E. T. WHITTAKER AND G. N. WATSON, A COURSE OF MODERN ANALYSIS より
https://cdlbb.github.io/WandW/CMA02-2-SeriesMN.html#thecomparisontheorem

2.34 The Comparison Theorem の Example2
　zₙ = e^{in} (n=1,2,3,...) とした時の
　級数: 1/(1² (z-zᵢ)) + 1/(2² (z-z₂)) + 1/(3² (z-z₃)) + 1/(4² (z-z₄)) + ...
　(定義域は z≠zₙ の複素平面)
について、 |z|=1 なら (おそらく)発散する事を示してください。 (本文では |z|≠1 における収束のみを考察)

「簡単のため (For simplicity...) |z| = 1 での収束性は議論しない ... ... 収束領域が単位円周で二つに分断されてるのが興味深い」
とあるので、著者は |z| = 1での発散を知っていたのではないかと思います。

稠密定理(>>907 で質問しました)より |z-zₙ| はいくらでも小さくなりえるわけですが、
それに応じて n² が十分大きくなっている可能性を排除する必要があります。なかなか難しそうですが如何でしょうか？