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楕円関数・テータ関数・モジュラー関数
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0001１３２人目の素数さん
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2020/11/02(月) 07:00:50.57ID:PUodusEe
三者の関係について語すスレ
0206１３２人目の素数さん
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2021/02/01(月) 06:23:20.11ID:ZFsykc4D
今月からMumford「代数曲線とヤコビ多様体」の中の
「ヤコビ多様体とテータ関数の起源」を読む
0207１３２人目の素数さん
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2021/02/01(月) 06:27:42.10ID:ZFsykc4D
ヤコビ多様体の発端はアーベルとヤコービによる、ｘの多価代数関数ｆの積分
　I=∫f(x)dx
の研究にある　

上記のfは
　g(x,f(x))≣0　gは2変数多項式
の解である

したがってIは
　I=∫[γ]ydx
と書くことができる。

ここでγは平面曲線g(x,y)=0上の積分路である
0208１３２人目の素数さん
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2021/02/01(月) 06:40:57.75ID:ZFsykc4D
主結果は、>>207の積分が常に加法定理をみたすことである
すなわち、ある整数ｇが存在してa_0を起点とし
a_1,…,a_(g+1)を、平面曲線Cの任意の点とすると、
{a_k}から有理的な方法でb_1,…,b_g∈Cが順番を除いて定まり
　∫[a_0,a_1]ω+…+∫[a_0,a_(g+1)]ω≣∫[a_0,b_1]ω+…+∫[a_0,b_g]ω　mod{∫ωの周期}
となる
たとえば、C=P^1、ω＝dx/xのときは、g=1となり
　∫[1,a_1]dx/x+∫[1,a_2]dx/x＝∫[1,a_1*a_2]dx/x
が成り立つ
繰り返すことにより、すべての
a_1,…,a_g,b_1,…,b_g∈Cに対して
有理的な方法で、順番を除いて定まる
c_1,…,c_g∈Cが存在して
　Σ[i=1~g]∫[a_0,a_i]ω + Σ[i=1~g]∫[a_0,b_i]ω = Σ[i=1~g]∫[a_0,c_i]ω (mod 周期)
が成り立つ

上記は諸定理の中でも最も古典的な結果であり
ほんのわずかな補強だけで非常に現代的な形で再定式化できる
0209１３２人目の素数さん
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2021/02/01(月) 07:16:47.72ID:ZFsykc4D
代数群Gの定義

Gが代数多様体であり、かつ、
群の積m:G×G→G　と
逆元i:G→G　が
代数多様体の間の射になるようなもの

上記のGは自動的に複素解析的なLie群になる
したがってそのLie環 Lie(G) と
指数写像exp:Lie(G)→Gがある
0210１３２人目の素数さん
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2021/02/01(月) 07:26:43.09ID:ZFsykc4D
アーベルの定理の言いかえ

Cvを代数曲線とし、
ωをCv上の有理微分とするとき
多価の関数
a→∫[a_0,a] ω
が以下の三つの関数に分解する

φ：Cv-(ωの極)　→　J
exp：Lie J　→　J
l：Lie J　→　C

ただし
1)Jは可換代数群
2)lはLie J からCへの線型写像
3)φは代数多様体の間の射であって、実際にg=dim J のときは
　φをJの加法により拡張して
　φ(g):[(C-ωの極)×…×(C-ωの極)/順序の置換S_g]→J
　とすると、φ(g)が双有理射、すなわちあるザリスキ開集合間の同型射になる
0211１３２人目の素数さん
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2021/02/01(月) 07:33:52.57ID:ZFsykc4D
>>210
Cv=P^1,ω=dx/xのとき、J=P1-(0,ω)となる
またφは恒等射である

要点はJが2つのg組(a_1,…,a_g)と(b_1,…,b_g)を「足して」
第3の組(c_1,…,c_g)を作ることを実現する対象物であり、
そのとき積分Σ[i=1~g] I(x_i)がJからGへの準同型になることである
0212１３２人目の素数さん
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2021/02/01(月) 07:43:45.30ID:ZFsykc4D
ωのうちで最も重要なのは第１種微分、すなわち極をもたないものである
これらを一斉に積分すると最も重要なJ、つまりヤコビ多様体を得る
これをJacと書く

Jacは>>210の性質3)よりコンパクトな可換代数群、
つまり複素トーラスでなければならないことがわかる。
これは　φ:Cv→Jac　から引き起こされる
4)　φ*:E→R_1(Cv)　
　（EはJac上の平行移動不変な1形式μの集合、
　　R_1(Cv)はCv上の極を持たない有理微分ωの集合)
が双射になるように設定する

こうして
　dim Jac=dim R_1(Cv)=Cの種数g
となる
0213１３２人目の素数さん
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2021/02/01(月) 16:38:37.92ID:ZFsykc4D
ヤコビ多様体を真に有効なものにしているのはテータ関数である
Jac上の関数論を展開する理由が３つある

a)Jac上の射影空間への埋め込みを与え、
　したがって代数構造やモジュライ構造などの理解が深まる
b)Jacの群構造が関数論に面白い仕方で反映しているかもしれない
c)Jac上の関数をS"g(=Cv×…×Cv/S_g)に引き戻し、
　さらにCv上に引き戻した関数の興味深い展開式が得られ
　例えばリーマン・ロッホの定理の証明に使える
0214１３２人目の素数さん
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2021/02/01(月) 16:39:52.61ID:ZFsykc4D
ヤコビ多様体を真に有効なものにしているのはテータ関数である
Jac上の関数論を展開する理由が３つある

a)Jac上の射影空間への埋め込みを与え、
　したがって代数構造やモジュライ構造などの理解が深まる
b)Jacの群構造が関数論に面白い仕方で反映しているかもしれない
c)Jac上の関数をS~g(=Cv×…×Cv/S_g)に引き戻し、
　さらにCv上に引き戻した関数の興味深い展開式が得られ
　例えばリーマン・ロッホの定理の証明に使える
0215１３２人目の素数さん
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2021/02/01(月) 16:47:01.28ID:ZFsykc4D
Jac=C^g/L　と書き
C^g上のL周期的な有理型関数を構成する代わりに、
L保型な整関数fを求める　すなわち
　f(x+α)=e_α(x)f(x)　α∈L　x∈C^g
　{e_α}={保形因子}
　（保形因子とはC^g上の整関数であって
　　e_(α+β)(x)=e_α(x+β)e_β(x)
　　を満たし、いたるところで零でないもの)
0216１３２人目の素数さん
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2021/02/01(月) 16:50:51.87ID:ZFsykc4D
同じことであるが、保型関数fはJac上の直線束L{e_α}の正則切断のことであり、
このような二つのfの商は常にL周期的になることは明らかである
最も単純な{e_α}としては
　e_α(x)=e^(B(x,α)+c(α))　Bは双線型
がある
0217１３２人目の素数さん
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2021/02/01(月) 16:55:17.88ID:ZFsykc4D
g>=2のときは、大部分の複素トーラスC^g/Lは、
その上に定数以外の有理形関数が全く存在せず、代数多様体にすらならない
しかも{e_α}は自明なものしかない
ところが曲線Cvの場合、何か特別なことが起こる
Bの候補になる双線型写像を見つけよう
0218１３２人目の素数さん
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2021/02/01(月) 17:02:18.04ID:ZFsykc4D
Cv上の極を持たない有理微分の全体R_1(Cv)には
以下の正定値エルミート形式が存在する
　(ω1,ω2)=∫[Cv]　ω1∧ω2~
したがって 、その双対空間であるJacの普遍被覆空間C^g上にも
エルミート形式が存在する　これをHと書く
0219１３２人目の素数さん
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2021/02/01(月) 17:05:35.49ID:ZFsykc4D
ところでH_1(Cv,Z)には、交点形式から引き起こされる
以下の整数値の歪対称形式がある
　E:H_1(Cv,Z)×H_1(Cv,Z)→Z
同型H_1(Cv,Z)≣Lがあるから、
Lにも上記のEがある
0220１３２人目の素数さん
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2021/02/01(月) 17:11:24.93ID:ZFsykc4D
>>218-219
HとEの関係
　∀x1,x2∈L.E(x1,x2)=Im H(x1,x2)
上記が成り立つ場合は（ほぼ標準的な）{e_α}の選び方がある
すなわち
　e_α(x)=±e^(π[H(x,α)+(1/2)H(α,α)])
0221１３２人目の素数さん
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2021/02/01(月) 17:15:32.47ID:ZFsykc4D
定理
C^g上に正定値エルミート形式Hが存在し、
L上でE＝Im Hを満たす整数値歪対対形式Eが存在することは、
複素トーラスC^g/L上にg個の代数的独立な有理形関数が存在するための
必要十分条件である
上記の関数があるとき、C^g/Lはある射影空間P^nに埋め込める
したがって射影代数多様体になる
0222１３２人目の素数さん
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2021/02/01(月) 17:32:00.82ID:ZFsykc4D
今日はここまで
0224１３２人目の素数さん
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2021/02/02(火) 19:20:09.14ID:rITzWOgb
複素トーラスは簡単にはP^nに埋め込めない
埋め込みの存在は>>220の関係式
　∀x1,x2∈L.E(x1,x2)=Im H(x1,x2)
の成立が前提である
そこで位数ｎのテータ関数を定義する
それはC^g上の整関数ｆであって
f(x+α)=(±e^π[H(x,α)+(1/2)H(α,α)])^n*f(x)
を満たすものである
上記のf全体のなす空間をS_nとする
このときS=ΣS_nは次数環で
dim S_n=n^g (n>=1)
が導かれる
特に1位のテータ関数が定数倍を除いて丁度１つある
この重要な関数をθと書き、リーマンのテータ関数と呼ぶ
0225１３２人目の素数さん
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2021/02/02(火) 19:24:07.90ID:rITzWOgb
>>224
n>=3のとき、S_nの基底をψ_1,…,ψ_(n^g)とすると
以下の定理が得られる

レフシェッツの埋め込み定理
C^g/Lは
　ｘ→(ψ_1,…,ψ_(n^g))=Ψ_n(x)
によりP^((n^g)-1)に埋め込まれる
0226１３２人目の素数さん
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2021/02/02(火) 19:34:29.06ID:rITzWOgb
全てのβ∈C^gに対して
　(T_β f)(x)=f(x+β)
と定義し、いたるところ零ではない正則関数eに対して
　(U_e f)(x)=e(x)f(x)
と定義する

以下の補題が成立する
1)任意のβ∈C^gに対して、
　U_e T_β S_n=S_nとなるようなeが存在するための必要十分条件は、
　β∈(1/n)Lである。
2)各β∈(1/n)Lに対して上で定まるe(β)を選ぶとき、
　β→U_e(β)・T_βは、(1/n)L/LのS_nへの射影表現を定義する
　この表現は既約である
0227１３２人目の素数さん
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2021/02/02(火) 19:39:50.88ID:rITzWOgb
C^g/Lはアーベル群であるにも関わらず
関数論的には次元が1より大きな既約表現が
沢山あることは注目に値する
実は、これらは有限２階ベキ零群G_nの通常表現である
　1→Z/nZ→G_n→(1/n)/n→1
これらはベキ零リー群
　1→R→G→V+V^→1　（V＝実ベクトル空間）
に類似の性質を持つ
このリー環はハイゼンベルクの交換関係の代数である
0228１３２人目の素数さん
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2021/02/02(火) 19:47:56.95ID:rITzWOgb
>>226の補題から多くの結果を得ることができる

系
1)埋め込み写像Ψ_nにおいて、βによるC^g/Lの平行移動が
線型変換P^((n^g)-1)→P^((n^g)→1)に延長できるための
必要十分条件は、β∈(1/n)L/Lとなることである
2)対応する有限群G_nの生成元の選び方の不定性を除けば
S_nの特別な基底が定数倍を除いて定まる
したがって、射影変換により
　Ψ_n:C^g/L→P^((n^g)-1)
を正規化することができる
この正規化において、β∈(1/n)L/による平行移動の
Ψ_n(C^g/L)への作用は具体的なn^g×n^g行列の
集まりによって与えられる
0229１３２人目の素数さん
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2021/02/02(火) 20:00:38.04ID:rITzWOgb
基底をより具体的に表すため、θ∈S_1から始めよう
　E(φ(n,m),φ(n',m'))=<n,m'>-<m,n'>
になるようなφ:Z^g×Z^g→Lを決め、φをQ^g×Q^g→L○×Qに延長する
このときn=m^2ならば、S_(m^2)の典型的な特別基底は次の形になる
θ[α β](x)=[e]・θ(mx+φ(α,β))
但し、α,βは(1/m)Z^gのmod Z^gの代表系を動くものとする
したがって
　ｘ→（…,θ[α β](x),…)
が、C^g/Lの正規化された射影埋め込みである
0230１３２人目の素数さん
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2021/02/02(火) 20:05:14.49ID:rITzWOgb
要約
　共に素朴な等質空間である複素多様体C^g/LとP^nをとり
　Ψ_nを仲人として結婚させると、できた子供は
　非常に非対称的で複雑な関数θ[α β](n^g=m^2g個)になるのである
0231１３２人目の素数さん
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2021/02/02(火) 20:09:25.58ID:rITzWOgb
>>224-230でg=1とすると
>>107-118となる
0232１３２人目の素数さん
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2021/02/02(火) 20:16:18.19ID:rITzWOgb
今日はここまで
0233１３２人目の素数さん
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2021/02/02(火) 23:25:15.51ID:qWkN2Tvo
Torelliの定理を示せば、曲線がそのJacobi多様体で決定することが分かる
よって、複素トーラスのモジュライ（Siegel upper half-spaceをシンプレクティック群で割ったもの）から、非特異射影曲線が完全に分類される

あ、g = 0のときは射影直線な
0234１３２人目の素数さん
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2021/02/03(水) 11:22:33.47ID:XFPBjgpf
>>233
そこはその次の
「トレリの定理とショットキー問題」
で出てくるので　もうちょっと待ってくれ
0235１３２人目の素数さん
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2021/02/03(水) 11:23:08.62ID:XFPBjgpf
C^g/Lが曲線Cvのヤコビ多様体のとき、
C^g/L上の関数をCvに引き戻すと
何が得られるか見る

次の基本関数を考察する
　E_e(x,y)=θ(∫[x,y]ω→−e→)
e→∈C^g
ω→はR_1(Cv)の基底{ωi}を並べたもの

yとｅ→を固定すると上記の関数はCv上の多価関数となり、
一周する経路に沿って解析接続したとき
　e^(∫[x,y]ω+定数)
の倍数だけ変わる
0236１３２人目の素数さん
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2021/02/03(水) 11:23:59.23ID:XFPBjgpf
>>235
E_eを用いて、Cv上の有理関数fの以下のような一意分解性が示せる

　a_i=fの零点
　b_i=fの極
とすると（あるω∈R1(Cv)により）以下が成り立つ
　f(x)=e^(∫* ω)(Π(i) E_e(x,ai))/(Π(i) E_e(x,bi))

上記の分解式はP^1の有理関数の分解式
　f(x)=C・(Π(i) (x-ai))/(Π(i) (x-bi))
の種数が高い場合の類似である
0237１３２人目の素数さん
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2021/02/03(水) 11:26:11.59ID:XFPBjgpf
>>236
このE_eを用いるとCv上の微分(形式)で種々の極をもつものを記述できる
例えば
　(∂/∂x) log(E_e(x,a)/E_b(x,b)) dx
は、a,bのみで位数1の極をもち、留数がそれぞれ1,-1となる、Cv上の有理1形式であり、
　((∂^2/∂x∂y) log(E_e(x,y)))|(y=a) dx
はx=aのみで位数が2の極をもち、他には極をもたない、Cv上の有理1形式である
0238１３２人目の素数さん
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2021/02/03(水) 11:45:21.54ID:U8q+JTkX
コンパクト複素多様体の場合、その上に異なる複素構造がどのくらい入るかは分かって、複素構造の同型類は

H^1(X, TX)

の元に1対1に対応する（TXはXのholomorphic tangent bundleの切断の層）。たとえば一次元なら、Riemann-RochとSerre双対性を使って、このベクトル空間の次元は簡単に計算できる。すなわち

H^1(X, TX)
〜 H^0(X, ω⊗TX*)　(ωは標準層、TX*はTXの双対)
〜 H^0(X, ω^⊗2)
〜 H^0(X, OX(2K))　(Kは標準因子)

gをXの種数として

deg(K) = 2g - 2
χ(D) = 1 - g + deg(D)

なので、

dim(H^0(X, OX(2K))) = 1 - g + (4g - 4) + dim(H^1(X, OX(2K)))

H^1(X, OX(2K)) 〜 H^0(X, OX(K - 2K))
deg(-K) < 0だから、これは0。

∴ dim(H^1(X, TX)) = 3g - 3。
0239１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/02/03(水) 12:04:52.77ID:U8q+JTkX
一番簡単なのは、代数幾何でいうアファイン多様体、複素幾何でいうStein多様体の場合
この場合はもちろんH^1 = 0だから、複素構造の同型類は1つしかない


射影空間も変形できない

H^1(P^n, T)
〜 H^(n-1)(P^n, ω^⊗2)
〜 H^(n-1)(P^n, O(-2(n+1)H))　(Hは超平面)
〜 0
0240１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/02/03(水) 12:49:03.82ID:XFPBjgpf
>>238
>コンパクト複素多様体の場合、
>その上に異なる複素構造がどのくらい入るかは分かって、
>複素構造の同型類は
>H^1(X, TX)
>の元に1対1に対応する
>（TXはXのholomorphic tangent bundleの切断の層）

H^1(X, TX)って線型空間ですよね？違う？
0242１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/02/03(水) 15:26:36.83ID:XFPBjgpf
>>241
つまり、コンパクト複素多様体の複素構造のモジュライ空間は線型空間になる、と言ってる？
0244１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/02/03(水) 16:12:02.37ID:ByqtypZk
聞いてる方が明らかに答え知ってるやん
すなおに違うんですか？って聞けばいいのに
0245１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/02/03(水) 16:16:36.92ID:XFPBjgpf
>>243
あれ？
「複素構造の同型類はH^1(X, TX)の元に『1対1』に対応する」
んですよね？
0246１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/02/03(水) 16:20:01.61ID:XFPBjgpf
>>244
もし、>>238の文章が
「複素構造の同型類の空間の次元はH^1(X, TX)の次元と等しい」
だったら、何も言わなかったんですけどね
0247１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/02/03(水) 16:33:56.68ID:RvrMcGZb
可算集合は常にQとの間に1対1対応があるわけだが、それを以って任意の可算集合が体であると主張する人を俺は知らない
0248１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/02/03(水) 16:59:04.88ID:XFPBjgpf
そもそも複素構造の同型類からH^1(X, TX)への自然な1対1対応って作れるの？
0249１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/02/03(水) 17:15:59.87ID:RvrMcGZb
小平"複素多様体論"の4章
小平"複素多様体と複素構造の変形1"（https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/publication/lecturenote.html）

やってることは局所座標の貼り合わせ写像にパラメータをつけて微分したら、チェインルールで出てきた係数がTXのČech 1-cocycleになるので、あとは同じコホモロジー類に属する条件を計算するだけ。

Sernisi "Deformations of Algebraic Schemes"の1章
こっちはそれのスキーム版。
0250１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/02/03(水) 17:21:15.20ID:XFPBjgpf
>>249
完全な1対1対応は作れるの？
0252１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/02/03(水) 17:25:58.01ID:XFPBjgpf
>>238の「複素構造の同型類はH^1(X, TX)の元に1対1に対応する」は
全く何の嘘偽りもなく実現できるの？
0253１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/02/03(水) 17:30:56.69ID:XFPBjgpf
例えば
局所的にｎ次元のユークリッド空間と同相だからといって
大域的にもｎ次元のユークリッド空間と同相、とはいえないよね？
0256１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/02/03(水) 17:33:20.89ID:XFPBjgpf
>>254
あなたは確かめた上で
「複素構造の同型類はH^1(X, TX)の元に1対1に対応する」　つまり
「H^1(X, TX)は複素構造の同型類のモジュライ空間だ」　と言い切ってる？
0257１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/02/03(水) 17:35:12.98ID:XFPBjgpf
>>255
>ここでいう同型類って無限小変形のことでしょ？
じゃ、はじめにそういわなきゃ
0258１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/02/03(水) 18:02:22.39ID:ByqtypZk
専門じゃないからよく知らんけどモジュライ空間とタイヒミュラー空間は一次ホモロジー群の生成元の選び方分だけ違いが出るんだっけ？
0259１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/02/03(水) 18:04:00.59ID:RvrMcGZb
>>238
> dim(H^1(X, TX)) = 3g - 3。

これ、g > 1のとき
g = 0, 1ならdeg(-K) < 0じゃないから。実際、

h^1(X, TX) =

0 (g = 0)
1 (g = 1)
3g - 3 (g > 1)
0260１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/02/03(水) 18:13:24.84ID:XFPBjgpf
>>258
そもそもタイヒミュラー空間を写像類群（離散群）で割るんじゃなかったか？
0261１３２人目の素数さん
垢版 |
2021/02/03(水) 19:04:20.77ID:ByqtypZk
で確か写像類群の生成元がデーンツイストで生成されるとかなんとかかんとかという話に繋がるんだったような
あの話はなんか予想でまだ解けてないとかなんとかいう話しもあったな
昔聞いた話すぎてよく覚えてない
0263１３２人目の素数さん
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2021/02/03(水) 19:37:26.45ID:XFPBjgpf
>写像類群の生成元がデーンツイストで生成される

ああ、ねじってくっつけるってやつね

阿原と逆井の本は買ったよ
やっぱ代数幾何よりトポロジーだな
0265１３２人目の素数さん
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2021/03/05(金) 11:42:14.57ID:FnGVSa/5
MumfordのTata lectures on thetaが最高に面白い
Hartshorneに飽きた人は是非読むと良い
0266１３２人目の素数さん
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2021/08/13(金) 15:24:35.03ID:zvt4bOz8
n^3 を使え
n^4 をつかうと世界が広がるぞ
0267１３２人目の素数さん
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2021/10/12(火) 03:18:10.26ID:NOFt0H9x
数学セミナー10月号と現代数学10月号は共に「楕円関数」がテーマだ。
0269１３２人目の素数さん
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2021/11/30(火) 13:03:37.57ID:ccZQn9Vw
三角関数を使った相互律の証明を
楕円関数を使って実行すると
何が証明できますか？
0270１３２人目の素数さん
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2022/05/03(火) 11:31:41.23ID:e3ZC3REA
>>265
ラマヌジャンのノートブックとどっちが面白い？
やっぱり数論的な香りにあふれた方が良い気がするんですが
0271１３２人目の素数さん
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2022/05/03(火) 11:35:59.47ID:e3ZC3REA
無機質な単なる幾何の話は、代数幾何スレにでも移住して貰えませんか？
もっと楕円函数やモジュラーの底知れぬ美しさを存分に語ってほしいです
0272１３２人目の素数さん
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2022/06/18(土) 01:06:59.58ID:782846WB
こういう本の方向？

>>270
＞数論的な香り
J.H.コンウェイ『素数が香り、形がきこえる-目でみる2次形式（THE SENSUAL FORM）』
Paul J. Nahin "In Pursuit of Zeta-3: The World's Most Mysterious Unsolved Math Problem"

>>271
＞楕円函数やモジュラーの底知れぬ美しさ
D.マンフォード『インドラの真珠: クラインの夢みた世界（Indra's Pearls: The Vision of Felix Klein）』
0274１３２人目の素数さん
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2022/09/13(火) 22:53:09.67ID:C+pPFqyr
＞三角関数を使った相互律の証明を
＞楕円関数を使って実行すると
＞何が証明できますか？

たとえば四次剰余の相互法則が
0275１３２人目の素数さん
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2022/10/24(月) 07:19:49.13ID:GaDzP1V7
3次剰余の相互法則は
どんな関数を使って証明できますか？
0276◆Ph05QxAcng
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2022/10/25(火) 03:55:26.71ID:QFhns7Sv
BSD予想は楕円曲線上の予想、だとすれば平面を含んでいるので、この世界は直線は存在しないので偽である、というのは成り立ちませんかね？
0277１３２人目の素数さん
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2022/10/25(火) 13:01:26.96ID:mZRnw1Vf
>>276
275の問いかけはそのレベル以下？
0278◆Ph05QxAcng
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2022/10/27(木) 01:56:46.26ID:RQQBef8r
>>277
問題の難易度の話ですか？
0280１３２人目の素数さん
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2022/10/27(木) 18:47:58.98ID:aux2pG0D
p と q をアイゼンシュタイン整数環上の、3とも互いに素な素元とするとき、合同式 x3 ≡ p (mod q) が可解となる必要十分条件は x3 ≡ q (mod p) が可解となることである。
0281◆Ph05QxAcng
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2022/11/07(月) 07:22:38.81ID:57DpRDwW
BSD

「楕円曲線E上の有理点と無限遠点Oのなす有限生成アーベル群の階数（ランク）が、EのL関数 L(E, s) のs=1における零点の位数と一致する。」

楕円曲線は平面上にない為アーベル群が作られない。よって偽である。



これで終わってないですかね？
0282１３２人目の素数さん
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2022/11/07(月) 07:52:54.13ID:/O7D42WP
>>281

>>楕円曲線は平面上にない為アーベル群が作られない。

平面上にないものはすべてアーベル群ではないと信じていますか？
0285◆Ph05QxAcng
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2022/11/08(火) 00:11:34.73ID:HbCupp77
もう一回考えてみますね
0286◆Ph05QxAcng
垢版 |
2022/11/08(火) 00:14:40.19ID:HbCupp77
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想
つまりここの概要を見ると
有限個の基底で線型空間が貼られて全てその中の要素でアーベル群が作られる、的な話だと浅い解釈で喋ってましたがもう一度考えてみますね。

もしそのような解釈で合ってるのであればそもそも同一平面上にないからダメだと思うんですが。
0287◆Ph05QxAcng
垢版 |
2022/11/08(火) 00:27:05.27ID:HbCupp77
https://ja.m.wikipedia.org/wiki/バーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想
の概要
「
楕円曲線上の有理点（x 座標も y 座標も有理数になる点）は、加法 '+' を定義することができる。楕円曲線 E 上の2点 P = (x1, y1), Q = (x2, y2) に対し、直線 PQ と E との交点と x 軸に関して対称な位置にある点 (x3, y3)を P + Q で表される点と定義する。（詳細は楕円曲線の記事を参照）」



https://ja.m.wikipedia.org/wiki/楕円曲線
このページでその群の構造について語られていますが、幾何学的には交点だと書かれていますが、僕はその交点を恐らく持たない、何故なら同一平面上にないから
という事を主張している。そうなればアーベル群の定義から外れて
BSD予想のフォーミュレーション
「楕円曲線E上の有理点と無限遠点Oのなす有限生成アーベル群の階数（ランク）が、EのL関数 L(E, s) のs=1における零点の位数と一致する。」
の前提が崩れる為BSDは偽である
というような論法だと思われます。
0288１３２人目の素数さん
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2022/12/08(木) 22:28:26.75ID:xpFZils6
280はよくわかるが
281,284,286,287は
全然わからない
0289１３２人目の素数さん
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2022/12/10(土) 23:32:49.25ID:sxpPJ6rb
＞3次剰余の相互法則は
＞どんな関数を使って証明できますか？

これもアイゼンシュタインによる楕円関数を使う
証明があったと思う。周期が１とωのものを使ったと思う。
0290１３２人目の素数さん
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2022/12/11(日) 07:32:17.74ID:lxcHhNkX
>>289
ありがとうございます
0292１３２人目の素数さん
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2023/01/18(水) 12:31:31.07ID:0UiJdQrz
楕円積分と楕円関数 おとぎの国の歩き方
ちょっとクセがあるから堅い本に慣れてる人には読みにくいかも知れないけど初心者的には分かりやすかった
0293１３２人目の素数さん
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2023/09/26(火) 12:03:28.75ID:Rhc6y/Rq
>>292
おう、読んでみるわ
0294１３２人目の素数さん
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2023/09/26(火) 13:02:41.54ID:4ipQw1aI
モジュラー曲線は数体上定義される
0295１３２人目の素数さん
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2023/10/13(金) 09:09:05.95ID:a+V5NCei
近々『数学』にK3モジュラー関数の話が載るようだ
0296１３２人目の素数さん
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2023/10/14(土) 07:15:35.45ID:bWFtusHz
志村理論との関係が興味深い
0297１３２人目の素数さん
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2023/10/15(日) 20:37:02.81ID:a0shg+mw
K3単純特異点も
0298１３２人目の素数さん
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2023/10/19(木) 23:06:16.64ID:Ox7q1laF
特異点と言えばカスプ
0300１３２人目の素数さん
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2023/10/20(金) 10:47:21.90ID:o4X3cFBr
大雑把に言えば
対称領域の商空間で
有理数係数の定義方程式を持つもの
0301１３２人目の素数さん
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2023/10/23(月) 10:16:36.91ID:axfP+9As
ベルグマン核とセゲー核の漸近展開の比較から
テータ関数の公式が導かれるらしい
0303１３２人目の素数さん
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2023/10/23(月) 14:06:42.42ID:bsm3GUCR
「そればすごい」なのか
「それはセゲーによる」なのか
どっちだ
0304１３２人目の素数さん
垢版 |
2023/11/06(月) 20:49:41.72ID:DN7G53u1
L^2正則関数の空間が持つ情報を究めなければいけない
0305１３２人目の素数さん
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2023/11/07(火) 09:00:37.77ID:ivDADiXg
今話題の不変量は
Diederich-Fornaess指数
0306１３２人目の素数さん
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2024/01/31(水) 03:49:19.42ID:b6Gsbw7H
セゲー・ガーボル（Szego" Ga'bor, 1895/01/20〜1985/08/07) は、
ユダヤ系ハンガリー人の数学者。

ハンガリーの Kunhegyes 出身。
渡米して、1938年から1966年までスタンフォード大学で教鞭を執った。
テプリッツ行列 (Toeplitz matrices)、直交多項式の理論に業績を残した。
数学者のジョン・フォン・ノイマンを教えている。
著作に「直交多項式」"Orthogonal polynomials" (1939) がある。
これは同分野の古典であり、多項式論の参考文献として広く用いられている。

アメリカ合衆国のカリフォルニア州パロアルトで死去した。
0307１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/01/31(水) 14:20:18.40ID:b6Gsbw7H
〔楕円曲線〕
双曲線、放物線は明らかに曲線だが、
「楕円」と言ったときは内部を含むかも知れない。
そこで、楕円の周のことを特に「楕円曲線」と呼ぶことにした。
（ウソ）
0308１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/01/31(水) 14:48:45.73ID:ACeeu+b2
楕円は楕円曲線じゃない
（ホント）
0309１３２人目の素数さん
垢版 |
2024/01/31(水) 23:13:00.13ID:PITVxeMx
楕円種数
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