純粋・応用数学

[0001 １３２人目の素数さん 2020/02/25(火) 11:58:05.45 ID:xlZ4iTwN]

クレレ誌
クレレ誌はアカデミーの紀要ではない最初の主要な数学学術誌の一つである（Neuenschwander 1994, p. 1533）。ニールス・アーベル、ゲオルク・カントール、ゴットホルト・アイゼンシュタインらの研究を含む著名な論文を掲載してきた。

現代の純粋・応用数学を目指して

[0860 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/17(水) 18:43:08.31 ID:m/mlsVi6]

>>859
つづき

位相空間
点列の収束の概念は、一般の位相空間においても収束先の近傍系をもちいて定式化される。しかし、一般的な位相空間の位相構造は、どんな点列が収束しているかという条件によって特徴付けできるとは限らない。そこで、ネットやフィルターといった、点列を拡張した構成とその収束の概念が必要になる。任意の位相空間 X に対し、X 上で収束している（収束先の情報も込めた）フィルターの全体 CN(X) や、あるいは収束しているフィルターの全体 CF(X) を考えると、これらからは X の位相が復元できる。

圏論
詳細は「極限 (圏論)」を参照

参考２）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E6%BA%96%E8%A7%A3%E6%9E%90
超準解析
1973年、直観主義者アレン・ハイティングは超準解析を「重要な数学的研究の標準モデル」だと賞賛した。[9]


参考３）
https://mathtra∈.jp/cont∈ue
高校数学の美しい物語
関数の連続性と一様連続性 最終更新:2019/06/05
lim x→a f(x)=f(a)
が成立するとき，関数 f(x) が x=a で連続という。
また，定義域（考えている区間内）の任意の点 a で関数 f が連続のとき，f を連続関数と呼ぶ。
関数の連続性のイメージ
いきなり厳密な定義を書くとひるんでしますので，まずはイメージから。
関数が連続であるとは，直感的には「関数がつながっている，ちぎれていない」という意味です。
連続と一様連続の厳密な定義
連続関数の厳密な定義は冒頭の定義を ε-δ を使って書けばよいだけです。（ε-δ を用いた極限の定義ははさみうちの原理の証明を参照してください。）
連続性の定義：
考えている区間内の任意の実数 a と，任意の正の実数 ε に対して，ある δ が存在して「|x-a|<δ なら |f(x)-f(a)|<ε」が成立する。

つづく

[0861 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP 2020/06/17(水) 18:43:29.62 ID:m/mlsVi6]

>>860
つづき

参考４）
https://en.wikipedia.org/wiki/(%CE%B5,_%CE%B4)-def∈ition_of_limit
(ε, δ)-def∈ition of limit
Cont∈uity
A function f is said to be cont∈uous at c if it is both def∈ed at c and its value at c equals the limit of f as x approaches c:
　lim _{x → c}f(x)=f(c)
The (ε ,δ ) def∈ition for a cont∈uous function can be obta∈ed from the def∈ition of a limit by replac∈g
0<|x-c|<δ with |x-c|<δ to ensure that f is def∈ed at c and equals the limit.

参考５）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A4%E3%83%97%E3%82%B7%E3%83%AD%E3%83%B3-%E3%83%87%E3%83%AB%E3%82%BF%E8%AB%96%E6%B3%95
ε-δ 論法
関数値の収束
ε は無限小とは異なり有限の値であるが、好きなだけ小さく選んでよいという条件が極限の概念を捉えることを可能にしているのである。
ここで何故、小さい数ばかり考えているのかと言えば、今のように ε2 < ε1 という大小関係を満たす 2 つの 正の数があったときに、 ε2 に対して δ2 を選んでおけば
0<|x-a|<δ2→ |f(x)-b| < ε2 < ε1
より、δ2 は ε1 に対する δ としても使えるからである。
小さい ε で δ を与えられるなら、それより大きい ε に対しても δ を与えられる。
逆に 小さい ε で δ が存在しない場合、任意の ε に対して、適当な δ が存在するという条件を満たさないため、
他の ε に対してどうであろうと、極限の存在を示すことはできない。

関数の連続性
実関数 f: R → R が
lim _{x → a}f(x)=f(a)
を満たすとき、 f(x) は x = a において連続であるという。
この極限の式は ε-δ 論法を用いて関数値の極限として定義される。
開区間 I = (p,q) 上の任意の点 a ∈ I において f(x) が連続であるとき f(x) は I 上で連続であるという。 これを ε-δ 論法で書くと
∀ε >0, ∀a∈ I, ∃δ >0 s.t. ∀x∈ I [|x-a|<δ → |f(x)-f(a)|<ε ]
となる。

つづく