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「x^3+y^3=(x+√3)^3の無理数だが整数比をなす解」が存在するかどうか日高さんは論じていないので、
この状態が起こることを否定できないわけです。だから日高さんの証明は間違っています。

「x^3+y^3=(x+√3)^3の無理数だが整数比をなす解」が存在するならば、
「x^3+y^3=(x+√3)^3の有理数で、整数比をなす解」が存在します。