>>211
つづき

ベストアンサーに選ばれた回答
san********さん 2017/1/903:02:35
まず，言葉の定義を確認しておきます。
環R（ここでは可換環としますが，非可換な環でも同様）において，
単位元を1，零元を0とするとき，
a∈R が可逆元であるとは，あるb∈Rでab=ba=1となるものが存在するときにいう。
(このbはaに対して一意的に定まり，aの逆元と呼ばれ，a^(-1)で表す)
a∈R が零因子であるとは，a≠0であり，あるb∈Rでb≠0，かつ ab=0となるものが存在するときにいう。

ここで，一般的に可換環で1≠0であることに注意します。
（極端な例として，R={0}という零環というものがありますが，ここでは考えません）
さて，a∈Rが可逆元かつ零因子であるとすると，
aは逆元a^(-1)をもつ。
そして，零因子であるから，あるb∈Rが存在し，b≠0，ab=0 を満たす。
この両辺にa^(-1)をかけると，
a^(-1)・a・b=a^(-1)・0
(a^(-1)・a)・b=a^(-1)・0
1・b=a^(-1)・0
よって，b=0 となり，b≠0に反し，矛盾。
よって，可逆元かつ零因子となる元は存在しない。

零因子が，「0でないもの同士であり，その積が0となるもの」という点がポイントです。

余談ですが，今回のこの事実は，
2つの2次正方行列で，どちらも零行列ではないが積が零行列になるものを考えると，これらはどちらも逆行列を持たない
ことを一般化したものです。
復習のために，この具体例を作って考察してみて下さい。

つづく