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つづき

距離の誘導する位相
X を距離空間、Aをその部分集合とする。A の点 x について、ある正の数 ε が存在して x を中心とする半径 ε の開球（ε-近傍 , ε-開球）
A を点 x の近傍という。 X における x の近傍の全体 V(x)（近傍は X の部分集合なので V(x) は集合族になる）を x の近傍系という。
このようにして X の各点 x に対しX の部分集合の族 V(x) を対応させる対応は位相空間論における近傍系の公理を満たしており、X を位相空間と見なすことができる。

実数の直積集合における距離
実数全体のなす集合 R に、距離 d を絶対値を用いて d2(x, y) = |x - y| と定めることで、 (R, d) は距離空間になる。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BD%8D%E7%9B%B8%E7%A9%BA%E9%96%93
位相空間
(抜粋)
数学における位相空間（いそうくうかん、英語: topological space）とは、集合にある種の情報（位相、topology）を付け加えたもので、この情報により、連続性や収束性といった概念が定式化可能になる。

収束の一意性は、位相空間に「ハウスドルフ性」という性質を加えると成立する。

開集合を使った特徴づけ
Xを集合とし、 Oをべき集合 P(X)の部分集合とする。
Oが以下の性質を満たすとき、組 (X, O)を X を台集合とし Oを開集合系とする位相空間と呼び、 Oの元を X の開集合と呼ぶ。
１． Φ ,X ∈ O
２． ∀ O1,O2 ∈ O : O1 ∩ O2 ∈ ∈ O
３． ∀ {Oλ}λ∈Λ ⊂ O : ∪_λ∈Λ ∈ O

これらの性質の直観的意味は下記の通りである
１．空集合と全体集合は開集合である。
２．2つの開集合の共通部分は開集合である。(よって（零個を除く）有限個の開集合の共通部分は開集合 となるが、無限個の共通部分は開集合とは限らない)
３．任意の個数(有限でも無限でもよい)の開集合の和集合は開集合である。
開集合系 {O}}}{O}を一つ定める事で、集合 X が位相空間になるので、OをX 上の位相(構造)と呼ぶ。

つづく