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分からない問題はここに書いてね461

■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
0461１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/21(火) 20:37:51.15ID:Con3FeDK
証明は
(x+y)^(p^i)≡x^(p^i)+y^(p^i) mod pより
(x+y)^(n+m)=(x+y)^(Σ(n_i+m_i)p^i)
≡Π(x^(p^i)+y^(p^i))^(n_i+m_i) mod p
左辺の(x^n)(y^m)の係数は(n+m)!/n!m!で
右辺で考えた場合、p進表示の一意性から
各iパートで(x^(p_i))^(n_i)(y^(p_i))^(m_i)の係数を拾ってこなけらばならないことから分かる
0462イナ ◆/7jUdUKiSM
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2020/07/21(火) 23:23:45.88ID:kN76GBZR
前>>449
>>444
杯を酒で満たしたとき酒の量は、
π∫[0→h]｛1-(1-t)^2｝dt=π∫[0→h](2t-t^2)dt=π[t^2-t^3/3](t=h)=(h^2-h^3/3)π
θ傾けた残り酒の深さをkとすると、(k^2-k^3/3)π=(h^2/2-h^3/6)π
6k^2-2k^3=3h^2-h^3
h^3-3h^2+6k^2-2k^3=0
図からピタゴラスの定理よりa=√(2h-h^2)
(1-k)/cosθ-(1-h)=atanθ
k=1-cosθ+hcosθ-asinθ
kとhの式に代入すると、
h^3-3h^2+6(1-cosθ+hcosθ-asinθ)^2-2(1-cosθ+hcosθ-asinθ)^3=0
hの三次方程式が0＜h＜1/3ぐらいの実数解を持ち、
kがh/2＜k＜hの範囲にあるんじゃないかと考えている。
0464１３２人目の素数さん
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2020/07/21(火) 23:39:44.38ID:9JMwZhpJ
lim(x→0,y→0)の極限値

｛ 1-cos(x^2+y^2)｝/x^4+y^4

どなたかお願いします。
0465１３２人目の素数さん
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2020/07/22(水) 00:09:53.22ID:mIrEMvJa
(1-cos(x^2+y^2))/(x^4+y^4)
=(x^2+y^2)^2/(x^4+y^4)/2 + O((x^2+y^2)^4)/(x^4+y^4)
=1/2 + x^2y^2/(x^4+y^4) +O(～)
→indeterminate
0468１３２人目の素数さん
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2020/07/22(水) 00:44:42.98ID:h9mML7y2
>>466
これwolfram大先生はx=y=zのときの解を出してるようだけど、xの27次式としてみたとき他のいくつかの解はyzが異なる値になる解が出たりしないの？
0471１３２人目の素数さん
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2020/07/22(水) 00:52:33.35ID:h9mML7y2
こういう巡回型の式でx<y<zなる実数解は持たない、って一般に言えたりするんかな
0474１３２人目の素数さん
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2020/07/22(水) 01:32:08.47ID:h9mML7y2
どうせ出すならこういう引っ掛けがある方が面白いな

x=y=zととして考えるとx=y=z=1かx=y=z=-2
か出てこないけど、隠れた実解が他に存在してる
0478１３２人目の素数さん
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2020/07/22(水) 02:03:06.77ID:hoJC5UHO
一般に、
y = f(x)
z = f(y)
x = f(z)
ならば x = f(f(f(x))) の解が連立方程式の解の候補になるね
このとき、 x = f(x) の解は必ず連立方程式の解になっていて、
x = f(x) ⇒ x = y ⇒ y = f(y)
だから x = y なら自動的に x = y = z になる

>>463の場合は f(x) = 8x^3 - 1 で x = f(f(f(x))) の実数解が唯一つだから
x = y = z となる解が x = f(x) の実数解として唯一つに定まる
0480１３２人目の素数さん
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2020/07/22(水) 02:15:53.77ID:hoJC5UHO
>>476
え？
極座標変換すれば一変数の極限に帰着される（もちろん極限値は存在しない）と思うけど
どの辺が上手くいかなかったんだ？
0481１３２人目の素数さん
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2020/07/22(水) 02:40:57.24ID:YueyQrDp
>>477
変換すると
(sin(r^2/2)/(r^2/2))^2 × 2/(3+cos4θ)
みたいになるはず

だからr→0のとき2/(3+cos4θ)の不定性が残る

途中、式変形で
(cosθ)^4+(sinθ)^4
=((cosθ)^2+(sinθ)^2)^2-2(cosθsinθ)^2
=1-(sin2θ)^2/2=1-(1-cos4θ)/4=(3+cos4θ)/4
とかを使う
0483１３２人目の素数さん
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2020/07/22(水) 03:33:57.52ID:98nkM0Qa
>>481
ありがとうございます
この不定性が残ると極限値は存在しないということですか？
θが消えていれば極限値を求められるという認識で合っているでしょうか
0484１３２人目の素数さん
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2020/07/22(水) 07:34:04.52ID:oygEfVDW
>>462
レスありがとうございます。
Wolfram先生にお願いしたら

　標準の計算時間制限を超えました...

と返ってきました。
0485１３２人目の素数さん
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2020/07/22(水) 09:39:00.16ID:h9mML7y2
今月のエレガントな問題を少し変更したやつ

[x]はx以下の最大の整数
[[x]]はx以上の最小の整数
logは自然対数とする

n≧2のとき、次は常に成り立ちますか？
[2^(1+1/n)/(2^(1/n)-1)]=[[2n/log2]]
0489１３２人目の素数さん
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2020/07/22(水) 12:00:50.83ID:zRV0rVgH
>>483
t=x^2+y^2とおいて
(1-cos(x^2+y^2))/(x^4+y^4)
=(1-cost)/t^2 * 1/(1-2(xy/t)^2)
と変形した後に
(1-cost)/t^2と1/(1-2(xy/t)^2)の極限別々に求めれば良いんでないの
ここからなら極座標変換楽でしょ(x=rcosθ, y=rsinθ, t=r^2)
0492１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/22(水) 12:56:53.84ID:oygEfVDW
h=1/2の盃とすると

>447
> h=1/2
>
> θ=asin(2*cos(-acos(-1/4*h^3 +3/4*h^2 -1) /3 + 2*pi/3) ) - asin(1-h)
> θ*180/pi
[1] 11.07564

>462

> h=1/2
> f <- function(θ) h^3-3*h^2+6*(1-cos(θ)+h*cos(θ)-asin(θ))^2-2*(1-cos(θ)+h*cos(θ)-asin(θ))^3
> fi=Vectorize(f)
> θi=uniroot(fi,c(0,pi/6))$root
> θi*180/pi
[1] 9.336245

微妙に違うな。
0493１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/22(水) 12:59:07.71ID:U4xy9LSi
　x = y = z,
となる解は
　z = 8z^3 -1,
の解で、カルダノの公式より
　p + q = 0.5826865215312
　pω + qω',
　pω' + qω
と求まる。ここに
　p = (√54 - √53)^(1/3) /(2√6) = 0.0834629372
　q = (√54 + √53)^(1/3) /(2√6) = 0.4992235843
0494１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/22(水) 13:08:46.39ID:bX0IOpf0
>>491
ここでヒントになるような情報が出てしまったらキャンペーンに水さすやろ？
せっかく自力で正解にたどり着いた人の努力が水の泡になるやろ？
0495１３２人目の素数さん
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2020/07/22(水) 13:25:43.90ID:U4xy9LSi
>>473-474
x,y,z ≦2,
　x = -2cos ξ,
　y = -2cos η,
　z = -2cos ζ,
とおくと、与式より
　cos η = cos(2ξ),
　cos ζ = cos(2η),
　cos ξ = cos(2ζ),
∴　cos(8ξ) = cos ξ = cos(-ξ),
∴　9ξ = 2nπ,
　-2 cos(2π/9) = -1.532088886
　-2 cos(4π/9) = -0.347296355
　-2 cos(8π/9) = 1.879385242
0496１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/22(水) 13:36:23.14ID:8WMoMZNt
X1, X2, · · · , Xn を独立で同分布な確率変数とする
期待値を E[X1] = μ として、分散を V(X1) = σ2 と
する

Sn = X1 + X2 + ··· + Xn とする
このとき、Sn の期待値と分散を求めよ
0497１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/22(水) 14:01:26.50ID:hoJC5UHO
>>489
意地悪だなあ
普通に直接 x = rcos(θ), y = rsin(θ) と極座標変換すれば
(1 - cos(x^2 + y^2)) / (x^4 + y^4) = (1 - cos(r^2)) / (r^4(cos^4(θ) + sin^4(θ)))
で
lim_[r→0] (1 - cos(r^2)) / r^4 = 1/2
より極限は θ によって変わるので極限値は存在しない（例えば、 θ = 0, π/4 などとせよ）
で十分なのに
もし
lim_[r→0] (1 - cos(r^2)) / r^4 = 1/2
がわからないならそれは一変数の極限値の問題だからまた別の問題だし
0498ID:1lEWVa2s
垢版 |
2020/07/22(水) 14:04:20.25ID:92x6EIRK
大体3.14でよし。
0499１３２人目の素数さん
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2020/07/22(水) 14:08:30.86ID:LggH8/mi
>>496
nμとn*σ2 だけど、ここで質問文をタイプするより
期待値・分散の定義付近を教科書で見るほうが早いような気もする…
0500高橋
垢版 |
2020/07/22(水) 14:39:48.32ID:aQ2MPjL1
こんにちは

数学苦手なものです。
来週テストがあるのですが、テストに向けての練習問題が、お恥ずかしいのですが、分かりません。
コロナの関係で大学にもまだいけておらず、数学を聞ける人もいないので、今から記述する問題を、
途中式と解説も含めて、回答していただける方いますか？

教えてもらえたら幸いです
0501１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/22(水) 14:40:34.14ID:Mq7sSAPW
>>492 その先も検算してみてよ。

* 使用言語 : PARI/GP
* intnum(x=a, b, f(x) ) : 関数 f をx=aから b まで 数値積分

h=1/2;
t=asin(2*cos(-acos(-1/4*h^3 +3/4*h^2 -1) /3 + 2*Pi/3) ) - asin(1-h);
t*180/Pi
= 11.075638328194143852976248413099107351
intnum(x=sin(asin(1-h)+t),1, 1-x*x) / intnum(x=1-h, 1, 1-x*x)
= 0.50000000000000000000000000000000000001

h=1.0;
t=asin(2*cos(-acos(-1/4*h^3 +3/4*h^2 -1) /3 + 2*Pi/3) ) - asin(1-h);
t*180/Pi
= 20.322037016506141867920614451404025971
intnum(x=sin(asin(1-h)+t),1, 1-x*x) / intnum(x=1-h, 1, 1-x*x)
= 0.50000000000000000000000000000000000001

h=2.0;
t=asin(2*cos(-acos(-1/4*h^3 +3/4*h^2 -1) /3 + 2*Pi/3) ) - asin(1-h);
t*180/Pi
= 90.000000000000000000000000000000000000
intnum(x=sin(asin(1-h)+t),1, 1-x*x) / intnum(x=1-h, 1, 1-x*x)
= 0.50000000000000000000000000000000000001
この場合、上に無限小の穴を開けた球面盃(壺)になるので
計算せずとも t=90 [deg] になるのは明らか。
0502１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/22(水) 15:02:26.88ID:aQ2MPjL1
表記が反映されなかった問題もあるので、それはお許しいただきたいです
もしわかる方いたら、解説と途中式も含めてお願いいたします

１ 次の計算をしなさい。（分母は有理化し、約分できる場合は必ず行うこと）
① 3√2 -√98分の14
② －8分の７× 4 － 1.8 ÷ (－3分の2) ③ －(－3)
3 + 12 ÷ (－2)
2




〔 〕 〔 〕 〔 〕
２ 次の量を〔 〕内の単位で表しなさい。 ３ 循環小数 ０．３
̇ を分数で表しなさい。
０．６ｇ〔ｍｇ〕 （計算方法）

〔 〕ｍｇ 〔 〕


６ 次の〔 〕内に入る数を求めなさい。
① 〔 〕円の５％Off は６４６円である。 ② ３％の食塩水３００ｇには〔 〕ｇの食塩が
とけている。
７ ４０分間に１２ｋｍ走るランナーは、１時間３０分で何ｋｍ走れるか。解き方を示して、答えなさい。
（解き方）
〔 〕ｋｍ
番号 氏 名
８ １１％の食塩水と１７％の食塩水を混ぜ合わせて、１２％の食塩水を６００ｇ作りたい。１１％の食塩水は
何ｇ混ぜればよいか。
（解き方）
〔 〕ｇ
９ 仕入れ値２５００円の商品に、３０％の利益を見込んで定価をつけたが、売れなかったので定価の2割引きで売っ
た。利益はいくらか。
（解き方）
〔 〕円
10 秒速３０ｍで走る長さ３６０ｍの急行列車が、秒速２０ｍで走る長さ４４０ｍの貨物列車に追いついてから追い
抜くまでに何秒かかるか？
（解き方）
〔 〕秒
11 ３６Km 離れた２地点を船で往復した。上りにかかった時間が４時間、下りにかかった時間が３時間だった。
このとき川の流れの速さを求めよ。
（解き方）
〔 〕km/h
12 PとQの二人が、１週１２Km のサイクリングコースを自転車で走る。Pは時速２１Km、Qは時速１２Km で
走行する。Q が走り始めてから１５分後に、Pが同じ方向に走り始めた。PがQに追いつくのは、Pが走り始め
てから何分後か？
（解き方）
〔 〕分後
0503ID:1lEWVa2s
垢版 |
2020/07/22(水) 15:03:59.60ID:vA4uV7us
大体5分12秒でよし。
0504１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/22(水) 15:03:59.69ID:YUV8uy9s
加法群Qの自己同型群は何か。
誰か教えて
0505ID:1lEWVa2s
垢版 |
2020/07/22(水) 15:04:31.05ID:vA4uV7us
R←Sの恒等射でよし。
0506ID:1lEWVa2s
垢版 |
2020/07/22(水) 15:05:16.36ID:vA4uV7us
RrS=Qとする。
0508ID:1lEWVa2s
垢版 |
2020/07/22(水) 15:10:31.89ID:9OOM9ADs
アーベル群。
0510ID:1lEWVa2s
垢版 |
2020/07/22(水) 15:12:22.80ID:9OOM9ADs
彼はほもです。
0511１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/22(水) 15:28:49.61ID:U4xy9LSi
>>497
　r→0 のとき　θ = rr/2 →0 で
　{1-cos(rr)} / r^4 = 2{sin(rr/2)/rr}^2
　= (1/2)(sinθ /θ)^2
　→ 1/2.　　　(θ→0)
0512１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/22(水) 15:39:19.47ID:aQ2MPjL1
丸投げというか、適当な回答が分からなかったので…

気分を害してしまったのならごめんなさい
0513１３２人目の素数さん
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2020/07/22(水) 15:44:54.52ID:hoJC5UHO
>>504
多分>>389と同一人物だと思うけど>>391と同様に考えればわかる
Q の自己同型は f(1) の値によって完全に決定されることがポイント
あとは自力でどうぞ
0514１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/22(水) 15:51:17.56ID:hoJC5UHO
>>512
自力で考えた形跡が一切なく、しかも問題文は丸々コピペときたもんだ
これを丸投げと言わずになんと言うのか
0515１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/22(水) 15:53:25.79ID:aQ2MPjL1
自分の回答がなく、解説もないため、あっているか不安になっただけです。
丸投げだと思うなら、それで結構です。
自分はお答えしていただける方を対象に話しているので。
先ほども言っている通り、丸投げに見えると気分を害したのならすみません。
かかわらないでいただいて結構です。
0517１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/22(水) 15:56:36.39ID:YUV8uy9s
>>513
色々と考えてみます。他人を当てにしてたわ。スマソ
0518１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/22(水) 16:43:06.29ID:b7G5tN1p
ある3次方程式の実数解がcos(nπ/m)の多項式として表され、かつその解が立方根を使わなければ表せないとき、分母のmは9が最大なのでしょうか。
m=7の場合は8x^3-6x+1=0が該当しますし、m=9の場合はスレにあった問題がそうです
たとえばm=11の場合はあるのでしょうか。ただしm=12等々は立方根を使う必要がない（1/2=(1/8)^(1/3)=cos(4π/12)）とみなします
mに上限があるのかご教示ください。
0520ID:1lEWVa2s
垢版 |
2020/07/22(水) 16:50:10.37ID:mCV6fm3Q
答えなくていい。
0521１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/22(水) 16:52:07.12ID:U4xy9LSi
>>514
　丸投げって云うんだから砲丸投げのことだろうけど。
　もしかして円盤投げのこと？
0522１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/22(水) 16:57:34.73ID:UXPQRmtu
係数は整数だとして、それが解になるのは限定的、例外的なんじゃ?
たぶん11はない気がするが　ただそうおもっただけ、例外的が正しいとして
0523イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2020/07/22(水) 17:01:51.95ID:dV5VbxEJ
前>
>462
>>463
x=y=zより、x=8x^3-1
8x^3-x-1=0
f(x)=8x^3-x-1とおくと、
f'(x)=24x^2-1=0
x=-1/2√6のときf(x)は極大値f(-1/2√6)=-8/48√6+1/2√6-1=-1/6√6+1/2√6-1=1/3√6-1
x=1/2√6のときf(x)は極小値f(1/2√6)=8/48√6-1/2√6-1=-1/3√6-1
0526イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2020/07/22(水) 17:33:04.28ID:dV5VbxEJ
前>>523
>>463
x=y=zより、x=8x^3-1
8x^3-x-1=0
f(x)=8x^3-x-1とおくと、
f'(x)=24x^2-1=0
x=1/2√6のときf(x)は極小値f(1/2√6)=1/6√6-1/2√6-1=-1/3√6-1
f(1/2)=-1/2
f(0.55)=-0.2212
f(0.6)=0.128
f(x)=0の解は0.55＜x＜0.6
x=0.57……ぐらいで探す。
0527１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/22(水) 17:44:28.88ID:M5EzV2Sa
・円周率 π ← こいつは径と周の長さの比について、
便宜上、人間が発明した数だ。
だから、数学や物理の世界でよく見かけるのも納得できる。

・ネイピア数 e ← こいつはオイラーが発見した数だが、
けっして発明された訳ではない。
それなのに、数学や物理の世界でスキあらば登場するって何なの？
造物主が宇宙の法則を作ったんか？

例えば、素数定理

n^2 から (n+1)^2 の間の素数の数 x について
x = n / ln (n) に漸近する

↑ 素数の分布の話をしてるのに、
何で e とかいう数字が出てくるんや？スキあらば登場しよる。
0530１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/22(水) 18:14:18.91ID:SUQDKCXa
>>527
なんで出てくるのかは導出の過程を知ればわかること。
「証明を見ずに結論だけを見る」からそんな変な疑問をもつことになる。
自ら理解を放棄しておいて、疑問があるんだ！ってのは意味が分からん。
0532１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/22(水) 18:26:57.63ID:xOHIzM6o
>>527
どっちも発見して発明しているけど
0535１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/22(水) 19:46:44.31ID:h9mML7y2
>>494
問題は変えてますし、数学はひとつながりですからヒントがどうこう言い出したら数学何も出来ないです
それに水をさすや努力が水の泡といった言葉で自由さを奪うのならそのキャンペーンは自分には理解できないものですね
そもそも5chやSNSは情報の海です
0536１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/22(水) 19:57:21.13ID:M5EzV2Sa
>>530 >>532
もう1回発見してみせろ、
いま、おれの目の前で。
0537１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/22(水) 20:08:42.38ID:fAobprP+
数列{a[n]}=(1+1/n)^n、a[n]を10進法表記した桁数をb[n]とする。
任意の自然数kに対し、b[k]≦b[k+1]が成り立つかどうか述べよ。
0539１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/22(水) 21:12:12.59ID:UuTpJXc0
>>531
Wolfram先生によると

1/4 (1/3 (108 - 6 sqrt(318))^(1/3) + (2 (18 + sqrt(318)))^(1/3)/3^(2/3))

0.582686521531207358478179217258899041271443659410024306672...
0541１３２人目の素数さん
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2020/07/22(水) 21:32:30.20ID:SUQDKCXa
>>537
a[n]は単調増加だからb[k]＞b[k+1]となるkは存在しない。
したがって任意の自然数kに対しb[k]≦b[k+1]が成り立つ。
0542イナ ◆/7jUdUKiSM
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2020/07/22(水) 21:39:56.10ID:dV5VbxEJ
前>>538
>>463
x=0.582686521531207
だれかに神輿担いでもらおうとか気持ちわるい輩が増えたな。
そんな暇あったら数学しろ。
目の前の1問を解きほぐしてみろ。
0543イナ ◆/7jUdUKiSM
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2020/07/22(水) 21:39:57.63ID:dV5VbxEJ
前>>538
>>463
x=0.582686521531207
だれかに神輿担いでもらおうとか気持ちわるい輩が増えたな。
そんな暇あったら数学しろ。
目の前の1問を解きほぐしてみろ。
0545１３２人目の素数さん
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2020/07/22(水) 22:24:19.00ID:h9mML7y2
>>544
自分に勘違いがなければ元の問題と>>485はかなり違う種類の問題になっていると思います
自分は元の問題よりこっちの方が気になったので書きました
0546１３２人目の素数さん
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2020/07/22(水) 22:28:40.49ID:K+HW4I79
y = 1/x, y = √(1+x^2), y = √(x^2-1)はどれもそのグラフは双曲線の一部です。
式の形に惑わされないで曲線自体を対象にするような分野ってありますか？
0547１３２人目の素数さん
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2020/07/22(水) 22:31:46.74ID:K+HW4I79
あるいは>>546のグラフがどれも双曲線の一部になっているということを利用して計算が簡単になったりとかいうことはありますか？
0548１３２人目の素数さん
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2020/07/22(水) 22:41:19.51ID:h9mML7y2
>>546
代数幾何とか？
C[x,y]/(xy=1)とC[x,y]/(x^2-y^2=1)は同型な環になって
この環自体を調べて元の双曲線を調べる、みたいなこと代数幾何ではやるんじゃないのかな
自分はよく知らないけど
0549１３２人目の素数さん
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2020/07/22(水) 22:46:25.05ID:h9mML7y2
>>547
座標系を上手くとることで計算が楽になるってのは数学の至るところである話
積分でもそういう理由で変数変換したりする
0550１３２人目の素数さん
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2020/07/22(水) 22:56:01.60ID:FASMCX2l
>>541
たとえばb[100]=2.7182815、b[101]=2.718282
（e=2.71828182...）
みたいな可能性はないですか
つまり桁数は減っているけど、eには近づいているという
0551１３２人目の素数さん
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2020/07/22(水) 23:44:34.11ID:h9mML7y2
>>495
一応、8ξ=ξの方も解くと
(-2cos(2π/7), -2cos(4π/7), -2cos(8π/7))
の組もあり
これらと1,-2,-2cos(2π/9),-2cos(4π/9),-2cos(8π/9)
を合わせた8個が
問題の8次式の解になりますね
0552１３２人目の素数さん
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2020/07/23(木) 00:37:53.79ID:dcuk2yC7
>>550
b[n]は桁数やで？すべて自然数nについてb[n]=1なんだから、そんなこと起こるはずがないやろ。
もしかして>>537の桁数っていうのは小数点以下の桁数のことか？そういうことならb[3]の時点で無限大に吹っ切れてるだろ。
nの素因数が2と5のみのときだけ小数点以下の桁数は有限で、それ以外は無限や。当然「任意の自然数kに対し、b[k]≦b[k+1]」など成り立つはずもない。
0553１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/23(木) 01:32:29.01ID:oIb80NuQ
2×2の正方行列Aが逆行列を持たないとき、AB=[1+ε ε][0 1]となる2×2の正方行列Bが存在することを示せ。
0555１３２人目の素数さん
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2020/07/23(木) 05:09:46.51ID:sHXJwhgv
>>518
(6n+1)型の素数pをとって
Q→K→Q[cos(2π/p)]→Q[ζ_p]
Z/(p-1)Z⊃Z/((p-1)/3)Z⊃Z/((p-1)/3n)Z=Z/2Z⊃{0}
となるような3次拡大Kの最小多項式f(x)を考えれば
これの根にcos(2πk/p)たちが現れそう

例えばp=13のとき
f(x)=x^3+x^2-4x+1
の根は
2(cos(2π/13)-cos(3π/13))
2(cos(4π/13)+cos(3π/13))
2(cos(8π/13)+cos(12π/13))
と書ける
0557１３２人目の素数さん
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2020/07/23(木) 06:33:35.82ID:XqmaF/l0
>>555
cosは一個のみでしょ
いくらでも出てきていいのは難しいけど
一個のみの解ありなしはわりと簡単そうだが
0558１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/07/23(木) 06:34:17.19ID:XqmaF/l0
間違えた
cosの多項式と書いてあった
0559１３２人目の素数さん
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2020/07/23(木) 07:08:47.52ID:sHXJwhgv
>>557
それならn=18が最大だろうな
Q[cos(2kπ/n)](kとnは互いに素)のQ上の拡大次数dは
n=Π(p_i)^(k_i)のときd=φ(n)/2=1/2Π(p_i)^(k_i-1)(p_i-1)
これが3になるのはn=7,9,18のみで、
nが3より大きい倍数のときは中間体を考えると方程式解に必ず他のcosが混ざることがわかるから
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