フェルマーの最終定理の簡単な証明
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【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pの解x,y,zは0以外の有理数とならない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)はrが無理数なので、yを0以外の有理数とすると、xは有理数とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pの解x,y,zは0以外の有理数とならない。 【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pの解x,y,zは0以外の有理数となる。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)はrが有理数なので、yを0以外の有理数とすると、xは有理数となる。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pの解x,y,zは0以外の有理数となる。 >>1 日高
rが特別な値のときしか調べていないので誤りです。 >>2 日高
3π,4π,5πも解なので主張が誤りです。 >4
>>2 日高
3π,4π,5πも解なので主張が誤りです。
3π,4π,5πも解とは、x=3π,y=4π,z=5πという意味でしょうか。 前のスレッドはここをクリックすれば見えます。
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前のスレッドの
p=奇素数のとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)に無理数で整数比の解があるならば
(3)に無理数で整数比の解と同じ比の、有理数で整数比の解はない。
の証明について
わたしが、あなたの証明に、あなたが907で書いた、
> 有理数s,t,u、共通の無理数αとして、解はx=αs,y=αt,z=αuと書ける。
を代入したら、
【証明】(αs)^p+(αt)^p=(αu)^pを、(αu)=(αs)+rとおいて(αs)^p+(αt)^p=((αs)+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){((αt)/r)^p-1}=p{(αs)^(p-1)+…+r^(p-2)(αs)}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、(αs)^p+(αt)^p=((αs)+p^{1/(p-1)})^p…(3-C)となる。
と書くとあなたは923で
> 正しくは、
> (αs)^p+(αt)^p=((αs)+(α)p^{1/(p-1)})^pとなります。
私が、そんな式にはなりません、と書くとあなたは927で
> 正しくは、
> (αu)=(αs)+αrです。
私が、それでも結果は同じです、と書くとあなたは
> z=x+αrという式には、なりません。
> z=ax+αrとなります。
と書き、その式じゃ証明が成り立ちません、と書くとあなたは997で
> z=ax+αrになるので、
>
> この部分が、わかりません。
と書きました。
あなたが書いたことを、あなたが分かりませんといったところで終わりました。
わたしは、「その式はあなたが書いたのですが？」と答えます。
返答をお願いします。 >6
そうです。
x=3π,y=4π,z=5πのそれぞれを、πでわると、
x=3,y=4,z=5となります。 >7
> z=ax+αrになるので、
は、間違いでした。
x,y,zが、無理数で、整数比となるならば、x=αs,y=αt,z=αuとおくと、
αu=αx+αrとなります。 >>9
それじゃ変わりませんよ。
> αu=αx+αr
x^pの項が消せないので(1)が(2)になりません。
本当にそこはxであっていますか？ >>8 日高
君が>>2で主張した定理は偽でしょう？ >>11
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1さんが、607で
> 【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pの解x,y,zは整数比となる。
とか書いていたので、私が612で
> 数学のルールに従って書くなら、この文は
>
> ① p=2のとき、x^p+y^p=z^pの解であるすべてのx,y,zについて、x,y,zは整数比となる。
> ② p=2のとき、x^p+y^p=z^pの解であるx,y,zのなかに、x,y,zが整数比となる物が存在する。
>
> ①は「絶対なる」、②は「たまにそうなることもある」で、ちゃんと区別して書かないとただの落書きです。
> 区別して書いてください。
と指摘したら、613で
【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pには、有理数の解x,y,zが存在する。
に治ったんですけど、なぜか772で
【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pの解x,y,zは有理数となる。
に戻っちゃってそのままだったんですね。
>>2
落書きを書き込むのはやめてください。 >10
「x^pの項が消せないので」とは、
どういう意味かを、教えていただけないでしょうか。 >11
>>8 日高
君が>>2で主張した定理は偽でしょう？
どういう意味でしょうか？ >12
>>2
落書きを書き込むのはやめてください。
2は、間違いでしょうか？ >>13
>>1の証明にx=αs,y=αt,z=αuを代入し、あなたが>>9で書いたように、z=x+rを
> αu=αx+αrとなります。
...........ここ↑エックスなんですよね？
に書き直すと
【証明】(αs)^p+(αt)^p=(αu)^pを、αu=αx+αrとおいて(αs)^p+(αt)^p=(α(αs)+αr)^p…(1)とする。
左辺の(αs)^pの係数は1、右辺の(αs)^pの係数はα^p、なので(αs)^pの項が両辺から消えません。
よって、変形できません。 >>15
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前スレで
> 【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pの解x,y,zは整数比となる。
を、あなた自身が
> 【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pには、有理数の解x,y,zが存在する。
に修正したということを、忘れちゃったんですか？
>>2のままならでたらめの落書きです。 >17
2は、
【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pの解x,y,zは0以外の有理数となる。
です。
「x^p+y^p=z^pの解」は、間違いでしょうか？ 【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pの解x,y,zは0以外の有理数となる。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)はrが有理数なので、yを0以外の有理数とすると、xは有理数となる。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pの解x,y,zは0以外の有理数となる。 >>18
x=3π,y=4π,z=5πはx^p+y^p=z^pの解ですが有理数ではありません。
>>19の証明は間違いです。
x=1,y=2,z=√5はx^p+y^p=z^pの解ですが有理数ではありません。
>>19の証明は間違いです。 >>20訂正します。
x=3π,y=4π,z=5πはx^p+y^p=z^pの解ですが有理数ではありません。
>>19の定理は間違いです。
x=1,y=2,z=√5はx^p+y^p=z^pの解ですが有理数ではありません。
>>19の定理は間違いです。 >>1日高は、証明が不完全だとわかっていて書いたんですか？ >16
右辺の(αs)^pの係数はα^p、なので(αs)^pの項が両辺から消えません。
よって、変形できません。
「(αs)^pの係数はα^p、」がよくわかりません。
教えてください。 >21
x=3π,y=4π,z=5πはx^p+y^p=z^pの解ですが有理数ではありません。
>>19の定理は間違いです。
そうですが、
x=3,y=4,z=5は、有理数の解です。 >>24 日高
「そうですが」ってどういう意味？
これを見せられても>>19の主張が正しいと思っているの？ >>23
式の展開もできなくなってしまったんですか？
> >>1の証明にx=αs,y=αt,z=αuを代入し、あなたが>>9で書いたように、z=x+rを
> > αu=αx+αrとなります。
> ...........ここ↑エックスなんですよね？
> に書き直すと
>
> 【証明】(αs)^p+(αt)^p=(αu)^pを、αu=αx+αrとおいて(αs)^p+(αt)^p=(α(αs)+αr)^p…(1)とする。
(1)式を展開してください。
>>24
> p=2のとき、x^p+y^p=z^pの解x,y,zは0以外の有理数となる。
この書き方じゃ日本語として、有理数とならないものがある、とは読み取れないでしょ？
そして実際に、x=3π,y=4π,z=5πはx^p+y^p=z^pの解ですが有理数ではありません。
だから数学ではこんな書き方はしない
この書き方は落書きです。
落書きでないなら、
http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1589674835/の>>12の①か②か
必ずどちらかの書き方です x=3π,y=4π,z=5πの方は、πで割ると有理数解に帰着するので「有理数となる」と思ってしまうのかもしれませんね。 ともかく、日高さんは数学以前に日本語の勉強をするほうがよいと思う。 >22
>>1日高は、証明が不完全だとわかっていて書いたんですか？
違います。 【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pの解x,y,zは0以外の有理数となる。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)はrが有理数なので、yを0以外の有理数とすると、xは有理数となる。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pの解x,y,zは0以外の有理数となる。 >25
「そうですが」ってどういう意味？
これを見せられても>>19の主張が正しいと思っているの？
x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)
x^2+y^2=(x+2^{1/(2-1)})^pも、
x=3,y=4,z=5で成り立ちます。 >>29 日高
> >22
> >>1日高は、証明が不完全だとわかっていて書いたんですか？
>
> 違います。
じゃあ改めて書くけど、不完全です。詳しくは前に述べた通りです。 >26
(αs)^p+(αt)^p=(α(αs)+αr)^p…(1)とする。
(1)式を展開してください。
p=3のとき、展開すると、
s^3+t^3=(αs)^3+(3r)(αs)^2+(3αs)r^2+r^3となると思います。
> p=2のとき、x^p+y^p=z^pの解x,y,zは0以外の有理数となる。
この書き方じゃ日本語として、有理数とならないものがある、とは読み取れないでしょ？
そして実際に、x=3π,y=4π,z=5πはx^p+y^p=z^pの解ですが有理数ではありません。
(x,y,z)=(3,4,5)もあります。 >27
x=3π,y=4π,z=5πの方は、πで割ると有理数解に帰着するので「有理数となる」と思ってしまうのかもしれませんね。
(x,y,z)=(3,4,5)もあるからです。 >32
君、問題外。日常生活、できてますか？
はい。 >33
じゃあ改めて書くけど、不完全です。詳しくは前に述べた通りです。
どこで、述べておられますか？ >>34
> p=3のとき、展開すると、
> s^3+t^3=(αs)^3+(3r)(αs)^2+(3αs)r^2+r^3となると思います。
なりませんよ。あなたがhttp://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1589674835/の>>9で書いたのは
> αu=αx+αrとなります。
...........ここ↑エックスなんですよね？エックスなんですよね？
だからx=αsを代入したら
【証明】(αs)^p+(αt)^p=(αu)^pを、αu=αx+αrとおいて(αs)^p+(αt)^p=(α(αs)+αr)^p…(1)とする。
.......................................................................................................................................左辺のsの前↑α２つになりますよね？
だから
s^3+t^3=α^3(αs)^3+(3r)α^2(αs)^2+α(3αs)r^2+r^3
になります。これでは(1)は(2)に変形できません。 >>35
> (x,y,z)=(3,4,5)もあるからです。
あってもだめです。
(x,y,z)=(3,4,5)があっても、x=3π,y=4π,z=5πはx^p+y^p=z^pの解ですが有理数ではないので、
>>30は数学のルールを守らないでたらめの落書きです。
日常生活できているというなら、掲示板にでたらめの落書きをするのやめてください。 >>39
ごめんなさい。>>34を読み間違えていました。39の書き込みは取り消します。
> p=3のとき、展開すると、
> s^3+t^3=(αs)^3+(3r)(αs)^2+(3αs)r^2+r^3となると思います。
あっています。これは(1)式ですが、これを(2)式に出来ますか？ >>39氏へ。取り消されたレスですが、気づいたことがあるので連絡します。
「...........ここ↑エックスなんですよね」は、前の行を指しているのだと思いますが、
ブラウザ、フォントによって、位置がずれることがあるようです。
「ほんとうにαxでいいんですね」などとしたほうがよろしいかと。 >38
rが特別な値のときしか調べていないので誤りです。
rが別な値のときも、同じです。 >40
> (x,y,z)=(3,4,5)もあるからです。
あってもだめです。
x^2+y^2=(x+π)^2の解(x,y,z)=(4π,3π,5π)と
x^2+y^2=(x+1)^2の解(x,y,z)=(4,3,5)の両方があります。
両方とも、同じ方程式の解です。
方程式は、両辺を同じ数で、割っても解は同じです。 >>43 日高
> rが別な値のときも、同じです。
でもそのことは>>1には書いてありませんし、
これだけでは漠然としていて証明にはなりません。
きちんと書き足したものを書いてください。 >41
> s^3+t^3=(αs)^3+(3r)(αs)^2+(3αs)r^2+r^3となると思います。
あっています。これは(1)式ですが、これを(2)式に出来ますか？
どういう意味でしょうか？ >>44 日高
> x^2+y^2=(x+π)^2の解(x,y,z)=(4π,3π,5π)と
> x^2+y^2=(x+1)^2の解(x,y,z)=(4,3,5)の両方があります。
> 両方とも、同じ方程式の解です。
> 方程式は、両辺を同じ数で、割っても解は同じです。
今の場合、1で割った、すなわち方程式は何も変わっていません。 >45
きちんと書き足したものを書いてください。
【定理】pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pの解x,y,zは0以外の有理数とならない。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}…(2)となる。
(2)は、r^(p-1){(y/r)^p-1}=ap{x^(p-1)+…+r^(p-2)x}/aと同じとなる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)はrが無理数なので、yを0以外の有理数とすると、xは有理数とならない。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pの解x,y,zは0以外の有理数とならない。 【定理】p=2のとき、x^p+y^p=z^pの解x,y,zは0以外の有理数となる。
【証明】x^p+y^p=z^pを、z=x+rとおいてx^p+y^p=(x+r)^p…(1)とする。
(1)の両辺をr^pで割って、両辺を積の形にすると、
r^(p-1){(y/r)^p-1}=p{x^(p-1)}…(2)となる。
(2)はr^(p-1)=pのとき、x^p+y^p=(x+p^{1/(p-1)})^p…(3)となる。
(3)はrが有理数なので、yを0以外の有理数とすると、xは有理数となる。
∴pが奇素数のとき、x^p+y^p=z^pの解x,y,zは0以外の有理数となる。 何の説明もなくaが出てきて、そのあとは前と同じです。
これでは証明になりません。やり直し。 >47
今の場合、1で割った、すなわち方程式は何も変わっていません。
どういう意味でしょうか？ >50
何の説明もなくaが出てきて、そのあとは前と同じです。
これでは証明になりません。やり直し。
aに、どんな数を代入しても、x,y,zの割合は、変わらない。
ということを、意味します。 >>51 日高
>>44 には二本の方程式が載っていますが同一です。
それでも君の説明は合っていますか？ ■ このスレッドは過去ログ倉庫に格納されています
