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高校数学の質問スレPart404

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0001１３２人目の素数さん
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2020/03/30(月) 00:19:50.28ID:1rX+0Q6A
【質問者必読！！】
まず>>1-4をよく読んでね

数学@2ch掲示板用 掲示板での数学記号の書き方例と一般的な記号の使用例
http://mathmathmath.dotera.net/

・まずは教科書、参考書、web検索などで調べるようにしましょう。（特に基本的な公式など）
・問題の写し間違いには気をつけましょう。
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
　　（× x+1/x+2　；　 ○((x+1)/(x+2)) ）
・丸文字、顔文字、その他は環境やブラウザによりうまく表示できない場合があります。
　どうしても画像を貼る場合はPCから直接見られるところに見やすい画像を貼ってください。
　ピクトはPCから見られないことがあるので避けてください。
・質問者は名前を騙られたくない場合、トリップを付けましょう。 （トリップの付け方は　名前(N)に　俺！#oretrip　←適当なトリ)
・質問者は回答者がわかるように問題を書くようにしましょう。でないと放置されることがあります。
　　（変に省略するより全文書いた方がいい、また説明なく習慣的でない記号を使わないように）
・質問者は何が分からないのか、どこまで考えたのかを明記しましょう。それがない場合、放置されることがあります。
　　（特に、自分でやってみたのに合わないので教えてほしい、みたいなときは必ず書くように）
・回答者も節度ある回答を心がけてください。
・970くらいになったら次スレを立ててください。

※前スレ
高校数学の質問スレPart403
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1578601448/
0201１３２人目の素数さん
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2020/05/01(金) 23:27:14.19ID:kSfPXdSD
>>181 (再)
ジョーカーを除いた52枚の裏面向いたトランプから2枚ずつ取り出して数字の合計が大きいほうが勝ちのゲームをする。
絵札については J, Q, K は0と見なし、Aは1とする。
このとき引き分けとなる確率を求めよ。
ただし、先攻が取り出した2枚は後攻が取り出す際に戻さないものとする。
0202１３２人目の素数さん
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2020/05/01(金) 23:49:27.69ID:w9lZMBVK
惜しいな
JQKに適当に数字を振っておけば
やらないと宣言した奴の参加を阻めたのに
0203１３２人目の素数さん
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2020/05/02(土) 01:33:26.15ID:MWPQzP7G
0000型 12*11*10*9 　：11880
0a0a型 12*4*11*3 *2*2　：6336
0abb型 12*4*4*3 *2*2　：2304
0abc型 12*4*4*4 *2*2*2　：6144
－－　 　aaaa型　 　abcc型　 　abab型　 　abcd型　 　0000型　 　0a0a型　 　0abb型　 　0abc型
和が00　 　0　 　0　 　0　 　0　 　1　 　0　 　0　 　0　 　:11880
和が01　 　0　 　0　 　0　 　0　 　0　 　1　 　0　 　0　 　:6336
和が02　 　1　 　0　 　0　 　0　 　0　 　1　 　1　 　0　 　:24+6336+2304=8664
和が03　 　0　 　0　 　1　 　0　 　0　 　1　 　0　 　1　 　:13056
和が04　 　1　 　1　 　1　 　0　 　0　 　1　 　1　 　1　 　:16152
和が05　 　0　 　0　 　2　 　1　 　0　 　1　 　0　 　2　 　:21824
和が06　 　1　 　2　 　2　 　1　 　0　 　1　 　1　 　2　 　:25688
和が07　 　0　 　0　 　3　 　3　 　0　 　1　 　0　 　3　 　:32640
和が08　 　1　 　3　 　3　 　3　 　0　 　1　 　1　 　3　 　:37272
和が09　 　0　 　0　 　4　 　6　 　0　 　1　 　0　 　4　 　:45504
和が10　 　1　 　4　 　4　 　6　 　0　 　1　 　1　 　4　 　:50904
和が20は前レスの26、19は25、18は24、．．．11は17と一致
11880+6336+8664+13056+16152+21824+25688+32640+37272+45504+50904=269920
24+576+1368+3200+4760+7872+10200+14592+17688+23360=83640
合計　269920+83640=353560　確率　353560/(52*51*50*49)=8839/162435=0.05441561239880567611...
0206１３２人目の素数さん
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2020/05/02(土) 12:29:10.39ID:kwiB1rT0
a,bを正の定数として、(x/a)^2+(y/b)^2=1が表すだ円をEとする。
αを 0 < α < pi/2 を満たす定数として、
直線 (sinα)x-(cosα)y=0 とだ円Eの交点をA、Bとする。
2点A、Bを焦点とし、Eに接するだ円の長軸の長さは、αによらず一定である。


これが言えるらしいのですが、 どのように示されるでしょうか。
0207１３２人目の素数さん
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2020/05/02(土) 14:21:29.19ID:f2mAxoSw
学術の巨大掲示板群 - アルファ・ラボ
ttp://x0000.net

数学 物理学 化学 生物学 天文学 地理地学
IT 電子 工学 言語学 国語 方言 など

PS 連続と離散を統一した！
ttp://x0000.net/topic.aspx?id=3709-0
0208１３２人目の素数さん
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2020/05/02(土) 14:26:36.85ID:O6/cp0ZY
連立方程式を解け
①　y=√(3)x
②　√(x^2＋y^2)=10

自分の答案
③　②に①を代入して√(4x^2)=10
④　2x=10
⑤　よって、x=5

これは正解ですか？
0209１３２人目の素数さん
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2020/05/02(土) 14:29:04.54ID:8U8E25RH
まちがい
0212１３２人目の素数さん
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2020/05/02(土) 16:42:01.56ID:O6/cp0ZY
>>210
ヒント助かりました。
たしかにx=-2だとおかしいですね。
0213１３２人目の素数さん
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2020/05/02(土) 17:40:44.21ID:cc3iOZ6v
>>206
　a>b>0 としても一般性を失わない。

AB方向にX軸をとり、垂直方向にY軸をとると
　X =（cosα)x +（sinα)y,
　Y = -(sinα)x +（cosα)y,
もう一つの楕円を
E~：　XX/(aa+bb）+ YY/(aa+bb-dd）= 1,
とする。
長半径 √(aa+bb)，短半径√(aa+bb-dd),
　d = OA = OB = ab/√{(a･sinα)^2 +（b･cosα)^2},

さて、
　(x/a)^2 + (y/b)^2 - XX/(aa+bb）- YY/(aa+bb-dd)
　= {b^4･(cosα)x - a^4･(sinα)y}^2･dd/[(ab)^4･(aa+bb)(aa+bb-dd)]
　≧ 0,
等号成立は｛　｝=0 のとき。
∴　E上の点 (x,y) は
　1 =（x/a)^2 + (y/b)^2 ≧ XX/(aa+bb）+ YY/(aa+bb-dd),
E~の内部または周上にあり、Eに外接する。
0214１３２人目の素数さん
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2020/05/02(土) 17:59:53.74ID:c32xDSMR
有効数字２桁について教えてください。
340 / 20000と与えられた数字を有効数字2桁で表しなさいとあったら見本では
3.4*10^2 / 2*10^4
= 1.7 * 10^-2
こうなってました。最後はわかったですが、途中の2*10^4では2.0*10^4でもいいのですか？
途中だから気にする必要ありませんか？
0216１３２人目の素数さん
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2020/05/02(土) 18:39:29.56ID:B0+Dp7us
別に最後に有効数字2桁にしろってだけだから誤差論とかそんな話持ち出す必要ないだろ
途中式なんて2でいいよ
0217１３２人目の素数さん
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2020/05/03(日) 01:02:25.37ID:agSE6EeK
>>216
なんか20000って書いてあったら本来有効数字1桁になっちゃうので
（位取りを示すだけのゼロを除いた意味のある数字だから）
途中の式は2にしとかんといかんみたいね
本来この式で何か算出するならこれ有効数字2桁にはならん気がするけど
これは数学の練習問題だから最後に有効数字2桁にして終了、と
0218１３２人目の素数さん
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2020/05/03(日) 03:47:27.22ID:KZl+esVa
>>213
　a>b>0 は使ってない希ガス････
　α→0,　α→π/2　の極限から長半径を √(aa+bb）と予測し、
　A,Bが焦点だから　短半径 √(aa+bb-dd）としたのでござるか。
0220１３２人目の素数さん
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2020/05/04(月) 01:45:35.38ID:cVLFpl3k
すごくしょうもない質問なのですが教えてください
ブラウザゲームでのことです

能力アップ用のポイントが100ポイントあり、攻撃力の数値そのものか攻撃力の上昇率に1ポイントずつ割り振ることができます
数値そのものに振った場合は攻撃力が+10されます
上昇率に振った場合は+5%されます
攻撃力の初期値は10で、上昇率は100%を越えます

これを数式化すると、攻撃力の数値に振ったポイントをxとして
（10x+10）{1+0.05(100-x)}
なのでしょうか。
そして、その最大値はどう求めれば良いのでしょうか

お願いします
0221１３２人目の素数さん
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2020/05/04(月) 01:47:39.71ID:cVLFpl3k
>>220
馬鹿すぎて説明が抜けてしまっていました

攻撃力の上昇率を攻撃力の数値にかけたものが、最終的な攻撃力になります
それが最大となるポイントの割り振り方の算出方法を教えていただきたいです
0222１３２人目の素数さん
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2020/05/04(月) 08:28:03.73ID:7oZjwskp
ポイントを割り振るとまず先に攻撃力アップが適用されてそれから上昇率が適用されるってことでいいんだよね？
それならそれでいいんじゃないの？
x=59あるいは60のとき1830になって最大だと思う
これとその前後を具体的に計算すれば確かめられる
0223１３２人目の素数さん
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2020/05/04(月) 10:01:20.90ID:cVLFpl3k
>>222
ありがとうございます
攻撃力の計算も説明が抜けてしまっていました。攻撃力の数値をまず出して、そこに上昇率をかけます

>>220の式を展開すると59.5x-x^2+120になるのですが、xのとりうる範囲が0≦x≦100である今回の場合、最大値を求めるにはどうすればよいのでしょうか
0225１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/04(月) 10:37:45.15ID:jDRWX2Ph
3月の宿題で(1)のみ正解の数弱@shukudai_sujaku

昨年度の大学への数学(大数)での勝率は、

学コンBコースが 1/1 = 100% ，

宿題が 3/10 = 30% でした！

宿題の勝率が低すぎると思うので、

これからは一層精進していきたいです！

https://twitter.com/shukudai_sujaku
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
0226１３２人目の素数さん
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2020/05/04(月) 10:45:23.05ID:cVLFpl3k
>>224
重りを吊るす位置が支点から1目盛分ずれるごとに、天秤にかかる負荷も2倍、3倍と増えていきます
二段になっているうちの下側、dとeでいうと、平行にするためにはdとeの比が2:1でなければなりません
これを式で表すと2d=eとなり、満たす組み合わせは2と1、4と2の二通りです

次に上側も同じように考えます
3a+2b=c+3(2d+e)となり、これを満たす組み合わせは
a=3　b=5　c=1　d=4　e=2
となります🤗
0227１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/04(月) 11:50:08.95ID:Yv1eii45
微分可能関数f(x)が、f(0)=0, f'(0)≠0 のとき、
0に近いaで f(a)<0 となるものがある。

これは感覚的に当たり前にみえるのですが
キチンと示すにはどうすればいいでしょうか。
平均値の定理とかを使うのか。
0228イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2020/05/04(月) 12:10:35.07ID:yAlzGnAp
>>224前>>195
D,Eが4㎏,2㎏なら右の竿の3目盛に6㎏掛かるので18目盛㎏と呼ぶことにする。
A,B,Cが1㎏,3㎏,5㎏のどれかだから、Cが1㎏なら右の竿全体で1+18=19目盛㎏。
Aが3㎏で9目盛㎏、Bが5㎏で10目盛㎏だと左の竿全体で9+10=19目盛㎏だから釣りあう。
0229１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/04(月) 12:29:56.23ID:7oZjwskp
>>223
展開すると-0.5x^2+59.5ｘ+60じゃないか？
-0.5(x^2-2*59.5ｘ-120)
=-0.5{(x-59.5)^2-59.5^2-120}
でx=59.5は定義域に含まれているのでこのとき最大値をとる
だけどxは整数なのでx=59または60のとき最大値
（二次関数のグラフは頂点を挟んで左右対称だから59.5という整数59と整数60のちょうど中間に頂点があるならx=整数における最大値は59または60のとき）
計算が簡単なほうの60を元の式に代入すれば求まる
0231１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/04(月) 14:15:29.34ID:+EkzAyBs
>>227
大学の知識使わないとダメかもしれないですね

高校なら当たり前で良いんじゃないですか？
0232１３２人目の素数さん
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2020/05/04(月) 14:33:33.13ID:4eE/7Pya
>>227
どこまで定理を使っていいかわからんが、
「微分可能関数 f(x) が x = a で極値をとるならば、 f'(a) = 0」
が使えると仮定すれば証明できる

もし f(0) = 0, f'(0) ≠ 0 のとき、 0 に近い a で f(a) < 0 となるものが1つも存在しなければ、
0 に近い a に対し、常に f(a) ≧ 0 となる。
f'(0) ≠ 0 より、関数 f(x) は x = 0 の近くで定数関数ではないから、 f(0) = 0 より、
0 に近い a に対し、常に f(a) > 0 となる。
したがって、関数 f(x) は x = 0 で極小値 0 をとる。
このとき、「微分可能関数 f(x) が x = a で極値をとるならば、 f'(a) = 0」より、
f'(0) = 0 でなければならない。これは f'(0) ≠ 0 の仮定に矛盾する。

「x = a に近い」とかいう表現は厳密ではないが、高校数学ならこれくらいで十分かな？
0233１３２人目の素数さん
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2020/05/04(月) 15:27:06.36ID:2c/mgyD3
f'(x) = a ≠ 0 とする。
a > 0 として一般性を 失わない。
f(x) が微分可能なら f'(x) は連続だから、
p < 0 < q をみたす p, q で、
x ∈ (p, q) ならば f'(x) > 0 をみたすものがとれる。
このとき、平均値の定理より
f(p) - f(0) = (p - 0) f'(c) かつ p < c < 0
をみたす c が存在する。
f'(c) > 0、p < 0 であるから
f(p) - f(0) < 0
ゆえに f(p) < f(0) = 0
0237１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/04(月) 16:46:16.76ID:sAooM0TB
高校数学を逸脱してもいいなら････

f '(0）= m ≠ 0　から
　｜x｜< δ　⇒　｜{f(x) - f(0)}/x - f '(0)｜ < |m|/2,
となる δ>0 が存在する。本問では
　｜f(x)/x - m｜ < |m|/2,
　m -｜m|/2 < f(x)/x < m +｜m|/2,
したがって
　m>0 のときは -δ<a<0
　m<0 のときは 0<a<δ
とすれば
　f(a) < -|ma|/2 < 0,
0238１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/04(月) 17:24:25.26ID:sAooM0TB
>>231
0の近傍の1点でいいなら高校数学の範囲でも可能かも。
(背理法)
0のある近傍Uで f(x）≧ 0 だったと仮定する。
　f '(0）= lim[x→+0] f(x)/x ≧ 0,
　f '(0）= lim[x→-0] f(x)/x ≦ 0,
より f '(0) = 0 となり題意に反する。
∴ U内に f(a)<0 となる点aが存在する。(終)
0241227
垢版 |
2020/05/04(月) 22:18:45.26ID:Yv1eii45
多くの皆さんありがとうございます。
0243１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/05(火) 11:05:47.79ID:JVvRFsGS
1,2,3と書かれたカードがそれぞれ1枚ずつ箱に入っている。取り出しては戻してを6回繰り返して、1がa回,2がb回,3がc回出たとする。

a=2かつb=2となる確率を教えてください

a,b,cそれぞれ2回ずつなので並び替えが90通りで(90/3^6)と考えましたが自信がないのでお願いします
0244１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/05(火) 11:13:59.74ID:b2IqdVzK
3月の宿題で(1)のみ正解の数弱@shukudai_sujaku

昨年度の大学への数学(大数)での勝率は、

学コンBコースが 1/1 = 100% ，

宿題が 3/10 = 30% でした！

宿題の勝率が低すぎると思うので、

これからは一層精進していきたいです！

https://twitter.com/shukudai_sujaku
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
0246１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/05(火) 14:05:35.24ID:ixImTe6Q
aを実数の定数とする時、θの方程式
「方程式sinθ+cosθ-a＝0の解が存在する」と
「円x^2+ y^2＝1と直線y+x-a＝0が共有点を持つ」が同値になるのは、
x^2+y^2＝1がx＝sinθ,y＝cosθと同値で、
直線y+x-a＝0にx＝sinθ,y＝cosθに代入した形になっているからで合ってますか？
よろしくお願いします。
0247１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/05(火) 14:14:29.74ID:0xKTT1Ut
sinθ+cosθ-a=0を満たすθが存在する

⇔

x+y-a=0
x=sinθ
y=cosθ
を満たすθ,x,yが存在する

⇔

x+y-a=0
x^2+y^2=1
を満たすx,yが存在する

こんな感じですね
0249１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/05(火) 14:59:14.41ID:RoAyEIMF
>>246 合ってない。

『x^2+y^2＝1がx＝sinθ,y＝cosθと同値』ここが誤り。
例えばx=1,y=0,θ=πとすれば『x^2+y^2＝1ならばx＝sinθ,y＝cosθ』の反例になる。
『x＝sinθ,y＝cosθならばx^2+y^2＝1』は真であるが、逆が偽なので同値ではない。


同値というのは必要十分ということであるから、必要性と十分性を確認すべし。例えば以下のように。

(i)
「θの方程式sinθ+cosθ-a＝0の解が存在する」と仮定する。θ=k が解であるとする。
このとき、平面上の点(sink,cosk)は方程式x^2+y^2＝1とy+x-a＝0をともに満たすのでこの円と直線の共有点となる。
したがって「円x^2+y^2＝1と直線y+x-a＝0は共有点を持つ」
(ii)
「円x^2+y^2＝1と直線y+x-a＝0が共有点を持つ」と仮定する。点(s,t)が共有点であるとする。
このときs^2+t^2=1であるから、x軸の正の向きとベクトル(s,t)のなす角をφとするとsinφ=t , cosφ=s となる。
点(s,t)は直線y+x-a＝0上の点だからt+s-a=0が成り立つ。代入するとsinφ+cosφ-a=0となるから、
θ=φ は方程式sinθ+cosθ-a＝0の解である。したがって「θの方程式sinθ+cosθ-a＝0の解が存在する」
0250１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/05(火) 16:29:16.97ID:ixImTe6Q
>>247,248,249
教えて頂きありがとうございます。
「平面上の点(sink,cosk)は方程式x^2+y^2＝1とy+x-a＝0をともに満たすのでこの円と直線の共有点となる。 」
この部分がまだしっくりこないです。平面上の点(sin k,cosk)はどこから来たのでしょうか？
媒介変数表示が絡んでるとは思うのですが…
0251１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/05(火) 17:38:26.02ID:MIMl41gh
x=(√2)^x
の解はx=2ですが、これを直感に頼らずに導出する方法はありますか？
極限を使わずに解くことは可能ですか？
0252１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/05(火) 17:38:38.99ID:0xKTT1Ut
言葉で理解しようとしてもいいですけど、>>247こうやって機械的にやったほうが楽ですよ
0254１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/05(火) 17:43:41.65ID:227hHAl/
>>251
logとって両辺をxでわるとlog(x)/x=-log(2)/2
左辺の関数の挙動調べて他に解がないか探す
あとx=4も答えだと思う
そもそものx=2,4を探す手続きは直感以外だとよーわからんね
0255１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/05(火) 17:45:47.17ID:0xKTT1Ut
なるほど、4もそうですね


方程式を解くというのは、基本的に場当たりなんですよ
2次方程式とか3次方程式とか簡単なやつは統一的なやり方が知られているていうだけです
0256１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/05(火) 17:48:04.59ID:ixImTe6Q
aを実数の定数とする時、θの方程式
「方程式sinθ+cosθ-a＝0の解が存在する」と
「円x^2+ y^2＝1と直線y+x-a＝0が共有点持つ」

f(θ)＝sinθ+cosθ-aで、横軸θ、縦軸f(θ)のグラフであるが、sinθとcosθがx座標,y座標を表すので、直線y+x-a＝0と書き直せる。ただし、定義域-1≦x≦1,値域-1≦y≦1
かつx^2+y^2＝1を満たす。

ここまでで何か間違っていますでしょうか
0258１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/05(火) 20:23:17.97ID:H2fT6dc1
x^a = a^x,　x≠a
の解は

x = -{a/log(a)}W(-log(a)/a)　　(a>e)

x = -{a/log(a)}W(log(a)/a)　と
　= -{a/log(a)}W_(-log(a)/a)　　　(1<a<e)
0259 【櫻】
垢版 |
2020/05/05(火) 21:18:28.83ID:LL4x1+Ae
前>>234
>>251
x=(√2)^x
x=(2^(1/2))^x
x=(2^x)^(1/2)
x^2=2^x
y=x^2と2^xのグラフは、
点(-0.7666646962123,0.587774756),点(2,4),点(4,16)の3点で交わるから、
x=-0.7666646962123,2,4
_____∩ っﾞ___>>243
＼　((^_-)　 /みっつ＼
＼＼щ⌒υ､ /|＼＼＼＼
￣￣￣￣|υ/|､＼＼＼＼
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0260 【蝶】
垢版 |
2020/05/05(火) 21:29:41.21ID:LL4x1+Ae
前>>259括弧とアンカーと答え訂正。
>>251
x=(√2)^x──①
x={2^(1/2)}^x
x=(2^x)^(1/2)
x^2=2^x
y=x^2と2^xのグラフは、
点(-0.7666646962123,0.587774756),点(2,4),点(4,16)の3点で交わり、
x=-0.7666646962123,2,4が答えの候補として考えられるが、①式は右辺が正であるから、この問題の場合は前出の問題とは異なりx＞0の条件下で考える必要がある。
∴x=2,4
_____∩ っﾞ___>>242
＼　((^_-)　 /みっつ＼
＼＼щ⌒υ､ /|＼＼＼＼
￣￣￣￣|υ/|､＼＼＼＼
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0261１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/05(火) 21:59:11.48ID:RoAyEIMF
>>250
＞平面上の点(sin k,cosk)はどこから来たのでしょうか？

『「θの方程式sinθ+cosθ-a＝0の解が存在する」と仮定する。θ=k が解であるとする。』ここから来ています。
解kが存在することを仮定しているのですから、点(sink,cosk)が存在していることは明らかでしょう。


>>256
＞aを実数の定数とする時、θの方程式「方程式sinθ+cosθ-a＝0の解が存在する」と「円x^2+ y^2＝1と直線y+x-a＝0が共有点持つ」
が、何なのですか？２つの命題を併記しているだけ。主語のみで述語がなく、文章としての体裁をなしていません。

＞f(θ)＝sinθ+cosθ-aで、
これはおそらくf(θ)の定義なのだと思うのですが

＞横軸θ、縦軸f(θ)のグラフであるが、
今度は述語だけで主語がなく意味不明です。

＞sinθとcosθがx座標,y座標を表すので、直線y+x-a＝0と書き直せる。
“何を”書き直したのかが不明なので正誤の判断をしようがありません。

＞ただし、定義域-1≦x≦1,値域-1≦y≦1かつx^2+y^2＝1を満たす。
x^2+y^2＝1であれば必然的に-1≦x≦1かつ-1≦y≦1ではありますが、何のための但し書きなのかはわかりません。

＞ここまでで何か間違っていますでしょうか
すべてにおいて、「間違っている」または「意味不明な文章のため正誤の判断が不能である」または「私の読解力が不足している」
だと思われます。申し訳ありません。
0263１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/06(水) 03:04:21.57ID:4/VZ93xA
>>252,261
aを実数の定数とする時、θの方程式
sinθ+cosθ-a＝0について、解が0≦θ≦πの範囲に存在するようなaの値の範囲を求めよ。

ちょっと分からないところが多すぎて、うまく言えないのですが、直線y+x-a＝0はどうやって導かれるのでしょうか？
x＝sinθ,y＝cosθだと、地域や定義域は-1≦x≦1でsinθ+cosθ-a＝0を直線y+x-a＝0定義域は全実数なので、変形するのは無理があると思うのですが、分かりづらくて申し訳ないです。よろしくお願いします。
0264イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2020/05/06(水) 03:50:11.11ID:bPWrG9K3
前>>260修正申告させていただきます。
小数第9,10位が抜けてました。
>>251
x=(√2)^x──①
x={2^(1/2)}^x
x=(2^x)^(1/2)
x^2=2^x
y=x^2と2^xのグラフは、
点(-0.766664695962123,0.587774756),点(2,4),点(4,16)の3点で交わり、
x=-0.766664695962123,2,4が答えの候補として考えられるが、①式は右辺が正であるから、この問題の場合は前出の問題とは異なりx＞0の条件下で考える必要がある。
∴x=2,4
0265１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/06(水) 06:40:03.65ID:W1iQIMkL
>>263
こんなに色々と説明されてなおこれだけチンプンカンプンなことが書けるレベルで同値変形がわかってないのなら、
わざわざ同値変形を用いてオサレに解こうなどとせず普通に三角関数の合成でやればええやろ。

……最初からきちんと問題文を書いてればこれだけ迷走することもなかったろうに。
0268１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/06(水) 10:42:04.39ID:4/VZ93xA
>>252,261
aを実数の定数とする時、θの方程式
sinθ+cosθ-a＝0について、解が0≦θ≦πの範囲に存在するようなaの値の範囲を求めよ。

ちょっと分からないところが多すぎて、うまく言えないのですが、直線y+x-a＝0はどうやって導かれるのでしょうか？
x＝cosθ,y＝sinθだと、地域や定義域は-1≦x≦1でsinθ+cosθ-a＝0を直線y+x-a＝0定義域は全実数なので、変形するのは無理があると思うのですが、分かりづらくて申し訳ないです。よろしくお願いします。
0269１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/06(水) 11:06:05.43ID:4/VZ93xA
>>265
分からないから、分かるようにしたいので、教えて下さい。
0273１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/06(水) 12:04:43.02ID:CxmybpNr
>>263

sinθ+cosθ-a=0を満たすθが存在する

⇔

x+y-a=0
x=sinθ
y=cosθ
を満たすθ,x,yが存在する

⇔

x+y-a=0
x^2+y^2=1
を満たすx,yが存在する


もう一度同じこと書きますね
式変形だけではなく、一番最後の行にそれぞれ書かれている、～が存在する、という文章に特に注目してください

あなたの定義域云々の話は、上の変形では、なにが存在するならば何何も存在しなければならない、という話に置き換わっていることがわかりますね

式だけ追いかけるから、そういう定義域云々の話が曖昧になってるのですよ
0274１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/06(水) 12:50:09.52ID:j+bofN9X
>>273
ありがとうございます。

今の自分の頭の中の理解では
sinθはy軸を表せる(-1≦x≦1)、cosθはx軸を表せる(-1≦y≦1)が、定義域や値域は取り敢えず無視して、
題意の方程式が解を持つ時、sinθとcosθがy軸,x軸上の点を表しているから、y+x-a＝0の方程式上の点になりうる。
またこの時、その解はx^2+y^2=1上にある点でもあるので、2つの方程式を満たす値が解となる。
という理解をしてるのですが、合ってますでしょうか？
0275１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/06(水) 12:57:21.13ID:CxmybpNr
>>274
間違ってはないですけど、それでも定義域云々の話とか、どっからx^2+y^2=1でてきたのかとか曖昧になってますよね

>>273みたいに記号的に全ての情報を整理するだけで全て話が丸く収まるのですよ
0276１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/06(水) 13:30:00.57ID:j+bofN9X
x^2+y^2=1はcosθとsinθを満たす解θが存在するとき、解が円周上の点にあるから、で大丈夫ですよね？
存在する、という言葉の重要性が身に染みて分かりました。
ありがとうございました。
0277１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/06(水) 13:33:40.60ID:fNUMVfac
座標空間において、(2,0,0), (0,2,0), (2,0,2√2) を頂点とする三角形(周及び内部)を、
z軸の周りに一回転させてできる立体の体積を求めよ。

この問題なんですが、これ立体になりますか？　曲面にしかならなくないですか。
体積0？
0279１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/06(水) 13:50:16.57ID:hVWkN8c/
>>277
マジレスすると、「z軸」の周りに一回転だから、ちゃんと立体になる
シャボン玉の内側の体積を求めよってことでしょ
0280１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/06(水) 14:08:59.71ID:He9iS1Ua
>>278が正解かな

半径2, 高さ2√2の円柱から
半径√2の中身をくり抜く
内側の点(1, 1, √2) と外側の点(2, 0, 2√2)の間に
糸を張って、回転させながら切る

完成形は中身が切られたバウムクーヘン
zで場合分けして断面の面積を求め
積分すればよい
0281１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/06(水) 16:16:41.81ID:f7XA6HdU
>>278
z軸から最も遠い点は（2,0,z）だから、
　ドーナツの外半径は　R=2
z軸にで最も近い点と（内半径)^2 は
　(1,1,z）　rr=2　　(0≦z≦√2)
　(z/√2, 2-z/√2, z）　rr = 4 - z(2√2 -z)　(√2≦z≦2√2)
断面積は
S(z）= π(RR - rr）= π(4 - rr)
　　=（4-2)π = 2π　　(0≦z≦√2)
　　= πz(2√2 - z)　　(√2≦z≦2√2)

V =（2√2)π + ∫[√2, 2√2］S(z)dz
　=（2√2)π + π∫[√2, 2√2］z(2√2 - z)dz
　=（2√2)π +（π/2)∫[0, 2√2］z(2√2 - z)dz
　=（2√2)π +（π/12)(2√2)^3
　=（2√2)π + (4√2)π/3
　=（10/3)(√2)π,

内面の下半分は円筒で、上半分は一葉双曲面です。
z方向に√2倍した点は糞問です。z/√2 = ζ　とおいて解いた方がいいかもね。
0282１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/06(水) 16:28:26.24ID:f7XA6HdU
しかし、直線
　(z/√2, 2-z/√2, z)
をｚ軸のまわりに回転すると一葉双曲面
　xx + yy -（z-√2)^2 = 2
になるのは面白い。つまり
　一葉双曲面も円筒も直線を集めたものだ(?)
と云うこと
0284１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/08(金) 10:28:58.41ID:WmDpVhCu
3月の宿題で(1)のみ正解の数弱@shukudai_sujaku

昨年度の大学への数学(大数)での勝率は、

学コンBコースが 1/1 = 100% ，

宿題が 3/10 = 30% でした！

宿題の勝率が低すぎると思うので、

これからは一層精進していきたいです！

https://twitter.com/shukudai_sujaku
https://twitter.com/5chan_nel (5ch newer account)
0285イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2020/05/08(金) 11:33:05.20ID:0lfGvHm4
前>>264
>>277
回転体をz=tで切った断面積は円を等間隔で重ねた二重円のあいだの領域で、
π2^2-π{√2+(2-√2)t/2√2}^2
=π{4-2-(2-√2)t-(6-4√2)t^2/8}
=π{2-(2-√2)t-(3-2√2)t^2/4}
回転体の体積Vは、
V=π∫[t=0→2√2]{2t-(2-√2)t^2/2-(3-2√2)t^3/12}
=π{2(2√2)-(2-√2)4-(3-2√2)(4√2)/3}
=π(4√2-8+4√2-4√2+16/3)
=(4√2-8/3)π
0286イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2020/05/08(金) 12:04:03.70ID:0lfGvHm4
前>>285体積Vの計算式の一部が抜けてたので訂正。
>>277
回転体をz=tで切った断面積は円を等間隔で重ねた二重円のあいだの領域で、
π2^2-π{√2+(2-√2)t/2√2}^2
=π{4-2-(2-√2)t-(6-4√2)t^2/8}
=π{2-(2-√2)t-(3-2√2)t^2/4}
回転体の体積Vは、
V=π∫[t=0→2√2]{2-(2-√2)t-(3-2√2)t^2/4}dt
V=π[t=0→2√2]{2t-(2-√2)t^2/2-(3-2√2)t^3/12}
=π{2(2√2)-(2-√2)4-(3-2√2)(4√2)/3}
=π(4√2-8+4√2-4√2+16/3)
=(4√2-8/3)π
0287１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/08(金) 18:02:59.35ID:HHkxSB8A
問:log(x+1)/xの増減を調べ、グラフを書け

微分しても解がわかりません、教えて下さい
0289１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/09(土) 00:19:00.61ID:dz3/aCOm
>>287
x/(x+1)-log(x+1)=0 の解がわからんということやね？

まずx=0はこの方程式の解である。代入すればわかる。
以下に、これ以外の解が存在しないことを示す。
g(x)=x/(x+1)-log(x+1) とおくと
g'(x)=-1/(x+2)^2 で常に g'(x)<0 だからg(x)は単調減少。
したがって関数 y=g(x) のグラフとx軸との交点はx=0の1点のみである。
0291１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/09(土) 01:44:29.80ID:dz3/aCOm
>>287、>>288-289
何度もすみません。ひどく間違いまくってますね。
再度書き直しておきます。申し訳ありません。

g(x)=x/(x+1)-log(x+1) とおくと g'(x)=-x/(x+1)^2
-1<x<0 の範囲で g'(x)>0、0<x の範囲で g'(x)<0 であるから
g(x)は x=0 で最大値 g(0)=0 をとる。
すなわち、-1<x の範囲で常に g(x)≦0 で、等号成立は x=0 のとき
したがって、g(x)=0 の解は x=0 のみ
0293イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2020/05/09(土) 11:48:43.59ID:N64unEQc
前>>286別解。
>>277
回転体は円柱から円錘台を引いた立体で、
円柱の体積は、
π2^2･2√2=8π√2──①
円錘台の体積は、円錘の頂点がz軸上の(0,0,-c)にあり底辺の異なる(底面積が4πと2πの)円錘の体積の差で表され、
4π(c+2√2)/3-2πc/3
=2πc/3+8π√2/3──②
①②より求める回転体の体積は、
8π√2-(2πc/3+8π√2/3)}
=(16√2/3-2c/3)π──③
y軸の+∞方向からxz平面を見ると、
三角形の相似比より、
c:c+2√2=√2:2
2c=c√2+4
c=4/(2-√2)
=4(2+√2)/(2^2-2)
=4+2√2
③に代入し、回転体の体積は、
{16√2/3-2(4+2√2)/3}π
=(4√2-8/3)π
0294イナ ◆/7jUdUKiSM
垢版 |
2020/05/09(土) 11:57:55.06ID:N64unEQc
前>>293積分したら負け。
>>286のようにインテグラルを使うのもありだけど、円柱からxy平面を突き抜けた円錐を引いて引きすぎたz≦0部分の円錐を足す感じだと積分しなくていい。
0295１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/09(土) 18:29:46.17ID:efH/9jmP
>>293
考え方だけ説明したらいいのに
計算過程まで書くってどうなん？
2c=c√2+4
c=4/(2-√2)
こことか明らかに冗長だろｗ
そりゃ大学入試の解答は丁寧に書かなきゃいけないけど
掲示板の回答でそこまで丁寧に書く理由は何よ？
0297１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/09(土) 18:45:41.10ID:efH/9jmP
スクロールで指が疲れるんだよね
答えは考え方と結果だけでいいだろ
式変形なんて誰が見たいんだよ
0298１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/09(土) 20:03:22.89ID:JtXq3kmY
変数と引数とパラメーターって同じものなんすか？
0299１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/10(日) 01:03:11.25ID:+TXDayVt
ax^2+bx+cを平方完成して
a(x+b / 2a)^2 - b^2 / 4a ＋c
から
a(x+b / 2a)^2 - b^2 -4ac / 4a
になぜなるのでしょうか。

- b^2 / 4a ＋c
この部分の通分したら符号が変わるのがよくわかりません
0300１３２人目の素数さん
垢版 |
2020/05/10(日) 01:13:54.08ID:lFotppoo
・長い分母分子を含む分数はきちんと括弧でくくりましょう。
　　（× x+1/x+2　；　 ○((x+1)/(x+2)) ）
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