0071現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP
2020/06/20(土) 18:08:37.42ID:OXXW5633問題 1.41. 次を示せ:
(1) f : R → R : x → 2x は x = 0 で連続,
(>>55より)
"連続の必要十分条件は, 開集合の逆像が開集合であること. これには 2 つの
大きな意味がある. 1 つは, ε - δ を用いなくても連続の判定ができること. これによって
連続性の証明はかなり楽になる. 2 つめは, 連続の概念が開集合だけを使って定式化され
たこと. これによって, 実数だけでなく, 一般の距離空間や位相空間でも, 写像の連続性を
自然に定義することができる.”
逆像を考える
開区間
y :=(-1,+1)の逆像は
↓
x =(-1/2,+1/2)
であるから
”逆像が開集合”成立!
QED w(^^;