P20 (iii) は不分岐な v では Weil 予想(Deligne の定理),一般には未解決のウェイト・モノドロミー予想の帰結であり,(iv) は (i) と同様の制限下でL 進エター ルコホモロジーの構成の帰結である.
これらの予想は主に代数幾何学における重さの哲学を反映するものであるから,代数幾何学を通して証明され るものが多いが,保型表現の解析的理論がもっとも強力に定性的な結果をもたらすものとしては,有限性がある. 代数的な Π, R の導手を,すべての有限素点における Πv,WD(Rv) の導手 pmv の積 ?vpmv で定めると,これは有 限積で OF のイデアルとなり,Π と R が対応すれば互いの導手は等しい.Π の導手は Hecke 指標のモジュラス・ 保型形式のレベルにあたるものである. 0093現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/04/02(木) 23:01:01.92ID:kD9YEDnI 以上、”ウェイト・モノドロミー予想”とは? について、調べた むずいww(^^; 0094現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/04/03(金) 00:16:16.17ID:DyKRdYgChttps://en.wikipedia.org/wiki/Perfectoid_space Perfectoid space (抜粋) In mathematics, perfectoid spaces are adic spaces of special kind, which occur in the study of problems of "mixed characteristic", such as local fields of characteristic zero which have residue fields of characteristic prime p.
A perfectoid field is a complete topological field K whose topology is induced by a nondiscrete valuation of rank 1, such that the Frobenius endomorphism Φ is surjective on K°/p where K° denotes the ring of power-bounded elements.
Perfectoid spaces may be used to (and were invented in order to) compare mixed characteristic situations with purely finite characteristic ones. Technical tools for making this precise are the tilting equivalence and the almost purity theorem. The notions were introduced in 2012 by Peter Scholze.[1]
Contents 1 Tilting equivalence 1.1 Almost purity theorem 2 See also 0095現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/04/03(金) 00:43:32.96ID:DyKRdYgC <ウェイト・ モノドロミー予想>
1.伊藤哲史先生>>87-88 「Langlands 対応などへの応用上は, 残された混標数の場合が重要であると考えら れる. しかし, この場合は, 様々な部分的な結果はあるものの, 一般には未解決である」 2.Perfectoid space >>94 「In mathematics, perfectoid spaces are adic spaces of special kind, which occur in the study of problems of "mixed characteristic"」 で、"mixed characteristic"混標数の性質の良い空間を作って そこで、ウェイト・ モノドロミー予想を部分解決したってことかな?(>>31) 3.「ウェイト・モノドロミー予想(weight-monodromy conjecture)とは,Deligneにより1970年の国際数学者会議において提出された予想である([D1]).」 「これは,完備離散付値体上の固有かつ滑らかな代数多様体のl進コホモロジーに定義されたモノドロミー・フィルトレーションの重み(weight)が純であるという予想として定式化されており,」 「"Deligneによるモノドロミー・フィルトレーションの純性予想"とも呼ばれている.」 か。さっぱり分からんが、下記 Kirti Joshi先生のPDFとの関連はついたかな(^^
(参考) https://arxiv.org/pdf/2003.01890.pdf On Mochizuki’s idea of Anabelomorphy and its applications Kirti Joshi 20200305 (抜粋) P61 26 Perfectoid algebraic geometry as an example of anabelomorphy A detailed treatment of assertions of this section will be provided in [DJ] where we establish many results in parallel with classical anabelian geometry. In particular this suggests that the filtered absolute Galois group of a perfectoid field of characteristic zero has non-trivial outer automorphisms which does not respect the ring structure of K.
つづき This is the perfectoid analog of the fact that the absolute Galois group GK of a p-adic field K has autormorphisms which do not preserve the ring structure of K. Now let me explain that the main theorem of [Sch12b] provides the perfectoid analog of anabelomorphy (in all dimensions). Suppose that K is a complete perfectoid field of characteristic zero. Let X/K be a perfectoid variety over K, which I assume to be reasonable, to avoid inane pathologies. Let π1(X/K) be its ´etale site. Let Xb/Kb be its tilt. Then the main theorem of [Sch12b] asserts that Theorem 26.1. The tilting functor provides an equivalence of categories π1(X/K) → π1(Xb/Kb). If L is any untilt of Kb and Y/L is any perfectoid variety with tilt Yb/Lb =〜 Xb/Kb. Then one has π1(X/K) =〜 π1(Y/L) and in particular X/K and Y/L are perfectoid anabelomorphs of each other. In particular one says that X/K and Y/L are anabelomorphic perfectoid varieties over anabelomorphic perfectoid fields K ←→ L. Thus one can envisage proving theorems about X/K by picking an anabelomorphic variety in the anabelomorphism class which is better adapted to the properties (of X/K) which one wishes to study. In some sense Scholze’s proof of the weight monodromy conjecture does precisely this: Scholze replaces the original hypersurface by a (perfectoid) anabelomorphic hypersurface for which the conjecture can be established by other means. (引用終り) 以上 0097現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/04/03(金) 13:42:18.87ID:eln2Kr6c メモ貼る http://imetrics.co.jp/academy/Topos-presentation.pdf iMetrics Academy Press AI 時代の数学 (層・圏論・そしてトポスへの道のり) 2019 SPRING 2019. 6. 21 数学とは言語 Author: Sage Kusafusa 草房誠二郎 Production:iMetrics.co.jp (Japanese/ ENGLISH) http://imetrics.co.jp/academy/Topos-presentation-print.pdf
参考文献 [La] Lagarias, J. C., Hilbert spaces of entire functions and Dirichlet L-functions, Frontiers in number theory, physics, and geometry. I, Springer, Berlin, (2006), 365?377. [Su1] Suzuki, M., An inverse problem for a class of canonical systems and its applications to self-reciprocal polynomials, J. Anal. Math. 136, (2018), 273?340. [Su2] Suzuki, M., Hamiltonians arising from L-functions in the Selberg class, https://arxiv.org/abs/1606.05726. (引用終り) 以上 0107現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/05/02(土) 07:35:32.58ID:qpZJrq8I <閑話休題>数学と関係ないが、貼る https://headlines.yahoo.co.jp/hl?a=20200501-00010000-metro-life https://urbanlife.tokyo/post/34409/ urban life metro 知る!TOKYO 童謡「赤い靴」の真実 女の子は異人さんに連れて行かれはしなかった 合田一道(ノンフィクション作家)2020年5月1日 (抜粋) 子どもの頃、誰もが1度は口ずさんだことのある童謡「赤い靴」。そこに歌われた女の子の数奇な運命をご存じですか? ノンフィクション作家の合田一道さんが、彼女の短い生涯をたどります。
カット除去定理 カット除去定理は、ある論理体系でカット規則を使って証明可能なシークエントは、この規則を使わずとも証明可能であることを示したものである。そのシークエントが定理であるとき、カット除去定理は、単に、その証明の過程で使われた補題 C をインライン化できることを示している。 すなわち、定理の証明が補題 C を使っている場合、その箇所を全て C の証明に置き換えることで、新しい完全な証明図を与えることができるということである。従って、カット規則は許容できる規則 (admissible rule) である。
https://en.wikipedia.org/wiki/Method_of_analytic_tableaux In proof theory, the semantic tableau (/ta?blo?, ?tablo?/; plural: tableaux, also called 'truth tree') is a decision procedure for sentential and related logics, and a proof procedure for formulae of first-order logic.
History The method of semantic tableaux was invented by the Dutch logician Evert Willem Beth (Beth 1955) and simplified, for classical logic, by Raymond Smullyan (Smullyan 1968, 1995). It is Smullyan's simplification, "one-sided tableaux", that is described above. Smullyan's method has been generalized to arbitrary many-valued propositional and first-order logics by Walter Carnielli (Carnielli 1987).[1] Tableaux can be intuitively seen as sequent systems upside-down. This symmetrical relation between tableaux and sequent systems was formally established in (Carnielli 1991).[2] 0114現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/09(土) 13:33:23.09ID:Mxr6sv2r メモ https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AC%E3%82%A4%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%BB%E3%82%B9%E3%83%9E%E3%83%AA%E3%83%A4%E3%83%B3 レイモンド・メリル・スマリヤン(Raymond Merrill Smullyan、1919年5月25日 - 2017年2月6日)はアメリカ合衆国の数学者、ピアニスト、論理学者、老荘哲学者、奇術師。
経歴 スマリヤンは博士課程にいるときの1957年に“Journal of Symbolic Logic”に論文を発表し、ゲーデルの不完全性定理が1931年にゲーデルが発表した論文よりも初等的な形で形式系を考察できることを示した。 ゲーデルの不完全性定理に関する現代的な解釈はこの論文から始まっている。その後、スマリヤンはゲーデルの不完全性定理における魅力的な部分がタルスキの定理から必然的に導かれることを示した。 タルスキの定理は不完全性定理よりも容易に証明できて、哲学的に不完全性定理と同じような不安を与えるものである。 数理論理学において古典的な限界を与える定理に関してスマリヤンが終生寄与した成果は以下の文献で読むことができる:
・Smullyan, R M (2001) "Godel's Incompleteness Theorems" in Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic. Blackwell (ISBN 0-631-20693-0).
スマリヤンの論理学の問題は多くは古典的なパズルを拡張したものである。 0115現代数学の系譜 雑談 ◆e.a0E5TtKE 2020/05/09(土) 13:34:18.21ID:Mxr6sv2r メモ(PDFが落とせる) https://www.researchgate.net/publication/230961342_Godel_incompleteness_theorems_and_the_limits_of_their_applicability_I Godel incompleteness theorems and the limits of their applicability. I Article (PDF Available)?in?Russian Mathematical Surveys 65(5):857 ・ January 2011?with?346 Reads? DOI: 10.1070/RM2010v065n05ABEH004703 Cite this publication Lev Dmitrievich Beklemishev 25.68Russian Academy of Sciences
Abstract This is a survey of results related to the Godel incompleteness theorems and the limits of their applicability. The first part of the paper discusses Godel's own formulations along with modern strengthenings of the first incompleteness theorem. Various forms and proofs of this theorem are compared. Incompleteness results related to algorithmic problems and mathematically natural examples of unprovable statements are discussed. Bibliography: 68 titles. 0116132人目の素数さん2020/05/13(水) 10:04:13.48ID:YxiDM0Si>>112 カットを除去するのは、証明の効率とか見やすさとは無関係
緒言 The elementary theory presented in this paper is intended to accomplish two purposes. First, the theory characterizes the category of sets and mappings as an abstract category in the sense that any model for the axioms which satisfies the additional (non-elementary) axiom of completeness (in the usual sense of category theory) can be proved to be equivalent to S. Second, the theory provides a foundation for mathematics which is quite different from the usual set theories in the sense that much of number theory, elementary analysis, and algebra can apparently be developed within it even though no relation with the usual properties of ∈ can be defined. 0126現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/05/17(日) 19:42:05.90ID:9UHEbX30 有限単純群の分類
https://www.ams.org/journals/bull/2006-43-01/S0273-0979-05-01071-2/ Authors: Michael Aschbacher and Stephen D. Smith Title: The classification of quasithin groups I, II Additional book information: Vol. 111, Mathematical Surveys and Monographs, vols. 111--112, American Mathematical Society, Providence, RI, 2004, 1221 pp. https://www.ams.org/journals/bull/2006-43-01/S0273-0979-05-01071-2/S0273-0979-05-01071-2.pdf BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY Volume 43, Number 1, Pages 115?121 S 0273-0979(05)01071-2 Article electronically published on July 5, 2005 The classification of quasithin groups I, II, by Michael Aschbacher and Stephen D. Smith, Mathematical Surveys and Monographs, vols. 111?112, American Mathematical Society, Providence, RI, 2004, 1221 pp., US$228.00, ISBN 0-8218-3410-X (Vol. 111), 0-8218-3411-8 (Vol. 112) In 1983, Danny Gorenstein announced the completion of the Classification of the Finite Simple Groups. This announcement was somewhat premature. The Classification of the Finite Simple Groups was at last completed with the publication in 2004 of the two monographs under review here. These volumes, classifying the quasithin finite simple groups of even characteristic, are a major milestone in the history of finite group theory. It is appropriate that the great classification endeavor, whose beginning may reasonably be dated to the publication of the monumental Odd Order Paper [FT] of Feit and Thompson in 1963, ends with the publication of a work whose size dwarfs even that massive work. 0127現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2020/05/17(日) 20:13:57.49ID:9UHEbX30 googleのビューで一部読める(^^; https://books.google.co.jp/books?id=Ex-ZAwAAQBAJ&pg=PA85&lpg=PA85&dq=Classification+of+finite+simple+groups+quasithin+Mason&source=bl&ots=OnFoDJh82g&sig=ACfU3U2qFDKa5bJQZ9ioLAvekYqch5C6nQ&hl=ja&sa=X&ved=2ahUKEwjY8buR37rpAhWQA4gKHW4cATgQ6AEwCXoECDUQAQ#v=onepage&q=Classification%20of%20finite%20simple%20groups%20quasithin%20Mason&f=false The Classification of Finite Simple Groups: Groups of Characteristic 2 Type 2011 著者: Michael Aschbacher、 Richard Lyons 、 Stephen D. Smith 、 Ronald Solomon 0128哀れな素人2020/05/18(月) 08:36:02.14ID:caP05o8t スレ主よ、最近見かけないと思ったら、ここにいたのか(笑
開集合を用いた定義 二つの位相空間 X, Y の間の写像 f: X → Y が連続であるとは、任意の開集合 F ⊆ Y に対しその逆像 f^{-1}(F)={x∈ X| f(x)∈ F} が X の開集合となるときに言う。従って、f は集合 X, Y の間の写像(であってそれらの位相の元の間の写像ではない)にも拘らず、f の連続性は用いられている X, Y それぞれの位相に依存する性質であることに注意すべきである。
閉集合を用いた定義 (開集合の補集合としての)閉集合を用いても同値な定義が得られる。即ち、二つの位相空間 X, Y の間の写像 f: X → Y が連続であるとは、任意の閉集合 F ⊆ Y に対しその逆像 f^{-1}(F)={x∈ X| f(x)∈ F} が X の閉集合となるときに言う。
近傍系を用いた定義 近傍を用いて位相空間の一点における写像の連続性を定義することもできる。 位相空間 X 上で定義された写像 f: X → Y が一点 x において連続であるとは、像 f(x) の任意の近傍の f による逆像が再び x の近傍となること、即ち ∀ N∈ N_f(x): f^{-1}(N)∈ M_x が成立することを言う。
Q:連続写像の定義には,なぜ開集合の「逆像」をつかうのですか? 取りあえず貼る(^^ http://www12.plala.or.jp/echohta/top.html 位相空間・質問箱 大田春外 http://www12.plala.or.jp/echohta/top/QA/QA013.html 読者からの質問と回答 01121 ? 01130 大田春外 (抜粋) Y.Y.さんからの質問 #01129 連続写像の定義には,なぜ開集合の「逆像」をつかうのですか? 位相空間の間の連続写像の定義に「逆像」を用いるのはなぜでしょうか. 写像による位相構造の保存が連続性の意味であると思うのですが,そうだとしたら,開写像や閉写像の定義の方が,直感的には連続の定義として受け入れやすいと感じています. 大学の講義では,距離空間間の連続写像の定義から命題として, 「写像 f: X ---> Y が連続 <=> Y の任意の開集合 O に対し,f^{-1}(O) が X の開集合」 を導き,これを一般の位相空間における連続写像の定義とする流れをとっていました. 論理展開としては理解できますが,何となく受け入れ難さを感じています. よろしくお願いします.
お答えします: 連続性が何を表現しているかということを考えてみるとよいのではないでしょうか. 一般に,写像 f: X ---> Y は,空間 X を空間 Y に変形するときの点の対応を表していると考えることが出来ます. このとき「 f が連続であるとは,この変形によって X が破れない(=切れない)」ことを表現しています。 このことは 『はじめよう位相空間』に詳しく説明しました. 一方,位相空間は,開集合が増加すると離散的な状態になり,開集合が減少すると密着的な状態になるという性質があります. したがって,写像 f: X ---> Y が連続になる(すなわち,X が破れない,離散的にならない)ためには,あくまで大ざっぱに言えばですが,f によって開集合が増えないことが必要です.