>>639 補足
あと、素イデアルと極大イデアル補足

(参考：下記は分り易いね。可換環では、剰余環R/Iが、整域や体となるイデアル I の満たすべき条件がすっきり言える)
https://icu-hsuzuki.github.io/science/class/algebra2/alg2text/alg2text.html
ALGEBRA II 1999年
Hiroshi SUZUKIgif
Department of Mathematics
International Christian University
https://icu-hsuzuki.github.io/science/class/algebra2/alg2text/node4.html
素イデアルと極大イデアル 1999年
（R を可換環、I をイデアルとする。このとき、剰余環R/Iが、整域や体となるイデアル I の満たすべき条件を考える。）
(抜粋)
I：極大イデアル←→R/I：体 →R/I：整域←→I：素イデアル。
R を可換環とすると、上の定理から、零イデアル が素イデアルであることと、R が整域であることが同値であり、また、 が極大イデアルであることと、R が体であることが同値である。

つづく