>>66
少し補足と纏めを書いておく

１．”εδ論法”が適用できるのは、位相空間の内の距離空間に対してだが
２．距離空間で、「ある正の数 ε が存在して x を中心とする半径 ε の開球（ε-近傍 , ε-開球）」を考えると、（開）近傍系ができる
　（ε-近傍とかよばれ、開集合の公理を満たす）
３．距離空間は、ハウスドルフ（という性質）で、分離公理を満たす。
４．ハウスドルフ空間においては点列（あるいはより一般に、フィルターやネット）の極限の一意性が成り立つ
　この”極限の一意性”という性質が、即ち ”εδ論法”の成立つゆえんである
５．さて、開集合の公理で、下記の”３．任意の個数(有限でも無限でもよい)の開集合の和集合は開集合である”がある
　（余談だが、小さい開集合の和を取れば、いくらでも大きな開集合は出来るので、ε＝1000000000000 などを考える必要はない！）
６．なので、「如何に小さい開集合が取れるか？」ということが、位相空間の性質を決めるのです
　2つの異なる点を分離できるほど、いくらでも細かい開集合が取れるというのが、ハウスドルフであって、距離空間ではハウスドルフが成立ち、”εδ論法”が成立つ
７．つまりは、”εδ論法”というのは、”いくらでも小さい開集合が取れる”という距離空間の性質を、”任意の（小さい）εうんぬん”と言い換えているだけのこと
　そいういう見方もできる
８．つまりは、”εδ論法”だけで悩んでないで、早く位相空間という高い視点から眺めるのがいい！！ ということなのです（＾＾

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B7%9D%E9%9B%A2%E7%A9%BA%E9%96%93
距離空間
(抜粋)
距離空間では、距離を用いて近傍系を定義する事もできるため、位相空間の特殊な例になっている。
フェリックス・ハウスドルフは位相空間の重要な性質として距離・近傍系・極限の 3 つを考察し、近傍系を選び位相空間の公理化を行った。そして、極限や連続性などの概念も距離とは無関係に一般化されていった。

つづく