0180現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/08/10(月) 21:42:24.21ID:gEQArxFG証明、証明かw
いまどき、そんなものネット上にありますがなw(^^;
「高校数学の美しい物語」(^^
(引用開始)
https://mathtrain.jp/seisokumatrix
高校数学の美しい物語
最終更新:2016/05/01
行列が正則であることの同値な条件と証明
n×n の正方行列 A に対して以下の条件は同値である:
1.AB=BA=I(単位行列)となる行列 B が存在する
2.detA≠0
3.rankA=n
4.KerA={0→}
5.全ての A の固有値が 0 でない
(引用終り)
”行列が正則であることの同値な条件と証明”とあるとおり
以下では1から5の同値性を証明していきます。2ならば1の証明については概要のみ示します。
5つの条件が同値であることの証明
まずは1と2の同値性を証明します。
まずは1と2の同値性を証明します。
1ならば2の証明
積の行列式は行列式の積と等しいので AB=I となるとき,
detAdetB=detI=1
よって detA≠0
2ならば1の証明
detA≠0 のとき,B=A~/detA
(ただし A~ は A の余因子行列,つまり ij 成分が「A から j 行目と i 列目を除いた行列の行列式に (?1)i+j をかけたもの」である行列)
とおくと,AB=BA=I となることが確認できる(→補足)。
次に2と3の同値性です。前提知識:ランク標準形
2 ←→ 3の証明
行列式が 0 でない行列 S,T をうまく取ってくると
SAT=(IOOO)
という形にできる(ランク標準形)。
略
次に3と4の同値性です。前提知識:次元定理
3 ←→ 4の証明
次元定理より,rankA=n?dim(KerA)
よって,rankA=n であることと KerA の次元が 0 であることは同値。
最後に2と5の同値性を証明することで5を仲間に入れます。
2 ←→ 5の証明
A の固有値を λ1,?,λn とすると,
detA=λ1?λn である(→補足)。
(行列式は固有値の積)
よって detA≠0 と,全ての A の固有値が 0 でないことは同値。