00(z,τ)θ01(z,τ)^2

つまり
θ00(0,2τ)^2はθ00(z,τ)^2とθ01(z,τ)^2の算術平均
θ01(0,2τ)^2はθ00(z,τ)^2とθ01(z,τ)^2の幾何平均

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/11(金) 07:10:03.81

Weierstrassのσ関数とテータ関数の関係

σ(z)=exp((1/2)ω1η1z^2)(ω1/θ’11(0,τ))θ11(z,τ)

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/11(金) 07:11:58.69

これでテータ関数は終わり

次から「Jacobiの楕円関数」について

刮目して待て！

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/12(土) 16:56:11.46

定義
u:=zπθ00^2(0)

sn u:=(-θ00(0)/θ10(0))(θ11(z)/θ01(z))
cn u:=( θ01(0)/θ10(0))(θ10(z)/θ01(z))
dn u:=( θ01(0)/θ00(0))(θ00(z)/θ01(z))

κ :=θ10^2(0)/θ00^2(0)
κ':=θ01^2(0)/θ00^2(0)

sn 0=0
cn 0=1
dn 0=1

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/12(土) 16:56:56.98

>>147
κ^2+κ'^2=(θ10^4+θ01^4)/θ00^4=1

θ10^2(0,-1/τ)/θ00^2(0,-1/τ)
=θ01^2(0,-1/τ)/θ00^2(0,-1/τ)
=κ'

sn^2 u+cn^2 u
=(θ00^2(0)θ11^2(z)+θ01^2(0)θ10^2(z))/(θ10^2(0)θ01^2(z))
=1

dn^2 u+κ^2sn^2 u
=(θ01^2(0)θ00^2(z)+θ10^2(0)θ11^2(z))/(θ00^2(0)θ01^2(z))
=1

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/12(土) 16:57:53.55

>>147-148
θ00(0),θ01(0),θ10(0)をθ00,θ01,θ10と書く

d(θ11(z)/θ01(z))/dz
=-πθ01^2(θ00(z)/θ01(z))(θ10(z)/θ01(z))

d(sn u)/du
=(dz/du)(d((-θ00/θ10)(θ11(z)/θ01(z)))/dz)
=(-1/πθ00^2)(θ00/θ10)(d(θ11(z)/θ01(z))/dz)
=(θ01^2/θ00θ10)(θ00(z)/θ01(z))(θ10(z)/θ01(z))
= cn u dn u

d(sn^2 u+cn^2 u)/du
=2sn u d(sn u)/du+2cn u d(cn u)/du
=2sn u cn u dn u+2cn u d(cn u)/du
=0

ゆえに
d(cn u)/du=-dn u sn u

d(dn^2 u+κ^2 sn^2 u)/du
=2dn u d(dn u)/du+2κ^2 sn u d(sn u)/du
=2dn u d(dn u)/du+2κ^2 sn u cn u dn u
=0

ゆえに
d(dn u)/du=-κ^2sn u cn u

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/12(土) 16:59:01.09

>>147-149
(d(sn u)/du)^2
=(1-sn^2 u)(1-κ^2sn u)

(d(cn u)/du)^2
=(1-cn^2 u)(1-κ^2sn u)
=(1-cn^2 u)(κ'^2-κ^2cn u)

(d(dn u)/du)^2
=κ^4(1-sn^2 u)(1-cn^2 u)
=-(1-dn^2 u)(κ'^2-dn^2 u)

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/13(日) 07:50:17.89

u:=∫[0,v]　(1/√(1-x^2)(1-κ^2x^2))dx

とおく

sn 0=0,sn' 0=1であるので
sが0の近傍にあるとき
x=sn s
と変数変換できる

dx=d sn s=√(1-x^2)(1-κ^2x^2)ds

したがって
u
=∫[0,v]　(1/√(1-x^2)(1-κ^2x^2))dx
=∫[0,sn^(-1) v] ds
=sn^(-1) v

つまり
v(s)=sn u

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/13(日) 07:50:47.00

ω :=(π/2)θ00＾2
ω':=(π/2)θ00＾2τ
とする

周期
sn u:4ω, 2ω'
cn u:4ω, 2ω+2ω'
dn u:2ω, 4ω'

零点（基本平行四辺形上）
sn u: 0,2ω
cn u:ω,3ω
dn u:ω+ω',ω+3ω'

極（基本平行四辺形上）
sn u:ω',2ω+ω'
cn u:2ω+ω’,4ω+ω'
dn u:ω',3ω'

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/13(日) 07:51:18.41

アフィン4次曲線
C:y^2=(1-x^2)(1-κ^2x^2)
を考える

Cのコンパクト化C~を
2枚のアフィン平面WとW'の貼り合わせで実現する

(x,y)∈Wと(x',y')∈W'を次の条件を満たすとき同一視する
1)xx'=1
2)y=y'/x'^2

C ={(x ,y )∈W |y^2=(1-x^2)(1-κ^2x^2)}
C'={(x',y')∈W'|y'^2=(x'^2-1)(x'^2-κ^2)}

CとC'はW∩W'上で一致し代数曲線C~を得る

cn^2 u dn^2 u=(1-sn^2 u)(1-κ^2 sn^2 u)
sn' u=cn u dn u

上記より
Ｃ→C:　u→(sn u,cn u dn u)=(sn u,sn' u)
は正則写像
φ:Ｃ→C~=C∪C'
を定義する

したがってφは同型写像
φ~:C/(4ω,2ω')→C~
を与える

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/15(火) 19:44:06.90

★定理4.1(Jacobiの公式)

∫[0,1]　(1/√((1-x^2)(1-κ^2x^2)))dx
=(π/2)θ00^2

(κ=θ10^2/θ00^2)

☆補題4.1

∫[0,1]　(1/√((1-x^2)(1-κ'^2x^2)))dx
=∫[1,1/κ]　(1/√((s^2-1)(1-κ^2s^2)))ds

(κ'= θ01^2/θ00^2 κ^2+κ'^2=1)

ここで、右辺の平方根はs=0でiをとるRiemann面R上の枝
また、Riemann面R上の積分路は、1と1/τを結ぶ線分上の縁μ+にとる

★定理4.2
∫[0,1]　(1/√((1-x^2)(1-κ'^2x^2)))dx
=-i(π/2)θ00^2τ

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/18(金) 06:08:29.95

a,b,c∈Cとして、2階線型微分方程式

u(1-u)d^2f/du^2+(c-(a+b+1)u)df/du-abf=0

を超幾何微分方程式と呼ぶ

無限級数

F(a,b,c;u)
=1+(ab/1*c)u+(a(a+1)b(b+1)/1*2*c(c+1))u^2
+(a(a+1)(a+2)b(b+1)(b+2)/(1*2*3c(c+1)(c+2))u^3+…

を超幾何級数という

●命題4.1
超幾何級数F(a,b,c;u)は超幾何微分方程式を満たす

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/18(金) 06:09:11.85

F(u)=∫[0,1] (1/√(1-x^2)(1-ux^2))dx
G(u)=∫[0,1] (1/√(s^2-1)(1-us^2))ds

とおく

★定理4.3
楕円曲線y^2=(1-x^2)(1-ux^2)の周期

∫Γ　(1/y)dx=4F(u)
∫Γ’(1/y)dx=2G(u)

は、uの関数とみなすと、a=b=1/2、c=1とした超幾何微分方程式

u(1-u)d^2f/du^2+(1-2u)df/du-(1/4)f=0

の解である

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/18(金) 06:11:03.02

★定理4.4
Re(c-a-b)>0のとき、等式

F(a,b,c;1)=(Γ(c)Γ(c-a-b))/(Γ(c-a)Γ(c-b))

が成り立つ

**数学指導要綱** · 2020/12/18(金) 23:13:26.56

{ 「試験で，なぜなのかを問うてはいけない．答えられないから．もしそのような問題を出すな
ら，あらかじめその問題について，答を教えておく必要がある」
{ 時間内に答えるのは無理な沢山の問題を出すこと「学生は解き方を覚えてきた問題しか手をつ
けない．覚えてきた問題を試験に出さなくて悪い成績をつけたら，意地悪な先生と思われる」
{ 理解が困難な内容を教えていること「志村先生も，理解を求めるより，分からなくてもどんどん
進めるのが効果的と書いている．易しくすれば，それに応じて学生が怠けるだけである」

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/19(土) 06:00:54.72

第1種積分を
K(κ)= ∫[0,1]　(1/√((1-x^2)(1-κ^2x^2)))dx
と書く

また、κ^2+κ'^2=1とする

★定理4.5
K(κ),K(κ’)は線型微分方程式
κ^3-κd^2y/dκ^2+(3κ^2-1)dy/dκ-κy=0
の解である

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/19(土) 06:01:45.48

第2種積分を
E(κ)= ∫[0,1]　(√(1-κ^2x^2)/√(1-x^2))dx
と書く

★定理4.6
E(κ),K(κ)は次の微分方程式系を満たす
dE/dκ=(E-K)/κ
dK/dκ=(E-κ'^2K)/(κκ'^2)

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/19(土) 06:02:09.05

K'(κ)=K(κ’)
E'(κ)=E(κ’)
とおく

★定理4.7(Legendreの関係式)
0<κ<1のとき、等式
E(κ)K'(κ)+E'(κ)K(κ)-K(κ)K'(κ)=π/2
が成り立つ

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/19(土) 17:22:12.08

テータ関数の加法公式より、
sn u,cn u,dn uの加法公式を
導くことができる

★定理4.8
次の加法定理が成り立つ
sn(u+v)=(sn u cn v dn v + sn v cn u dn u)/(1-κ＾2 sn^2 u sn^2 v)
cn(u+v)=(cn u cn v - sn u dn u sn v dn v)/(1-κ＾2 sn^2 u sn^2 v)
dn(u+v)=(dn u dn v - κ^2 sn u cn u sn v cn v)/(1-κ＾2 sn^2 u sn^2 v)

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/20(日) 15:54:36.00

これでJacobiの楕円関数は終わり

明日から「楕円曲線のモジュライ」について

刮目して待て！

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/21(月) 07:09:31.78

ω1,ω2をR上1次独立な複素数
Ωをω1,ω2の生成する加法群Cの部分群とする

Ω=(ω1,ω2)

複素トーラスC/Ωは射影平面P2上の3次曲線
x0x2^2=4x1^3-g2x0^2x1-g3x0^3
に埋め込まれる

ここで
g2=60Σ'(1/ω^4)　g3=140Σ'(1/ω^6)

さらに判別式
Δ=g2^3-27g3^2≠0

※問題5.1

逆にΔ≠0となるP2上の3次曲線
x0x2^2=4x1^3-g2x0^2x1-g3x0^3
が与えられたとする

このときP関数による埋め込みが、
与えられた3次曲線となるような
複素トーラスC/Ωが存在するであろうか

つまりΔ=g2^3-27g3^2≠0となる
複素数g2,g3が与えられたとき、
g2=60Σ'(1/ω^4)　g3=140Σ'(1/ω^6)
とする部分群Ω=(ω1,ω2)⊂Cは存在するか？
（ω1,ω2をR上1次独立な複素数とする）

※問題5.2

二つの複素トーラスC/Ω,C/Ω'はいつ同型になるか

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/21(月) 07:10:41.14

>>164
●命題5.1
複素トーラスの複素多様体としての同型写像
f:E=C/Ω→E'=C/Ω'
が与えられたとする。
このとき、複素数a,bが存在して、図式
f~:C→C
π:C→E
π':C→E'
は可換となる。
（つまりf・π=π’・f~)

ここで、
ｆ~は正則写像 u → au+b を表し
π、π’はx∈Cにその同値類を対応させる自然な写像である

●命題5.2
複素多様体Xが与えられたとき、
Xの普遍被覆多様体p:X~→Xが、同型を除いて唯一つ存在する

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/21(月) 07:12:36.12

>>164の問題2の解は定理5.1で与えられる

★定理5.1
E=C/Ω,E'=C/Ω'を二つの複素トーラスとする。
このとき、次の条件は同値である
1) EとE'は複素多様体として同型である。
2) EとE'は複素リー群として同型である
　つまり、複素多様体の同型写像f:E→E'であって、
　次の条件を満たすものが存在する。
　任意のx,y∈Eに対して、f(x+y)=f(x)+f(y)が成り立つ
3) 0でない複素数aが存在して、aΩ=Ω'が成り立つ

☆系5.1
E,E'を複素トーラスとする
g:E→E'を複素多様体の同型写像とする
gがEの単位元0を、E'の単位元0に写すならば,
gは複素Lie群の同型写像である。すなわち、
　g(x+y)=g(x)+g(y)
が、任意のx,y∈Eについて成り立つ

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/21(月) 07:13:57.02

複素トーラス全体のなす集合Tを考える
E,E'∈Tとする。
EとE'が複素多様体として同型のとき、E≣E'と定義すると
≣は集合Tの元の間の同値関係となる。

※問題5.3
集合Tの同値関係≣による商集合T/≣は、どのようなものであろうか？

●命題5.3
Eを複素トーラスとする。
Imτ≠0である複素数τが存在して、
E≣C/(1,τ)が成立する。

●命題5.4
Eを複素トーラスとする。
Imτ>0である複素数τが存在して、
E≣C/(1,τ)が成立する。

T'をC/(1,τ),Imτ>0の形の複素トーラス全体のなす集合とする。

☆系5.2
商集合T/≣の元と商集合T'/≣の元の間に
自然な1対1対応が存在する。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/22(火) 21:03:16.54

GL2(Z)=
{(a,b)
(c,d)|a,b,c,d∈Z,ad-bc=±1}
SL2(Z)=
{(a,b)
(c,d)|a,b,c,d∈Z,ad-bc=1}
とおくと、行列の積を考えることにより
GL2(Z)は群になる。
SL2(Z)はGL2(Z)の部分群である。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/22(火) 21:03:52.53

H={τ∈C|Imτ>0}
τ,τ’∈Hとして
複素トーラス
E =C/(1,τ) と
E'=C/(1,τ')が
いつ同型になるかを見る。

定理5.1よりE≣E'となる条件は
0と異なる複素数αが存在して
α(1,τ)=(1,τ')
が成立することである

命題2.7により
上記は以下の条件と同値である

(a b)
(c d)∈GL2(Z)が存在して
ατ=aτ’+b
α=cτ’+d
が成り立つ

このとき以下が成り立つ

☆補題5.1
(a,b)
(c,d)∈SL2(Z)である

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/22(火) 21:04:20.67

●命題5.5
τ,τ’∈Hとし、複素トーラス
E =C/(1,τ) 、E'=C/(1,τ')
を考える
次の条件は同値である
1) EとE'は複素多様体として同型である。
2) EとE'は複素リー群として同型である
3)
(a,b)
(c,d)∈SL2(Z)が存在して
τ=(aτ’+b)/(cτ’+d)
が成り立つ

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/23(水) 19:42:32.09

■定義5.1
τ,τ’∈Hとする
(a b)
(c d)∈SL2(Z)が存在して
τ’∈(aτ+b)/(cτ+d)が成立するとき
τ≣τ'と書くことにする

☆補題5.2
定義5.1の≣は同値関係である

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/23(水) 19:42:55.84

■定義5.2
g=
(a b)
(c d)∈SL2(Z),τ∈Hに対して
gτ:=(aτ+b)/(cτ+d)∈Hとおく

☆補題5.3
τ,τ'∈Hとする　次の条件は同値である
1)τ≣τ’
2)g∈SL2(Z)が存在して、τ'=gτが存在する

☆補題5.4
τ∈H、g,g'∈SL2(Z)とすると、
I2τ=τ、(gg')τ=g(g'τ)が成立する
（I2は2次の単位行列）

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/23(水) 19:54:40.15

■定義5.3
Gを群、Xを集合とする。
次の条件1）、2）を満たす写像
μ:G×X→Xが与えられたとき、
群Gは集合Xに（左から）作用するという
g∈G、x∈Xに対して、μ(g,x)=g.xと書くことにする。
1)1.xが任意のx∈Xについて成り立つ
ここで1はGの単位元である
2)g.(g'x)=(gg').xが、任意のg,g'∈G、および任意のx∈Xについて成り立つ

補題5.4は写像
SL2(Z)×H→H、(g,τ)=gτ
が、群SL2(Z)の集合Hへの作用を定めることを示している

☆補題5.5
群Gが集合Xに作用しているとする
Xの元x,yに対して、Gの元gが作用して、y=g.xとなるとき
x≣yと書くことにする。
このとき、≣はXにおける同値関係となる

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/23(水) 20:12:07.62

xをXの元とする
G.x={g.x|g∈G}をxのG-軌道という

☆補題5.6
群Gが集合Xに作用していると仮定する
補題5.5の同値関係≣、およびXの二つの元x,yに関する
次の条件は同値である
1)x≣y
2)y∈G.x
3)G.x=G.y

☆系5.3
G.x={y∈X|x≣y}が成り立つ

☆系5.4
商集合X/≣＝G-軌道全体のなす集合

商集合X/≣を、G\Xと書くことが多い
(\は正しくはバックスラッシュ)

★定理5.2
次の自然な全単射写像が存在する
T/≣　≣　SL2(Z)\H

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/24(木) 19:55:07.06

■定義5.4　
Hの連結開集合Fが次の条件を満たすとき、
FはSL2(Z)に関する基本領域であるという
1)Hの任意の点は、閉包F~の点と同値である
2)Fの任意の相異なる2点は同値ではない

★定理5.3
領域F={τ∈H||τ|>1,-1/2<Reτ<1/2}は、(SL2(Z),H)の基本領域である。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/25(金) 06:56:39.64

■定義5.4　
Hの連結開集合Fが次の条件を満たすとき、
FはSL2(Z)に関する基本領域であるという
1)Hの任意の点は、閉包F~の点と同値である
2)Fの任意の相異なる2点は同値ではない

★定理5.3
領域F={τ∈H||τ|>1,-1/2<Reτ<1/2}は、(SL2(Z),H)の基本領域である。

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/25(金) 06:57:16.54

☆補題5.7
τ∈Hに対して、τを固定するSL2(Z)の元全体のなす集合を
Gτと書くことにする　つまり
Gτ={g∈SL2(Z)|g.τ=τ}

1)GτはGの部分群であり、Gτ⊃{±I2}が成り立つ
2)さらにτ∈F~,Gτ⊋{±I2}とすると、
　次の３つの場合のいずれかが成立する
a)τ=iであり、
Gτ=
<(0　-1)>
<(1 0)>
b)τ=e^(2πi/6)であり、
Gτ=
<(0　-1)>
<(1 -1)>
c)τ=e^(2πi/3)であり、
Gτ=
<(-1 -1)>
<(1 0)>

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/25(金) 06:57:36.88

☆補題5.8
U={τ∈H|Imτ>１}とする。
Uの2点τ,τ’に関する次の条件は同値である
1)τ≣τ'
2)τーτ'∈Z
3)整数nが存在して
(1 n)
(0 1).τ=τ'
となる

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/25(金) 06:57:58.19

★定理5.4
次の全単射写像が存在する
T/～(≣SL2(Z)\H)≣C

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/25(金) 06:58:21.97

S=
(1 1)
(0 1)

T=
(0 -1)
(1 0)

とする

●命題5.6
群SL2(Z)は二つの元S,Tから生成される

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/27(日) 16:42:44.77

補題2.1にて　n≧2に対して
G_2n(ω1,ω2)=Σ(ω∈Ω,ω≠0) 1/(ω^2n)
は絶対収束する

(ω1,ω2)=(ω1',ω2')ならばG_2nの定義より

G_2n(ω1,ω2)=G_2n(ω1',ω2')

したがって

G_2n(aτ+b,cτ+d)=G_2n(τ,1)

λを0と異なる複素数とすれば

λ^2n G_2n(λω1,λω2)=G_2n(ω1,ω2)

したがって

(cτ+d)^2n G_2n(τ,1)
=(cτ+d)^2n G_2n(aτ+b,cτ+d)
=G_2n((aτ+b)/(cτ+d),1)

τ∈Hのとき
G_2n(τ,1)=G*_2n(τ)
とおく

G*_2nはH上の正則関数である

上記より、以下の補題が成り立つ

☆補題5.9
τ∈H,
(a b)
(c d)∈SL2(Z)
とする　このとき
G*_2n((aτ+b)/(cτ+d))=(cτ+d)^2n G*_2n(τ)

**１３２人目の素数さん** · 2020/12/27(日) 16:44:35.39

>>181
補題5.9において
(a b)
(c d)
=
(1 b)
(0 1)　(b∈Z)
とすれば
G*_2n(τ+b)=G*_2n(τ)

したがってG*_2n(τ)はq=e^2πiτのLaurent級数に展開できる
(Fourier展開)

☆補題5.10
τ∈H,k≧2とする　次の等式が成立する
(-1)^k (k-1)! Σ(m=-∞～∞)(τ+m)＾-k=(2πi)^kΣ(n=1～∞) (n^(k-1) q^n)

☆補題5.11
G*_2k(τ)は以下のFourier展開を持つ
G*_2k(τ)=2s_2k + 2(2πi)^2k/(2k-1)!Σ(n=1～∞) (σ_(2k-1)(n) q^n)
ここで
q=e^2πiτ
s_2k=Σ(n=1~∞) (1/n^2k)
σ_r(n)=Σ(d|n,d>0) d^r

☆補題5.12
s_4=(1/90)π^4、s_6=(1/945)