0.99999……
＝0.9＋0.09＋0.009＋……
＝9/10＋9/100＋9/1000＋……
初項9/10、公比1/10の無限級数だから、第ｎ項までの和は１－1/10^n
ｎ→∞のとき、1/10^n→0だから、1－1/10^n→１
つまり極限値は１。

しかしｎ→∞のとき、1/10^nは限りなく0に近づくが0にはならない。
ゆえに1－1/10^nは限りなく1に近づくが1にはならない。
ゆえに0.9＋0.09＋0.009＋……は1に近づくが1にはならない。
ゆえに0.99999……は1に近づくが1にはならない。
∴0.99999……≠1

もっと深いことが知りたい人は
「相対性理論はペテンである／無限小数は数ではない」参照