楕円関数・テータ関数・モジュラー関数

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/02(月) 07:00:50.57

三者の関係について語すスレ

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/02(月) 07:04:50.40

ちなみに個人的な感想だが
楕円関数　　　：生田絵梨花
モジュラー関数：SU-METALこと中元すず香
とすると
テータ関数　　：生田の親友についてSU-METALの姉である中元日芽香
か？

いく「ひめたん、そんなに大した存在だったっけ？」
すぅ「ですよね？」
ひめ「うるっせーよ！」

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/02(月) 09:14:14.78

>>2
気持ち悪いよ爺

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/02(月) 11:32:38.52

>>3
すまんすまん

冗談はこの程度にして

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%BC%E3%82%BF%E9%96%A2%E6%95%B0
「テータ関数（テータかんすう、英: theta function）は、
　θ(z,τ):=Σ_{n=-∞～∞}e^{Πin^2τ +2πinz}.
　で定義される関数のことである。」

「z の関数と見た場合には擬二重周期を持ち楕円関数に関係し、
　τ の関数と見た場合はモジュラー形式に関係する。」

で、zのほうの係数はnで、τのほうの係数はn^2
nはまあ分からんでもない
問題はn^2だ

Q1. Πin^2τの中のn^2は、いったいどこから出てきた？

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/03(火) 05:55:46.17

πin^2τ　ですな。
目の付けどころはさすが。
どっから出てきたか？て、それを原初的なところから導出するというのは
企業秘密なところがありまして。
一つ言うと、リーマンが証明したように、変換公式
θ(0,ix)=(1/√x) θ(0,i/x)からリーマンゼータの函数等式が証明される
というか、メリン変換を通じて、これはリーマンゼータの函数等式と
同値である。つまり保型性=函数等式というヘッケ対応の嚆矢ですね。
だから、n^2とすることの背後には対称性がある。

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/03(火) 07:02:55.26

>>5
＞目の付けどころはさすが。

まつ毛の下ですｗ

＞どっから出てきたか？て、
＞それを原初的なところから導出するというのは
＞企業秘密なところがありまして。

そこをなんとかｗ

＞一つ言うと、リーマンが証明したように、変換公式
＞θ(0,ix)=(1/√x) θ(0,i/x)
＞からリーマンゼータの函数等式が証明される

やべえ・・・ちょっとテータ関数を齧ろうとおもったら
リーマン・ゼータがでてきちまった

https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yanagida/19W/20191219.pdf

「ϑ(t) := 馬=－∞～∞ e^－πn^2t.
　ϑ(t) = t^－1/2ϑ(1/t).
　この命題は Fourier 変換を使って証明できる. 」

しれっとiが抜けてたりしますが　
t=iτとすればいいだけなので
あとは・・・確認しまぁすｗ

＞というか、
＞メリン変換を通じて、これはリーマンゼータの函数等式と同値である。

メリン変換・・・メリンさんはフィンランド人だったんですね（そこ？
https://en.wikipedia.org/wiki/Hjalmar_Mellin

＞つまり保型性=函数等式というヘッケ対応の嚆矢ですね。

リーマンゼータの次は、ヘッケ対応かい
ますます泥沼だな　ズブズブｗ

ヘッケ指標
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%83%E3%82%B1%E6%8C%87%E6%A8%99

あ、そういえば、ガウス和でも指標って出て来たな

ガウス和
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AC%E3%82%A6%E3%82%B9%E5%92%8C

実はこのヘン、弱いんだよな（そもそも強いとこあるのか？ｗ）

指標
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%A8%99_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)

＞だから、n^2とすることの背後には対称性がある。

ありがとうございます　指標から勉強しなおします・・・

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/03(火) 09:07:30.60

楕円関数は楕円曲線上の有理型関数
モジュラー関数はモジュラー曲線上の有理型関数

**個人の感想です** · 2020/11/03(火) 09:31:20.84

>>7
>楕円関数は楕円曲線上の有理型関数

そうですね

>モジュラー関数はモジュラー曲線上の有理型関数

そうですね　ただ・・・

モジュラー曲線って、楕円曲線の同型類の集合ってところが
ポイントだと思ったんですが・・・

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E6%9B%B2%E7%B7%9A

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/03(火) 09:37:40.47

で、質問ですが、

・種数２以上の曲線についても
　テータ関数のようなものを考えることで
　モジュラス空間と何らかの関係づけが
　できるんですか？
（楕円曲線は種数１）

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/03(火) 15:05:46.36

ネットのコピペでわかった気になってる人が多い(で何も知らない

**１３２人目の素数さん** · 2020/11/03(火) 18:22:09.99

>>10
ネットで拾ったpdfのほうがへっぽこな本屋や図書館の蔵書よりかなりマシだろ。
特に英語のだと普通に研究者のプレプリ読めるんだし。