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具体的に、例えばr=3をみたす解がないことはどうしてわかるの？

r=3の場合、(ap)^{1/(p-1)}となるので、a=3となります。
r=p^{1/(p-1)}のとき、整数比とならないので、
r=3の場合も、整数比となりません。