(転載)
おっちゃんのスレ２ より
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1594163083/65
>紙に書いてよく確認したら、オイラーの定数γは有理数ではなく無理数だ。
>それどころか、γは超越数だ。

まあ
そう思うのが普通だわな
だが、「γは超越数」の厳密な証明となると
難しいみたいだね（＾＾
(引用終り)

＜参考＞
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E6%95%B0
オイラーの定数
(抜粋)
オイラーの定数（オイラーのていすう、英: Euler’s constant）は、数学定数の1つで、以下のように定義される
γ：＝lim n→∞ （(Σk=1〜n 1/k) - ln(n)）=∫1〜∞ (1/[x] -1/x)dx
オイラーの定数は超越数であろうと予想されているが、無理数であるかどうかさえ分かっていない

https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Mascheroni_constant
Euler?Mascheroni constant

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AA%BF%E5%92%8C%E7%B4%9A%E6%95%B0
調和級数
(抜粋)
調和級数（英: harmonic series）とは発散無限級数
Σ1〜∞ 1/n
のことをいう

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%A9%8D
オイラー積
(引用終り)

さて、
γ：＝lim n→∞ （(Σk=1〜n 1/k) - ln(n)）
で、前半 lim n→∞ （(Σk=1〜n 1/k) 調和級数だ
nが有限の範囲では、有理数で循環小数だが、nが大きくなると、循環節が長くなる。つまり、規則性が薄くなり、無理数的になることはすぐ分かる

一方
ln(n)は、lim n→∞ で発散することは自明だし、nが自然数なら、ln(n)は超越数

γは、そのlim n→∞の極限で、調和級数部分が 循環節が長くなり、無理数的になるし
一方、ln(n)は超越数であり、有理数にはならない

この簡単は考察から、γ：＝lim n→∞ （(Σk=1〜n 1/k) - ln(n)）は、おそらくは無理数（多分超越数）だと予想だされる

だが、その証明が難しいのは、調和級数とln(n)とも、lim n→∞の極限で、発散すること
つまり、二つの発散する数の差が、γだが、これが有理数か無理数か、多分超越数だろうが、2020年の数学では、これを判定する道具はまだないってことだね